1.8
CONTROLABILIDAD
El concepto de controlabilidad permite determinar si un sistema tiene la
propiedad de poder ser llevado desde algún estado dado a otro estado
dado.
Definición 1.8 El sistema lineal
•
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
(1.109)
Se dice que es completamente controlable si el estado del sistema puede ser
transferido desde el estado cero para algún tiempo inicial to a algún estado
Terminal x(t1) = t1 en tiempo finito (t1 – to)..
Teorema 1.17 El sistema lineal
•
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
(1.110)
Es completamente controlable si y sólo si puede ser transferido desde
cualquier estado inicial x o para algún tiempo inicial to a algún estado
Terminal x(t1) = x1 en un tiempo finito (t1 – to).
La contabilidad de un sistema lineal invariante en el tiempo queda
descrita en el siguiente teorema:
Teorema 1.18 El SLIT n dimensional
•
x(t) = A x(t) + B u(t)
Es completamente controlable si y sólo si la matriz de controlabilidad:
P =B AB A 2B ...... A n − 1B
Cubre el espacio n dimensional. Es decir, el rango de la matriz P debe
ser n.
La controlabilidad de un SLVT se describe en el siguiente teorema:
Teorema 1.19 El SLVT n dimensional
•
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
Define la función matricial simétrica no negativo:
t
W(t o , t) = ∫ Φ(t,τ ) B( τ ) B T ( τ ) Φ T (t, τ ) dτ
t
o
Donde Φ(t, to) es la matriz transición del sistema. Entonces el sistema
es completamente controlable si y sólo si existe para todo to a t1 con
to< t1<∞ tal que W(to, t1) es no singular.
1.9 RECONSTRUCTIBILIDAD
La propiedad de reconstructibilidad en un sistema permite
determinar si es posible observar el comportamiento de su vector
estado desde el comportamiento de la salida.
La reconstructibilidad de un sistema se puede determinar
considerando un caso simple como lo indica el siguiente teorema:
Teorema 1.20 El SLVT n dimensional
•
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
y(t) = C(t) x(t)
Es completamente reconstruible si y sólo si para todo t1 existe un to
con -∞< t < t tal que:
y(t , t o , x o ,0) = 0
1
Implique que xo = 0
to ≤ t ≤ t
1
La reconstructibilidad de un SLIT se describe en el siguiente
teorema:
Teorema 1.21 El SLIT n dimensional
•
x(t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t)
Es completamente reconstruible si y sólo si los vectores filas de la
matriz de reconstructibilidad:
C
CA
2
CA
Q = .
.
.
n -1
CA
Cubre o barre el espacio n dimensional. Esto quiere decir que el rango
de la matriz Q debe ser n.
La reconstructibilidad de un SLVT se describe en:
Teorema 1.22 El SLVT n dimensional
•
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
y(t) = C(t) x(t)
Define la función matricial no negativa definida:
t
1
M(t, t ) = ∫ Φ T (τ , t) CT (τ ) C(τ ) Φ(τ , t) dτ
1
t
Donde Φ(t, to) es la matriz de transición del sistema. Entonces el
sistema es completamente reconstruible si y sólo si para todo t1 existe
un to con -∞< t < t tal que M(to, t1) es no singular.
0
