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MATEMÁTICAS - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA
PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS DE GRADO SUPERIOR
SOLUCIONES 08
 1.- Calcula los ángulos entre 0º y 360º que tengan la misma tangente que el ángulo de
1450º.
Dividimos 1450 entre 360. El cociente es el número de vueltas completas que hemos dado
desde el punto inicial (0º). El resto es el ángulo menor que 360º que equivale al ángulo de
1450º:
1 4 5 0
0 1 0
3 6 0
4
Luego el ángulo 1450º equivale al ángulo de 10º.
Hay otro ángulo que tiene la misma tangente que el ángulo de 10º,
es el ángulo 10+180 = 190º
SOLUCIÓN: Los ángulos 10º y 190º tienen la misma tangente que el ángulo de 1450º.
 2.- En un hospital se quiere estimar el peso de las niñas recién nacidas. Para ello se
seleccionan, de manera aleatoria, cien de éstas, obteniéndose los siguientes resultados:
Intervalos
(kg)
Nº de niñas
[1 ; 1,5)
[1,5 ; 2)
[2 ; 2,5)
[2,5 ; 3)
[3 ; 3,5)
[3,5 ; 4)
[4 ; 4,5)
[4,5 ; 5)
1
2
5
20
40
26
5
1
Calcule:
a) La media, la moda, la mediana y la desviación típica.
b) El porcentaje de niñas con un peso superior a 3kg
(Exprese todos los resultados redondeados a las centésimas)
Ya tenemos la tabla con la frecuencia absoluta que nos da el enunciado. Para organizarnos
mejor, la ponemos en vertical.
Tenemos que añadir la marca de clase xi que es el valor representativo del intervalo y que
se halla calculando el valor intermedio de cada intervalo.
Para calcular la media hacemos también la columna xi · ni que nos permite hallar la suma
que acumula cada uno de los valores de la variable (marca de clase).
Para calcular la mediana creamos la columna con las frecuencias absolutas acumuladas.
Para calcular el porcentaje creamos la columna de frecuencia relativa, porcentaje de
frecuencias y frecuencias relativas acumuladas.
Para calcular la desviación típica tenemos que calcular la varianza (la desviación típica es
la raíz cuadrada de la varianza).
Para ello creamos las columnas con las desviaciones xi  x , las desviaciones al

cuadrado xi  x


2
y la suma de desviaciones al cuadrado que acumula cada marca

2
de clase xi  x ni
MATEMÁTICAS. PREPARACIÓN PRUEBA ACCESO G.S.
SOLUCIONES 08 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA
SOLUC 08 1
Intervalos
(kg)
[1; 1,5)
Marca
de
clase
Nº de niñas
(Frecuencia
absoluta)
Frecuencia
relativa
Porcentaje
de
frecuencia
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada
xi
ni
fi
%
Ni
Fi
1,25
1
1%
1
0,01
1,25·1=
2%
3
0,03
1,75·2=
5%
8
0,08
2,25·5 =
20%
28
0,28
2,75·20=
40%
68
0,68
3,25·40 =
26%
94
0,94
3,75·26 =
5%
99
0,99
4,25·5 =
1%
100
1
4,75·1 =
1/100=
0,01
[1,5 ; 2)
2
1,75
2/100=
0,02
[2 ; 2,5)
5
2,25
5/100=
0,05
[2,5 ; 3)
20
2,75
20/100=
0,20
[3 ; 3,5)
40
3,25
40/100=
0,40
[3,5 ; 4)
26
3,75
26/100=
0,26
[4 ; 4,5)
5
4,25
5/100=
0,05
[4,5 ; 5)
1
4,75
1/100=
0,01
N = 100
1
100%
Suma
acumulada
para cada
valor
(marca de
clase)
xi · n i
1,25
3,50
11,25
55,00
130,00
97,50
21,25
4,75
325,00
Media:
x =
325
= 3,25kg
100
Mediana:
Calculamos el lugar central:
N
100
=
= 50 y N + 1 = 51
2
2
Vemos cuales son las marcas de clase que ocupan los lugares 50 y 51:
Ambos se encuentran en el intervalo [3 ; 3,5), representado por la marca
de clase 3,25.
Luego: Me = 3,25kg
N = 100  par  lugares centrales:
Moda:
Es el valor con mayor frecuencia. Es el intervalo [3 ; 3,5), representado por
la marca de clase 3,25.
Luego: Mo = 3,25.
También podemos decir que el intervalo o clase modal es: [3 ; 3,5)
Porcentaje de niñas con un peso superior a 3kg:
Observamos que la frecuencia relativa acumulada hasta el valor 3kg es 0,28, lo que en
porcentaje equivale al 28%. El resto hasta 100% pesan más de 3kg, luego:
100 – 28 = 72%
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SOLUCIONES 08 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA
SOLUC 08 2
Intervalos
(kg)
Marca
de
clase
Nº de niñas
(Frecuencia
absoluta)
Desviación de cada
marca de clase
xi
ni
xi  x
[1; 1,5)
1,25
1
1,25–3,25=
[1,5 ; 2)
1,75
2
1,75–3,25=
Desviaciones
al cuadrado de
cada marca de
clase
x
i
x

