pdf2

Ejercicio 1
Dado el modelo de ecuaciones simultáneas
y1t
= α1 y2t + α2 x1t + u1t ,
y2t
= β1 y1t + β2 x2t + β3 x3t + u2t ,
y teniendo en cuenta la siguiente información muestral obtenida a partir de 305 observaciones:
y1
y2
x1
x2
x3
y1
200
60
4
10
20
y2 x1
60 4
40 0
0 10
0
0
10 0
x2
10
0
0
20
0
x3
20
10
0
0
5
Vamos a:
a) Estimar por el método de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios las ecuaciones del modelo.
b) Estudiar la identificabilidad del modelo.
c) Estimar cada ecuación del modelo por el método más idóneo en cada caso.
d) Estimar, si es posible, el modelo en su conjunto por el método de Mı́nimos Cuadrados Tres Etapas.
Mı́nimos Cuadrados Ordinarios
Vamos a aplicar en primer lugar este método ya que recordemos que se puede aplicar de forma independiente a
la identificación de las ecuaciones, es decir, no se exige que las ecuaciones estén identificadas.
Para estimar los parámetros de la ecuación h−ésima del modelo, ver (??), utilizaremos el estimador
−1
δbh,M CO = ZTh Zh
ZTh yh ,
con Zh = (Yh Xh ), siendo Yh el número de variables endógenas presentes en el segundo miembro de la ecuación hésima, yh es la variable endógena del primer miembro de dicha ecuación y Xh contiene las variables predeterminadas
de tal ecuación.
En el caso de la primera ecuación, se tiene que la expresión correspondiente al estimador vendrı́a dada por
−1
δb1,M CO = ZT1 ZT1
ZT1 y1 ,
donde ZT1 =
y2t
x1t
(1)
e y1 = y1t . Luego
ZT1 Z1 = y2t
x1t
y2t
40
0
x1t
0
10
y
ZT1 y1 = y2t
x1t
y1t
60
.
4
Entonces, a partir de (1)
40
δb1,M CO =
0
−1 0 0
60
15
·
= 0 ,
10
4
04
es decir, α
b1 = 10 5 y α
b2 = 00 2.
Por tanto, la estimación que se tiene para la primera ecuación utilizando MCO viene dada por:
1
yb1t = 10 5y2t + 00 4x1t .
Siguiendo las mismas pautas utilizadas para la estimación de la primera ecuación, se tiene que el estimador de
la segunda expresión que compone el modelo es:
−1
δb2,M CO = ZT2 Z2
ZT2 y2 ,

(2)

y1t
siendo ZT2 = x2t  e y2 = y2t , luego
x3t
ZT2 Z2
 y1t x2t x3t
y1t 200 10 20
=
x2t  10 20 0 
x3t 20 0 5
ZT2 y2
y
 y2t

y1t 60
=
x2t  0  .
x3t 10
A partir de (2) se tiene
δb2,M CO

200
=  10
20

−1    0
0 1739
60
10 20
20 0  ·  0  = −00 087 ,
10 3043
10
0 5
es decir, βb1 = 00 1739, βb2 = −00 087 y βb3 = 10 3043. Ası́ pues, la estimación que se tiene para la segunda ecuación es:
yb2t = 00 1739y1t − 00 087x2t + 10 3043x3t .
Por tanto, se tiene que el modelo estimado por MCO, utilizando la información muestral proporcionada, quedarı́a
expresado por:
yb1t = 10 5y2t + 00 4x1t ,
(3)
yb2t = 00 1739y1t − 00 087x2t + 10 3043x3t .
Identificación
El modelo contiene dos variables endógenas y tres predeterminadas:
N = 2 : y1t , y2t ,
k = 3 : x1t , x2t , x3t ,
de forma que su forma estructural es la siguiente
(y1t y2t ) ·
−1
α1
β1
−1

+ (x1t x2t
α2
x3t ) ·  0
0

0
β2  + (u1t u2t ) = (0 0),
β3
ya que el modelo de ecuaciones simultáneas se puede escribir de forma equivalente como
−y1t + α1 y2t + α2 x1t + u1t
=
0,
β1 y1t − y2t + β2 x2t + β3 x3t + u2t
=
0.
A partir de la forma estructural obtenida identificamos que
Γ=
−1
α1
β1
−1

α2
B= 0
0
,
2

0
β2  ,
β3
(4)
de tal manera que para la forma reducida se tiene que


α2 0
−1
Π = −B · Γ−1 = −  0 β2  ·
α1
0 β3


α2 0
1
−1
·
= −  0 β2  ·
−α1
1 − α1 β1
0 β3


α2
α2 β1
1
β2  ,
·  β2 α1
=
1 − α1 β1
β3 α1
β3
β1
−1
−1
−β1
−1
y
V
=
=
−1
−1 β1
−U · Γ−1 = −(u1 u2 ) ·
α1 −1
u1 + α1 u2 u1 β1 + u2
1
1 β1
· (u1 u2 ) ·
=
.
α1 1
1 − α1 β1
1 − α1 β1 1 − α1 β1
Una vez que disponemos de las expresiones de la forma estructural y reducida del modelo, vamos a identificar
el modelo mediante tres vı́as distintas, como son:
a) Identificación bajo restricciones de nulidad usando el método del orden del rango para la forma estructural.
b) Identificación bajo restricciones de nulidad usando el método del orden y del rango para la forma reducida.
c) Identificación mediante restricciones lineales usando el método del rango y del orden.
En los tres casos obtendremos que la primera ecuación es sobreidentificada y la segunda exactamente identificada.
Por tanto, el modelo en su conjunto es sobreidentificado ya que ambas ecuaciones son identificables siendo una de
ellas sobreidentificable.
Además, debido a estos resultados el método idóneo para la estimación de la primera ecuación será el de Mı́nimos
Cuadrados en Dos Etapas, mientras que para la segunda el de Mı́nimos Cuadrados Indirectos.
Identificación bajo restricciones de nulidad para la forma estructural
El primer paso será el de construir la matriz A =



A=


Γ
B
−1
α1
α2
0
0
a partir de la forma estructural
β1
−1
0
β2
β3



.


