TEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS.

3º ESO
Tema 7
TEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS.
1. SUCESIONES NUMÉRICAS.
Imaginemos el recorrido que efectúa un balón que se ha lanzado al suelo y midamos las distancias entre bote
y bote:
Las distancias forman una sucesión de números: 40, 35, 30, 25, ….
Una SUCESIÓN NUMÉRICA es un conjunto ordenado de números, que se llaman TÉRMINOS de la sucesión.
Cada término se representa por una letra y un subíndice que indica el lugar que ocupa dentro de ella.
En nuestro ejemplo, tenemos:
a1 = 40 ,
a 2 = 35 , a 3 = 30 , a 4 = 25 , .....
Aquí, la distancia recorrida en cada bote es 5 cm. menor que la anterior. Podemos calcular así más términos
de la sucesión: 40, 35, 30, 25, 20, 15, …
Esta sucesión tiene un número finito de términos. Se dice que es una SUCESIÓN FINITA.
Las que tienen infinitos términos se dicen SUCESIONES INFINITAS.
Un ejemplo de una sucesión infinita sería la formada por los cuadrados perfectos:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, …..
EJERCICIO 1. Escribe los 10 primeros términos de las sucesiones formadas por:
a) Los números pares : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
b) La suma de cada natural y su cuadrado: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110
EJERCICIO 2. Completa los términos que faltan en las siguientes sucesiones:
a) 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32
c) 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36 , 45, 55
b) 105, 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70
d) 1, 8, 27, 64, 125, 216
2. TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN.
El TÉRMINO GENERAL ( ó TÉRMINO n-ÉSIMO ) ,
a n , de una sucesión es una fórmula que nos permite
calcular cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupa.
Por ejemplo, en la sucesión de los cuadrados perfectos, cada término se obtiene elevando al cuadrado el
lugar que ocupa en ella:
a1 = 12 = 1 ,
a 2 = 2 2 = 4 , a 3 = 3 2 = 9 , a 4 = 4 2 = 16 , .....
En esta sucesión, el término general será:
an = n 2
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3. CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN.
Dados los términos de una sucesión, para calcular su término general tenemos que buscar una regla que
relacione el valor de cada término con el lugar que ocupa en la sucesión. Para hallar esta relación debemos
descomponer los términos en expresiones numéricas que tengan la misma estructura dependiendo del lugar
que ocupan.
EJEMPLO:
Consideremos la siguiente sucesión: 2, 5, 10, 17, 26, 37…..
Para calcular el término general nos ayudamos de la siguiente tabla:
LUGAR
1
2
3
4
5
6
….
n
…
TÉRMINO
2=12+1
5=22+1
10=32+1
17=42+1
26=52+1
37=62+1
….
n2+1
…
Una vez que tenemos el término general, podemos calcular cualquier término de la sucesión, por ejemplo:
a10 = 102+1=100+1=101
A veces no es posible obtener una fórmula para el término general, y otras veces no se consigue de forma
inmediata.
EJERCICIO 3. A partir del término general, calcula los 4 primeros términos y el término centésimo de cada
una de estas sucesiones:
n −1
n +1
a)
a n = n + 20
c)
cn =
b)
bn = n 2 + 4
d)
d n = (−1) n .
1
n +1
e)
en =
1
n +1
f)
fn =
n2 −1
n2 +1
2
EJERCICIO 4. Calcula el término general de las siguientes sucesiones:
a) 11, 13, 15, 17, 19, 21, …: an=2n+9
e) 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ….: an=(n+1)2
b) 1, 8, 27, 64, 125, … : an=n3
f) 10, 12, 14, 16, 18, 20, …..: an=2n+8
4. SUCESIONES RECURRENTES.
Una SUCESIÓN es RECURRENTE cuando todos sus términos se pueden calcular a partir de uno dado.
La fórmula mediante la cual se pueden calcular los términos se llama LEY DE RECURRENCIA.
EJEMPLO:
a n = a n −1 + n
Si sólo nos dan esta fórmula no podemos hacer nada. Pero si se añade el dato:
podemos obtener el resto de los términos de la sucesión:
a 2 = a1 + 2 = 4 + 2 = 6 , a 3 = a 2 + 3 = 6 + 3 = 9 , .....
La ley de recurrencia sería:
a1 = 4 ; a n = a n −1 + n
2
a1 = 4 , entonces ya
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5. PROGRESIONES ARITMÉTICAS.
Una PROGRESIÓN ARITMÉTICA es una sucesión recurrente en la que cada término, a excepción del
primero, se obtiene sumando al anterior un mismo número, d, que se llama DIFERENCIA DE LA
PROGRESIÓN.
