predicción de series cortas con estacionalidad estable usando

PREDICCIÓN
DE
SERIES
CORTAS
CON
ESTACIONALIDAD
ESTABLE
USANDO
DISTRIBUCIONES A PRIORI INFORMATIVAS
AUTOR 1 ROJO GARCÍA, JOSÉ LUIS
e-mail: [email protected]
AUTOR 2 SANZ GÓMEZ, JOSÉ ANTONIO
e-mail: [email protected]
Departamento de Economía Aplicada
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Área temática: Métodos cuantitativos.
Resumen
En un reciente artículo de Mendoza y de Alba (2006) se introduce un método bayesiano jerárquico para predecir una
serie acumulada (flujo) a partir de su acumulación parcial, suponiendo estacionalidad estable en términos
estocásticos. En las aplicaciones prácticas propuestas por dichos autores emplean distribuciones a priori no
informativas (neutrales en sentido de Jeffreys).
Este método resulta de especial utilidad en la predicción de series cortas, para las que los métodos clásicos resultan
poco eficientes debido al reducido número de observaciones.
Nuestro trabajo explora la posibilidad de mejorar el procedimiento anterior mediante la utilización de distribuciones a
priori informativas relacionadas con la “historia” de la serie o bien con una serie “proxy” a la serie a estimar.
El procedimiento se ilustra a partir de la serie española de desempleados tomada de la Encuesta de Población Activa.
Palabras clave: Análisis Bayesiano, Series temporales, Estacionalidad estable.
Abstract
In a recent paper, Mendoza and de Alba (2006) propose a Hierarchical Bayes model to make an estimate
of the accumulated value of a positive and continuous variable for which some partially accumulated data
has been observed. They assume stable seasonality, which is specified in stochastic terms, and use a noninformative prior for the parameters involved in the model.
The proposed method comes in hand, especially when a short series is to be predicted, because the
classical methods cannot be applied due to the reduced number of observations.
In our paper, the possibility of an improvement to the method is presented. To that end, the use of
informative priors is suggested, and either the ‘historical’ (past) values of the series or a ‘proxy’ one are
considered in order to compute reasonable values for the parameters involved in the prior distributions.
An example is considered by using the Unemployed Persons series from the Spanish Economically
Active Population Survey (E.P.A.) provided by the National Statistics Institute (I.N.E.)
Key words: Bayesian Analysis, Time series, Stable seasonality
1. Introducción
La predicción de series cortas (series para las que se dispone de un número pequeño de
observaciones) es una necesidad en el análisis de la coyuntura económica. Los
frecuentes cambios de base de las series, obligan a esperar un número prudencial de
periodos antes de proceder, bien al enlace de las series, o bien a la utilización de la
nueva serie para la predicción.
A veces, los Institutos de Estadística proporcionan un enlace adecuado, pero con
frecuencia ello no es así.
Por otro lado, existen series que son “intrínsecamente cortas”, debido a que resultan de
mediciones económicas referentes a nuevas unidades (por ejemplo, nuevas empresas o
nuevas mancomunidades provenientes de agregaciones municipales).
Poca atención se ha dedicado en la literatura a la predicción de series de tiempo cortas.
Yu y Schwartz (2006), utilizando series anuales de entradas de turistas, comparan dos
métodos complejos (Fuzzy time series y Grey theory) con métodos más sencillos (doble
media móvil y alisado exponencial doble). La conclusión es que no parece que los
modelos complejos proporcionen resultados más ajustados que los más simples. Mandel
(2004) utiliza el denominado “Método de los Análogos” que combina el uso de
información objetiva y juicios subjetivos. Mazzi y Savio (2005) comparan la calidad de
X-12-Regarima y Tramo-Seats en el ajuste estacional de series cortas, si bien no
abordan problemas de predicción. Concluyen que ambos procedimientos se deterioran
cuando las series se acortan, especialmente en el paso de series largas a series de
longitud media. Asimismo, señalan que X12 funciona algo mejor que Tramo-Seats,
debido a la inestabilidad de los enfoques basados en modelos cuando se va perdiendo
información.
