UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO BOLIVAR

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO BOLIVAR
UNIDAD DE CURSOS BASICOS
AREA DE MATEMATICA
MATEMATICA IV
Prof:
Cristian Castillo
Bachilleres:
Barcelo Jean C.
Dacosta Jennifer
Silva Eicarys
Sección Nº01
Marzo, 2010
Crecimiento y decaimiento
El problema de valor inicial
En donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de
distintos
Fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración).
Esta ecuación diferencial entre otras cosas también puede describir la temperatura de un
objeto que se enfría.
Ley de Newton del enfriamiento
Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría
un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le
rodea, que es la temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto en el
momento t, T,,,es la temperatura constante del medio que lo rodea y dT/dt es la rapidez
con que se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el
enunciado matemático
En donde k es una constante de proporcionalidad. Como supusimos que el objeto se
enfría, se debe cumplir que T > T,,,; en consecuencia, lo lógico es que k < 0.
Por lo tanto con la ecuación diferencial lineal de primer orden se expresa que k es una
constante de proporcionalidad, T(r) es la temperatura del objeto cuando t > 0 y T,,, es la
temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto.
Problemas Nº 01
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos,
2OO’F. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 7º”F?
SOLUCIÓN
En la ecuación vemos que Tm =70. Por consiguiente, debemos resolver el problema
de valor inicial.
Y determinar el valor de K, de tal modo que T (300) = 200.
La ecuación es lineal y de variable separable, a la vez. Al separar las variables.
Tiene como solución un Ln| T-70|=Kt+ C1, quedando así T=70 + C2eKt .
Cuando t= 0, T= 300, de modo que 300=70 + C2. Quedando que C2 = 230.
Entonces.
T=70+230eKt. Por último. La determinación T(3)= 200 haciendo sustitución en T.
queda
200= 70+ 230e3k ; ósea 3K= Ln
Queda q K=-0.19018
T(t)= 70+ 230e-0.19018
Problema Nº 02
Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura de l aire es 70ºF y se
lleva al exterior, donde la temperatura es 10ºF, pasado ½ minuto el termómetro indica
50ºF.¿ cuál es la lectura cuando t= 1min.? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el
termómetro llegue a 15ºF?
SOLUCION:
; T(0)=70
Ln| T- 10|=Kt + C1; quedando que:
T=10+ C2eKt . cuando t= o; T=70,
70=10+ C2. Quedando q C2=60.
T-10=eKt: + C1eKt
Entonces: T=10+ 60eKt. Por ultimo para determinar el valor el K, cuando T=50:
t=1/2min.
50=10+60eKt
30K= ln(40/60)
K= -0.013515.
T=10+60e-0.013515t
Sustituyendo el tiempo deseado. Queda:
T= 10+60e-0.013515(60)s; T=36.37ºF
Por lo tanto para la solución de la otra interrogante, plantearíamos la ecuación.
Quedando que:
T=10+ 60e-0.0135158*t
15=10+60e-0.013515*t
-0.013515x t=Ln(5/60). Por lo tanto. t=183.86.