Situaciones en las que aparecen variables aleatorias

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SITUACIONES EN DONDE APARECEN
DISTRIBUCIONES
DE
PROBABILIDAD.
Se te muestra una representación en la que
se te dan detalles para definir la variable
aleatoria ’número de lenguas diferentes a la
materna
habladas por los habitantes de
Europa’:
a)Define a partir de esos datos la función
de probabilidad y distribución de la v.a y
representa ambas.
La información que se nos muestra nos
permite conocer la proporción de personas
que no conoce otra lengua aparte de la
materna. Para calcular las personas que
conocen exclusivamente una lengua materna
deberemos de restar la proporción de las que
conocen al menos dos (0,56) , de la
correspondiente a las que hablan al menos
una (0,56) resultando 0,28. Lo mismo se
haría para la proporción de las personas que
hablan exactamente dos y tres. Juntando todo
ello
resulta
la
siguiente
función
de
probabilidad
Lenguas
diferentes 0
1
2
3
a la materna x
f(x)
0,44 0,28 0,17 0,11
La
función
de
distribución
se
obtiene
acumulando
las
probabilidades
correspondientes a los grupos anteriores al
que se esté considerando
Lenguas
diferentes 0
1
2
3
a la materna x
F(x)
0,44 0,72 0,89 1
A
continuación
se
presentan
las
representaciones de ambas.
1.-LOS SEGUROS: UN JUEGO ESPECIAL.
Las
compañías
de
seguros
utilizan
el
concepto de variable aleatoria para fijar el
precio de sus pólizas en función del riesgo.
Si
la
indemnización
por
fallecimiento
asciende a una media de 30000 €. Una empresa
del sector quiere determinar la prima que
por un lado deben pagar los chicos A en sus
pólizas y la correspondiente a las chicas B
de forma que obtenga beneficios.
a)A
partir de los datos de accidentalidad
del anterior gráfico define la variable
aleatoria
beneficios
de
la
empresa
de
seguros para los chicos y para las chicas.
Resultado chicos
Beneficio empresa
No muerte
+A€
Muerte
30000€-A€
Resultado chias
Beneficio empresa
No muerte
+B€
Muerte
30000€-B€
b)¿Son discretas o continuas? ¿Por qué? Son
discretas por que los valores numéricos
asociados son dos.
c)Obtén la función de probabilidad.
Valor VA benef empresa chicos
+A€
-30000€+A€
Valor VA benef empresa chicos
+B€
-30000€+B€
prob
0,99882
0,00118
prob
0,99996
0,00004
d)Calcula la esperanza matemática de ambas
distribuciones.¿cuánto debe valer A para que
el beneficio sea de 10 €?
E(benef
con
chicos)=+A€*0,99882+(30000€+A€)*0,00118. Para que sea igual a 10€
A debe valer 35,4€.
2.-LENGUAS HABLADAS POR LOS EUROPEOS 3:
DEFINIENDO UNA Distribución DE PROBABILIDAD.
b)¿Cómo se interpreta en este caso F(2)F(1)?
Sería igual a f(2) y representaría a la
proporción
de
personas
que
conocen
exactamente dos lenguas aparte de su lengua
materna.
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c)Calcula la media y la desviación típica de
la variable aleatoria.
E(lenguas
habladas)=+0*0’44+1*0’28+2*0’17+3*0’11.
S(lenguas
habladas)=+raíz(((02*0,44)+(12*0,28)+(
22*0,17)+(32*0,11))-E2(lenguas habladas))
4.-DISTRIBUCIÓN
DE
VIVIENDAS
SEGÚN
SU
PRECIO.
Observa la distribución de viviendas según
el coste del metro cuadrado en Etremadura y
en España.
3.- LENGUAS HABLADAS POR LOS EUROPEOS 2: UNA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DEFINIDA A PARTIR DE
LA INFORMACIÓN CONTENIDA EN UN GRÁFICO.
a)¿Qué se representa en el eje horizontal?
¿y en el vertical?
En el eje X se representa el precio por
metro cuadrado de la vivienda.. El eje Y
representa la proporción de viviendas de
cada clase.
b)En el gráfico correspondiente a España
aparecen unos puntos por lo que es fácil
deducir que el mismo no es más que un
polígono de frecuencias.Lo mismo podría
hacerse hecho en la curva correspondiente a
Extremadura.