Mendoza y de Alba (2006) se plantean predecir un valor acumulado anual de una
variable positiva y continua cuando sólo están disponibles sumas parciales y se puede
aceptar la hipótesis que denominan de “estacionalidad estable”. Como puede verse, se
trata de una predicción coyuntural, en el sentido de que sólo trabaja en el año
“corriente” esto es, el año en que disponemos de datos parciales.
2
Obviamente, sin más que redefinir el concepto de año, puede aplicarse a periodos más
prolongados. Además, aunque el procedimiento sólo predice el acumulado anual,
calculando diferencias y redefiniendo convenientemente el año, podría utilizarse para
predecir los valores de los meses consecutivos al último conocido.
El modelo que proponen es un modelo bayesiano jerárquico normal-gamma que
conduce a una solución explícita y no iterativa que puede implementarse sin dificultad
en un ordenador personal.
Queda por resolver la asignación de valores a los parámetros que intervienen en las
distribuciones a priori. Los autores del trabajo proponen la utilización de distribuciones
a priori no informativas, neutrales en el sentido de Jeffreys (véase, p. ej., Box y Tiao,
1973). Sugieren para ello dos argumentos; primero, que distribuciones a priori
informativas dominarían a las inferencias, haciendo relativamente irrelevantes los datos
muestrales. En segundo lugar, la distribución no informativa correspondiente (Bernardo
y Smith, 1994) sería el límite de distribuciones normal-gamma y, en consecuencia, no
se apartaría de la línea de razonamiento de los autores.
Nuestra propuesta, en la línea de Rojo y Sanz (2004, 2005) intenta completar el trabajo
de Mendoza y de Alba, mediante la utilización de distribuciones a priori informativas.
En efecto, a veces se dispone de valores anteriores de la misma magnitud, no enlazables
por haberse producido un cambio de base contable. Otras veces, cuando la serie no
dispone de “historia”, se conoce una serie vicaria o “proxy” que puede ser válida a los
efectos de determinar los parámetros de las distribuciones a priori. En estos casos,
ciertamente la información a priori modificará la proporcionada por la verosimilitud,
pero ayudará a evitar que las irregularidades de los datos, caso de presentarse,
constituyan la única información disponible.
2. El modelo de Mendoza y de Alba
Resumamos el modelo de Mendoza y de Alba. Se supone que para los n primeros años
(aquí la palabra año sirve para denominar a la baja frecuencia, pero podría tratarse de un
trimestre, un mes o una semana) conocemos los valores anuales de una magnitud flujo
3
positiva y continua, X 1 ,K , X n , y que, para cada uno de los años 1,2, K, n, n + 1 ,
conocemos el valor acumulado en una parte inicial, α , del año, Yiα , i = 1,2,K, n, n + 1 ,
donde 0 < α < 1 . Por ejemplo, si el año es un año natural y los periodos de alta
frecuencia son los meses, tomaremos α = 3 / 12 = 0.25 si conocemos los datos
correspondientes a los tres primeros meses. El objetivo es la estimación de X n +1 , el
acumulado anual del año incompleto.
La técnica propuesta utiliza datos acumulados, esto es, sirve para variables flujo. No
obstante, puede emplearse también para variables-nivel, como veremos en la aplicación
descrita posteriormente.
La brillante idea de los autores consiste en escribir, condicionado por Yiα = yi ,
i =1,2,K, n, n + 1 (que son cantidades conocidas),
⎧ X − yi ⎫
X i = yi ⎨1 + i
⎬ = yi (1 + Wi ) , i = 1,2,K, n + 1
yi ⎭
⎩
donde Wi es el cociente de la parte de X i no observada sobre la observada.
La hipótesis de estacionalidad estable se concreta en la aceptación de que las variables
Wi , i =1,2,K, n, n + 1 son independientes e idénticamente distribuidas. Mendoza y de
Alba proponen entonces, a la vista de la naturaleza positiva de las variables una
distribución log-normal. En concreto, si llamamos U i = ln Wi , i =1,2,K, n, n + 1 ,
suponemos que U i a NIID( µ ,τ ) , i =1,2,K, n, n + 1 , esto es, la distribución de X i
condicionada
por
Yiα = yi ,
es
una
( X i | Yiα = yi ) a log − NIID( µ + ln yi ,τ , yi )
log-Normal
de
tres
parámetros,
donde yi es el parámetro de umbral
(Johnson et al., 1994, capítulo 14).
