Cinética 37 / 63

Cinética
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Cinética
Cantidad de movimiento
Momento cinético: Teorema de Koenig
Energı́a cinética: Teorema de Koenig
Sólido con punto fijo: Momento cinético
Sólido con punto fijo: Energı́a cinética
Sólido: Movimiento relativo a G
Ecuaciones del movimiento del sólido libre
Comentarios: Ecuación de la energı́a para el sólido
Comentarios: Campos vectoriales y tensoriales
Comentarios: Tensor de inercia; Koenig/Steiner
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Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento de un sistema es la suma (integral) de las cantidades de movimiento de
cada partı́cula (elemento de masa):
i
G
p=
S
N
X
N
mi v i =
i=1
d X
d
mi ri = M rG
dt
dt
⇒
i=1
⇒
n
δm = ρ dxdydz
p=
G
Ω
Σ
Z
Ω
p = M vG
v ρ dV = (Ta del transporte de Reynolds)
Z
Z
d
d
=
r ρ dV −
r ρ (
v
M rG
22 · n)dS =
dt Ω
dt
Σ
⇒
⇒
p = M vG
La cantidad de movimiento del sistema es la que tendrı́a toda la masa concentrada en el centro de
masas.
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Momento cinético: Teorema de Koenig
Momento cinético de un sistema material S2 respecto a un punto arbitrario O, fijo o móvil.
Usaremos un sistema intermedio S0 , con origen en en centro de masas y ejes paralelos a los fijos
(2/0: “movimiento relativo a G”).
S0
S2
H21
O =
G
N
X
i
OMi ∧ mi v21
=
i=1
ri
i=1
O
i
OG + ri ∧ mi v21
=
20
HG
G
M v01
i
= OG ∧
O1
N
X
N z
X
i=1
N z
}| { X
}|
{
i
i
i
mi v21
mi ri ∧ v20
+
+ v01
|{z}
|{z}
i=1 M
GG
⇒
⇒
G
Cte.: v01
G
20
H21
O = OG ∧ M v01 + HG
Teorema de Koenig: el momento cinético respecto a un punto arbitrario es el que tendrı́a toda la masa
concentrada en G, más el momento cinético relativo a G.
G ) y momento (H20 )
Como el campo de momentos: resultante (M v01
G
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Energı́a cinética: Teorema de Koenig
Energı́a cinética de un sistema material S2 en el movimiento 2/1
Usaremos un sistema intermedio S0 , con origen en en centro de masas y ejes paralelos a los fijos
(2/0: “movimiento relativo a G”).
S0
S2
T21 =
N
X
1
i=1
G
2
i
mi v21
2
=
N
X
mi
i=1
2
i
i
v20
+ v01
2
=
G
M v00
i
N
X
mi
O1
i=1
2
>
N
N
X
X
mi
i
i 2
G
v20 +
m
v
·
v
+
i 20
01
2
i=1
i=1
G
v01
2
1
G 2
T21 = T20 + M v01
2
Teorema de Koenig: La energı́a cinética de un sistema es la que tendrı́a toda la masa concentrada en
G, más la del movimiento relativo a G.
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Sólido con punto fijo: Momento cinético
z1
Si un sólido S tiene un punto O ≡ O fijo, el campo de velocidades será:
Mi
O
vi = v
+ ω ∧ OMi
b
vi
b
O1
y1
x1
HO =
Podemos sustituir el campo de velocidades en la expresión del momento
cinético en O:
O
∞
X
i
OMi ∧ mi v =
i=1
∞
X
mi OMi ∧ (ω ∧ OMi ) =
i=1
=
∞
X
mi OMi 2 ω − (OMi · ω) OMi =
i=1
∞
X
=
i=1
|
mi OMi 2 U − OMi ⊗ OMi · ω
{z
IO
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⇒
HO = I O · ω
}
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Sólido con punto fijo: Energı́a cinética
z1
Si un sólido S tiene un punto O ≡ O fijo, el campo de velocidades será:
Mi
O
vi = v
+ ω ∧ OMi
b
vi
b
O1
Podemos sustituir el campo de velocidades en la expresión de la energı́a
cinética:
O
y1
x1
∞
∞
i=1
i=1
∞
1X
1X
1X
T =
mi v2i =
mi (ω ∧ OMi )2 =
mi ω∧OMi · (ω ∧ OMi ) =
2
2
2
i=1
1
= ω·
2
∞
X
mi OMi ∧ (ω ∧ OMi )
|i=1
{z
⇒
TO =
1
ω · IO · ω
2
}
HO
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z0
Sólido: Movimiento
relativo a G
En el caso de un sólido, el movimiento relativo al centro de masas es el de un
sólido con punto fijo. Por ser ejes paralelos a los fijos: ω 20 = ω 21 :
z1
G
y0
x0
O1
y1
HG = I G · ω 21
TG =
1
ω 21 · I G · ω 21
2
Para la cinética del sólido, en general, se aplica:
x1
Si tiene un punto fijo, las expresiones propias de este caso.
