determinacion de una expresion general para la correccion

DETERMINACION DE UNA EXPRESION GENERAL PARA LA
CORRECCION MEDIANTE ENTALLAS LATERALES DE
PROBETAS DE IMPACTO CHARPY-V SUB ESTANDAR
Asta, E.P. (1), Cambiasso, F.A.(1), Sanzi, H.C.(2) , Pérgola, F (3) .
(1) Grupo de Investigación Mecánica de la Fractura.
(2) Grupo de Investigación Ingeniería Estructural.
(3) Departamento Ingeniería Mecánica.
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Haedo.
París 532 (1706) Haedo, Pcia. de Buenos Aires, Argentina.
RESUMEN
Sobre la base de trabajos anteriores donde mediante procedimientos
experimentales y numéricos se validó la aplicación de probetas de Charpy V de
pequeño tamaño cuyo efecto de tamaño es corregido mediante un modelo
propuesto que presenta entallas laterales (side groove), se realizan
determinaciones mediante métodos numéricos a los efectos de encontrar una
metodología que en base al espesor sub estándar con el que se pueda trabajar
en tales probetas permita encontrar la profundidad de entallas laterales
necesaria a los efectos de restituir el estado triple de tensiones, que permita
obtener el valor de energía de impacto tal como si se trabajara con probetas de
espesor estándar.
A los efectos de contar con las distribuciones de tensión correspondientes a
distintas geometrías de probetas se modelan las mismas mediante el Método
de Elementos Finitos (FEM), lo que permite conocer el valor de la tensión sobre
el eje de la entalla principal en función de la distancia al eje de simetría, y
posteriormente realizar los ajustes de las curvas correspondientes obteniendo
la expresión para cada modelo. Se trabaja posteriormente con esas ecuaciones
a fin de encontrar una metodología general que las vincule cuya variable sea la
profundidad de las entallas laterales de corrección según el modelo propuesto.
ABSTRACT
On the grounds of previous jobs in which the application of small Charpy V
specimens whose size effect is corrected by means of a model proposed that
presents side groove, determinations are performed with numerical methods in
order to find a methodology to work with such specimens on the basis of the
substandard thickness may allow us to find the necessary side groove depth so
that the triple stress state can be restored to obtain impact energy value as if it
were worked with standard thickness specimens. In order to have the
distribution of stress corresponding to different geometries of specimen, they
are analyzed with the finite element method (FEM) which let us know the value
of the stress on the axis of the main groove as for the distance to the symmetry
axis and perform the adjustment of the corresponding curves obtaining the
expression for each model. It is worked later with such equations so that it can
be found a general methodology relating them which variable is the depth of the
side groove of correction according to the model proposed.
INTRODUCCIÓN
En anteriores trabajos se presentó un modelo de probeta de impacto Charpy V,
con entallas laterales que permitiría la obtención de resultados válidos con
probetas sub estándar sin aplicación de correcciones 1.
La aplicación de ensayos de impacto no solo tiene como fin la aplicación
directa de los parámetros obtenidos sino que también permite determinar
indirectamente la tenacidad a la fractura en aceros estructurales mediante
métodos de ensayo estándar utilizando probetas con una geometría definida a
partir de un mínimo espesor normalizado. Las probetas estándar tienen una
sección de 10x10 mm con una longitud de 55 mm.
La caracterización de los aceros a través de los diversos parámetros que
indican su tenacidad a la fractura es una de las claves para los programas de
análisis significación de defectos basados en de mecánica de la fractura. 2,3,4,5
La tenacidad a la fractura habitualmente calculada en términos de KIC, J, etc,
puede ser obtenida mediante métodos indirectos a partir de la evaluación de
los valores precisos de energía de impacto Charpy-V, o de la temperatura de
transición, To, definida según distintos criterios6
Los requerimientos de norma respecto al tamaño de probeta frecuentemente
no pueden ser obtenidos del material a ser ensayado debido a que el espesor
real de muchos componentes de aceros estructurales es menor al necesario
para confeccionar dichas probetas, fundamentalmente en virtud de la alta
resistencia de los aceros modernos.
Esa necesidad de trabajar con probetas de espesores inferiores al estándar
(10mm) en ensayos de impacto Charpy V, que surge de la implementación
masiva de perfiles, placas y tubos de espesores cada vez mas pequeños,
conduce a la necesidad de la adopción de probetas de espesor sub estándar
con el consiguiente error inducido por la reducción del embridamiento que
produce el propio material y la consecuente pérdida del estado triple de
tensiones en la entalla.
En efecto, la diferencia de geometría de una probeta de espesor sub estándar
respecto de la probeta de 10x10 mm de sección conlleva una pérdida del
estado triple de tensiones en la entalla, lo que favorece la aparición de mayores
deformaciones plásticas y un comportamiento aparentemente más dúctil, con
valores de energía de impacto superiores a los obtenidos bajo probeta
normalizada.
