PRINCIPIO DE FERMAT ∫

Óptica Avanzada
Maestría en Optoelectrónica
Segundo cuatrimestre 2003
PRINCIPIO DE FERMAT
En el 1600 Snell, basándose en experimentos, da la ley de refracción, no expresada como
n1 sin i = n2 sin i ′ , sino expresada como relación entre distancias. Fue Descartes el que poco
tiempo después le dio la forma actual (aunque consideraba a la luz como una presión) y luego la
rescribió Newton (como partículas) aunque ambos consideraban que la luz se movía más
rápidamente en medios más densos (lo cual no es cierto). El Principio de Fermat (1657) resulta
de la búsqueda de un principio teórico general que permitiera describir el fenómeno de la
refracción. Fermat se basó en las ideas de Herón de Alejandría (siglo I). Herón había explicado
que el camino que recorría la luz al reflejarse era más corto si los ángulos de incidencia y
reflexión eran iguales. No está claro si en su concepción se refiere a un mínimo de tiempo, de
espacio o de ambos. Fermat ensayó un método análogo para el estudio de la refracción.
Como la naturaleza de la luz se dirige en línea
recta de S a P, hay que encontrar un punto M
por el cual la luz se doble o refracte llegando
en un tiempo más corto de S a P. Y pues es
probable que la Naturaleza, a la cual sus
operaciones urgen lo más pronto posible, se
orientará espontáneamente hacia ese punto”
Así se obtiene la ley de refracción, pero a diferencia de Newton y Descartes, Fermat
asume que en el medio menos denso la luz se mueve con mayor velocidad.
El Principio de Fermat es de significancia filosófica inmensa, y como parece que implica
una manera teleológica de explicación (i.e. de fines) ajena a las ciencias naturales, llevó a grandes
controversias.
Este principio puede expresarse de otra manera : si la luz recorre en un medio el camino d,
en vacío debe recorrer en el mismo tiempo un camino d0. A este camino se lo llama (siguiendo a
Huygens) camino óptico ⇒ d0= n d, donde n es el índice de refracción para el medio respecto
del vacío. Así la luz recorre el camino óptico mínimo Llamaremos
camino óptico = ∆ = Σni di y en el caso en que el índice sea una función de la posición n(x,y,z)
∆ = ∫ n( x , y , z )ds
Apliquemos el Principio de Fermat así enunciado a la reflexión en la superficie de
separación de dos medios de índices de refracción n1 y n 2.
Sin pérdida de generalidad, podemos considerar
que la luz irá de S hasta P reflejándose en el
plano xz en el punto M, y que S está sobre el eje
y y P en el plano xy. De esta manera los puntos
estarán dados por S=(0, yS ,0) ; P=(xP, yP, 0) ;
M= (x, 0, z).
El camino óptico resultante para ir de S a P reflejándose en M es :
∆ = n SM + n MP = n x 2 + y S2 + z 2 + n ( x − x P ) 2 + y P2 + z 2
Busquemos por ahora el mínimo de ∆. I.e. debemos hacer

∂∆
2z
2z
= n  21
+ 21
2
2
2
∂z
 x + yS + z
( x − x p ) 2 + y P2 + z 2

∂∆ ∂∆
y
∂x
∂z

=0


De esta ecuación surge la primera Ley de Reflexión : El rayo incidente y el reflejado
están en el mismo plano.