Entonces, para la primera ecuación, a partir del método del orden se tiene que la ecuación puede ser sobreidentificada ya que
k1 = 1 ⇒ k − k1 = 2, N1 = 2 ⇒ N1 − 1 = 1,
y por tanto, k − k1 > N1 − 1.
Para decidir si realmente la ecuación es sobreidentificada, recurriremos al método del rango. Para construir la
submatriz A1 tendremos que fijarnos en los ceros de la primera columna y quedarnos con los restantes elementos
de las filas donde se encuentran dichos ceros, ası́:
β2
A1 =
.
β3
3
Como el rango de A1 es 1, que coincide con N − 1, entonces la ecuación está sobreidentificada.
Para la segunda ecuación, según el método del orden
k2 = 2 ⇒ k − k2 = 1
N2 = 2 ⇒ N2 − 1 = 1
⇒ k − k2 = N2 − 1,
y entonces la ecuación puede ser exactamente identificada.
Para confirmar la naturaleza de dicha ecuación recurrimos al método del rango. Para construir A2 tendremos
que buscar los ceros de la segunda columna de A y quedarnos con los restantes elementos de las filas donde se
encuentran tales ceros.
Puesto que en este caso A2 = α2 , es evidente que el rango de dicha matriz es 1, que coincide con N − 1, y
entonces efectivamente la ecuación está exactamente identificada.
Identificación bajo restricciones de nulidad para la forma reducida
En este caso habrı́a que volver a estudiar cada ecuación por el método del orden, cuestión ya realizada, y que
recordemos concluı́a que la primera ecuación podı́a ser sobreidentificada y la segunda exactamente identificada.
Para el método del rango de la forma reducida es necesario
corresponde a:

α2
1
·  β2 α 1
Π=
1 − α1 β1
β3 α 1
conocer la expresión de Π, que recordemos que

α2 β1
β2  .
β3
Para aplicar dicho método a la primera ecuación hay que obtener la submatriz de Π tal que al multiplicarla por
la primera columna de la matriz Γ se iguale a la parte nula de la primera columna de B:


α2
−1
Π·
= − 0 .
α1
0
Llamando
Π1 =
1
· (α2 α2 β1 ),
1 − α1 β1
Π2 =
1
·
1 − α1 β1
β2 α1
β3 α1
β2
β3
,
se tiene que
Π1
Π2


α2
−1
·
= − 0 ,
α1
0
y entonces, claramente se obtiene que la submatriz de Π que multiplicada por la primera columna de Γ se iguala a
la parte nula de primera columna de B es Π2 .
Entonces, puesto que ρ(Π2 ) = 1 (la primera columna se obtiene multiplicando la segunda por α1 ), se tiene que
ρ(Π2 ) = N1 − 1, y por tanto, la ecuación está sobreidentificada.
Para la segunda ecuación hay que obtener la submatriz de Π tal que al multiplicarla por la segunda columna de
la matriz Γ se iguale a la parte nula de la segunda columna de B:


