Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Dos grifos llenan un depósito en 3 horas. Si solo se abre uno de ellos, tardaría
5 horas. ¿Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito?
Los dos grifos juntos, en 1 hora, llenan 1 del depósito.
3
Uno de los grifos llena, en 1 hora, 1 del depósito.
5
El otro grifo, en 1 hora, llena 1 del depósito.
x
1 + 1 = 1 8 1 = 2 8 x = 15 = 7,5 h
5 x 3
x 15
2
El otro grifo tarda 7 horas y media en llenar el depósito.
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Un grifo tarda el doble que otro en llenar un depósito. Abriendo los dos a la
vez, tardan 8 horas. ¿Cuánto tardará cada uno de ellos en llenarlo?
Un grifo llena, en 1 h, 1 del depósito, y el otro grifo llena, en 1 h, 1 del depósito.
x
2x
Los dos juntos, en 1 hora, llenan 1 .
8
1 + 1 = 1 8 3 = 1 8 2x = 24 8 x = 12 h
x 2x 8
2x 8
Uno de los grifos tarda 12 h, y el otro, 24 horas en llenar el depósito.
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Regalé la mitad de mis discos a mi novia y la mitad del resto a mi hermano. De
los que regalé, la tercera parte eran de pop, y los otros 6, de rock. ¿Cuántos discos
regalé y cuántos tenía?
Tenía x discos.
Regalé x 8 quedan x 8 regalo la mitad x
2
2
4
En total regalé x + x = 3 x
2 4 4
La tercera parte 1 · 3 x = 1 x eran de pop.
3 4
4
Los otros 2 · 3 x = 1 x son los 6 de rock.
3 4
2
1 x = 6 8 x = 12 discos son los que tenía y 3 · 12 = 9 discos son los que regalé.
2
4
Unidad 5. Ecuaciones
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■ Problemas “+”
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Pág. 2
La cuarta parte de los clientes de un hotel están en régimen de pensión completa, y el resto, en media pensión. De estos últimos, 1/3 almuerzan y el resto cenan. Los
2/3 de pensión completa y la mitad de los que cenan toman vino, y son 180. ¿Cuántos
clientes hay en el hotel? ¿Cuántos cenan en él?
En el hotel hay x clientes.
x están en pensión completa 8 2 · x = x toman vino.
4
3 4 6
3 x están en media pensión 8 2 · 3 x = x cenan 8 1 x toman vino.
4
3 4
2
2 2
x + x = 180 8 5 x = 180 8 x = 432 clientes hay en el hotel.
6 4
12
Cenan en el hotel 1 · 432 = 216 clientes.
2
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Ana, en su camino diario al colegio, ha comprobado que si va andando a 4
km/h, llega 5 minutos tarde, pero si se da prisa y va a 5 km/h, llega 10 minutos antes de la hora. ¿Cuál es la distancia al colegio? ¿Llegará puntual si hace la mitad del
camino a 4 km/h y la otra mitad a 5 km/h?
a) x – x = 1 8 x = 1 8 x = 5 km
4 5 4
20 4
Si va a 4 km/h tarda 1,25 8 1 h y 15 min ° Tiene que tardar
¢ 1 h y 10 min
Si va a 5 km/h tarda 1 h
£
b)
2,5
v = 4 km/h
2,5
v = 5 km/h
8 2,5 + 2,5 = 0,625 + 0,5 = 1,125 8 1 h 7' 30''
4
5
Llega un poco antes de la hora.
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Luis y Miguel van a visitar a sus abuelos. Como solo tienen una bicicleta,
acuerdan que Miguel la lleve hasta la mitad del camino y la deje allí hasta que Luis,
que sale andando, la recoja. La segunda mitad, Miguel caminará y Luis irá en bicicleta. De esta forma, tardan una hora en llegar a su destino. El que camina va a 4
km/h, y el que va en bicicleta, a 12 km/h. ¿Cuál es la distancia que han recorrido?
¿Cuánto tiempo estuvo parada la bicicleta?
t: tiempo que emplea Miguel en recorrer la mitad del camino en bicicleta.
12t = 4(1 – t) 8 16t = 4 8 t = 1 h
4
3
Andando tarda h.
4
Distancia: 12 · 1 + 4 3 = 3 + 3 = 6 km
4
4
Tiempo de bicicleta parada: La deja cuando ha pasado 1 h y el otro la recoge a los 3 h.
4
4
1
Está parada hora.