∂∆
2( x − x P )
2x
1
= n  21
+
2
∂x
 x 2 + y S2 + z 2
( x − x p ) 2 + y P2 + z 2


=0


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Reemplazando z=0 en esta ecuación se obtiene :
x
x 2 + y S2
=−
(x − xP )
( x − x p ) 2 + y 2P
sin i = - (-sin i’)
que es la segunda ley de reflexión : El ángulo de incidencia y reflexión son iguales.
Hemos deducido la ley de reflexión de un espejo plano a partir del mínimo de camino
óptico. Sin embargo es fácil ver que no siempre el camino óptico es mínimo. A veces es máximo
∂∆
y a veces no es máximo ni mínimo (pero no adopta cualquier valor). Veamos. Al decir
= 0,
∂x
hallamos un valor de x para el cual la función ∆ toma un valor estacionario, i.e. máximo, mínimo
o punto de inflexión ⇒ en su forma moderna, el Principio de Fermat dice
Al ir un rayo de luz del punto S al P, debe recorrer un camino óptico que es estacionario
Es decir :
La trayectoria verdadera será igual, en primera aproximación, a las trayectorias adyacentes a ella.
Supongamos que en un medio isótropo, un rayo de luz pasa del punto S al P y tenemos un
espejo elíptico tal que S y P son los focos de la elipse.
En este caso, los caminos son iguales para todo
rayo que va de S a P y se refleja en el espejo.
Para cualquier punto M sobre la elipse, serán
i=i’ (es una propiedad de la elipse) y todos los
rayos que salgan de S y se reflejen en el espejo
elíptico llegarán a P. Si dibujamos la tangente a
la elipse que pasa por el punto M, vemos que, si
ponemos un espejo plano coincidente con la
tangente, el camino que recorre el rayo para ir
de S a P es el indicado en la figura y que este
camino es el mínimo entre S y P reflejándose en
el espejo plano. Análogamente si el espejo
fuera cóncavo de una concavidad mayor que la
de la elipse, el camino sería el máximo
Veamos ahora si existe relación entre el Principio de Mínima Acción visto en Mecánica y
el Principio de Fermat. Recordemos que Maupertuis definió la acción como el impulso
multiplicado por la trayectoria, es decir, la acción de una partícula de masa m con velocidad v
para ir de S a P está dado por
P
A = ∫ m v dl
y estableció que era un mínimo (en realidad es un extremo).
S
Como ejemplo simple consideró el problema de la reflexión, ya que suponía que el
principio de Mínima Acción gobernaba todos los fenómenos. Maupertuis pensó que así se podría
hacer una síntesis entre la Óptica y la Mecánica.
Con la incorporación de la Óptica al Electromagnetismo, se aplicaba la Mecánica al
movimiento de partículas y cuerpos, y el Electromagnetismo a campos y a las ondas de luz.
A principios del siglo XX, después de Planck (la emisión de luz se realiza por cuantos de
emisión, E=n h ν) y de Einstein (postula la existencia de fotones tal que E=hν), De Broglie
postula el carácter ondulatorio de la materia y le asigna parámetros característicos:
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!
mv
E
ν=
!
v=λν
λ=
Esto permite relacionar el Principio de Mínima Acción y el Principio de Fermat ya que
c
c
c
c
n= =
=
mv = mv
v λν hν
E
P
Entonces
P
c
∫ n dl = E ∫ m v dl
S
S
Las trayectorias posibles del corpúsculo son idénticas a los rayos posibles de la onda
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PRISMAS
La mayoría de los prismas son de hecho o por efecto prismas de bases triangulares.
Sólo las caras refractantes AB y AC son de significación; la cara BC puede ser reemplazada por
una superficie de cualquier forma, y en principio la naturaleza de la base carece de importancia.
Las caras refractantes no necesitan intersecarse físicamente, pero la línea de intersección de sus
planos se llama arista refringente y el ángulo entre ellos ángulo refringente o ángulo del prisma
α. Una sección plana perpendicular a la arista del prisma se llama sección principal. Como ésta es
perpendicular a ambas caras, sigue de la ley de Snell que un rayo incidente en una sección
principal permanece sobre la sección mientras atraviesa el prisma.
La desviación de un rayo (θ), depende del ángulo de incidencia i. Se puede probar
geométricamente que el ángulo de desviación alcanza un mínimo cuando el ángulo de incidencia
es igual al ángulo de emergencia. Para ese ángulo de incidencia tal que la desviación es mínima