0
β1
Π·
= −  β2  .
−1
β3
Observando la ecuación anterior vemos que sigue siendo válida la partición anterior, de forma que la submatriz
buscada en este caso es Π1 . Entonces, puesto que ρ(Π1 ) = 1 claramente, se verifica pues que ρ(Π1 ) = N2 − 1, con
lo que la ecuación es exactamente identificada.
4
Identificación bajo restricciones lineales
Ya que las restricciones de nulidad pueden tratarse como restricciones lineales, vamos a continuación a identificar
cada una de las ecuaciones mediante el método del orden y del rango bajo restricciones lineales.
Para la primera ecuación, el método del orden nos indica que puede ser sobreidentificada ya que
r1 = 2 > 1 = N − 1,
donde se ha tenido en cuenta que a la primera ecuación le afectan dos restricciones (α3 = 0 = α4 ) correspondientes
a las variables exógenas x2t y x3t que no aparecen en dicha ecuación.
Para aplicar el método del rango tendremos en cuenta que los coeficientes de la primera ecuación, a1 , y de la
segunda, a2 , son:
a1 = (−1 α1 α2 α3 α4 )T5×1 , a2 = (β1 − 1 β4 β2 β3 )T5×1 .
De esta forma, las restricciones α3 = 0 = α4 se obtienen mediante Φ1 a1 = 02×1 siendo
0 0 0 1 0
Φ1 =
.
0 0 0 0 1
Entonces se obtiene que
Φ1 · A =
0
0
β2
β3
,
y como ρ(Φ1 · A) = 1 = N − 1, la ecuación está sobreidentificada.
A la segunda ecuación sólo le afecta una restricción (no aparece la variable x1t ), por lo que el método del orden
indica que la ecuación puede ser exactamente identificada ya que r2 = 1 = N − 1.
Para confirmar si esto es cierto, aplicaremos el método del rango teniendo en cuenta que la restricción β4 = 0
(que es la que afecta a la segunda ecuación haciendo que no aparezca x1t ), se obtiene a partir de Φ2 a2 = 0, siendo
Φ2 = (0 0 1 0 0).
Por tanto, Φ2 · A = (α2 0), y entonces la ecuación está exactamente identificada ya que ρ(Φ2 · A) = 1 = N − 1.
Mı́nimos Cuadrados en Dos Etapas
Los Mı́nimos Cuadrados en Dos Etapas es el procedimiento más importante y ampliamente utilizado, ya que
resulta aplicable a ecuaciones que sean sobreidentificables o exactamente identificables.
Ya que la primera ecuación es sobreidentificada y la segunda exactamente identificada, este método se puede
aplicar a ambas ecuaciones, si bien, el método idóneo para estimar la segunda es el de Mı́nimos Cuadrados Indirectos.
En este método el estimador mı́nimo cuadrático de la ecuación h corresponde a:
T −1 T
b Z
b
b y ,
δbh,M C2E = Z
Z
h h
h h
bh = Y
b h Xh y donde Y
b h contiene las estimaciones de las variables endógenas presentes en el segundo
con Z
miembro de la ecuación en estudio obtenidas al estimar la forma reducida, yh es la variable endógena del primer
miembro de dicha ecuación y Xh contiene las variables predeterminadas de tal ecuación.
Como es sabido, el primer paso es calcular la estimación correspondiente de la forma reducida del modelo. Puesto
que

−1 
  0

10 0 0
4 0
04 0
−1
b = (X 0 X) X 0 Y =  0 20 0 · 10 0  = 00 5 0 ,
Π
0 0 5
20 10
4 2
se tiene que la estimación buscada quedarı́a expresada por
yb1t
=
00 4x1t + 00 5x2t + 4x3t ,
yb2t
=
2x3t .
5
Usando esta información estimamos a continuación cada una de las ecuaciones. Para la primera ecuación se tiene
que la expresión del estimador vendrı́a dada por
T −1 T
b Z
b
b y1 ,
δb1,M C2E = Z
Z
1 1
1
bT =
donde Z
1
(5)
yb2t
, con yb2t = 2x3t , e y1 = y1t . Entonces, teniendo en cuenta la información muestral
x1t
bT Z
b
b2t
Z
1 1 = y
x1t
yb2t x1t
a
b
b
10
b T y1 = yb2t
Z
1
x1t
y
y1t
c
.
4
Calculamos a continuación los valores de a, b, y c:
T
a
T
= yb2t
yb2t = (2x3t ) (2x3t ) = 4xT3t x3t = 4 · 5 = 20,
b
T
= yb2t
x1t = (2x3t ) x1t = 2xT3t x1t = 2 · 0 = 0,
T
T
T
c = yb2t
y1t = (2x3t ) y1t = 2xT3t y1t = 2 · 20 = 40.
Entonces, a partir de los valores de a, b, y c, la expresión (5) queda
20
b
δ1,M C2E =
0
−1 0
40
2
·
= 0 ,
10
4
04
es decir, α
b1 = 2 y α
b2 = 00 4.
Por tanto, la estimación por MC2E que se tiene para dicha ecuación es:
yb1t = 2y2t + 00 4x1t .
(6)
Para obtener la estimación de la segunda ecuación realizaremos el mismo procedimiento usando la expresión
T −1 T
b
b Z
b y2 ,
Z
δb2,M C2E = Z
2 2
2
(7)


y
b
1t
b T = x2t , donde yb1t = 00 4x1t + 00 5x2t + 4x3t , e y2 = y2t . Luego
siendo Z
2
x3t
b
bT Z
Z
2 2
y
b1t
yb1t a
=
x2t  b
x3t c
x2t
b
20
0
x3t
c
0
5
y
b T y2
Z
2
 y2t
yb1t d
=
.
x2t  0 
x3t 10
Calculemos a, b, c y d a partir de la información muestral:
a
=
=
T
T
yb1t
yb1t = (00 4x1t + 00 5x2t + 4x3t ) (00 4x1t + 00 5x2t + 4x3t )
00 42 xT1t x1t + 00 4 · 00 5xT1t x2t + 00 4 · 4xT1t x3t + 00 5 · 00 4xT2t x1t + 00 52 xT2t x2t
+00 5 · 4xT2t x3t + 4 · 00 4xT3t x1t + 4 · 00 5xT3t x2t + 42 xT3t x3t
=
00 42 · 10 + 0 + 0 + 0 + 00 52 · 20 + 0 + 0 + 0 + 42 · 5 = 10 6 + 5 + 80 = 860 6,
b
T
T
= yb1t
x2t = (00 4x1t + 00 5x2t + 4x3t ) x2t
=
00 4xT1t x2t + 00 5xT2t x2t + 4xT3t x2t = 00 5 · 20 = 10,
6
T
T
c = yb1t
x3t = (00 4x1t + 00 5x2t + 4x3t ) x3t
=
00 4xT1t x3t + 00 5xT2t x3t + 4xT3t x3t = 4 · 5 = 20,
T
T
d = yb1t
y2t = (00 4x1t + 00 5x2t + 4x3t ) y2t
=
00 4xT1t y2t + 00 5xT2t y2t + 4xT3t y2t = 4 · 10 = 40.
Utilizando la información obtenida, a partir de la expresión (7) se tiene que
δb2,M C2E
−1    
20
40
0
0  ·  0  = 0 ,
5
10
2
 0
86 6 10
=  10 20
20
0
es decir, βb1 = 0 = βb2 y βb3 = 2. Por tanto la estimación de la segunda ecuación corresponde a:
yb2t = 2x3t .
(8)
Mı́nimos Cuadrados Indirectos
Puesto que este método se puede usar sólo para ecuaciones exactamente identificadas, únicamente podremos
estimar la segunda ecuación.
Recordemos que este método consiste en resolver el sistema
b ·γ
Π
bh = −βbh ,
siendo γh la h-ésima columna de Γ y βh la análoga de B.
Ya que la estimación de Π ya se ha realizado, para la segunda ecuación, h = 2, se tiene que