HO = I O · ω 21
T =
1
ω 21 · I O · ω 21
2
Si no tiene punto fijo, los teoremas de Koenig:
1
1
G 2
T = M v01
+ ω 21 · I G · ω 21
2
2
G
HO = OG ∧ M v01
+ I G · ω 21
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Ecuaciones del movimiento del sólido libre
Cantidad de movimiento: como cualquier sistema,
FE = M v̇G
Momento cinético:
• En general, es más simple tomar momentos en G.
• Se trabaja en ejes sólido, donde el tensor de inercia es constante:
ḢG 1 = ḢG 2 + ω 21 ∧ HG = I G · ω̇ 21 + ω 21 ∧ I G · ω 21 = ME
G
Ecuaciones cinemáticas: Las ecuaciones anteriores son diferenciales de primer orden en la
velocidad y la velocidad angular. Se completan con las ecuaciones cinemáticas, de primer orden
en las coordenadas y parámetros de actitud:
Q
Ω = Q ⊤ · Q̇
G
G
ṙ = v
⌊ψ̇, θ̇, φ̇⌋ = f (ω, ψ, θ, φ)
Ecuación de la energı́a: δW I = 0, no aporta nada nuevo. Un sólido tiene 6 GDL, la ecuación de
la energı́a es combinación de las otras dos.
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Comentarios: Ecuación de la energı́a para el sólido
En un sólido, solo puede haber 6 ecuaciones independientes (=GDL).
La de la energı́a es combinación de las otras 2.
dT = d
1
1
2
M vG
+ ω · IG · ω
2
2
= M vG · dvG + dω · I G · ω
δW = RE · vG dt + ME
G · ωdt =
Se sustituyen las ecuaciones de la CM y el MC,
:⊥
dvG
dω
= M
· vG
dt + I G ·
+ ω
∧ I G · ω · ω
dt =
dt
dt = M vG · dvG + dω · I G · ω = dT
Se ha usado la simetrı́a del tensor de inercia para cambiar el orden de los productos de tensor por
vector.
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Comentarios: Campos vectoriales y tensoriales
En la cinemática, geometrı́a de masas y cinética del sólido aparecen campos vectoriales y tensoriales
con una estructura similar:
OG∧ω
z }| {
vO = vG + ω ∧ GO
Velocidades
Momentos de fuerzas
MO = MG + OG ∧ R
Momentos cinéticos
HO = HG + OG ∧ M vG
Tensores de inercia
I O = I G + M OG2 U − OG ⊗ OG
Magnitud en O = magnitud en G más la que tendrı́a respecto a O toda la masa concentrada en
G
Todos los campos dependen de 6 parámetros, como los GDL del sólido.
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Comentarios: Tensor de inercia; Koenig/Steiner
En geometrı́a de masas y cinética, el tensor de inercia se usa de varios modos:
Forma
Aplicación lineal
Forma bilineal
Forma cuadrática
Geometrı́a de masas
Cinética
Iu = I O · u
HG = I G · ω
−Puv = v · IO · u
Iu = u · I O · u
TG =
1
2
ω · IG · ω
Para el sólido con punto fijo, la expresión del momento cinético/energı́a cinética más el teorema de
Steiner equivale al teorema de Koenig:
HO = I O · ω = I G + M OG2U − OG ⊗ OG · ω =
= IG · ω + M OG2 ω + (OG · ω) OG =
= I G · ω + M OG ∧ (ω ∧ OG) = I G · ω + OG ∧ M vG
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