Newton y las leyes de Kepler - UAM-I

Newton y las leyes de K epler ¤
Jo s ¶ e Ma r ¶ ³a Fila r d o B a s s a lo
D e p a r t a m e n t o d e F¶ ³s ic a d e la U FP A 6 6 0 7 5 -9 0 0 B e l¶e m , P a r ¶a ,
h t t p :/ www.a m a z o n .c o m .b r / b a s s a lo e -m a il: b a s s a lo @a m a z o n .c o m .b r
1. Introducci¶
on
Para m¶³, y probablemente para algunos lectores, debido a una interpretaci¶on equivocada sobre las lecturas hechas en algunos textos did¶acticos y de divulgaci¶
on cient¶³¯ca, parec¶³a un hecho hist¶
orico incuestionable que el f¶³sico y matem¶atico ingl¶es Sir
Isaac Newton (1642{1717) hab¶³a demostrado las Leyes de Kepler usando un nuevo m¶etodo matem¶
atico,
el m¶
etodo de las °uxiones (hoy conocido como
el C¶
alculo Diferencial), que ¶el mismo hab¶³a creado (vea, por ejemplo, [3] p. 85). No obstante, esto no
es cierto, conforme mostraremos en este art¶³culo. Pero, primero haremos una revisi¶on hist¶orica de dichas
Leyes.
fuera presentada por el astr¶
onomo griego Aristarco de Samos (c. 320{c. 250).
El heliocentrismo de Cop¶ernico tuvo seguidores y detractores, y entre estos u
¶ltimos destac¶
o el astr¶onomo
dan¶es Tycho Brahe (1546{1601). Partiendo de la observaci¶
on de que los planetas giraban en torno al Sol
y, adem¶
as, al no observar los paralajes estelares, Tycho Brahe formul¶
o su propio modelo. En este modelo, los planetas giraban en torno al Sol, y ¶este, en
conjunto con la Luna y todo el manto de las estrellas ¯jas, giraban en torno a la Tierra inm¶
ovil. A pesar de esta concepci¶
on err¶
onea del sistema solar, Tycho Brahe hizo grandes contribuciones a la astronom¶³a, principalmente con sus observaciones sobre
las ¶
orbitas de los planetas, y en particular la del planeta Marte.
2. Antecedentes hist¶
oricos
Entre los a~
nos 151 y 157 de nuestra era, el astr¶
onomo
griego Claudio Ptolomeo (85{165) retom¶o y sistematiz¶
o los modelos planetarios geoc¶entricos, tales como el delas esferas conc¶entricas, formulado por los
astr¶
onomos griegos Eudoxo de Cnido (c. 408{c. 355)
y Calipo de C¶³sico (c. 370{c. 300), y el modelo de
epiciclo{deferente{exc¶entrica{ecuante que hab¶³a sido desarrollado por los griegos, el matem¶
atico Apolonio de Perga (c. 261{c. 190) y el astr¶onomo Hiparco
de Nicea (c. 190{c. 120). Esa sistematizaci¶
on fue presentada por Ptolomeo en su c¶elebre H¶e Math¶ematik¶e
Syntaxis (Una Compilaci¶
on Matem¶
atica), para poder explicar el movimiento de los planetas y sus irregularidades. Esa obra, compuesta de 13 libros, fue
traducida a la vuelta del siglo IX por los ¶arabes, recibiendo entonces el nombre de Almagesto, que es una
corruptela del nombre hispano{¶arabe Al{Magesti (El
Gran Tratado).
Dentro de los seguidores de Cop¶ernico, se encontraba
el astr¶
onomo alem¶
an Johannes Kepler (1571{1630)
quien, al aprender sobre el heliocentrismo copernicano de su maestro, el astr¶
onomo Michael Maestlin, proporcion¶
o una demostraci¶
on matem¶
atica para el mismo. Esa prueba la obtuvo en virtud de que
era un buen conocedor de toda la obra del gran matem¶
atico griego Euclides de Alejandr¶³a (323{285),
que se halla reunida en su famoso libro de geometr¶³a
intitulado Elementos.
Con base en el modelo copernicano, con el Sol en el
centro, Kepler coloc¶
o entre los espacios de las esferas que conten¶³an a los seis planetas entonces conocidos (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, J¶
upiter y Saturno), los cinco \s¶
olidos perfectos"de la antigÄ
uedad
(s¶
olidos que tienen todas sus caras iguales: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro),
cada uno encajado dentro del siguiente. As¶³, disponiendo de dichos s¶
olidos en el orden correcto, los
di¶
ametros de las esferas acabar¶³an por presentar casi
las mismas proporciones que las ¶
orbitas de los planetas. Ese primer modelo planetario de Kepler fue publicado en el libro intitulado Mysterium Cosmographicum (Misterio Cosmogr¶
a¯co), editado en 1596.