EJEMPLO:
1,3,5,7…..
a1 = 1 ; a n = a n−1 + 2
2, 6, 10, 14, 18, ……
a1 = 2 ; a n = a n−1 + 4
6. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
Vamos a calcular el término general del 2º ejemplo, donde
a1 = 2 y d = 4 , y a partir de él determinar el de
una progresión aritmética cualquiera:
ejemplo
caso general
a1 = 2
a1
a2 = 2 + 4 = 6
a 2 = a1 + d
a 3 = 6 + 4 = 2 + 4 + 4 = 2 + 2.4 = 10
a 3 = a 2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
a 4 = 10 + 4 = 2 + 2.4 + 4 = 2 + 3.4 = 14
a 4 = a 3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
........
........
a n = 2 + (n − 1).4 = 2 + 4n − 4 = 4n − 2
a n = a1 + (n − 1).d
El TÉRMINO GENERAL de una PROGRESIÓN ARITMÉTICA que tiene como primer término
a1 y como
diferencia d , se obtiene mediante la siguiente fórmula:
a n = a1 + (n − 1).d
EJEMPLO:
a1 = 1 ; d = 2 ⇒ a n = 1 + (n − 1).2 = 1 + 2n − 2 = 2n − 1
7. SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
Voy a considerar la progresión aritmética: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ….
La suma de sus 6 primeros términos se puede expresar de 2 formas:
Colocando una expresión sobre la otra y sumando ambas expresiones se tiene:
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De donde se obtiene:
2 S = 6.14 = 84 ⇒ S =
84
= 42
2
Este proceso se puede generalizar para calcular la suma, S n , de los primeros
n términos de una progresión
aritmética cualquiera:
Al igual que en el ejemplo anterior, todos los sumandos son iguales, y por tanto:
2 ⋅ S n = n.(a 1 + a n ) ⇒ S n =
La SUMA de los
n ⋅ (a 1 + a n )
2
n primeros términos de una progresión aritmética de término general a n es:
Sn =
n ⋅ (a 1 + a n )
2
EJEMPLO:
Suma de los 50 primeros números pares:
S 50 =
50 ⋅ (2 + 100 ) 50.102
=
= 2550
2
2
Suma de los 20 primeros términos de la sucesión
a1 = 5 y d = 6 :
a n = 5 + (n − 1).6 = 5 + 6n − 6 = 6n − 1 ⇒ a 20 = 6.20 − 1 = 120 − 1 = 119
S 20 =
20 ⋅ (5 + 119 ) 20.124
=
= 1240
2
2
8. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.
Una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA es una sucesión recurrente en la que cada término, a excepción del
primero, se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número, r , que se llama RAZÓN DE LA
PROGRESIÓN.
EJEMPLO:
2, 6, 18, 54, 162,……
a1 = 2 ; a n = a n −1 ⋅ 3
1, 4, 16, 64, 256, ……
a1 = 1 ; a n = a n −1 ⋅ 4
Se puede calcular la razón de la progresión dividiendo un término entre el anterior. De la misma forma, para
comprobar si una sucesión es una progresión geométrica, basta con dividir cada término entre el anterior y
comprobar si se obtiene el mismo valor:
r=
a
a 2 a3 a 4
=
=
= ...... = n
a1 a 2 a3
a n −1
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TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Vamos a calcular el término general del 2º ejemplo, donde
a1 = 1 y r = 4 , y a partir de él determinar el
de una progresión geométrica cualquiera:
ejemplo
caso general
a1 = 1
a1
a2 = 1⋅ 4 = 4
a 2 = a1 ⋅ r
a 3 = 4 ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 2 = 16
a 3 = a 2 ⋅ r = a1 ⋅ r ⋅ r = a1 ⋅ r 2
a 4 = 16 ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 2 ⋅ 4 = 1 ⋅ 4 3 = 64
a 4 = a 3 ⋅ r = a1 ⋅ r 2 ⋅ r = a1 ⋅ r 3
........
........
an = 1 ⋅ 4
n −1
a n = a1 ⋅ r n −1
El TÉRMINO GENERAL de una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA que tiene como primer término
como razón
a1 y
r , se obtiene mediante la siguiente fórmula:
a n = a1 ⋅ r n−1
EJEMPLO:
a1 = 3 y r = 3
⇒ a n = 3 ⋅ 3 n −1 = 31+ n −1 = 3 n
10. SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Voy a considerar la P.G. dada por
a1 = 3 y r = 2 : 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ….
La suma de sus 7 primeros términos es:
Multiplicamos esta expresión por la razón 2, y a ella le restamos esta igualdad:
Despejamos la suma en esta última igualdad y se obtiene:
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Este proceso se puede generalizar para calcular la suma,
S n , de los primeros n términos de una
progresión geométrica cualquiera:
Al igual que en el ejemplo, se extrae factor común y se despeja:
La SUMA de los
n primeros términos de una progresión geométrica de término general a n es:
Sn =
r ⋅ a n − a1
r −1
EJEMPLO. Suma de los 6 primeros términos de la PG dada por
a 6 = a1 ⋅ 2 6−1 = 1 ⋅ 32 = 32
S6 =
2 ⋅ a 6 − a1 2 ⋅ 32 − 1
=
= 64 − 1 = 63
2 −1
1
11.
6
a1 = 1 y r = 2 :