Fracciones generatrices

Abel Martín
Fracciones generatrices
Como su propio nombre indica, buscar la fracción generatriz de un número racional es buscar aquella fracción irreducible a partir de la cual se obtiene dicho número.
(a) Fracción generatriz en un decimal exacto
Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal.
Denominador: La unidad (1), seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
EJEMPLO 1. Calcula la fracción generatriz del número 0.62
=
62
31
=
100
50
Hay que tener en cuanta que uno de los objetivos fundamentales de las matemáticas es
el razonamiento, antes que la memorización, sin ánimo de despreciar esta última.
Por eso, suele ser interesante la utilización de las calculadoras, aprovechando la capacidad
de la gama ES de CASIO, que son capaces de averiguar la fracción que genera un número decimal, exacto o periódico. Basta con introducir los suficientes decimales, hasta que se salgan
de la pantalla...
En el decimal exacto, que es este primer caso que nos ocupa, basta escribir el número directamente:
0.62=
(b)Fracción generatriz en un número decimal periódico:
Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal, y se le resta el número formado por todas
las cifras que van antes del periodo.
Denominador: Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperiodo.
EJEMPLO 2. Calcula la fracción generatriz del número 0.1111...
)
0. 1 =
Fracción generatriz en un número decimal periódico puro
=
1− 0 1
=
9
9
Como ya hemos dicho, en los números periódicos puros, se introducen las cifras hasta
)
que se salgan de la propia pantalla de la calculadora. En el caso que nos ocupa 0. 1
0.111111
11111111=
Siempre con el modo MthI0 activado
www.aulamatematica.com
1
Los números Reales
EJEMPLO 3. Calcula la fracción generatriz del número 4.6111111...
)
4. 6 1 =
Fracción generatriz en un número decimal periódico mixto
=
461 − 46 415
83
=
=
90
90
18
Siguiendo en la línea de lo ya mencionado, en los números periódicos mixtos, se introducen las cifras hasta que se salgan de la propia pantalla de la calculadora. En el caso que nos
)
ocupa 4.6 1
4.61111111
1111111=
EJEMPLO 4. Calcula la fracción generatriz del número 0.9999...
)
= 0. 9
)
0. 9 =
9−0
9
= =1
9
9
Aparentemente no es posible que esa sea la fracción generatriz ya que 0.9999 ≠ 1
Acudimos a la definición de números distintos:
"Es suficiente encontrar uno de los infinitos números que existen siempre entre dos números
cualesquiera para demostrar que son diferentes"
Entre 0.9999... y 1 no seríamos capaces de encontrar ningún número.
R, Q, entero, natural
0.999999999
9999999=
EJEMPLO 5. Calcula la fracción generatriz del número 0.39999...
)
=0.3 9
=
39 − 3
36 2
=
=
90
90 5
Aparentemente no es posible que esa sea la fracción generatriz ya que 0.9999 ≠ 1
Acudimos a la definición de números distintos:
"Es suficiente encontrar uno de los infinitos números que existen siempre entre dos números
cualesquiera para demostrar que son diferentes"
Entre 0.39999... y 0.40 no seríamos capaces de encontrar ningún número.
R, Q, entero, natural
0.399999999
99999999=
2
Las fracciones generatrices