3.2 Lógica de predicados

Introducción a la Computación
Tc1001
Operadores Lógicos
3.2 Lógica de predicados
Predicados de primer orden
Lenguaje formal de la lógica de predicados (sintaxis)
Cuando decimos “Pitágoras nació en Grecia” declaramos una proposición. Esta
proposición tiene dos componentes principales:
Pitágoras
nació en Grecia
Sujeto
Término
predicado
El término es el objeto al cual se refiere la proposición, en este caso, Pitágoras. Y el
predicado es el que expresa algo sobre el término en la proposición.
Una proposición con predicado se forma al unir por lo menos un término con un
predicado. Estas uniones pueden ser de dos formas:
a. Si en la proposición el predicado expresa una propiedad o cualidad
verificada por el término se llama cópula afirmativa.
b. Si en proposición la propiedad expresada por el predicado no es
verificada por el término se llama cópula negativa.
Los predicados se representan mediante letras mayúsculas y los términos mediante
letras minúsculas.
Ejemplo:
p : Pitágoras
H (−) : nació en Grecia
El predicado es:
H ( p ) : Pitágoras nació en Grecia
Un predicado es una proposición en la que se afirma o se niega algo de uno o varios
objetos que son los términos del predicado.
El lenguaje formal de la lógica de predicados está formado por tres elementos:
términos, predicados y conectivos.
1. Términos. Según el objeto referenciado ( de quien se esté hablando ) el
objeto puede ser de tres tipos:
a. Término constante. El objeto referenciado es algo o alguien
específico. H ( p ) : Pitágoras nació en Grecia.
b. Término variable. El objeto referenciado no es algo o alguien
específico. F ( x ) : x es mayor que 3
c. Término función. El objeto referenciado viene dado por otro
objeto. G ( x, y ) : La hermana mayor de Nazira se llama Leyla. La
hermana mayor de x se llama y .
Ngj/2011
3.2 Lógica de predicados
79
Introducción a la Computación
Tc1001
Operadores lógicos
Si un término se refiere a todos los objetos que verifican una
propiedad expresada en el predicado, se le llama Término
universal. En caso contrario, cuando el término no se refiere a todos
los objetos se le llama Término existencial o particular.
2. Predicados. En función del número de términos referenciados, el
predicado puede ser:
a. Monádico o de atribución de propiedades a sujeto. Es el
predicado al que se refiere a un único término. H ( p ) : Pitágoras
nació en Grecia.
b. Poliádico o de relación entre términos. Es el predicado que se
refiere a más de un término. F ( x ) : x es mayor que 3 . G ( x, y ) :
La hermana mayor de Nazira se llama Leyla. La hermana mayor
de x se llama y .
Los predicados pueden ser: contradictorios o contrarios recíprocamente:
Son contradictorios uno del otro si cada uno de ellos se verifica en todos los
objetos que no verifican el otro.
Ejemplo:
F (x) y G (x ) son predicados contradictorios
F (x ) : Esa pared es blanca
G (x ) : Esa pared no es blanca
Son contrarios uno del otro si no pueden verificarse en un mismo objeto pero
puede existir un objeto que no verifica ni uno ni otro.
Ejemplo:
F ( x, y ) : Leyla es la hermana mayor de Nazira
F ( x, y ) y G ( x, y ) son predicados contrarios
G ( x, y ) : Leyla es la hermana menor de Nazira
3. Conectivos.
Negación,
conjunción,
disyunción,
implicación,
bicondicional:
a. Negación ¬ H ( p ) : Pitágoras no nació en Grecia
b. Conjunción H ( p ) : Pitágoras nació en Grecia y fue un gran
matemático
c. Disyunción F ( x, y ) : Leyla 0 es la hermana mayor de Nazira o es
la hermana menor.
d. Implicación G (x ) : si esa pared es blanca entonces yo necesito
lentes.
e. Bicondicional G (x ) : esa pared se ve blanca sí y sólo sí le da la
luz.
