Problema de este número. Sobre funciones

A pensar
se ha dicho
Problema de este número
Sobre funciones conjuntamente continuas y
separadamente continuas definidas en espacios de
Hilbert: sobre las diversas topologı́as para los
operadores lineales acotados (Reed y Simon, 1980).
Herminio Blancarte Suárez
Facultad de Ingenierı́a, uaq
[email protected]
y
R. Michael Porter K.
Departamento de Matemáticas, cinvestav-qro
[email protected]
Preliminares
Supongamos tres espacios topológicos A, B, C con respectivas topologı́as
τA , τB y τC . En el producto cartesiano A × B := {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}
podemos definir la llamada topologı́a producto τA×B (véase la sección 1 del
capı́tulo 3 en Garcı́a Máynez, 1971, pág. 49). Sus abiertos son los subconjuntos de A×B que pueden representarse como uniones de productos U ×V
donde U ∈ τA , V ∈ τB .
Sabemos que una función f : A × B → C es continua con respecto a
las topologı́as τA×B , τC precisamente cuando f −1 (W ) ∈ τA×B cada vez que
W ∈ τC . La condición f −1 (W ) ∈ τA×B puede expresarse ası́: si f (a, b) ∈ W ,
entonces existen U ∈ τA , V ∈ τB , tales que a ∈ U , b ∈ V . Cuando f satisface
esta condición, se dice que f es conjuntamente continua de A × B en C.
En contraste, se dice que f es separadamente continua si para cada a ∈ A,
la función B → C que envı́a b en f (a, b) es continua (con respecto a las
topologı́as τB , τC , desde luego), y a la vez para cada b ∈ B, la función
A → C que envı́a a en f (a, b) es continua (con respecto a las topologı́as
τA , τC ).
Un resultado inmediato es que si f : A × B → C es conjuntamente continua, entonces es separadamente continua. A saber: sea a ∈ A fijo. Para
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A PENSAR SE HA DICHO
W ∈ τC arbitrario, la preimagen de W bajo la función b 7→ f (a, b) es
V1 := {b ∈ B: f (a, b) ∈ W } ⊆ B.
Cuando b ∈ V1 , por lo que dijimos arriba sobre la continuidad conjunta de
f , hay U ∈ τA , V ∈ τB , tales que a ∈ U , b ∈ V . Nos olvidamos de U , sólo
observamos que b ∈ V ∈ τB para b arbitrario en V1 , y esto nos dice que
V1 ∈ τB . Esto prueba la continuidad de b 7→ f (a, b), y la demostración para
a 7→ f (a, b) es similar.
No obstante, el recı́proco de este resultado es falso. Esto es, hay casos de
funciones f : A × B → C continuas separada pero no conjuntamente.
Un contraejemplo
¿Son iguales las dos nociones? Tomemos A = B = C = R, cada espacio con
la topologı́a τR determinada por la métrica euclideana d(x, y) = |x − y|.
Consideremos la función f : R × R → R definida por