Calcula
la
función
de
probabilidad y distrbución correspondiente a
Extremadura.
De la lectura de la gráfica se deduce la
siguiente función de probabilidad.
Precio 15 30 60 90 120 150 180 210
x
F(x)
Y la siguiente función de distribución
Consideremos la variable aleatoria ‘número
de personas al seleccionar 5 personas al
azar en Europa que habla dos lenguas o más
aparte de su idioma materno.
a)¿Por qué sigue el modelo binomial?
La elección de cada una de las personas se
puede entender cómo independiente una de la
otra.En
cada
prueba
hay
dos
posibles
resultados(encontrar a una persona que hable
como mínimo dos lenguas o no encontrarla) y
constancia de la probabilidad de cada uno de
esos resultados (la selección se hace entre
todos los Europeos que son 400 millones y
aunque
se
haga
sin
reemplazamiento
la
probabilidad
puede
considerarse
que
no
varía)
b)¿Construye la función de probabilidad y de
distribución de la variable aleatoria?
c)¿Qué probabilidad hay de elegir un grupo
de 5 Europeas donde la mayoría de sus
componentes hablen aparte de la materna dos
lenguas o más?
Ambas cuestiones pueden contestarse a partir
de los resultados de la imagen.
Precio
x
F(x)
15
30
60
90
120
150
180
210
c)Calcula los parámetros de la distribución
obtenida.
d)Calcula los deciles de la distribución.
Supón que en cada intervalo de los
construidos los datos se distribuyen
uniformemente.
Decil
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
e)Compara los deciles obtenidos con los de
una distribución normal de los mismos
parámetros. ¿Se aproxima a la distribución
de precios de las viviendas a la normal?
Decil
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Normal
f)Determina con la ayuda de un histograma el
porcentaje de viviendas cuyo precio se
desvía en menos de una desviación típica del
valor de la media. Haz esos mismo con los de
dos y los de tres.Compara los resultados
obtenidos con los de una normal que tenga
los mismos parámetros.
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c)Calcula sus parámetros e interpretalos.
OTRAS
SITUACIONES
RESOLVER:
PARA
Considera
para
cada
emplazamiento
la
variable aleatoria continua “velocidad del
viento en un día elegido al azar?
a)Formaliza su definición.
b)Haz un esbozo de la gráfica de su función
de densidad.
c)En qué emplazamiento la gráfica obtenida:
a. Es más simétrica.
b. tiene menos dispersión.
c. Presenta una mayor probabilidad
de días con viento superior a 30
km/h.
d. Se parece más a la gráfica del
modelo normal.
TAREA 2
Una empresa eléctrica que quiere establecer
un
parque
eólico
manda
a
los
cuatro
emplazamientos
del
gráfico
a
técnicos
durante 20 días elegidas al azar para que
realicen .Considera la variable aleatoria
‘número de días con viento adecuado’ en cada
emplazamiento.
a)¿Por qué siguen el modelo binomial?
b)Estima en cada emplazamiento el valor del
parámetro probabilidad de día con viento
adecuado
usando
la
información
de
los
diagramas
c)Construye la función de probabilidad y de
distribución en cada caso.
d)Represéntalas gráficamente.
e)De acuerdo a tus estimaciones, ¿En qué
lugares es más probable que la mitad de los
días que está el equipo técnico haga viento
adecuado?
A VUELTAS CON LAS PRIMAS DE SEGUROS.
a)De forma similar a lo indicado en la
situación 1, define para cada año y por
separado variables aleatorias para las
ganancias por póliza de una compañía de
seguros en el caso de las motos y de los
coches sabiendo que el precio de las
primeras es A y el de las segundas B.La
indemnización media por muerte es de
30000€.
b)Representa la función de distribución de
probabilidad mediante un gráfico.
c)Calcula para cada año y tipo de vehículo
la esperanza matemática de su distribución
de probabilidad.
d)Si desde el año 2003 la empresa ha
obtenido un beneficio medio de 10 € por
póliza realizada estima la evolución del
coste de las pólizas cada año tomando como
base la siniestrabilidad del año anterior.
EL INFORME PISA
Los siguientes gráficos han sido extraídos
de las conclusiones del Informa PISA sobre
el rendimiento de los alumnos de diferentes
países
en
la
asignatura
de
Ciencias
Naturales
EL PARQUE EÓLICO.