El modelo de Ptolomeo se mantuvo aceptado durante muchos a~
nos, hasta que fue cuestionado y rechazado por el astr¶onomo polaco Nicol¶as Cop¶ernico (1473{
1543) en el famoso libro De Revolutionibus Orbium
Coelestium (Las Revoluciones de los Cuerpos Celestes), publicado en 1543, en el que consolid¶o el modelo elioc¶entrico para nuestro sistema planetario, aunque debemos comentar que su primera formulaci¶
on
¤T
Al recibir ese libro de manos de Kepler, Tycho Brahe
qued¶
o impresionado con el contenido matem¶
atico del
mismo, a¶
un cuando no estuviera de acuerdo con el
r ad u cci¶
on : J u lio S ol¶³s, Dep to. d e Matem ¶
aticas, U A M{I.
33
34
ContactoS 31, 33{37 (1999)
contr¶
o una diferencia de 8 minutos de arco y bajo el
supuesto de que su maestro no hubiera cometido tal
error, Kepler pas¶
o a considerar ¶
orbitas ovaladas, despu¶es de experimentar, sin ¶exito, que cada esfera caracter¶³stica de un planeta era en realidad un cascar¶
on esf¶erico de espesura su¯ciente como para explicar la excentricidad orbital. Despu¶es de realizar setenta ensayos para ajustar los datos de Tycho al modelo de Cop¶ernico y del mismo Tycho, Kepler lleg¶o ¯nalmente a concebir la ¶
orbita el¶³ptica. (Cabe mencionar que la idea de una ¶
orbita el¶³ptica no era completamente nueva, dado que ya hab¶³a sido sugerida por el astr¶
onomo ¶
arabe{espa~
nol Azarquiel (Al{
Zarqali) de Toledo (c. 1029{1100), en 1081, para explicar los movimientos de Mercurio.) As¶³, en el libro intitulado Astronomia Nova (Una Nueva Astronom¶³a), publicado en 1609, adem¶
as de enunciar su
Ley de las ¶
areas, obtenida en 1602, conforme ya vimos, Kepler enunci¶
o tambi¶en la:
modelo helioc¶entrico ah¶³ presentado. As¶³ mismo, invit¶
o a Kepler a trabajar con ¶el en Praga, donde entonces resid¶³a. Al llegar a esa ciudad, en enero de
1600, Kepler recibi¶o de Tycho la tarea de calcular la ¶
orbita de Marte. Al analizar las observaciones
que Tycho hiciera de ese planeta, pens¶o que en poco tiempo hallar¶³a la forma de la ¶orbita marciana.
No obstante, le tomar¶³an varios a~
nos de arduo trabajo para encontrarla, como veremos a continuaci¶
on.
En sustituci¶
on de Tycho Brahe, que muri¶o repentinamente el 24 de octubre de 1601, Kepler consigui¶
o en 1602 ser designado matem¶
atico imperial
de Rodolfo II (1552{1612), Rey de Hungr¶³a y Bohemia, y Emperador del Sacro Imperio Romano, con
sede en Praga. En vista de eso, y con algunas di¯cultades, Kepler consigui¶o \arrancar"de los herederos de Tycho los preciosos datos que ¶este hab¶³a recopilado del sistema planetario, primero en el observatorio de Uraniborg, en la isla de Hveen (hoy
Ven) en Dinamarca, y despu¶es en Praga. Un primer
an¶
alisis de las observaciones de Tycho llevaron a Kepler, en 1602, a enunciar su hoy conocida:
Ley de las ¶
areas: El rayo vector que liga un
planeta al Sol describe ¶
areas iguales en tiempos iguales.
Por otra parte, las observaciones de la ¶orbita de Marte realizadas por Tycho indicaban que en cuanto
m¶
as lejos ese planeta se encontraba del Sol, m¶as lento era su movimiento y, por tanto, menor era su velocidad, adem¶
as de indicar una peque~
na excentricidad en su ¶
orbita. En virtud de esto, Kepler intent¶
o, inicialmente, una serie de combinaciones de
c¶³rculos para la ¶orbita de ese planeta. Pero, como en-
¶
Ley de las Orbitas:
Los planetas se mueven
en torno del Sol en ¶
orbitas el¶³pticas, teniendo al Sol como uno de sus focos.
Al descubrir las leyes que rigen los movimientos de
los planetas, Kepler se dispuso a determinar la relaci¶
on entre las distancias y los periodos de tales movimientos. Despu¶es de algunas tentativas que relacionaban potencias de las distancias y los periodos,
Kepler lleg¶
o ¯nalmente a su tercera ley, presentada en el libro Harmonices Mundi (Armon¶³a del Mundo), publicado en 1619, y que enunciamos a continuaci¶
on:
Ley de los Periodos: La relaci¶
on entre el cuadrado del periodo de revoluci¶
on de un planeta y el cubo de su distancia media al Sol es
una constante.