f (x, y) := 

x2
0,
xy
,
+ y2
si (x, y) ̸= (0, 0),
si (x, y) = (0, 0).
Afirmamos que f es separadamente continua en
supongamos que y ̸= 0. Está claro que
R2: Para y fijo, primero
xn y
xy
→ 2
2
+y
x + y2
x2n
cuando xn → x, ası́ que x 7→ f (x, y) es continua. Sólo falta considerar
y = 0. Ahora f (xn , y) = 0 no importa qué sean los xn , luego nuevamente
f (xn , y) → 0 = f (x, y) cuando xn → x. La continuidad de y 7→ f (x, y) para
x fijo de demuestra de la misma manera.
No obstante, f no es conjuntamente continua. Consideremos una sucesión
xn → 0 con xn ̸= 0. Ponemos yn = xn . Claramente (xn , yn ) → (0, 0) en la
topologı́a producto, en que toda vecindad de (0, 0) contiene un rectángulo
de la forma [−ϵ, ϵ] × [−ϵ, ϵ], y (xn , yn ) está en este rectángulo cuando n es
grande. Pero f (xn , yn ) = x2n /(2x2n ) = 1/2, y esto no converge a f (0, 0).
La función multiplicación en un espacio vectorial topológico
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Ahora supondremos que A = B = C y que C tiene alguna estructura
algebraica que permita “multiplicar” sus elementos. Es decir, existe una
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A PENSAR SE HA DICHO
operación binaria f : C × C → C),
f (a, b) = a · b.
Asumiendo además que C posee una topologı́a τC , consideramos la cuestión de la continuidad de f . Es un hecho sorprendemente (apreciación personal) que de acuerdo con la topologı́a que se le asigne a C, la multiplicación
puede ser o no ser conjunta o separadamente continua.
Finalmente, “el problema propuesto”. Consideremos un espacio de Hilbert
separable que llamaremos H. Eso es, H es un C-espacio vectorial con un
producto escalar, y la norma correspondiente a este producto escalar define
una métrica completa que en turno define una topologı́a con una base numerable. Escribiremos L(H) para la colección de operadores lineales acotados
T : H → H. Es muy conocido que L(H) no sólo es un C-espacio vectorial,
sino que también tiene una norma
∥T ∥L(H) := sup
x̸=0
∥T x∥H
,
∥x∥H
que también es completo. Es decir, L(H) es un espacio de Banach.
Como decı́amos, tomamos A = B = C, especı́ficamente todos los tres
iguales a L(H). El mapeo de multiplicación es F: L(H) × L(H) → L(H)
que se obtiene por composición de operadores,
F(T, S) := T S.
Se pueden definir varias topologı́as que hacen que esta función tan elemental, tenga comportamientos diversos en cuanto a su continuidad. En la
llamada topologı́a de la norma τL(H) , la multiplicación F es conjuntamente
continua. Pero, existen también otras dos topologı́as, muy importantes por
sus aplicaciones fundamentales en la Mecánica cuántica (por ejemplo: los
llamados operadores de onda en la teorı́a de dispersión y espectral, introducidos por C. Møller (véanse Møller, 1945; Reed y Simon, 1979; Kato,
1966; Arredondo, 1997).
Primero, llamada topologı́a débil τW . Es fácil ver que sı́ Tn → T en la
topologı́a τ∥·∥ , entonces Tn (x) → T (x) para cualquier x ∈ H. Esto es porque
∥Tn (x) − T (x)∥ ≤ ∥Tn − T ∥ ∥x∥ → 0. Ésta es la propiedad que caracteriza
la convergencia en τW . Los abiertos, es decir, los elementos de τW , son los
conjuntos U de operadores en L(H) tales que par cada T ∈ U , hay un
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A PENSAR SE HA DICHO
conjunto de la forma
k
∩
{S: ∥Sxi − T xi ∥ < ϵi }
i=1
que esté contenido en U , donde los (xi , ϵi ) son una lista finita de pares en
H × R+ .
Por otra parte, la topologı́a fuerte τS . El mapa de evaluación Ex : L(H) →
H correspondiente a x ∈ H es
Ex (T ) := T x.
Se define τS como la mı́nima topologı́a en L(H) que hace continuos los Ex
para todos los x ∈ H. Un conjunto U ⊆ L(H) está en τS cuando para cada
T ∈ U , U contiene un conjunto de la forma
k
∩
{S: ∥Sx − T x∥ < ϵi } .
i=1
Ambas topologı́as τW , τS hacen que la multiplicación F sea continua
separadamente pero no conjuntamente.
Invitamos al lector a intentar demostrar estas afirmaciones (véase el problema 6 del capı́tulo VI en Reed y Simon, 1980, pág. 216) y de paso conocer
estas topologı́as esenciales por sus propiedades, inclusive, las puramente
topológicas.
Referencias
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[1] Arredondo R., J. H., Teorı́a de operadores con aplicaciones a la fı́sica.
UAM-I, México, 1997.
[2] Kato, T., Perturbation Theory of Linear Operators, Springer-Verlag,
Nueva York, EUA, 1966
[3] Garcı́a Máynez, A., Introducción a la topologı́a de conjuntos, Volumen
4 de Serie Sociedad Matemática Mexicana. Editorial Trillas, México,
1971.
[4] Møller, C., “General Properties of the Characteristic Matrix in the
Theory of Elementary Particles”, Real Academia de Ciencias y Letras
danesa, Mat.-Fys. Medd. 23 (1) (1945) 1–48.
[5] Reed, M., y B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 1.
Functional Analysis, Academic Press Inc., EUA, 1980.
[6] Reed, M., y B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 3.
Scattering Theory, Academic Press Inc., EUA, 1979.
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