Tema 4. Modelos multivariantes recursivos. Variables exógenas

Tema 4. Modelos multivariantes recursivos. Variables
exógenas. Modelos uniecuacionales.
1.
2.
3.
4.
El Modelo VAR(p) estacionario.
Causalidad en sentido de Granger.
Estimación de modelos VAR
Modelos VAR con variables exógenas.
Modelo VAR recursivos.
Modelos uniecuacionales dinámicos:
Multiplicadores de impacto y de largo
plazo
1. Modelo VAR(p) estacionario.
Causalidad en sentido de Granger.
Objetivo: Describir las relaciones dinámicas
entre dos o más variables económicas
recogidas en el vector Wt de dimensión
nx1.
La popularidad de los modelos VAR para
modelizar sistemas dinámicos de variables
económicas es debida a Sims (1980) que
critica a los modelos econométricos
estructurales.
Vamos a considerar, por ejemplo, el siguiente
modelo para un sistema bivariante de dos
variables:
w1t = β1w2t + α11w1t −1 + α12 w2t −1 + u1t
w2t = β 2 w1t + α 21w1t −1 + α 22 w2t −1 + u 2t
Si intentamos estimar cada una de estas dos
ecuaciones por MCO, los estimadores serán no
consistentes dado que existe correlación entre los
regresores y la perturbación.
E[ w2t u1t ] = E[( β 2 w1t + α 21w1t −1 + α 22 w2t −1 + u 2t )u1t ] =
= β 2 E[ w1t u1t ] = β 2 E[ w1t ( β1w2t + α11w1t −1 + α12 w2t −1 + u1t )] =
β 2 E[u12t ]
El problema surge por una falta de
identificación de las relaciones
contemporáneas.
Una alternativa para poder estimar es
restringir de forma adecuada los
parámetros del modelo:
i) Imponer restricciones sugeridas por la
Teoría Económica
ii) Trabajar con modelos de series
temporales
Para esta segunda opción vamos a considerar la
siguiente expresión alternativa del modelo
anterior:
 1
− β
 2
− β1   w1t  α11 α12   w1t −1   u1t 
=
+ 






1   w2t  α 21 α 22   w2t −1  u2t 
BWt = AWt −1 + U t
−1
−1
Wt = B AWt −1 + B U t
Wt = Φ1Wt −1 + ε t
Vamos a ver como son las perturbaciones del nuevo
modelo:
 ε1t   1
ε  = − β
 2t   2
−1
− β1   u1t 
1
1
=



1  u2t  1 − β1 β 2  β 2
ε1t =
ε 2t =
1
1 − β1 β 2
1
1 − β1 β 2
β1   u1t 
1  u2t 
(u1t + β1u2t )
( β 2u1t + u2t )
La covarianza entre ε1t y ε 2t
cuando β1 = β 2 = 0
solo será cero
En este último modelo la relación
contemporánea aparece modelizada como
covarianza entre las perturbaciones en
lugar de aparecer explícitamente en el
modelo. Se pierde la relación de
causalidad.
El modelo VAR(p) viene dado por:
Wt = C + Φ1Wt −1 + ... + Φ pWt − p + at
donde
E (at ) = 0
 0, t = s
E (at a ) = 
Ω, t ≠ s
'
s
y Ω es una matriz simétrica definida positiva.
Ejemplo: Modelo VAR(1) para un sistema bivariante
 w1t  φ11 φ12   w1t −1   a1t 
+ 
 w  = φ



 2t   21 φ22   w2t −1  a2t 
Cada variable aparece regresada en su propio
pasado y en el pasado de las demás variables.
Todas las regresiones tienen las mismas variables
explicativas.
w1t = φ11w1t −1 + φ12 w2t −1 + a1t
w2t = φ21w1t −1 + φ22 w2t −1 + a2t
En un modelo VAR las relaciones contemporáneas entre las
variables del sistema se recogen en la matriz Ω .Dichas
relaciones no representan relaciones de causalidad.
σ 12 σ 12 
Ω=
2
σ
σ
 12
2 
Cuando σ 12 = 0 no hay relaciones contemporáneas entre las
variables w e w
1t
2t
El modelo VAR(p) puede escribirse
alternativamente como
( I − Φ1 L − ... − Φ p Lp )Wt = C + at
El modelo es estacionario si las raíces de la
ecuación | I − Φ1 x − ... − Φ p x p |= 0 son estrictamente
mayores que uno en módulo.
El modelo VAR(p) puede estimarse
consistentemente ecuación por ecuación. Si hay
un componente de MA, la estimación debe
realizarse por MV.
Ejemplo:
 w1t  0.5 0.2  w1t −1   a1t 
 w  = 0.8 0.3  w  + a 
  2t −1   2t 
 2t  
1 − 0.5 x − 0.2 x 
I − Φ1 x = 