La solución clásica es la corrección o extrapolación de los resultados de
probetas pequeñas a los correspondientes con probetas de tamaño estándar,
que puede practicarse en términos de CVN (J) o To (°C), en ambos casos la
consideración geométrica del efecto de tamaño en relación a la restricción
(constraint) resulta ser la base de las correcciones que podemos encontrar en
la bibliografía 7.
Por otro lado la bibliografía y los códigos de integridad estructural indican que
la corrección en esta región se efectúe sobre la temperatura de transición (To)
8, 9
.
En trabajos anteriores se presentó un modelo de probeta sub estándar con
entallas laterales (Side Groove, SG) que permitiría la obtención de resultados
válidos sin aplicación de posteriores correcciones.
La idea de este nuevo modelo de probeta es la restitución del estado triple de
tensiones en virtud de la inducción de concentración de tensiones mediante
entallas laterales.
De acuerdo a los trabajos mencionados1, se obtuvieron resultados
experimentales alentadores, dado que se obtienen curvas de transición de
distintos niveles de energía por unidad de área, de acuerdo a la profundidad de
las entallas realizadas, obteniéndose experimentalmente modelos de probeta
que por la profundidad de sus entallas laterales ajustan razonablemente con el
modelo estándar.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
La aplicación de este modelo de probeta fue parcialmente validada en aceros
tales como ASTM A533B Cl. 1, con ensayos de impacto Charpy-V a diversas
temperaturas de acuerdo con ASTM E23 utilizando probetas estándar, de
espesor 10mm, y de espesor reducido 5mm y con probetas pequeñas
aplicando entallas laterales de 0,25 y 0,5 mm para espesor 5mm y 0,5mm para
espesor 7,5mm1.
Se han obtenido las distribuciones de tensión correspondientes a los diversos
modelos de probetas: estándar, sub estándar y a modelos de probeta sub
estándar con entalla lateral según modelo propuesto, para diversos espesores
y diversas profundidades de entalla, sobre el eje de la entalla principal, en
correspondencia con los casos mencionados para la validación experimental.
Dichas distribuciones fueron obtenidas mediante el método de elementos
finitos, modelando las probetas como sólidos tridimensionales, de 16 nodos
mediante el programa de elementos finitos COSMOS Versión 2.6.11, con un
sistema de coordenadas ubicado sobre la intersección del eje correspondiente
al frente de la entalla, un eje longitudinal de simetría en el mismo plano que el
eje anterior y el eje por donde se aplicaría la resultante de la carga de impacto
de ensayo.
Se simula el comportamiento estructural para la misma carga, que a efectos de
comparación se toma de valor unitario.
Dada la simetría geométrica y de cargas de las probetas respecto al centro de
coordenadas se modelaron cuartos de las mismas colocando las condiciones
de borde correspondientes.
Se consideraron los apoyos correspondientes a ASTM E23 en la probeta con
rigidez infinita.
Se realizó un análisis de las probetas incorporando la respuesta tensióndeformación real del material previamente obtenida.
Se aplicó la carga en el centro de cada probeta, simulando las condiciones del
ensayo.
Se densificó la zona cercana al centro de la probeta, con la finalidad de obtener
resultados más detallados en esa zona, dado el interés de su aplicación
posterior.
En la Figura 1 se presenta el modelo de cálculo empleado para el análisis por
elementos finitos, conformado por aproximadamente 6000 elementos.
En la Figura 2 se presenta la salida gráfica que representa el estado tensional
de uno de los modelos de probetas. Del análisis de estos resultados surge para
cada una de las probetas la distribución de tensión que dan origen a la
metodología de análisis expuesta.
Figura 1 - Modelo de elementos finitos para la probeta de espesor 5mm
con entallas laterales de 0,25 mm de profundidad de entalla lateral, que registra
la mejor coincidencia en área bajo la curva respecto de la probeta estándar.
Figura 2 - Salida gráfica del programa de cálculo por elementos finitos.
Estado tensional asociado al eje z (dirección de la entalla principal) para la
probeta de 7,5 mm con entallas laterales.
Se obtiene la distribución de tensiones a lo largo del eje que pasa por la entalla
para cada uno de los casos.
Mediante métodos numéricos se procesaron los resultados de distribución de
tensiones a lo largo de la entalla obteniéndose la integral de esa tensión para
todos los casos y los factores de correlación con la probeta estándar.
Sobre la base de los resultados de distribución de tensión se han realizado los
ajustes de las curvas obtenidas mediante métodos numéricos a través de
programas de computación, lo que ha permitido obtener las ecuaciones
correspondientes a cada una de las curvas.