 0


0
04 0
b
β
1
 00 5 0  ·
= −  βb2  .
−1
4 2
βb3
Luego el sistema a resolver será
00 4βb1 = 0,
00 5βb1 = −βb2 ,
4βb1 = −βb3 ,
cuyas soluciones son
βb1 = 0 = βb2
βb3 = 2

)
⇒ δb2,M CI
Por tanto, la estimación por MCI de la segunda ecuación es
yb2t = 2x3t ,
que coincide, como era de esperar, con la obtenida por MC2E.
7

0
=  0 .
2
Mı́nimos Cuadrados en Tres etapas
El método de Mı́nimos Cuadrados en Tres Etapas permite estimar de manera simultánea todos los parámetros
del modelo estructural. Puesto que recordemos que el modelo es sobreidentificado, podrá ser estimado mediante
este método.
En este caso, teniendo en cuenta la notación del modelo dada en (??), el estimador responde a la expresión
−1
bM C3E = ZT · W
c ·Z
c · y,
δ
· ZT · W
(9)
c =Σ
b −1 ⊗ X XT X
donde W
−1
XT .
Veamos como reescribimos esta última expresión en el caso de dos ecuaciones.
Por un lado, usando las propiedades del producto de Kronecker, se tiene que
b −1 ⊗ X XT X −1 XT = (I ⊗ X) · Σ
b −1 ⊗ XT X −1 · (I ⊗ X)T
Σ
T
−1 X 0
X
−1
T
b
=
· Σ ⊗ X X
·
0 X
0
0
XT
,
donde I y 0 son, respectivamente, la matriz identidad y una matriz de ceros (de dimensiones adecuadas).
Y a partir de esta expresión
T
h
i
Z1
0
X 0
b −1 ⊗ X XT X −1 XT Z =
ZT Σ
·
·
0 X
0 Z2T
b −1 ⊗ XT X −1 ·
· Σ
T
X
0
Z1 0
·
·
0 Z2
0 XT
T
Z1 X
0
b −1 ⊗ XT X −1 ·
=
· Σ
T
0
Z2 X
T
X Z1
0
·
.
0
X T Z2
De forma análoga se obtiene que
Z
T
h
b −1 ⊗ X XT X
Σ
−1
X
T
i
Z1T X
0
y
=
·
X T y1
0
b −1 ⊗ XT X −1 ·
· Σ
0
.
X T y2
0
Z2T X
De esta forma, (9) queda expresada como
T
T
−1 Z1 X
0
X Z1
0
−1
T
bM C3E =
b
·
Σ
⊗
X
X
·
·
δ
0
Z2T X
0
X T Z2
T
−1 X T y1
0
0
Z1 X
−1
T
b
·
Σ
⊗
X
X
.
0
Z2T X
0
X T y2
En primer lugar usaremos las estimaciones obtenidas por MC2E de cada ecuación
 
0
2
δb1,M C2E = 0 ,
δb2,M C2E = 0 ,
04
2
para estimar la matriz de varianzas-covarianzas, Σ, mediante la expresión
σ
bhj =
eTh ej
,
n
8
h, j = 1, 2,
(10)
donde eh = yh − Zh δbh,M C2E , siendo n = 305 el número total de observaciones.
En efecto:
σ
b11
y1t − Z1 δb1,M C2E
T y1t − Z1 δb1,M C2E
=
n
1 T bT
T
=
y1t − δ1,M C2E Z1
y1t − Z1 δb1,M C2E
n
1 T
T
T
T
T
bT
b
y1t y1t − y1t
Z1 δb1,M C2E − δb1,M
=
C2E Z1 y1t + δ1,M C2E Z1 Z1 δ1,M C2E
n
1
1180 4
=
(200 − 1210 6 − 1210 6 + 1610 6) =
= 00 39,
305
305
donde hemos tenido en cuenta que
T
y1t
y1t = 200.
Z1 = (y2t x1t ) ⇒
Z1T Z1 =
40
0
T
y1t
Z1
0
10
= y1t
y2t x1t
60 4
⇒
T
y1t
Z1 δb1,M C2E
T
T
0
b
⇒ δb1,M
C2E Z1 Z1 δ1,M C2E = (2 0 4) ·
= (60 4) ·
40 0
0 10
2
00 4
= 1210 6.
2
80 0
2
·
=
·
=
00 4
0 4
00 4
1610 6.
σ
b22
y2t − Z2 δb2,M C2E
T y2t − Z2 δb2,M C2E
=
n
1 T bT
T
=
y2t − δ2,M C2E Z2
y2t − Z2 δb2,M C2E
n
1 T
T
T
T
T
bT
b
y2t y2t − y2t
Z2 δb2,M C2E − δb2,M
=
C2E Z2 y2t + δ2,M C2E Z2 Z2 δ2,M C2E
n
20
1
(40 − 20 − 20 + 20) =
= 00 07,
=
305
305
donde hemos tenido en cuenta que
T
y2t
y2t = 40.
T
Z2 = (y1t x2t x3t ) ⇒ y2t
Z2 = y2t