 − 0.8 x 1 − 0.3 x 
| I − Φ1 x |= (1 − 0.5 x)(1 − 0.3x) − 0.16 x 2 = 1 − 0.8 x − 0.01x 2
1 − 0.8 x − 0.01x 2 = 0
− 81.23
x=
 1.23
Causalidad en sentido de Granger
En un sistema bivariante, la variable w1t no causa a
la variable w2t en el sentido de Granger si para
todo s>0, el error cuadrático medio (ECM) de la
predicción de w2t + s dado ( w21 ,...., w2t ) es el mismo
que el ECM de la predicción de w2t + s dado
( w11 ,..., w1t , w21 ,...., w2t )
La causalidad en el sentido de Granger es mejor
interpretarla en el sentido de predicción que en el
de causalidad propiamente dicha.
Para contrastar la causalidad de Granger se realiza
el siguiente contraste
w2t = c + α1w2t −1 + ... + α p w2t − p + β1w1t −1 + ... + β p w1t − p + ε t
H 0 : β1 = ... = β p = 0
En un modelo VAR, la no causalidad en sentido de
Granger significa que todas las matrices Φ i son
triangulares.
Ejemplo: En el modelo VAR(1) anterior
 w1t  φ11 φ12   w1t −1   a1t 
 w  =  0 φ   w  + a 
 2t  
 2t 
22   2 t −1 
2. Estimación
La estimación del modelo VAR(p) puede hacerse
por Máxima Verosimilitud estimando el sistema
completo. Sin embargo, dado que no existen
componentes de Medias Móviles, la estimación
MCO ecuación por ecuación es consistente y
asintóticamente normal si se cumple una de las
siguientes condiciones:
i)
no hay parámetros iguales a cero en el modelo
(todas las ecuaciones tienen las mismas
variables).
ii)
La matriz de varianzas y covarianzas de la
perturbación es diagonal.
3. Modelos VAR con variables exógenas.
Modelos recursivos.
El objetivo de la exogeneidad es simplificar el
análisis econométrico para reducir el número de
ecuaciones que tenemos que considerar en el
sistema. Una variable es exógena cuando el
análisis que se pretende realizar, puede hacerse
sin necesidad de modelizar expresamente la
ecuación de dicha variable.
Vamos a considerar dos tipos de exogeneidad:
1) Exogeneidad débil cuando el objetivo es la
predicción de parámetros.
2) Exogeneidad fuerte cuando el objetivo es la
predicción.
Decimos que hay exogeneidad débil cuando los
parámetros en λ y λ2
son de variación libre y
1
no tiene elementos comunes. Además, los
parámetros que queremos estimar solo dependen
de λ1
Para que haya exogeneidad fuerte, además de las
dos condiciones anteriores, no debe haber
causalidad en sentido de Granger. En este caso,
f (Yt , Z t | Y , Z , λ ) = f (Yt | Y , Z , λ1 ) f ( Z t | Z , λ2 )
t −1
1
t −1
1
t −1
1
t
1
t −1
1
Cuando hay variables fuertemente exógenas, se
obtiene lo que se conoce como modelo VARX.
Modelos recursivos
En los modelos recursivos las ecuaciones del modelo
se pueden ordenar de tal forma que una variable
endógena de orden superior no influye, ni
conteporáneamente ni desfasada, en una variable
endógena de orden inferior.
El modelo se dice que es recursivo cuando (i) es
posible ordenar las variables del modelos VARX de
forma que las matrices tengan una estructura
triangular (algunas variables no causan a otras en
sentido de Granger) y (ii) la matriz de varianzas y
covarianzas es diagonal.
Ejemplo:
(1)
0
0   w1t −1  φ11( 2 )
0
0   w1t −2   a1t 
 w1t  φ11

 + a 
 w  = φ (1) φ (1) 0   w  + φ ( 2 ) φ ( 2 )
0
w
22
22
  2 t −2   2 t 
  2t −1   21
 2t   21(1)
(1)
(1)
( 2)
( 2)
( 2)
 w3t  φ31 φ32 φ33   w3t −1  φ31 φ32 φ33   w3t −2   a3t 
σ 12 0
0