2
Suma acumulada
para cada
desviación al
cuadrado
x
 x ni
(1,25–3,25)2 =
4,00·1=
(1,75–3,25)2=
2,25·2=
5
2,25–3,25=
(2,25–3,25)2=
1,00·5 =
20
2,75–3,25=
(2,75–3,25)2=
0,25·20=
40
3,25–3,25=
(3,25–3,25)2=
0,00·40 =
(3,75–3,25)2=
0,25·26 =
2,00
1,50
4,00
2,25
4,00
4,50
[2 ; 2,5)
2,25
[2,5 ; 3)
2,75
[3 ; 3,5)
3,25
[3,5 ; 4)
3,75
26
3,75–3,25=
[4 ; 4,5)
4,25
5
4,25–3,25=
(4,25–3,25)2=
1,00·5 =
[4,5 ; 5)
4,75
1
4,75–3,25=
(4,75–3,25)2=
2,25·1 =
1,00
0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
1,00
0,25
0,00
0,25
1,00
2,25
N = 100
Varianza:  2 =

2
i
5,00
5,00
0,00
6,50
5,00
2,25
32,25
Suma de los cuadrados de las desviaciones
32,25
=
= 0,3225
Número total de datos
100
Desviación típica:  =
Varianza =
0,3225 = 0,57
(recuerda que hay que redondearlo a las centésimas)
SOLUCIONES
a)
Media = 3,25kg
Mediana = 3,25kg
Moda = 3,25kg (Intervalo o clase modal = [3 ; 3,5))
Desviación Típica = 0,57
b)
Porcentaje de niñas con un peso superior a 3kg = 72%
 3.- Un instalador de alarmas explica a un cliente que la probabilidad de que la alarma que
está instalando funcione correctamente es de un 90%. El cliente no se queda satisfecho y
desea instalar, además del anterior, otro sistema con una fiabilidad del 95%. Si entra un
ladrón:
a) ¿Qué probabilidad hay de que las dos alarmas funcionen correctamente?
b) ¿Qué probabilidad hay de que funcione correctamente alguna de las dos alarmas.
c) ¿Qué probabilidad hay de que no funcionen ninguna de las dos alarmas?
Utilizamos el diagrama de árbol. Llamamos A1 a la primera alarma y A2 a la segunda.
En la primera ramificación determinamos si funciona o no la A1 (A1SÍ o A1NO). Para
ambos casos abrimos dos ramificaciones en las que determinamos si funciona o no la
alarma 2 (A2SÍ o A2NO)
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SOLUCIONES 08 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA
SOLUC 08 3
0,95
A2SÍ
A1SÍ Y A2SÍ = 0.90 · 0,95 = 0,855
0,05
A2NO
A1SÍ Y A2NO = 0,90 · 0.05 = 0,045
0,95
A2SÍ
A1NO Y A2SÍ = 0,10 · 0,95 = 0,095
0,05
A2NO
A1NO Y A2NO = 0,10 · 0,05 = 0,005
A1SÍ
0,90
A1NO
0,10
A) La probabilidad de que funcionen las dos alarmas (A1SÍ Y A2SÍ) es de 0,855 (85,50%)
B) La probabilidad de que funcione correctamente alguna de las dos alarmas se
obtiene sumando las probabilidades de los tres primeros casos (solo en el último
sale que no funciona ninguna): 0,855 + 0,045 + 0,095 = 0,995 (99,50%)
C) La probabilidad de que no funcione ninguna se refiere al último caso: 0,005
(0,50%)
SOLUCIONES
a) 0,855 = 85,50%
b) 0,995 = 99,50%
c) 0,005 = 0,50%
 4.- Opera y simplifica:
x 
x 


x + x - 1 : x - x - 1




En primer lugar resolvemos los paréntesis.
En ambos paréntesis tenemos que el denominador común es x - 1:
Primer paréntesis:
x+
x
x (x - 1)
x
x2 - x
x
x2 - x + x
x2
=
+
=
+
=
=
x-1
x-1
x-1
x-1
x-1
x-1
x-1
Segundo paréntesis:
x-
x
x (x - 1)
x
x2 - x
x
x2 - x - x
x2 - 2x
=
=
=
=
x-1
x-1
x-1
x-1
x-1
x-1
x-1
Luego:
x2 (x - 1)
x 
x 
x2
x2 - 2x
x2


=
x + x - 1 : x - x - 1 = x - 1 : x - 1 =
2
x - 2x
(x - 1) (x2 - 2x)




y dividiendo numerador y denominador por x:
x2
x

x - 2x x - 2
2
SOLUCIÓN:
x 
x 
x


x + x - 1 : x - x - 1 = x - 2




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SOLUC 08 4