El u
¶ltimo trabajo de Kepler fue el libro Tabuloe Rudolphine (Tablas Rudol¯nas), publicado en 1627, en
homenaje de su antiguo protector, el Emperador Rodolfo II, y dedicado a la memoria de Tycho Brahe.
Ese libro, que conten¶³a las observaciones de Tycho
Brahe y del mismo Kepler sobre los movimientos
planetarios, fue durante un siglo un cl¶
asico y, para su confecci¶
on, Kepler us¶
o un nuevo m¶etodo de
c¶
alculo matem¶
atico {los logaritmos{ que hab¶³an sido inventados por el matem¶
atico escoc¶es John Napier (1550{1617), en 1614.
3. Las contribuciones de Newton
A partir de ahora, trataremos las contribuciones
de Newton. Nacido el 25 de diciembre de 1642 en
Woolsthorpe, perteneciente a la aldea de Colsterworth, cerca de 11 km al sur de Grantham, Licolnshire, en Inglaterra. Hijo de una peque~
na familia de hacendarios y hu¶erfano de padre a los dos meses de edad, Newton estaba destinado a seguir la vocaci¶
on agr¶³cola. Empero, en la Escola Real de Grant-
Newton y las leyes de Kepler. Jos¶e Mar¶³a Filardo Bassalo.
ham fue un infante extra~
no, pues su mayor inter¶es
se centraba en los intrumentos mec¶anicos que ¶el mismo fabricaba. El director de esa escuela, quien era
adem¶
as su t¶³o materno, el Reverendo William Ayscough, y miembro del Trinity College, en Cambridge, convenci¶
o a la madre de Newton que ¶este deb¶³a
estudiar en aquella universidad. Lleg¶o a dicha universidad el 5 de junio de 1661, donde obtuvo el grado de Bachiller en Letras, sin distinci¶on, en 1665.
No obstante, cuando se preparaba para defender su
maestr¶³a, tuvo que abandonar Cambridge por dos
a~
nos (1665{1666), y regresar a Woolsthorpe, debido a la peste bub¶onica que azotaba entonces en Londres. Durante ese periodo, Newton elabor¶
o los fundamentos de su obra en Matem¶aticas, ¶optica y Astronom¶³a. (Vea, para la vida de Newton [4].)
Seg¶
un su misma a¯rmaci¶on ([4] p. 39), Newton invent¶
o los m¶
etodos directo e indirecto de °uxiones, entre noviembre de 1665 y mayo de 1666.
Esa nueva t¶ecnica matem¶atica era el modo de afrontar con grandes variaciones, como las que ocurren
en el caso de las velocidades variables de los planetas, conforme indica la Ley de las ¶areas, enunciada por Kepler. Newton no emple¶o dicha t¶ecnica matem¶
atica para llegar a su Ley de Gravitaci¶
on Universal, sino b¶asicamente us¶o la Ley de los Periodos de Kepler, como ¶el mismo expresa : \[. . . ] en
el mismo a~
no (1666), comenc¶e a pensar en la gravedad como la que mantiene atada la ¶orbita de la
Luna (despu¶es de descubrir c¶omo calcular la fuerza con que un globo que gira dentro de una esfera presiona la super¯cie de la misma) a partir de
la regla de Kepler de que los periodos de los planetas est¶
an en una proporci¶on sesqui¶altera con sus distancias al centro de sus ¶orbitas, deduje que las fuerzas que mantienen los planetas en sus ¶orbitas deb¶³an
variar, en forma rec¶³proca, con el cuadrado de su distancia al centro en torno al cual giran: y a partir de eso, compar¶e la fuerza necesaria para mantener la Luna en su ¶orbita con la fuerza de gravedad en la super¯cie terrestre, y descubr¶³ que embonan perfectamente"([4] p. 39).
Esos primeros c¶alculos realizados por Newton le permitieron pensar en la hip¶otesis de una ley universal que rigiera el movimiento de los planetas en torno del Sol. Empero, todav¶³a quedaba mucho trabajo por hacer para que esa hip¶otesis se transformase en una realidad. En efecto, a comienzos de
la d¶ecada de 1680, un grupo de f¶³sicos estaba interesado en el desarrollo de las novedosas ciencias
matem¶
atico{experimentales; y se reun¶³an para relatar sus propios hallazgos y proponer nuevos problemas. As¶³, para tres de los f¶³sicos de ese grupo, los ingleses Robert Hooke (1635{1703), Sir Christopher
Wren (1632{1723) y Edmundo Halley (1656{1742),
35
entre los problemas que discut¶³an, uno les resultaba particularmente intrigante: \>Qu¶e tipo de fuerza lleva a un planeta a describir una ¶
orbita el¶³ptica
en torno al Sol?".