se obtiene
sin 21 (α + θmin )
n=
sin 21 α
Si los ángulos son pequeños, resulta que el ángulo de desviación es independiente del ángulo de
incidencia y vale
θ = θmin = (n − 1)α
Como el índice de refracción de un prisma varía con la longitud de onda de la luz, la luz
incidente sobre un prisma en una dada dirección se desvía en un ángulo que depende de la
longitud de onda. Así un prisma sirve para separar las diversas longitudes de onda emitidas por
una fuente. (La dispersión angular dθ/dλ varía aproximadamente como λ3).
Si bien es válido para todos los prismas, vemos fácilmente que el ángulo de desviación es
directamente proporcional al índice de refracción, y éste a su vez es inversamente proporcional a
una potencia positiva de la longitud de onda: a mayor longitud de onda, menor desviación.
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ESPEJOS PLANOS
En primer lugar veamos las condiciones que se deben cumplir para poder ver la imagen
de una fuente puntual P formada sobre un espejo plano. Está claro que es condición necesaria que
el ojo esté en el semiespacio superior del espejo, ya que al ojo deben llegar por lo menos algunos
rayos provenientes de la fuente y reflejados en el espejo. También vemos que no es necesario que
la fuente esté enfrente del espejo.
Probemos ahora que la imagen está en la línea que pasa por la fuente y es perpendicular al
plano del espejo, a una distancia del plano del espejo igual a la de la fuente al espejo; es decir es
simétrica respecto del plano del espejo. Para ello dibujemos 3 rayos provenientes de P que se
reflejan en el espejo; uno perpendicular al espejo (sólo para hacer más sencilla la demostración) y
otros dos cualesquiera
ϑ2 = ϑ '2
Por las leyes de reflexión dibujamos los rayos reflejados: ϑ1 = ϑ '1
Buscamos las distancias h’ y h”, es decir la distancia de los rayos 1 y 2 sobre la perpendicular al
espejo que pasa por la fuente P.
d
d
tg ϑ 1 = 1
tg ϑ 2 = 2
h
h
⇒ h = h' = h' '
d
d
tg ϑ1' = 1
tg ϑ2' = 2
h'
h' '
y como estos rayos son genéricos, P’≡
≡P” y tendremos que para cualquier ángulo la intersección
con la perpendicular que pasa por P estará a una distancia h del espejo.
¿Qué sucede si tenemos dos espejos?¿Cuántas imágenes se formarán? Veamos que depende de la
posición de la fuente y del ángulo entre los espejos.
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De esta misma manera se puede probar que el tamaño de la imagen de un objeto finito es igual al
tamaño del objeto. Sin embargo, existe una inversión derecha-izquierda que es fácil de entender
si dibujamos un sistema unitario de ejes coordenados (terna derecha) y buscamos su imagen en el
espejo. Al reflejarse, la terna derecha se convierte en terna izquierda.
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DIOPTRAS ESFÉRICAS
En este curso consideraremos sólo dioptras planas y esféricas. La notación que usaremos
no es la usual en los libros clásicos de texto. Sin embargo, tiene la virtud de ser de aplicabilidad
universal y rápidamente se verán sus ventajas. La gran ventaja es que las fórmulas para dioptras
son las mismas para cualquier tipo de dioptra y que usaremos un sistema de coordenadas
cartesiano.
Para describir la refracción de rayos de luz a través de una dioptra, establecemos la
siguiente convención de signos
1. La luz incide desde la izquierda.
2. El eje de coordenadas horizontal x pasa por el centro de curvatura de la dioptra y tiene su
origen en el vértice de la misma.
3. El sentido positivo del eje x es hacia la derecha
4. Las coordenadas transversales y son positivas hacia arriba
5. Los ángulos que forman los rayos se miden del eje al rayo y son positivos en sentido
antihorario.
6. Los radios de las dioptras son positivos cuando la superficie es convexa y negativo en caso
contrario. Esto es equivalente a decir que los radios se miden desde el vértice de la dioptra al
centro de curvatura.
Además consideraremos aproximación paraxial, i.e. los ángulos son suficientemente
pequeños como para que valga para todos ellos que el seno es igual a la tangente e igual al
ángulo.
Bajo estas condiciones, en todas las dioptras esféricas se cumple:
n' n
1
− = (n'− n)
s' s
R
Definimos :