200
Z2T Z2 =  10
20

200 10 20
·  10 20 0
20 0
5

0
= (60 0 10) ·  0  = 20.
2

T
⇒ y2t
Z2 δb2,M C2E

10 20
T
T
b
20 0  ⇒ δb2,M
C2E Z2 Z2 δ2,M C2E = (0 0 2)·
0
5
 

 
0
0
 ·  0  = (40 0 10) ·  0  = 20.
2
2
σ
b12
y1t x2t x3t
60 0 10
=
=
=
=
y1t − Z1 δb1,M C2E
T y2t − Z2 δb2,M C2E
n
1 T bT
T
y1t − δ1,M C2E Z1
y2t − Z2 δb2,M C2E
n
1 T
T
T
T
T
bT
b
y1t y2t − y1t
Z2 δb2,M C2E − δb1,M
C2E Z1 y2t + δ1,M C2E Z1 Z2 δ2,M C2E
n
1
−20
(60 − 40 − 80 + 40) =
= −00 07,
305
305
9
donde hemos tenido en cuenta que
T
y1t
y2t = 60.
T
Z2 = (y1t x2t x3t ) ⇒ y1t
Z2 = y1t
Z1 = (y2t x1t ) ⇒
Z1T y2t
Z1T Z2 =
y1t x2t
60 0
4 0
y2t
x1t
=
 
y1t x2t x3t 0
T
200 10 20
⇒ y2t
Z2 δb2,M C2E = (200 10 20) ·  0  = 40.
2
y2t 40
T
T
0
b
y2t
40
⇒ δ1,M C2E Z1 y2t = (2 0 4) ·
= 80.
0
x1t
0
 
x3t
0
60
0
10
T
T
b2,M C2E = (2 00 4)·

0  = (1210 6 0 20)·
10
⇒ δb1,M
Z
Z
δ
·
2
1
C2E
4 0 0
2
0


0
 0  = 40.
2
Por tanto, se tiene que la estimación de la matriz de varianzas-covarianzas quedarı́a determinada por:
0
0 39 −00 07
b
Σ=
,
−00 07 00 07
cuya inversa corresponde a:
b −1 =
Σ
30 13
30 13
30 13
170 41
b −1 calculamos Σ
b −1 ⊗ XT X
Utilizando la expresión de Σ
b −1 ⊗ XT X
Σ
−1
0
3 13
=
30 13
 0
0 313
 0

 0
= 
00 313

 0
0
.
−1
:
1
10
30 13
⊗0
170 41
0
0
00 156
0
0
00 156
0
0
1
20
0

0
0
1
5

0
00 313
0
0
0
0
00 156
0 

0
0
0 626
0
0
0 626
,
0
10 741
0
0 

0
0
00 871
0 
00 626
0
0
30 482
donde se ha tenido en cuenta que X = (x1t x2t x3t ).


y1t
y2t
T
T
Por otro lado, como Z1 =
y Z2 =  x2t  se tiene que
x1t
x3t
ZT1 X = y2t
x1t
x1t
0
10
x2t
0
0
x3t
10
0
y
10
y
ZT2 X = 1t
x2t
x3t
x1t x2t
4
10
0
20
0
0
x3t
20
,
0
5
(11)
y entonces

T
Z1 X
0
T
X Z1
0
0
ZT2 X
0
X T Z2
0 0
10 0

= 
0 0
0 0
0 0

0 10
0 0

10 0
= 
0 0

0 0
0 0
10 0
0 0
0 4
0 0
0 0
0
0
0
4
10
20
0
0
10
20
0

0
0

20
,
0
5

0 0
0 0

0 0
.
0 0

20 0
0 5
(12)
(13)
Finalmente, a partir de la información muestral
y1t
x1t 4
X y1 =
x2t 10
x3t 20
T
y2t
x1t 0
X y2 =
.
x2t  0 
x3t 10
T
y
Por tanto,
 
4
10
T  
20
X y1

=
 0 .
X T y2
 
0
10
(14)
A partir de los resultados obtenidos, multiplicando las matrices (12), (11) y (13) se obtiene que

 0
62 6
0
1250 2
0
310 3
 0
310 3
120 52
0
0 


T c −1
0
0
0
0

Z W Z = 125 2 12 52 1507 76 174 2 3480 2
,
 0
0
1740 2 3480 4
0 
310 3
0
3480 2
0
870 05
y multiplicando (12), (11) y (14) se tiene

1870 8
 120 52 
 0

T c −1

Z W y=
967 0408 .
 31 2 
2360 7

Por tanto, la expresión (10) del estimador por MC3E corresponde a
 0
−1 
 

62 6
0
1250 2
0
310 3
1870 8
2
 0
 120 52   00 4 
310 3
120 52
0
0 



 

