Ondas Estacionarias

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Ondas Estacionarias
Cuando dos ondas de la misma
frecuencia y de la misma amplitud
viajan en direcciones opuestas se
combinan obedeciendo al principio de
superposición
produciendo
un
fenómeno
de
interferencia.
Consideremos dos ondas armónicas
de la misma amplitud, frecuencia y
longitud de onda pero viajando en
direcciones opuestas.
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Sean
y1  0 sen(kx  t )
y 2   0 sen(kx  t )
y  y1  y2  0 sen(kx  t )  sen(kx  t )
Utilizando una identidad trigonométrica, se llega a:
y  2 0 senkxcost 
La expresión anterior indica que la onda resultante
vibra armónicamente pero sin tener un
desplazamiento aparente, a ésta configuración se
le llama Onda estacionaria.
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Puesto que la amplitud de la onda
estacionaria de la suma de las dos ondas es
2Asen(Kx) depende de x, la amplitud máxima
ocurre cuando sen(kx) = 1, o cuando:
Ya que k=2/,, los puntos donde ocurre la
máxima amplitud se les llama Antinodos
(valles y crestas), y se obtienen de la
siguiente manera:
donde, n = 1, 2, 3, ....

La onda estacionaria tiene una amplitud
mínima cero. Estos puntos cuya amplitud es
cero, se llaman Nodos. Cuando sen(kx)=0, o
sea:
kx = , 2, 3, ...
donde, n = 1, 2, 3, ...


Al poner a vibrar la cuerda se crean ondas
estacionarias mediante la superposición de
ondas incidentes y ondas reflejadas desde los
extremos. Las ondas estacionarias en la
cuerda vienen dadas por la expresión:
Una cuerda tensa de longitud L atada en
ambos extremos.



Dos nodos fijos son en los extremos de la
cuerda, por lo tanto, para x = 0 y x = L :
En consecuencia, las longitudes de onda de los
modos normales de vibración, pueden
expresarse de la siguiente forma:
donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de
vibración. Las frecuencias naturales asociadas
con estos modos de vibración se obtienen de la
relación f = v / , donde v es la velocidad de la
onda que es la misma para todas las frecuencias ,



por lo tanto:
Lo anterior indica que una cuerda fija en los dos
extremos no puede vibrar a cualquier frecuencia
arbitraria sino a frecuencias correspondientes
dadas por al expresión anterior. Todas las
frecuencias posibles dadas por esta expresión
son múltiplos enteros de la mínima frecuencia
f0 = v / 2L, que se conoce como Frecuencia
fundamental. Todas esas frecuencias posibles
que son múltiplos enteros de la fundamental se
conocen como frecuencias naturales de la cuerda
o armónicas.
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Primer Armónico
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8

Segundo Armónico
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
8

6
Tercer Armónico
4
2
0
-2
-4
-6
-8


Cuarto Armónico
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.8
0.9
1
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7

fn= nV / 2L
v


T

T es la tensión de la cuerda en N
 es la densidad lineal en kg/m



1) Una cuerda de 2 metros de longitud
y masa 1 Kg está fija de ambos
extremos. La tensión de la cuerda es
de 20 N.
¿Cuáles son las frecuencias de los tres
primeros modos de vibración?
Si en un punto ubicado a 0.4 m hay un
nodo. ¿En qué modo de vibración y
con qué frecuencia está vibrando la
cuerda?
 2.
Encontrar La frecuencia
fundamental y los siguientes
tres modos de vibración de una
onda estacionaria sobre una
cuerda de 3 metros de longitud
y densidad lineal de masa de
9x10-3 Kg/m y que está
sometida a una tensión de 20 N.
 3.
Se forma una onda estacionaria
sobre una cuerda de 120 cm de
largo fija de ambos extremos.
Vibra en 4 segmentos cuando la
frecuencia es de 120 Hz.
 Determine
la longitud de onda.
 Determine la frecuencia
fundamental de vibración
 4)
Una cuerda de guitarra de 60
cm de largo y sometida a una
tensión de 50 N tiene una masa
por unidad de longitud de 0.1
gr/cm.
 ¿Cuál es la mayor frecuencia de
resonancia de la cuerda que
puede ser oída por una persona
capaz de escuchar frecuencias
hasta 20 Khz?
5) En el arreglo de la figura. Una masa m está
suspendida de una cuerda de densidad lineal de
masa de 0.002 Kg/m y L = 2 m. Cuando la masa es
de 16 Kg o 25 Kg, se observan ondas
estacionarias, sin embargo no se observan cuando
la masa está dentro de ese rango ( entre 16 y 25
Kg).
 ¿Cuál es la frecuencia del vibrador? ( A mayor
tensión en la cuerda, menor es el número de
nodos)
 ¿Cuál es la mayor masa para el cual pueden ser
observadas ondas estacionarias?



6) Dos alambres del mismo material están
soldados. El diámetro de uno de ellos es el
doble del otro. El conjunto está sometido a
una tensión de 4.6 N. El más delgado tiene un
largo de 40 cm y una densidad lineal de masa
de 2 gr/m. La combinación está fija de
ambos extremos y la vibración es tal que
aparecen dos antinodos, con el nodo justo en
la soldadura que une ambos alambres.
¿ Cuál es la frecuencia de vibración?
¿ Cuál es el largo del alambre grueso?