4
La estimación bayesiana propuesta por los autores, supone una distribución a priori
normal-gamma para ( µ ,τ ) , esto es1, π (τ ) a γ (a, b) y π ( µ | τ ) a N (m, kτ ) , donde kτ
es la precisión, con lo que
π ( µ , τ ) = π ( µ | τ ) ⋅ π (τ ) ∝ τ 1 / 2 e − ( k τ / 2 )( µ − m ) ⋅τ a − 1e − b τ
2
siendo a , b , k y m constantes conocidas.
Desde ahí, y teniendo en cuenta la verosimilitud normal se obtiene
p( µ ,τ | u ( n ) ) = p( µ | τ , u ( n ) ) p (τ | u ( n ) ) ∝ (k*τ )1 / 2 e − ( k*τ / 2 )( µ − m* ) ⋅τ a* −1e −b*τ
2
donde u( n ) = (u1 ,K, un ) es una realización de U ( n ) = (U1 ,K,U n ) , y donde
m* =
km + nu
,
k +n
y siendo u =
1 n
∑ ui
n i =1
k* = k + n ,
n
,
2
a* = a +
b* = b +
Suu kn(u − m) 2
+
2
2(k + n)
[1]
n
y Suu = ∑ (ui − u ) 2 .
i =1
Mendoza y de Alba obtienen, en consecuencia, la distribución predictiva de U n +1 ,
p(un +1 | u( n ) ) a Student (un +1 | m* ,τ * ,2a* )
donde τ * =
k* a*
y los parámetros de la distribución de Student son la posición,
1 + k* b*
precisión y grados de libertad, respectivamente.
Obsérvese que la distribución predictiva para Wn −1 es una log-Student, que no posee
momentos. La estimación de X n +1 se realiza entonces mediante la mediana de la
distribución. Para el correspondiente intervalo se utilizan entonces los correspondientes
cuantiles de la distribución. Véase Mendoza y de Alba (2006), pág. 785 para los
detalles.
1
Consideraremos τ → γ ( a, b) entonces
π (τ ) ∝τ a −1 e−bτ , para τ > 0 .
5
3. Asignación de valores a los parámetros de las distribuciones a priori
El problema planteado a Mendoza y de Alba es la asignación de valores a los
parámetros implicados en las distribuciones a priori. En concreto, se trataría de asignar
valores a a , b , k y m . Los autores optan por la selección de una distribución neutral a
priori no informativa, esto es, a tomar
π ( µ ,τ ) ∝ τ −1
Si comparamos esta expresión con la distribución a priori conjunta obtenida
anteriormente, la opción tomada equivale a utilizar k = 0 , b = 0 , a = −1 / 2 y m igual a
un valor cualquiera.
En definitiva, se trata de sustituir las expresiones de [1] por
m* = u ,
k* = n ,
a* =
n −1
,
2
b* =
Suu
2
donde ahora los grados de libertad de la t de Student que constituye la distribución
predictiva son n − 1 y τ * =
n n −1
.
n + 1 Suu
Los autores justifican esta elección en aras de evitar que la información inicial domine a
la verosimilitud, más aún ante la escasa información muestral disponible.
Nuestra propuesta consiste en que, como dijimos en la Introducción, con frecuencia
disponemos de una serie que puede servir de proxy para la que se quiere predecir, al
menos en cuanto a que puede aceptarse que reproduce la estacionalidad estable de la
serie a predecir. Esta serie puede ser la misma anteriormente a un cambio de sistema de
referencia, o bien la existente para otra desagregación geográfica (por ejemplo, la serie
existente en el ámbito nacional, cuando la serie en estudio corresponda al ámbito
regional o provincial).