0
0
0
0
0
0


 

δbM C3E = 
125 2 12 52 15070 76 1740 2 348 2 · 967 0408 =  00  ,
 0
 31 2  0 09
0
174 2 348 4
0 
310 3
0
3480 2
0
870 05
2360 7
2
es decir, α
b1 = 2, α
b2 = 00 4, βb1 = 0, βb2 = 00 09 y βb3 = 2. Por tanto, la estimación conjunta del modelo por MC3E es:
yb1t
=
yb2t
=
2y2t + 00 4x1t ,
0
0 09x2t + 2x3t .
(15)
(16)
Adviértase que en el caso de la ecuación exactamente identificada, coincide la estimación obtenida por MC2E
y MC3E.
11
q
120
89
98
112
114
117
98
130
102
107
140
128
133
109
112
p
1.830
1.573
1.902
1.715
1.806
1.776
1.938
1.432
1.803
1.804
1.380
1.475
1.402
1.670
1.720
y
4.120
4.802
4.505
4.803
4.721
5.203
4.601
5.370
4.870
4.903
5.128
5.031
5.215
5.133
5.304
z
1.21
1.22
1.31
1.27
1.28
1.30
1.32
1.33
1.37
1.40
1.20
1.17
1.37
1.42
1.28
Cuadro 1: Datos muestrales del modelo de ecuaciones simultáneas
Ejercicio 2
Para estimar el comportamiento del mercado de automóviles propulsados por motor de gasolina se dispone del
siguiente modelo:
qd
= a0 + a1 p + a2 y + 1 ,
(17)
qs
= b0 + b1 p + b2 z + 2 ,
(18)
q
d
=
s
q ,
donde
q d es el número de unidades demandadas medidas en miles,
q s es el número de unidades ofrecidas medidas en miles,
y es la renta familiar media en millones de pesetas,
p el precio medio en millones de pesetas del vehı́culo propulsado con motor de gasolina, y
z es el precio relativo del litro de gasolina respecto del gasóleo.
A partir de los datos muestrales del cuadro 1 se va a estimar las ecuaciones anteriores mediante los métodos
más adecuados.
Identificación
El primer paso que hay que dar es el de identificar cada una de las ecuaciones, ya que dependiendo de la
naturaleza de cada una de ellas se usará un método u otro para obtener la estimación de los parámetros.
Observando el modelo determinado por las ecuaciones (17) y (18) se tienen dos variables endógenas, p y q, y
tres predeterminadas, una constante, y y z. Además, como ya sabemos, la forma estructural de dicho sistema es:


a0 b0
−1 −1
(q p) ·
+ (1 y z) ·  a2 0  + (1 2 ) = (0 0),
a1 b1
0 b2
12
de donde se obtienen las matrices
Γ=
−1
a1
−1
b1

,
a0

a2
B=
0

b0
0 .
b2
Recordemos que una regla general para la identificación de una ecuación con restricciones de nulidad es la
siguiente:
ρ(Ah ) < N − 1
=⇒ Ecuación subidentificable
k − kh < Nh − 1
ρ(Ah ) = N − 1
=⇒ Ecuación exactamente identificable
k − k h = Nh − 1
ρ(Ah ) = N − 1
=⇒ Ecuación sobreidentificada
k − kh > Nh − 1
donde N y k son el número de variables endógenas y predeterminadas, respectivamente, presentes en el modelo, Nh
y kh son el número de variables endógenas y predeterminadas, respectivamente, presentes en la ecuación h-ésima y
la matriz
Γ0
,
Ah =
B0
Γ
teniendo en cuenta que Γ0 y B0 son submatrices que contienen los
se obtiene a partir de la matriz A =
B
coeficientes de las variables endógenas y exógenas, respectivamente, de las restantes ecuaciones que acompañan a
los coeficientes nulos de las variables endógenas y exógenas de la ecuación en estudio.
Por tanto, teniendo en cuenta que N = 2 y k = 3, para la ecuación (17) se tiene que
k1 = 2 −→ k − k1 = 1
−→ k − k1 = N1 − 1,
N1 = 2 −→ N1 − 1 = 1
y
A1 = b2 −→ ρ(A1 ) = 1 = N − 1,
por lo que la primera ecuación es exactamente identificada.
Para la ecuación (18) se tiene que
k2 = 2 −→
N2 = 2 −→
k − k2 = 1
N2 − 1 = 1
−→ k − k2 = N2 − 1,
y
A2 = a2 −→ ρ(A2 ) = 1 = N − 1,
por lo que la segunda ecuación es exactamente identificada.
Al ser las dos ecuaciones exactamente identificadas, el modelo de ecuaciones simultáneas también será exactamente identificado. Además, el método idóneo para estimar dichas ecuaciones será el de Mı́nimos Cuadrados
Indirectos.
Mı́nimos Cuadrados Indirectos
Este método se aplica cuando, tras el proceso de identificación de una ecuación, ésta es exactamente identificada.
Y, como es sabido, consiste en resolver el sistema de ecuaciones determinado por
b ·γ
Π
bh = −βbh ,
donde γ
bh y βbh son, respectivamente, las estimaciones de las columnas h-ésimas de las matrices Γ y B.
Por tanto, el primer paso consiste en estimar la forma reducida a partir de
b = X T X −1 X T Y,
Π
donde Y = (q p), X = (1 y z) y teniendo en cuenta que a partir de los datos muestrales del cuadro 1 se obtiene
13
q
p
1
y
z
q
197609
2847’903
1709
8427’536
2212’330
p
2847’903
42’9025
25’226
123’402
32’757
1
1709
25’226
15
73’709
19’450
y
8427’536
123’402
73’709
363’802
95’665
z
2212’330
32’757
19’450
95’665
25’299
Luego
b
Π
−1 T
XT X
X Y