2
Unidad 5. Ecuaciones
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Carmen hace cuentas sobre las compras que ha hecho y observa que el abrigo le
ha costado el triple que el bolso; el bolso, 5 € menos que la camisa; la camisa, 6 €
más que los deportivos; los deportivos, el doble que el estuche; el estuche, la mitad
que el pantalón, y este, 120 € menos que la suma de todos los demás artículos. Calcula el precio de cada compra y el dinero que se gastó Carmen.
A = 3B; B = C – 5; C = D + 6; D = 2E; E = P
2
P = A + B + C + D + E – 120
A = 3(C – 5) = 3(D + 6 – 5) = 3(D + 1) = 3(2E + 1) = 3(P + 1) = 3P + 3
B = D + 6 – 5 = D + 1 = 2E + 1 = P + 1
C = 2E + 6 = P + 6
D=P
P = 3P + 3 + P + 1 + P + 6 + P + P – 120 8 5P + P = 110 8
2
2
8 11P = 110 8 P = 20 € precio pantalón.
2
E = 10 € estuche; D = 20 € deportivos; C = 26 € camisa
B = 21 € bolso; A = 63 € abrigo
Gasto total: 140 €
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Estas dos figuras representan dos terrenos de la misma superficie. En cada una
se ha construido una vivienda y el resto de la parcela se ha dedicado a jardín.
a) Escribe las expresiones algebraicas para la superficie de cada parcela.
b) Escribe las expresiones algebraicas para la superficie del jardín en cada caso.
c) ¿Cuál debe ser el valor de x para que el área de las dos parcelas sea la misma?
d) Halla, para ese valor de x, la superficie de cada casa y la superficie de cada jardín.
x
x
8
x+8
x
x–7
CASA
x–1
CASA
8
A
B
x–4
a) Superficie A: (x + 8)2. Superficie B: (x + 8)(3x – 12)
b) Jardín A: (x + 8)2 – x 2 = x 2 + 16x + 64 – x 2 = 16x + 64
Jardín B: (x + 8)(3x – 12) – x(x – 1) = 3x 2 + 12x – 96 – x 2 + x = 2x 2 + 13x – 96
Unidad 5. Ecuaciones
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c) (x + 8)2 = 3x 2 + 12x – 96 8 x 2 + 16x + 64 – 3x 2 – 12x + 96 = 0 8
8 –2x 2 + 4x + 160 = 0 8 x 2 – 2x – 80 = 0 8
x = 10
8 x = 2 ± √4 + 320 = 2 ± 18
2
2
x = –8. No vale.
Debe ser x = 10 m.
°Casa = 10 · 9 = 90 m2
°Casa = 100 m2
B
=
d) A = ¢
¢
2
2
2
£Jardín = 2 · 10 + 13 · 10 – 96 = 234 m
£Jardín = 224 m
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En una empresa disponen de dos modelos de cajas sin tapa para empaquetar.
Los dos tienen la altura fija y base variable, como las de la figura. Los directivos dudan entre elegir el valor de x para el cual las cajas tengan el mismo volumen, o elegirlo de forma que la cantidad de cartón empleada para su fabricación sea la misma.
¿Es posible encontrar un valor de x que cumpla las dos condiciones?
4
2
x
x+2
VA = 2x (x + 2)
x
x–2
VB = 4x (x – 2)
Si VA = VB 8 2x 2 + 4x = 4x 2 – 8x 8 2x 2 – 12x = 0 8
8 x 2 – 6x = 0
x = 0 no vale.
x = 6 cm
SA = 2 · 2(x + 2) + 2 · 2x + x (x + 2) = 4x + 8 + 4x + x 2 + 2x 8 SA = x 2 + 10x + 8
SB = x (x – 2) + 2 · 4x + 2 · 4(x – 2) = x 2 – 2x + 8x + 8x – 16 8 SB = x 2 + 14x – 16
Si SA = SB 8 x 2 + 10x + 8 = x 2 + 14x – 16 8
8 8 + 16 = 14x – 10x 8 24 = 4x 8 x = 6 cm
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Para saldar una deuda, un banco me ofrece dos opciones: pagarla dentro de 2
años con un 8% de interés anual o pagarla dentro de 9 meses al 15% de interés
anual. Con la segunda opción pago 577,3 € menos que con la primera. Calcula el
dinero que debo.
x es el dinero que debo; 15% anual ≈ 15 = 1,25 mensual
12
a
2
Con la 1. opción pago x · 1,08 .
Con la 2.a opción pago x(1,0125)9.
x · 1,082 – x (1,0125)9 = 577,3 8 0,048x = 577,3
x = 12 000 € es el dinero que debo.
Unidad 5. Ecuaciones
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