Ω =  0 σ 22 0 
 0
0 σ 32 
En este caso, w1t no es causada ni por w2t ni por w3t
Además, w2t no es causada por w3t
Finalmente, no existen relaciones contemporáneas
entre las tres variables.
w1t = φ11(1) w1t −1 + φ11( 2 ) w1t −2 + a1t
w2t = φ21(1) w1t −1 + φ22(1) w2t −1 + φ21( 2 ) w1t −2 + φ22( 2 ) w2t −2 + a2t
w3t = φ31(1) w1t −1 + φ32(1) w2t −1 + φ33(1) w3t −1 + φ31( 2 ) w1t −2 + φ32( 2 ) w2t −2 + φ33( 2 ) w3t −1 + a3t
Cuando se cumple la hipótesis de
recursividad, todas las variables
explicativas de cualquier ecuación son
fuertemente exógenas.
El modelo puede ser estimado ecuación por
ecuación por MCO sin perder eficiencia.
4 Modelos uniecuacionales dinámicos:
retardos distribuidos y f. de transferencia
Si en un sistema de variables, todas las variables
excepto una son exógenas, obtenemos el modelo
uniecuacional de regresión dinámica. Vamos a
considerar, dos formulaciones alternativas de
modelos dinámicos uniecuacionales suponiendo
que el sistema tiene dos variables y que una de
ellas es fuertemente exógena:
— Modelo de retardos distribuidos
— Modelo de función de transferencia
Modelo de retardos distribuidos
En este caso, el modelo viene dado por:
yt = c + α1 yt −1 + ... + α p yt − p + β 0 zt + β1 zt −1 + ... + β p zt − p + ut
Los resultados clásicos del estimador MCO se
mantienen para este modelo. Este modelo es el
modelo de regresión dinámico clásico aunque
pueden plantearse problemas en su estimación
por la posible multicolinealidad entre los retardos
de las variables explicativas.
El multiplicador de largo plazo viene dado por α ( L) / β ( L)
Modelo de función de transferencia
Alternativamente se puede plantear lo que se
conoce como modelo de función de transferencia
en el que se diferencia la relación dinámica entre
las variables exógenas y la variable endógena
del comportamiento dinámico de la perturbación
aleatoria.
yt = c + ν 0 zt + ν 1 zt −1 + ... + N t
Cuando aparecen varios retardos de una
variable significa que cambios en la
variable z afectan a la variable y en varias
etapas. Por ejemplo, un gasto en
publicidad en un periodo determinado,
afectará a las ventas futuras durante
varios periodos de tiempo.
Las perturbaciones de este modelo estarán,
en general, autocorrelacionadas, dado que
están recogiendo la dependencia de y con
respecto a su propio pasado.
Por lo tanto el modelo de función de transferencia
podría expresarse como:
θ q ( L)
ω 0 + ω1 L + ... + ω s Ls
yt = υ ∞ ( L) zt + ψ ∞ ( L)at =
zt +
at
r
1 − δ 1 L − ... − δ r L
φ p ( L)
Ejemplos:
a) s=1, r=0, q=1, p=0
yt = (ω 0 + ω1 L) zt + (1 − θ1 L)at
= ω 0 zt + ω1 zt −1 + at − θ1at −1
b) s=0, r=1, q=1, p=1
1
1 − θ1 L
yt =
zt +
at
1 − δ1L
1 − φ1 L
Vamos a interpretar el polinomio υ ∞ ( L) = υ 0 + υ1 L + υ 2 L2 + ...
Los coeficientes υ 0 , υ1 , υ 2 ,... de dicho polinomio se
conocen como función de respuesta a un
impulso.
Para definir un impulso vamos a considerar que
estamos en una situación de equilibrio en la que
la perturbación es cero y la variable exógena
toma un valor constante, c. En un momento del
tiempo, t * la variable exógena tiene un cambio
unitario transitorio en su valor. Es decir,
θ q ( L)
Nt =
at = 0
φ p ( L)
c + 1, t = t *
zt = 
*
c
,
t
≠
t

Cuando las variables están expresadas en
logaritmos, υ0
es la elasticidad contemporánea
y υi es la elasticidad de la variable y con
respecto a la variable x tras i periodos de desfase.
Vamos a ver cuáles son los efectos de un impulso
sobre la variable endógena. Para ello vamos a
empezar suponiendo modelos sencillos para el
polinomio υ ∞ ( L) = υ 0 + υ1 L + υ 2 L2 + ...
a) r=0 y s=1
θ q ( L)
yt = (ω 0 + ω1 L )zt +
at
φ p ( L)
yte = (ω 0 + ω1 )c
yt * = ω 0 (c + 1) + ω1 ⇒ yt * − yte* = ω 0
yt * +1 = ω 0 c + ω1 (c + 1) ⇒ yt * +1 − yte* +1 = ω1
yt * + 2 = ω 0 c + ω1c ⇒ yt * + 2 − yte* + 2 = 0
Función de respuesta:
ω 0 , i = 0