Dado que dichas curvas representan la distribución de las tensiones a lo largo
de la entalla principal de la probeta, la condición para que una probeta con
entallas laterales permita obtener resultados válidos en términos de energía por
unidad de área sin aplicar correcciones será que el área encerrada bajo la
curva coincida con el área correspondiente en las mismas condiciones a una
probeta estándar.
La Figura 3 muestra las distribuciones de tensiones correspondientes a los
modelos de probetas estudiados.
De acuerdo a la Figura 3 se concluye que mediante métodos numéricos se
obtienen resultados coincidentes con el método experimental, es decir, una
reducción de las tensiones sobre el eje de la entalla que afecta su triaxialidad
para la probeta subsized sin entallas laterales, observándose que la
concentración de tensiones generada por las entallas laterales produce una
distribución que en términos cuantitativos resulta equivalente a la probeta
estándar.
La Tabla 1 muestra los resultados de área bajo la curva de distribución de
tensiones correspondientes a los cuatro casos.
0,700
Tensión[Kg/mm2]
0,600
0,500
STD
0,400
5 mm
0,300
5mm SG
0,200
7,5mm SG
0,100
0,000
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
Distancia [mm]
Figura 3- Distribuciones de tensiones obtenidas por MEF
Tabla 1- Areas bajo la curva de distribución de tensiones y correlación
Estándar
Subsized
10X10 mm
10x5 mm
1,162
1,000
1,067
0,918
Area Distribución
Correlación
Subsized
10x5 mm
SG 0,25
1,190
1,024
Subsized
10x7,5 mm
SG 0,375
1,288
1,108
Se realiza un ajuste de curvas para obtener las ecuaciones correspondientes a
las distribuciones de tensiones específicas.
Analizado el caso se obtiene el mejor ajuste para las distribuciones de tensión
mediante una función polinómica según Ecuación (1), cuyos coeficientes se
expresan para cada caso en la Tabla 2.
F(z)=
(1)
a
z4
+
b
z3
+
c
z2
+
d
z
+
Tabla 2 – Coeficientes correspondientes a la Ecuación (1).
Probeta:
Espesor 10 mm
Espesor 5 mm
5 mm SG 10 %
7,5 mm SG 10%
a
b
c
d
e
-0,0035
-0,0856
0,0172
0,0105
0,0280
0,3316
-0,0392
-0,0536
-0,0729
-0,4197
0,0148
0,0842
0,0602
0,1543
-0,0023
-0,0442
0,2476
0,4843
0,5296
0,3798
e
La Figura 4 muestra las curvas obtenidas con las ecuaciones ajustadas según
el modelo de la Ecuación (1) a partir de los valores de la Figura 3 para los
casos analizados.
0,700
Tensión[Kg/mm2]
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
Distancia [mm]
Figura 4- Curvas de distribuciones según ecuaciones de ajuste de curvas.
Se estableció un orden 4 para el polinomio dado que es suficiente para que la
desviación respecto de los valores de entrada quede por debajo de la magnitud
estadística de los errores atribuibles al propio método de ensayo y a la
medición de resultados.
Realizando ese ajuste de las curvas, se obtiene que para el caso de las
probetas con entalla lateral que cumplen con la condición de igualación de área
bajo la curva de distribución de tensiones, se cumple en general la ecuación
(2).
= 0,0172.z 4 − 0,0392.z 3 + 0,0148.z 2 − 0,0023.z +
Fs(z)
2,5
es
(2)
A efectos de que se cumpla la condición de igualación de áreas se deberá
cumplir la ecuación (3)
es − p
eT
0
0
∫ F s ( z ).dz =
∫F
T
( z ).dz
(3)
Siendo:
z = posición respecto del centro de coordenadas, en mm.
Fs(z)= función distribución para la probeta subestándar con entallas laterales
que cumple con la condición de semejanza con la estándar.
FT(z)= función distribución para la probeta estándar.
BT = espesor estándar de la probeta = 10 mm.
Bs = espesor sub estándar adoptado de la probeta.
eT = BT/2 semi espesor estándar = 5 mm.
es = Bs/2 semi espesor sub estándar adoptado, en mm.
p = profundidad de la entalla lateral, en mm.
Integrando Fs(z) entre 0 y (es – p), resolviendo la integral, igualando al valor de
la integral:
eT
∫ F T ( z ).dz
0
cuyo valor es 1,162 y reagrupando, se obtiene el siguiente polinomio que
denominamos Ecuación (4) que relaciona la profundidad de entallas laterales a
realizar con el semi espesor de probeta.
C1
(4)
p5
+
C2
p4
+
C3
p3
+
C4
p2
+
C5
p
+
C6
=
0
La Tabla 3 permite observar los coeficientes Ci correspondientes al polinomio
de la Ecuación (4), que son función del semi espesor sub estándar es
adoptado.
Resolviendo la Ecuación 4 se obtiene la profundidad de entallas laterales
apropiada, que cumple con la condición establecida, para un espesor
determinado.