TAREA 1
Las gráficas anteriores se refieren a las
características
de
cuatro
posibles
emplazamientos para un parque Eólico. En
ellas se representa la velocidad media del
viento en los diferentes días del año. Se
precisan velocidades superiores a los 30
km/h
para
que
las
instalaciones
sean
rentables económicamente
TAREA 1
A partir de la información recogida en este
gráfico construye las variables aleatorias
discretas rendimiento del alumnado para tres
países distintos. En cada caso:
a)Define la función de probabilidad.
b)Define la función de distribución.
c)Obtén representaciones gráficas de ambas.
d)Calcula sus parámetros.
e)¿En
qué
condiciones
esta
variable
aleatoria podría considerarse continua?
Compara las conclusiones obtenidas para los
países considerados
tomando como base los
trabajos anteriores.
TAREA 2
Obseva este diagrama.
Se
define
para
cada
emplazamiento
la
variable aleatoria
discreta“ jornada con
velocidad del viento superior a 30 Km/h”.
a)Formaliza matemáticamente su definición.
a)Calcula su función de probabilidad a
partir de la información incluida en el
gráfico.
b)Representalas gráficamente.
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a)Define la función de probabilidad y la
función de distribución.
b)Representa en sendos gráficos de barras
las
funciones
de
probabilidad
y
de
distribución.
c)Calcula la esperanza y desviación típica
de las diferencias de puntuación entre
hombres y mujeres.
d) que los hombres en matemáticas?
Considera las variables aleatorias ‘número
de alumnos en un grupo de 8 con un nivel
inferior
en
la
materia
de
Ciencias
Naturales’ en La Rioja y en España.
a)Indica porqué siguen el modelo binomial.
b)Construye la función de probabilidad de
ambas variables aleatorias.
c)Representa mediante un diagrama de barras
dicha distribución de probabilidad.
d)A partir de lo obtenido en cada variable
calcula la probabilidad de que en el grupo
haya:
-ningún alumno con nivel inferior en la
materia.
-más de un alumno con nivel inferior en la
materia.
TAREA 3
DISTRIBUCIÓN DE HOTELES.
Define a partir de la tabla anterior la
variable
aleatoria
‘categoría
de
los
hoteles de Extremadura’. Hazlo también y por
separado con los establecimientos hoteleros
de la provincia de Cáceres y Badajoz. Para
ello define
a)La función de probabilidad y de
distribución de las tres variables
aleatorias.
b)Representa gráficamente la función de
probabilidad de las tres variables
aleatorias.
c)Representa gráficamente en unos mismos
ejes las funciones de distribución de las
tres variables aleatorias. Interpreta sus
diferencias.
d)Calcula los parámetros para cada una de
las tres variables aleatorias definidas e
interpreta el resultado.
Define variables aleatorias discretas para
cuatro regiones españolas relativas al nivel
de estudios alcanzados en el hogar. Usa para
ello una codificación numérica para cada
nivel de estudios y…:
a)Define en cada caso la correspondiente
función de probabilidad y a partir de ella
la función de distribución.
b)Elabora gráficos de barras que permitan
comparar
las
diferentes
funciones
de
probabilidad.
c)Elabora
polígonos
de
frecuencias
correspondientes a las diferentes funciones
de distribución y superponlas sobre unos
mismos ejes usando diferentes colores. Saca
conclusiones de las diferencias.
d)Calcula los parámetros de las diferentes
distribuciones reprobabilidad.
TAREA 4
A PARTIR DE UN DIAGRAMA DE DISPERSIÓN.
a)Considera
las
variables
aleatorias
‘Crecimiento anual del PIB en países de la
UE’ y ‘crecimiento anual del empleo en
países de la UE’. Construye en cada caso un
histograma normalizado con barras asociadas
a cada intervalo valores de la variable
aleatorios proporcionales al valor de la
correspondiente probabilidad.
b)Determina
los
parámetros
de
ambas
variables aleatorias.
c)Calcula los deciles.
d)Determina el área comprendida entre la
media y una desviación típica
en ambas
distribuciones y comparalas con la de la
normal de sus mismos parámetros.
A partir del siguiente diagrama define la
variable aleatoria ‘diferencia de puntuación
de hombre sobre mujeres en matemáticas en
países de la OCDE’
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