υi = ω1 , i = 1
 0, i ≥ 2

Ejemplo: Vamos a suponer que el valor de equilibrio
de z es 0 y, en consecuencia, el valor de equilibrio
de y también es 0.
3.2
2.8
υ ∞ ( L) = (ω 0 + ω1 L ) = 3 + 0.5L
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Impulso
v(L)=3+0.5L
El efecto puede durar mas periodos de tiempo y
también aparecer después de un lapso de
tiempo.
υ∞ ( L) = (ω 0 + ω1 L ) = 0.5L2 + L3 + 2 L4
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Impulso
v(L)=0.5L**2+L**3+2L**4
b) r=1 y s=0
θ q ( L)
ω0
yt =
zt +
at
1 − δ1L
φ p ( L)
ω0
= υ 0 + υ1 L + υ 2 L2 + ...
1 − δL
(1 − δL)(υ 0 + υ1 L + υ 2 L2 + ...) = ω 0
υ 0 + (υ1 − δυ 0 ) L + (υ 2 − δυ1 ) L2 + ... = ω 0
υi = δ iω 0
Ejemplo:
ω0
3
=
υ ∞ ( L) =
(1 − δL) (1 − 0.8 L)
ω0
3
=
υ ∞ ( L) =
(1 − δL) (1 − 0.4 L)
3.2
3.2
2.8
2.8
2.4
2.4
2.0
2.0
1.6
1.6
1.2
1.2
0.8
0.8
0.4
0.4
0.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Impulso
v(L)=3/(1-0.8L)
0.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Impulso
v(L)=3/(1-0.4L)
Como antes puede
haber lapsos de
tiempo antes de que
haya efectos y
además podemos
tener algunos
periodos durante los
cuales los efectos no
sean sistemáticos:
ω 0 + ω1 L + ω 2 L2 + ω 3 L3 L2 + 2 L3
υ∞ ( L) =
=
(1 − δL)
(1 − 0.8 L)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Impulso
v(L)=(L**2+2L**3)/(1-0.8L)
Si las raíces del polinomio δ r ( L) están fuera del
círculo unidad, variaciones transitorias de la
variable explicativa no pueden tener efectos
permanentes en la variable endógena.
El polinomio ω s (L) alarga la estructura sin efectos
sistemáticos mientras que el polinomio δ r ( L)
alarga dicha estructura imponiendo un determinado
patrón de comportamiento.
Función de respuesta a un escalón
Ahora vamos a considerar que la variable
explicativa tiene un cambio unitario permanente
en el momento t*, es decir,
 c,
t < t*
zt = 
*
c
+
1
,
t
≥
t

La función de respuesta a un escalón viene dada
por los coeficientes Vi que miden el impacto
sobre la variable endógena de dichos cambios.
yte = (υ0 + υ1 + υ 2 + ...)c
yt * = yte + Vi
yt * = υ 0 (c + 1) + (υ1 + υ 2 + ...)c
yt * − yte* = υ 0 ⇒ V0 = υ 0
yt * +1 = (υ 0 + υ1 )(c + 1) + (υ 2 + υ3 + ...)c
yt * +1 − yte* +1 = υ 0 + υ1 ⇒ V1 = υ 0 + υ1
i
Vi = ∑υ j
j =0
A cada uno de estos coeficientes se les conoce con el nombre
de multiplicadores y, si las variables están en logaritmos,
pueden interpretarse como elasticidades acumuladas
La ganancia o multiplicador de largo plazo viene
dado por
ω s (1)
g = V∞ = ∑υ j =
δ r (1)
j =0
∞
Ejemplos:
υ ∞ ( L) = (ω 0 + ω1 L ) = 3 + 0.5L
υ∞ ( L) = (ω 0 + ω1 L ) = 0.5L2 + L3 + 2 L4
3.6
3.6
3.2
3.5
2.8
2.4
3.4
2.0
3.3
1.6
3.2
1.2
3.1
0.8
0.4
3.0
0.0
2.9
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Escalón
v(L)=3+0.5L
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Escalón
v(L)=0.5L**2+L**3+2L**4
16
14
12
ω0
3
=
υ ∞ ( L) =
(1 − δL) (1 − 0.8 L)
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Escalón
v(L)=3/(1-0.8L)
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Escalón
v(L)=3/(1-0.4L)
5.2
4.8
ω0
3
υ ∞ ( L) =
=
(1 − δL) (1 − 0.4 L)
4.4
4.0
3.6
3.2
2.8
16
12
υ∞ ( L) =
ω 0 + ω1 L + ω 2 L + ω 3 L
L + 2L
=
(1 − δL)
(1 − 0.8 L)
2
3
2
3
8
4
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
Escalón
v(L)=(L**2+2L**3)/(1-0.8L)
A partir del modelo de transferencia, es posible
obtener el modelo de retardos distribuidos pero al
contrario.
θ q ( L)
ω s ( L)
yt =
zt +
at
δ r ( L)
φ p ( L)
δ r ( L)φ p ( L) yt = ω s ( L)φ p ( L) zt + θ q ( L)δ r ( L)at
α * ( L) yt = β * ( L) zt + ϕ q + r ( L)at
ϕ q + r ( L) −1α * ( L) yt = ϕ q + r ( L) −1 β * ( L) zt + at
α ( L) yt = β ( L) zt + at