foco objeto : objeto puntual cuya imagen se forma en el infinito
foco imagen : imagen de un objeto puntual ubicado en el infinito
f = distancia focal objeto = distancia del vértice de la dioptra al foco objeto
f’ = distancia focal imagen = distancia del vértice de la dioptra al foco imagen
En consecuencia
n' n
1 n'
n
− = ( n '− n ) =
=−
s' s
R f'
f
y tanto f como f’ dependen no sólo del radio de curvatura de la dioptra sino también del índice de
refracción relativo
f ' = (1 −
n
)R
n'
f = (1 −
n'
)R
n
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Así en las dioptras
n
n
f '( ) ≠ f ( )
n'
n'
Φ = potencia de una lente =
m = aumento lateral =
n'
n
= − : depende de los parámetros constructivos de la dioptra
f'
f
n s'
: depende de los parámetros constructivos de la dioptra y de la
n' s
posición del objeto
γ = aumento angular =
u' s
= : depende de los parámetros constructivos de la dioptra y de la
u s'
posición del objeto
Estas fórmulas son válidas para los espejos esféricos, si reemplazamos n’ por -n :
1 1 2
1
1
+ = =
=−
s' s R f '
f
Así en los espejos esféricos
f ' = f ≠ funcion (n)
LENTES DELGADAS
Constan de dos dioptras: si la primer dioptras transforma puntos en otros puntos y la
segunda a éstos en otros puntos. Así la lente dará de cada punto del objeto en el espacio objeto,
otro punto en el espacio imagen. Consideraremos además que el espesor de la lente es
despreciable frente a las demás variables (radios de curvatura, distancias focales, distancias
objeto e imagen, etc.).
n" n
1
1
n"
n
− = ( n '− n )
+ (n"− n' )
=
=−
s' s
R1
R2
f'
f
Si n ≠ n”
f ' ≠ f : funciones (
n' n '
, )
n n
Si la lente está rodeada del mismo medio de índice n = n”
1 1
n'
1
1
1
1
− = ( − 1)(
−
)=
=−
s' s
n
R1 R 2
f'
f
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Si n = n”
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n'
f ' = f : funciones ( )
n
Si la lente está en aire
1 1
1
1
1
1
− = (n'−1)(
−
)=
=−
s' s
R1 R 2
f'
f
Fórmula del constructor de las lentes
Construcciones gráficas
Sabemos que bajo nuestras condiciones, todos los rayos que salen del punto objeto se
vuelven a cruzar en el punto imagen. Nos basta trazar dos rayos que salen del objeto para
encontrar al punto imagen. Gráficamente hay dos rayos fáciles de trazar:
1. El rayo que incide paralelo al eje pasando por el punto objeto saldrá pasando por el foco
imagen.
2. El rayo que pasa por el punto objeto y el foco objeto saldrá paralelo al eje.
La intersección de ambos nos da el punto imagen y todos los demás rayos que pasan por
el punto objeto pasarán por el punto imagen.
En caso que los índices en los espacios objeto e imagen sean iguales ( n=n”) , existe un
tercer rayo fácil de trazar y es el que pasa por la lente en el origen de coordenadas (centro
óptico) y no se desvía. Esto se debe a que son lentes delgadas y que el medio que rodea a la lente
es único.
Es inmediato que en las dioptras esféricas, si un haz de rayos paralelos incide con una
cierta inclinación, la imagen se formará en un punto que correspondería al foco imagen con la
dioptra girada alrededor del centro de curvatura, es decir que existe un arco de circunferencia al
que corresponderían focos imagen. Como consideramos aproximación paraxial, este arco de
circunferencia es aproximadamente su tangente y se lo llama plano focal imagen. Análogamente
existe un plano focal objeto. Pensando a la lente como dos dioptras esféricas resulta entonces
evidente que se puede hablar de plano focal imagen y plano focal objeto y que todo haz de
rayos paralelos que incide formando un cierto ángulo con el eje óptico, formará una imagen
puntual en un punto del plano focal imagen.
Estamos ahora en condiciones de trazar cualquier rayo que provenga de un objeto y que
forme imagen a través de una lente delgada inmersa en un medio.
Resumiendo :
1. El rayo que incide paralelo al eje pasando por el punto objeto saldrá pasando por el foco
imagen.
2. El rayo que pasa por el punto objeto y el foco objeto saldrá paralelo al eje.
3. El rayo que pasa por el centro óptico de la lente no se desvía
4. Todo haz de rayos paralelos va a focalizarse en el mismo punto del plano focal imagen.
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