80
3.2 Lógica de predicados
Ngj/2011
Introducción a la Computación
Tc1001
Operadores Lógicos
Cuantificadores
Existen cuatro maneras de unir términos con predicados para obtener
proposiciones:
• A (universal afirmativo): Término universal con cópula afirmativa
“Todo…es…”
• E (universal negativo): Término universal con cópula negativa
“Ninguno… es…”
• I (existencia afirmativo): Término existencial con cópula afirmativa
“Alguno… es…”
• O (existencial negativo): Término existencial con cópula negativa
“Algún… no es…”
Ejemplo:
M (x ) : es mortal (predicado) en el dominio D: todas las personas.
A: Todas las personas son mortales ∀xM (x )
E: Ninguna persona es mortal ∀x ¬ M (x )
I: Alguna persona es mortal ∃xM (x )
O: Alguna persona no es mortal ∃x ¬ M (x)
Ngj/2011
3.2 Lógica de predicados
81
Introducción a la Computación
Tc1001
Operadores lógicos
Proposición abierta: P: x es mayor que uno
P (x ) : x > 1
P(5) : V
P (3) : V
P (0 ) : F ⇒
no siempre es verdadero
no siempre es falso
P: para algunos valores de x, x es mayor que uno
∃x
→
⇒
cuantificador: “para algunos”
“existe por lo menos uno”
Una frase declarativa es una proposición abierta si
1. contiene una o más variables
2. no es una proposición, pero
3. se convierte en una proposición cuando la variable que aparece se reemplaza
por un valor o algo permisible
Lo permisible se encuentra en:
un universo, universo de discurso
Universo contiene la opción que se puede considerar o permitir para la variable o
variable que interviene en la proposición abierta
∃ x P(x )
p ( x ) : x − 3 es un número impar dentro de los reales. U = Re
q(x, y ) : y − 3 es un número impar y x + 2 es un número entero dentro de los reales.
U = Re ∃ xy q(x, y )
∃→
existencial: existe como
Cuantificadores
∀→
universal: para todos
Ejemplos:
∀x
sen 2 x + cos 2 x = 1
∃ x , y x 2 + y 2 = 41 la suma de dos cuadrados es 41 x = 4
Si
∀x
∃x
Si
∀xp(x ) es verdad entonces ∃x es verdadero
Si
y =5
es V ⇒ ∃x es verdad
es F ⇒ ∀x es falso
∀xp (x ) ⇒ ∃xp (x ) : Significa que
⇒: implica lógicamente (con respecto al valor de verdad)
82
3.2 Lógica de predicados
Ngj/2011
Introducción a la Computación
Tc1001
Operadores Lógicos
En una implicación
Proposición :
∀x[ p( x ) → q( x )]
Contrapositiva:
Recíproca:
Inversa:
∀x[¬q(x ) → ¬p(x )]
∀x[q(x ) → p(x )]
∀x[¬p( x ) → ¬q( x )]
Equivalencia
∃x[ p(x ) ∧ q(x )] ⇒ ∃xp(x ) ∧ ∃xq(x )
∃x[ p(x ) ∨ q(x )] ⇒ ∃xp(x ) ∨ ∃xq(x )
∀x[ p(x ) ∧ q(x )] ⇒ ∀xp(x ) ∧ ∀xq(x )
∀x[ p(x ) ∨ q(x )] ⇒ ∀xp(x ) ∨ ∀xq(x )
Variable libre → x cuando
Variable libre → x cuando
∀x
∃x
Contraejemplo: un valor de x que hace que la proposición tenga el valor contrario
Reglas para negar proposiciones con cuantificadores:
¬ [ ∀x p ( x)
] ⇒ ∃x ¬
¬ [ ∃x p ( x) ] ⇒ ∀x ¬
¬ [ ∀x ¬ p ( x) ] ⇒ ∃x
¬ [ ∃x ¬ p ( x) ] ⇒ ∀x
Ngj/2011
p ( x)
p ( x)
p ( x)
p ( x)
3.2 Lógica de predicados
83
Introducción a la Computación
Tc1001
Operadores lógicos
84
3.2 Lógica de predicados
Ngj/2011