6
Una ventaja de este procedimiento es la posibilidad de introducir información relevante
sobre los valores aceptables de los parámetros a través de la asignación de valores a las
cuatro cantidades implicadas.
Otra ventaja reside en que, con nuestra propuesta, mantenemos el modelo bayesiano
jerárquico en la familia normal-gamma. En efecto, los valores a = −1 / 2 y b = 0 no son
aceptables para la distribución a priori de τ (una distribución gamma exige valores
positivos para a y b ) ni el valor k = 0 puede aceptarse para la distribución a priori
π (µ | τ ) .
Veamos cómo concretar nuestro procedimiento.
Puesto que la distribución a priori de τ es una gamma, es conocido (véase, por ejemplo,
Broemeling (1985) o Zellner (1971)) que los momentos principales para τ −1 son
[ ]
Eπ τ −1 =
b
(a > 1)
a −1
y
Varπ (τ −1 ) =
b2
(a > 2)
(a − 1) 2 (a − 2)
[2]
Por otro lado, obtengamos la distribución marginal de u ( n ) .
La distribución conjunta de (u( n ) , µ ,τ ) es
⎧
⎩
π (u( n ) , µ ,τ ) ∝ τ a +1/ 2−1+ n / 2 exp ⎨−bτ −
kτ
τ
⎫
( µ − m) 2 − ∑ (ui − µ ) 2 ⎬
2
2
⎭
que puede escribirse como
(km + nu ) 2 ⎤ ⎪⎫
⎪⎧ τ ⎡
π (u( n ) , µ ,τ ) ∝ τ a + n / 2−1/ 2e−bτ ⋅ exp ⎨− ⎢ km 2 + ∑ ui2 −
⎥⎬⋅
⎩⎪ 2 ⎣
k +n
⎦ ⎭⎪
2
⎧⎪ τ (k + n) ⎛
km + nu ⎞ ⎫⎪
µ
⋅ exp ⎨−
−
⎜
⎟ ⎬
2 ⎝
k + n ⎠ ⎪⎭
⎩⎪
Integrando dicha expresión en µ , la integral de la última exponencial es proporcional a
τ −1 / 2 , de donde
7
⎧⎪ τ ⎡
(km + nu )2 ⎤ ⎫⎪
π (u( n ) ,τ ) ∝ τ a + n / 2−1e−bτ exp ⎨− ⎢ km2 + ∑ ui2 −
⎥⎬
k+n
⎪⎩ 2 ⎣
⎦ ⎭⎪
que, integrando en τ resulta
π (u( n ) ) ∝
1
⎡
(km + nu ) 2 ⎤
2
2
2
+
+
−
b
km
u
∑i
⎢
k + n ⎥⎦
⎣
a+n / 2
Simplificando esta expresión se comprueba sin dificultad que es una distribución de
Student n-variante2, con 2a grados de libertad, matriz de posición m ⋅ ι y matriz de
covarianzas
Cov(u( n ) ) =
1 ⎤
b ⎡
I n + ⋅ ιι '⎥
⎢
a −1 ⎣
k ⎦
donde ι = (1,K,1)' es una matriz columna de dimensión n e I n es la matriz identidad.
Se deduce, por tanto, que
E [ui ] = m , i = 1,K , n
[3]
(hecho que hubiera podido derivarse de que, como E[u( n ) | τ ] = m , se cumple que
E[u( n ) ] = Eτ ⎣⎡ E[u( n ) | τ ]⎦⎤ = m )
y que
Var ( ui ) =
b ⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ ,
a −1 ⎝ k ⎠
i = 1,K , n
(este hecho también hubiera podido derivarse de que
Var (ui ) = Eτ [Var (ui | τ )] + Varτ ( E [ui | τ ]
sustituyendo las expresiones correspondientes).
