Líneas de transmisión - Universidad Nacional de La Plata

Línea de Transmisión
Campos y Ondas
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
ARGENTINA
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
•
Obtención de las ecuaciones diferenciales de la tensión y
de la corriente en una línea de transmisión bifilar
(ecuaciones del Telegrafista) a partir de las ecuaciones de
Campo .
–
•
•
•
Solución general de la ecuación para una línea ideal sin
pérdida. Determinación de la:
• velocidad de propagación
• impedancia característica.
Líneas reales excitadas con funciones periódicas
sinusoidales, solución de la ecuación diferencial,
constante de propagación.
Ondas estacionarias en líneas excitadas por sinusoides y
cargadas.
Obtención de la onda incidente y reflejada en función de la carga
y el generador.
– Línea adaptada.
–
Coeficientes de reflexión.
– Impedancia de entrada de líneas
– línea de longitud infinita
– línea en cortocircuito
– línea en circuito abierto
– línea de longitud=λ/4
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
Z
Y
z
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
∂u ( x, t )
∂
+ l i ( x) + r.i ( x) = 0
∂x
∂t
∂u ( x, t )
∂
= −l i ( x) − r.i ( x)
∂x
∂t
∂i 2 ( x, t )
∂u ( x, t )
∂ 2 u ( x, t )
−
=g
+c
2
∂x
∂x
∂t ∂x
∂u 2 ( x, t )
∂i ( x, t ) ∂i 2 ( x, t )
= −r
−l
∂x∂t
∂t
∂t 2
∂i 2 ( x, t )
∂i ( x)
∂i ( x, t )
∂i 2 ( x, t )
= gl
+ gr.i ( x) + cr
+ lc
2
∂x
∂t
∂t
∂ 2t
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
i ( x)
u(x)
CAMPOS Y ONDAS
i(x+∆x)
u(x +∆x)
Líneas de transmisión
u ( x)
i ( x)
u ( x + ∆x )
i ( x + ∆x)
∆x
u ( x) − u ( x + ∆x) = ∆xl.
lim ∆x →0
u ( x ) − u ( x + ∆x )
∂i ( x)
= l.
+ r.i ( x)
∆x
∂t
i ( x) = i ( x + ∆x) + c.∆x.
lim ∆x →0
∂i ( x)
+ ∆xr.i ( x)
∂t
∂u ( x + ∆x)
+ g .∆x.u ( x + ∆x)
∂t
−i ( x + ∆x) + i ( x)
∂u ( x + ∆x)
= + c.
+ g .u ( x + ∆x)
∆x
∂t
CAMPOS Y ONDAS
−
−
∂u ( x)
∂i ( x)
= l.
+ r.i ( x)
∂x
∂t
∂i ( x)
∂u ( x)
= c.
+ g.u ( x)
∂x
∂t
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
CAMPOS Y ONDAS
Líneas de transmisión
Zo Impedancia característica de la línea
1 u ( x − vt )
l
=
=
= Zo
k1 i ( x − vt )
c
CAMPOS Y ONDAS
1 u ( x + vt )
=
= − Zo
k 2 i ( x + vt )
Líneas con funciones armónicas
∂i ( x)
∂u ( x)
−
= c.
+ g .u ( x)
∂x
∂t
∂u ( x)
∂i ( x)
−
= l.
+ r.i ( x)
∂x
∂t
−
∂u ( x)
∂i ( x)
= l.
+ r.i ( x)
∂x
∂t
∂I( x)
+ ( jwc + g ).U ( x) = 0
∂x
∂U ( x)
+ ( jwl + r ).I( x) = 0
∂x
CAMPOS Y ONDAS
∂I
∂U
= jwI( x)
= jwcU ( x)
∂t
∂t
∂ 2 I( x)
− ( jwc + g ).( jwl + r ) I( x) = 0
2
∂ x
∂ 2U ( x)
− ( jwc + g ).( jwl + r )U ( x) = 0
2
∂ x
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
Onda Estacionaria
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Perfiles de Tensiones y Corrientes estacionarias a lo largo de la línea
3
200
I
180
2
160
V
140
1
120
E
100
0
Zl=200 Z0
80
60
-1
40
20
-2
-3
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x/λ
2
0.8
0.9
0
0.05
0.1
0.15
Zl=2Zo
V
1.8
Zl=Zo
1
1.6
I
1.4
0.5
0.25
x/λ
1
2
1.5
0.2
Zl=0,5Zo
1.2
0
1
Línea abierta, l=0.16λ
0.8
-0.5
0.6
-1
0.4
-1.5
-2
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x/λ
CAMPOS Y ONDAS
0.7
0.8
0.9
1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
x/λ
0.1
0.12
0.14
0.16
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
Impedancia de entrada de una línea de perdidas
despreciables, en cortocircuito (Zecc).