El método práctico consistiría en la resolución por métodos numéricos de este
polinomio para distintos espesores, a los efectos de obtener un ábaco que
permita obtener la profundidad p para el espesor sub estándar Bs a utilizar.
Tabla 3 – Coeficientes de la Ecuación (4)
Coeficiente
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Valor
-0,00344
0,0172 e – 1
-0,0344 e2 +0,0392 e - 1
0,0344 e3 -0,0588 e2 +0,01479 e - 1
-0,0172 e4 +0,0392 e3 -0,01479 e2 +0,0023 e – (2,5/e)
0,00344 e5 -0,0098 e4 +0,00493 e3 -0,00115 e2 + (2,5 - 1,162)
DISCUSIÓN
De acuerdo a las aproximaciones matemáticas realizadas se puede decir que
la distribución de las tensiones a lo largo del eje de la entalla que se obtienen
mediante el método de los elementos finitos para la probeta con entallas
laterales, particularmente ajusta para un polinomio de la forma de la Ecuación
(1).
Se han tenido en cuenta los errores admisibles inherentes al método de ensayo
y la dispersión habitual de valores a los efectos de dar por válida esta forma de
la ecuación y el orden 4 del polinomio.
Dada la complejidad de la ecuación obtenida al integrar la ecuación de
distribución de tensiones, se concluye que para realizar la igualación con el
área correspondiente a la probeta estándar resultaría poco práctico establecer
una ecuación que vincule la profundidad de entalla que ajusta la probeta al
estándar, con el espesor de la misma, por lo que se podría trabajar en la
resolución de la Ecuación (4) para distintos valores de espesor a efectos de
obtener un ábaco que permita encontrar esa profundidad de entalla en forma
práctica.
Se observa que la profundidad de entalla que iguala las áreas bajo la curva de
distribución de tensiones no responde a un porcentaje del espesor, sino a una
relación matemática mas compleja, dado que se observa que para espesor
5mm y SG=2,5mm por lado (10% de espesor), y para espesor 7,5mm y SG=
3,75 por lado (10% de espesor) los porcentajes de profundidad de entalla
lateral (SG) son idénticos pero el área bajo la curva difiere.
CONCLUSIONES
Desde el punto de vista numérico resulta viable encontrar, para el modelo
propuesto, un método para la determinación de la profundidad de entalla lateral
(side groove), que permita obtener una probeta cuya área bajo la curva de
distribución de tensiones específicas iguale al caso de la probeta estándar.
Asimismo este criterio ajustaría aceptablemente con los resultados
experimentales obtenidos en ensayos reales de los diversos modelos de
probetas.
La aplicación de entallas laterales contrarresta entonces el fenómeno que se
presenta en probetas Charpy V de espesor sub estándar, restituyendo el grado
de restricción por efecto de tamaño (y la consecuente triaxialidad de tensiones),
restituyendo también el comportamiento basado en el modelo estadístico.
El efecto de las entallas laterales será de diversa magnitud en virtud de su
profundidad, pudiéndose determinar la profundidad óptima de la entalla que
permita satisfacer los resultados de energía por unidad de área que ajusten con
los de la probeta estándar.
En base a los puntos anteriores se concluye que es posible la aplicación de un
modelo de probeta de impacto para espesores sub estándar, que mediante
entallas laterales de profundidad adecuadamente calculada, permita obtener en
forma directa valores precisos de energía por unidad de área
independientemente del espesor de probeta como si se tratase de probetas
estándar, sin correcciones posteriores. Asimismo resultaría una alternativa para
obtener de manera indirecta la tenacidad a la fractura en la región de transición
dúctil-frágil para el análisis de integridad estructural en materiales donde resulte
imposible la obtención de espesores necesarios para ensayos directos de
tenacidad a la fractura.
Se tendrá que trabajar en la elaboración de un ábaco mediante la resolución
sucesiva del polinomio que relaciona el espesor con la profundidad de entallas
laterales, Ecuación (4), para diversos espesores sub estándar, a efectos de que
la metodología resulte práctica desde el punto de vista ingenieril.
Paralelamente los resultados obtenidos deberán ir siendo validados con
ensayos Charpy de probetas diseñadas con esta metodología en esos
espesores y para diversos materiales.
Otra comprobación a realizar es la verificación de áreas bajo la curva de
distribución de tensiones para modelos de elementos finitos de probetas sub
estándar de diversos espesores y cuya profundidad de entalla lateral (side
groove) haya sido calculada mediante el método de la Ecuación (4).
Se deberá contar con un alto número de resultados experimentales obtenidos
mediante el ensayo de probetas, a los efectos de validar en forma mas precisa
la metodología y eventualmente adoptar correcciones experimentales.
REFERENCIAS
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[11] COSMOS Versión 2.6.