8
[4]
Las expresiones [2], [3] y [4] permitirán asignar valores razonables a los parámetros
implicados en las distribuciones a priori ( a , b , k y m ) siempre que dispongamos de
información “histórica”. Supongamos, en concreto, que conocemos r valores,
u1h , K , urh , donde el superíndice “h” quiere decir “histórico”. Pueden ser valores
calculados a partir de una serie proxy, tal vez valores de la misma serie en otra base
metodológica diferente, o de una serie con la misma definición, construida para un
espacio geográfico con similar comportamiento tendencial y estacional. Obtenemos s
muestras con reemplazamiento de tamaño r mediante bootstrap (véase Efron y
( )
h
( )
Tibshirani, 1993), y para cada una de ellas obtenemos sus varianzas, τˆ −1 ,K, τˆ −1
1
h
s
.
)
La media de estos valores es una asignación o estimación de E ⎡⎣τ −1 ⎤⎦ , E ⎡⎣τ −1 ⎤⎦ , y su
)
cuasi-varianza es una asignación o estimación de Var τ −1 , Var τ −1 . Ello permite
( )
( )
asignar valores a a y b utilizando la expresión [2], en concreto,
)
E 2 ⎡⎣τ −1 ⎤⎦
a = 2+ )
Var τ −1
( )
y
)
b = (a − 1) ⋅ E ⎡⎣τ −1 ⎤⎦
Por otro lado, si llamamos
cuasi varianza, sch =
2
u h a la media de los valores históricos, u h =
(
)
1 r h
u y sch2 a su
∑
j =1 j
r
2
h
1
h
h
u
−
u
, podemos asignar
∑
j
r − 1 j =1
m = uh
y
k=
b
(a − 1)sch2 − b
utilizando, en este caso, las expresiones [3] y [4].
4. Una aplicación del procedimiento
En este apartado presentamos una aplicación del procedimiento. Tomaremos como serie
a estimar el total de parados nacional proporcionado por la Encuesta de Población
2
Tomaremos la definición propuesta por Zellner, 1971, pp. 383.
9
Activa (E.P.A.) del INE. Se trata de una serie trimestral, para la que se dispone de datos
desde para el periodo (1996:1, 2008:1). Los datos de paro desde el primer trimestre de
2001 en adelante reflejan la nueva definición de parado establecida en el Reglamento
1897/2000 de la CE por lo que la serie homogénea cubre sólo el periodo (2001:1,
2008:1). La ilustración que presentamos en este epígrafe propone estimar el paro medio
en el año 2008.
Obsérvese que la serie es un nivel, y no un flujo, lo que no obsta para la aplicación del
procedimiento, ya que el paro medio es la cuarta parte de la suma, por lo que el método
(preparado para flujos) puede utilizarse.
Figura 1
4000
3000
2000
1000
La Figura 1 muestra la ruptura en la serie entre 2000:4 y 2001:1 Por ello, las
estimaciones deben realizarse teniendo en cuenta únicamente el periodo homogéneo,
(2001:1, 2008:1). En la Figura 2 se muestran siete curvas, una para cada año i de este
periodo, en las que se representan los cocientes Yiα / X i para las abscisas 1 ( α = 1 / 4 ), 2
( α = 2 / 4 ), 3 ( α = 3 / 4 ) y 4( α = 1 ). Puede verse que, aunque no es objeto de contraste,
la figura permite apreciar que aproximadamente se cumple la denominada
“estacionalidad estable”, esto es, las curvas no son muy diferentes.
10
Figura 2
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
1
2
3
4
Para la asignación de valores a los parámetros de las distribuciones a priori, utilizaremos
la “historia” de la serie, anteriormente al cambio metodológico, esto es, el periodo
(1996:1, 2000:4). Con las notaciones del apartado 3, disponemos de cinco valores,
α
⎛
⎞
h
h
X −Y
u1996
,K, u2000
, donde uih = ln ⎜ i α i ⎟ para cada uno de los años históricos.
⎝
Yi
⎠
Hacemos 200 réplicas de tamaño 5 con reposición, y de acuerdo con la expresión [2],
asignamos valores a los parámetros a priori. Obtenemos como estimación del paro
medio en 2008, xˆ2008 = 2013.77 , muy similar al obtenido con las distribuciones
neutrales a priori del trabajo de Mendoza y De Alba (2103.80 desempleados), si bien los
intervalos al 95% son diferentes ([2011.26, 2202,13] en nuestro caso, y [1934,17,
2294,12] con las a priori neutrales).