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
Impedancia de entrada de una línea con
pérdidas despreciables, en circuito
abierto (Zca).
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
La impedancia de entrada es igual a la
inversa de la impedancia de carga.
Si la impedancia de carga tiene un
comportamiento inductivo, la
impedancia de entrada se comportara
capacitivamente o viceversa.
CAMPOS Y ONDAS
Líneas con funciones armónicas
CAMPOS Y ONDAS
Respuesta al escalón de una línea sin pérdidas
Vo
σs
σl
Rs
V1
Zo,v, td
V2
RL
x
Coeficientes de Reflexión
+
U−
= − Zo
I−
U
= Zo
I+
+
U +U − = U
+
U
U−
−
=I
Zo Zo
Zo
+
−
+
−
U +U
U +U
=
U
= Rl
I
+
U +U − =
+
Rl
(U − U − )
Zo
+
Rl
Rl
U ( + 1) = U ( − 1)
Zo
Zo
−
+
Rl + Zo
Rl − Zo
U (
) =U (
)
Zo
Zo
−
U−
U
+
=(
Rl − Zo
Rl + Zo
σs =
Rs − Zo
Rs + Zo
Rl − Zo
) = σl
Rl + Zo
vs (t ) = V0 .U (t )
V 1+ = V0
CAMPOS Y ONDAS
σl =
U (t ) =
0, para...t < 0
1, para...t ≥|1
Zo
x
U (t − )
Z o + Rs
v
Respuesta al escalón de una línea sin pérdidas
V ( x, t ) = V0
Zo
x
x
x
x
[U (t − ) + σ l.U (t − 2td + ) + σ l.σ s.U (t − 2td − ) + σ l 2 .σ s.U (t − 4td + ) +
Z o + Rs
v
v
v
v
x
v
x
v
σ l 3 .σ s 2 .U (t − 6td + ) + σ l 3 .σ s 3 .U (t − 6td − )....]
td/2
V1+( 1+σl)
td
σl. V1+
2td
V1+( 1+σl+ σs. σl.+ σs. σl2 )
σs. σl2. V1+
CAMPOS Y ONDAS
td
σs. σl. V1+
3td
4td
U(t-td)
V1+
Para tiempos muy largos
V ( x, ∞) = V0
V ( x, ∞) = V0
V ( x, ∞) = V0
Zo
[1 + σ l + σ l.σ s + σ l 2 .σ s + σ l 2 .σ s 2 + σ l 3 .σ s 2 + σ l 3 .σ s 3 + σ l 4 .σ s 3 + σ l 4 .σ s 4 ....]
Z o + Rs
Zo
[(1 + σ l.σ s + σ l 2 .σ s 2 + σ l 3 .σ s 3 + σ l 4 .σ s 4 ..) + σ l (1 + σ l .σ s + σ l 2 .σ s 2 + σ l 3 .σ s 3 + ..)]
Z o + Rs
Zo
Zo
1
σl
1+ σ l
Rl
[(
)+
)] = V0
= V0
Z o + Rs 1 − σ l .σ s 1 − σ l .σ s
Z o + Rs 1 − σ l .σ s
Rl + Rs
Tensión en la carga, igual al caso de no tener la línea interpuesta
CAMPOS Y ONDAS
Lattice
X=0
σR=-1
V=1
σR=1
1
x
2
T/2
X=l
t
1
2
T
1
1
2T
-1
t
-1
X=l/2
0
3T
-1
4T
CAMPOS Y ONDAS
-1
t
1