−1 

15
730 709 190 450
1709
250 226
= 730 709 3630 802 950 665 · 84270 536 1230 402
190 450 950 665 250 299
22120 330 320 757
 0

97 132
20 295
0

22 561 −00 408 ,
=
−720 542 10 074
=
y entonces la estimación de la forma reducida es
qb = 970 132 + 220 561y − 720 542z,
(19)
pb = 2 295 − 0 408y + 1 074z.
(20)
0
0
0
Para la primera ecuación el sistema de ecuaciones que hay que resolver viene determinado por




b
a0
970 132
20 295
 220 561 −00 408  · −1
a2  ,
= − b
b
a1
−720 542 10 074
0
es decir,
−970 132 + 20 295 · b
a1
=
−22 560 − 0 408 · b
a1
=
−b
a2 ,
=
0,
0
0
720 542 + 10 073 · b
a1
−b
a0 ,
cuya única solución es
b
a0 = 2520 309,
b
a1 = −670 607,
b
a2 = −50 024.
Para la segunda ecuación el sistema de ecuaciones que hay que resolver viene determinado por
 0

 
bb0
97 132
20 295
 220 561 −00 408 · −1 = −  0  ,
bb1
bb2
−720 542 10 074
es decir,
−970 132 + 20 296 · bb1
−220 56 − 00 408 · bb1
0
0
72 542 + 1 073 · bb1
=
−bb0 ,
=
0,
−bb2 ,
=
cuya única solución es
bb0 = 2240 049,
bb1 = −550 294,
bb2 = −130 211.
Por tanto, la estimación del sistema de ecuaciones simultáneas determinado por (17) y (18) es
qb =
qb =
2520 309 − 670 607p − 50 024y,
(21)
2240 049 − 550 294p − 130 211z.
(22)
14
Mı́nimos Cuadrados Ordinarios
Aunque, como se ha comentado, el método más adecuado para la estimación de las ecuaciones (17) y (18) es
el de Mı́nimos Cuadrados Indirectos, existen otras alternativas para realizar dicha estimación, como por ejemplo el
método de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios, ya que se puede aplicar de forma independiente a la identificación de
las ecuaciones, es decir, no se exige que las ecuaciones estén identificadas.
Para estimar los parámetros de la ecuación h−ésima del modelo
γh
yh = Yh Xh
+ uh = Zh δh + uh ,
βh
utilizaremos, una vez más, el estimador
−1
δbh,M CO = ZTh Zh
ZTh yh .
(23)
En el caso de la primera ecuación, se tiene que la expresión correspondiente al estimador vendrı́a dada por
−1
δb1,M CO = ZT1 Z1
ZT1 y1 ,
donde Z1 = (p | 1 y) e y1 = q, luego
ZT1 Z1
p
1

p 420 902 250 226
=
1  250 226
15
y 1230 402 730 709
y 
1230 402
730 709 
3630 802
y
ZT1 y1
q 

p 28470 903
=
1  1709  .
y 84270 536
A partir de la información obtenida, el estimador de la primera ecuación corresponde a
420 902 250 226
15
=  250 226
1230 402 730 709

δb1,M CO
−1 
 

28470 903
−550 631
1230 402
730 709  ·  1709  =  2110 653  .
84270 536
−00 847
3630 802
Por tanto, la estimación que se tiene para la primera ecuación utilizando MCO viene dada por:
qb = 2110 653 − 550 631p − 00 847y.
Siguiendo las mismas pautas utilizadas para la estimación de la primera ecuación, se tiene que el estimador de
la segunda expresión que compone el modelo es:
−1
δb2,M CO = ZT2 Z2
ZT2 y2 ,
siendo Z2 = (p | 1 z) e y2 = q, luego
ZT2 Z2
p
1

p 420 902 250 226
=
1 250 226
15
z 320 757 190 450
z
320 757
190 450
250 299
y
ZT2 y2
q 

p 28470 903
=
1  1709  .
z 22120 330
Entonces
δb2,M CO
 0
42 902 250 226
15
= 250 226
320 757 190 450
−1 
 