11
Si se trabaja a más corto plazo, el procedimiento permite estimar valores en los
sucesivos trimestres. Por ejemplo, podemos estimar el paro total en el segundo trimestre
de 2008, sin más que tomar como años los dos primeros trimestres de cada año natural y
repetir el procedimiento. Obtendríamos la suma (o la media) de ambos trimestres para
2008, y puesto que la estimación está condicionada por el valor del primer trimestre, por
diferencias obtenemos el correspondiente al segundo así como el intervalo al 95%. El
resultado obtenido es de xˆ 2008:II = 2076.57 (2075.24 para el procedimiento de Mendoza
y De Alba) con intervalo al 95% [1983.33, 2174.20] ([1977.47, 2177.84] para dichos
autores).
Finalmente, hemos realizado una réplica del procedimiento para 2007, año en el que los
valores anuales son conocidos. La réplica se realiza con nuestro procedimiento y con el
de Mendoza y De Alba, en tres situaciones, según que el último trimestre conocido
fuera el primero, segundo o tercero.
Tabla 1
Último
Rojo y Sanz
Mendoza y De Alba
Trimestre
q
q
conocido
0.025
1
1710.73
2
1730.41
3
1781.90
Valor observado =1833.90
0.5
0.975
0.025
0.5
0.975
1789.76
1782.49
1800.07
1873.79
1837.84
1819.00
1630.00
1662.04
1759.73
1789.78
1782.80
1800.07
1971.46
1922.81
1844.39
La Tabla 1 muestra los resultados que, para nuestro procedimiento se ilustran en la
Figura 3.
12
Figura 3
1900
1800
1700
1
2
Media2007
q=0.5
3
q=0.025
q=0.975
En esta figura, la línea continua representa nuestra estimación, mientras que las
discontinuas presentan el intervalo. Incluimos una horizontal de trazo más grueso con el
valor medio (conocido) del año 2007. Puede verse que, si bien la precisión de la
estimación aumenta cuando la información trimestral es mayor, se produce un cierto
sesgo que conduce a que el intervalo no incluya el valor medio conocido. Este hecho se
debe, por un lado, al alto nivel de confianza (de credibilidad) adoptado, pero también a
irregularidades en la estabilidad de la estacionalidad.
5. Conclusiones
En este trabajo hemos estudiado la mejora en el método de Mendoza y De Alba (2006)
para estimar totales anuales de series cuando sólo se conocen acumulados parciales. El
método exige la aceptación de la hipótesis de “estacionalidad estable”, y propone un
modelo bayesiano jerárquico normal-gamma con distribuciones a priori no informativas
en el sentido de Jeffreys.
13
Nuestra propuesta permite utilizar distribuciones a priori informativas cuando la serie
haya sido objeto de un cambio de base o, en general, cuando se disponga de una serie
proxy o vicaria de la que se quiere estimar. En esas situaciones, pueden asignarse
valores adecuados a los parámetros incluidos en las distribuciones a priori. La
consecuencia de ello es la mejora en las estimaciones y, especialmente en su precisión.
El trabajo concluye con la utilización de la serie española de Desempleados totales
proveniente de la E.P.A. del I.N.E. En el año 2001 se modificó la definición de
desempleados, especialmente en relación con la búsqueda activa de empleo. Ello
ocasionó una ruptura metodológica de la serie, con lo que las predicciones del Total de
Desempleados debían apoyarse en una serie excesivamente corta.
Nuestra aplicación estima el número medio de desempleados en 2008 a partir de los
datos del primer trimestre, y lo compara con los resultados de aplicar el método de
Mendoza y De Alba. En este caso, la introducción de una distribución a priori
informativa no modifica básicamente la estimación, aunque mejora sustancialmente la
precisión para un mismo nivel de riesgo (valor de α ).
La aplicación muestra asimismo cómo utilizar el procedimiento para análisis más
coyunturales, en concreto, para estimar el Total de Desempleados en el segundo
trimestre, en lugar del promedio anual.
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