Tema 3. Segundo axioma de numerabilidad Definición 5.3.1

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5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Y CONVERGENCIA DE SUCESIONES
Tema 3.
Segundo axioma de numerabilidad
Definición 5.3.1. Diremos que un e.t. X es segundo numerable (en notación iian) si posee una base a lo sumo numerable de abiertos.
Proposición 5.3.2. “Ser segundo numerable” es una propiedad topológica.
Veremos algunos ejemplos y propiedades de espacios segundo numerables:
Ejemplos y Propiedades 5.3.3.
1. Si (Y, TY ) es iian y f : X → Y es una aplicación, entonces (X, f −1 (TX ))
es iian. Por lo tanto, iian es una propiedad hereditaria (ver este mismo
comentario en Ejercicio 5.2).
2. X e.t. iian ⇒ X ian y separable.
3. X e.t. pseudometrizable y separable ⇒ X es iian.
4. (R, Tu ) es iian ya que B := {(a, b) ⊂ R | a < b y a, b ∈ Q} es una base
Ejer. A.25(1)
Ejem. A.5.21(1)
(Ejercicio 4.11) numerable (#B
≤
#Q2
=
ℵ0 ).
5. Un espacio discreto es iian si y sólo si es a lo sumo numerable.
6. La recta de Sorgenfrey no es iian.
7. ian + separable 6⇒ iian.
8. Sea X e.t. y sea S una subbase contable. Entonces, X es iian.