320 757
28470 903
−530 191
190 450 ·  1709  =  2220 507  ,
250 299
22120 330
−140 746
ası́ pues, la estimación que se tiene para la segunda ecuación es:
15
qb = 2220 507 − 530 191p − 140 746z.
Por tanto, se tiene que el modelo estimado por MCO, utilizando la información muestral proporcionada, quedarı́a
expresado por:
qb = 2110 653 − 550 631p − 00 847y,
(24)
qb = 2220 507 − 530 191p − 140 746z.
(25)
Mı́nimos Cuadrados en Dos Etapas
Otro método que puede usarse para la estimación de ecuaciones exactamente identificadas es el de Mı́nimos
Cuadrados en dos Etapas. Si bien, puesto que en este caso las estimaciones coinciden con las del método de MCI y
éste es más sencillo de aplicar, es el segundo el que se usa a la hora de estimar ecuaciones exactamente identificadas.
Sin embargo, como ((práctica)), a continuación estimaremos el modelo por MC2E.
Tal y como se ha comentado anteriormente, antes de poder aplicar el método de MC2E debemos calcular la
estimación correspondiente de la forma reducida del modelo. Dicha estimación ya se ha realizado obteniéndose las
ecuaciones (19) y (20).
Recordemos que en este caso, el estimador mı́nimo cuadrático corresponde a:
T −1 T
b Z
b
b yh ,
δbh,M C2E = Z
Z
h h
h
que para el caso de la primera ecuación vendrı́a dado por
T −1 T
b1
b Z
b y1 ,
Z
δb1,M C2E = Z
1
1
(26)
b 1 = (b
donde Z
p | 1 y) e y1 = q. Entonces, teniendo en cuenta la información muestral
b
bT Z
Z
1 1
1
 pb
pb a
b
=
1 b
15
y c 730 709
y 
c
730 709 
3630 802
y
b T y1
Z
1
q 

pb
d
=
1  1709  .
y 84270 836
(27)
Para obtener la expresión de la estimación de la ecuación (17) calculamos los valores de a, b, c y d usando la
ecuación (20) de la estimación de la forma reducida:
a
=
pbT · pb
=
(20 295 · 1 − 00 408 · y + 10 074 · z)T · (20 295 · 1 − 00 408 · y + 10 074 · z)
=
20 2952 · 1T 1 + 00 4082 · y T y + 10 0742 · z T z − 2 · 00 408 · 20 295 · y T 1
+2 · 10 074 · 20 295 · z T 1 − 2 · 10 074 · 00 408 · z T y
=
20 2952 · 15 + 00 40822 · 3630 802 + 10 0742 · 250 299
−2 · 00 408 · 20 295 · 730 709
+2 · 10 074 · 20 295 · 190 450 − 2 · 10 074 · 00 408 · 950 665 = 420 691,
b =
c =
pbT · 1 = (20 295 · 1 − 00 408 · y + 10 074 · z)T · 1
=
20 295 · 1T 1 − 00 408 · y T 1 + 10 074 · z T 1
=
20 295 · 15 − 00 408 · 730 709 + 10 074 · 190 450 = 250 222,
pbT · y = (20 295 · 1 − 00 408 · y + 10 074 · z)T · y
=
20 295 · 1T y − 00 408 · y T y + 10 074 · z T y
=
20 295 · 730 709 − 00 408 · 3630 802 + 10 074 · 950 665 = 1230 383,
16
d = pbT · q = (20 295 · 1 − 00 408 · y + 10 074 · z)T · q
= 20 295 · 1T q − 00 408 · y T q + 10 074 · z T q
= 20 295 · 1709 − 00 408 · 84270 536 + 10 074 · 22120 330 = 28570 635.
Sustituyendo los valores obtenidos de a, b, y c en las expresiones de (27), se tiene que el estimador mı́nimo
cuadrático en dos etapas para la primera ecuación vendrı́a dado por
−1 
 

420 691 250 222 1230 383
28570 635
−670 330
 250 222
15
730 709  ·  1709  =  2510 523  .
0
0
123 383 73 709 3630 802
84270 836
−40 960

δb1,M C2E
=
Por tanto, la estimación que se tiene para dicha ecuación es:
qb = 2510 523 − 670 330p − 40 960y.
Para obtener la estimación de la segunda ecuación realizaremos el mismo procedimiento y para ello haremos los
cálculos necesarios para sustituirlos en la expresión
T −1 T
b
b Z
b y2 ,
Z
δb2,M C2E = Z
2 2
2
(28)
b 2 = (b
siendo Z
p | 1 z) e y2 = q. Luego
bT Z
b
Z
2 2
1
z 
 pb
pb a
b
c
=
1 b
15
190 450
0
z c 19 450 250 299
y
b T y2
Z
2
q 

pb
d
=
1  1709  .
z 22120 330
(29)
En este caso, los valores de a, b y d coinciden con los de antes, por lo que solo hay que calcular c:
c = pbT · 1 = (20 295 · 1 − 00 408 · y + 10 074 · z)T · z
=
20 295 · 1T z − 00 408 · y T z + 10 074 · z T z
=
20 295 · 190 450 − 00 408 · 950 665 + 10 074 · 250 299 = 320 753.
Por tanto, se tiene que el estimador mı́nimo cuadrático en dos etapas para la segunda ecuación vendrı́a dado
por
δb2,M C2E
 0
42 691 250 222

15
250 222
=
320 753 190 450

−1 
 
320 753
28570 635
−550 179
190 450 ·  1709  =  2230 635  .
250 299
22120 330
−130 048
Por tanto, la estimación que se tiene para dicha ecuación es:
qb = 2230 635 − 550 179p − 130 048z.
Finalmente, la estimación del sistema de ecuaciones simultáneas determinado por las ecuaciones (17) y (18) es
la siguiente:
qb = 2510 523 − 670 330p − 40 960y,
(30)
qb = 223 635 − 55 179p − 13 048z.
(31)
0
0
0
Adviértase que la estimación calculada deberı́a de coincidir con la obtenida por MCI, ecuaciones (21) y (22).
Las pequeñas diferencias que hay en este caso pueden deberse a cuestiones de redondeo y/o cálculo.
17