A pesar de que Kepler hab¶³a sugerido que una fuerza de tipo magn¶etica (anima motrix) e inversamente lineal, que emanada del Sol, era la responsable del
movimiento planetario, ¶esta no era aceptada por los
tres f¶³sicos ingleses referidos anteriormente. As¶³, en
una reuni¶
on de la Royal Society of London, en enero de 1684, Halley lleg¶
o a la conclusi¶
on de que la fuerza que act¶
ua sobre los planetas var¶³a en una raz¶on inversa al cuadrado de su distancia, pero no fue capaz
de deducir de esa hip¶
otesis las Leyes de Kepler, principalmente la Ley de las ¶
orbitas. En febrero de 1684,
Halley, Sir Wren y Hooke se reunieron y concordaron en tal hip¶
otesis. Hooke lleg¶
o a decir en esa ocasi¶
on que ya hab¶³a considerado el que se demostrara con la misma todas las leyes del movimiento celeste. En virtud de esto, Sir Wren ofreci¶
o un premio para que Hooke, Halley o cualquier otro f¶³sico escribiera un libro sobre ese tema.
Como tal libro no fue escrito, en agosto de 1684 Halley resolvi¶
o ir a Cambridge y consultar a Newton.
Al preguntarle sobre cu¶
al ser¶³a la curva descrita por
los planetas sobre los que act¶
ua una fuerza de tipo inverso al cuadrado de la distancia, recibi¶o de
Newton la respuesta de que \era una elipse". Pero, aunque Newton ya hab¶³a concebido tal respuesta, no contaba con una demostraci¶
on en ese momento, por lo que prometi¶
o a Halley envi¶
arsela posteriormente.
Estimulado por la visita de Halley, Newton retom¶o
los c¶
alculos que hiciera de las ¶
orbitas de los planetas hac¶³a 20 a~
nos. As¶³, en oto~
no de 1684, Newton present¶
o una serie de conferencias en la Universidad de cambridge, en las que fueron abordadas sus ideas sobre el movimiento de los cuerpos en
general, sobre los conceptos de fuerza, masa, tiempo, adem¶
as de su famosa ley de la gravitaci¶on universal. En noviembre de 1685, Newton envi¶o a Halley un peque~
no trabajo intitulado De Motu Corporum in Gyrum (Del Movimiento de los Cuerpos en
una ¶
orbita), en el que reun¶³a aquellas conferencias,
cumpliendo as¶³ la promesa que le hiciera en agosto del a~
no anterior. En ese peque~
no trabajo de nueve p¶
aginas, Newton hab¶³a demostrado que una fuerza inversamente proporcional al cuadrado implicaba una ¶
orbita c¶
onica, misma que era una elipse para velocidades por debajo de cierto l¶³mite ([4] p. 159).
Incentivado por Halley, Newton comenz¶
o a enriquecer el De Motu y, a la vuelta de noviembre de 1685,
lo transform¶
o en un tratado de dos vol¶
umenes al
36
ContactoS 31, 33{37 (1999)
que di¶
o el nombre de De Motu Corporum (Del Movimiento de los Cuerpos). En ¶este, se halla la demostraci¶
on de un resultado muy importante para su
teor¶³a de la gravitaci¶on universal, a saber, que la acci¶
on de una esfera homog¶enea sobre una part¶³cula
exterior es la misma que se tendr¶³a si toda la masa de la esfera estuviese situada en su centro. As¶³, para Newton, todas las part¶³culas sobre la vasta Tierra se combinar¶³an para atraer tanto una manzana1 situada a unos cuantos pies de su super¯cie, como a la misma Luna.
Ese tratado se transform¶o en el famoso Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios
Matem¶
aticos de Filosof¶³a Natural), editado en 1687,
despu¶es de que Newton extendi¶o el principio de gravitaci¶
on universal, inicialmente aplicado al movimiento de la Luna, a todos los cuerpos celestes. El
Principia est¶
a compuesto de tres libros. En el primer libro, Newton trata del movimiento de los cuerpos en el vac¶³o, incluyendo el de los movimientos
en ¶
orbitas el¶³pticas, parab¶olicas e hiperb¶olicas, debido a fuerzas centrales, ocasi¶on que aprovecha para probar las Leyes de Kepler. Adem¶as, al inicio del
Libro I, se dan las formulaciones de las famosas Leyes de Newton: Ley de Inercia, Ley de la Fuerza y
Ley de Acci¶
on y Reacci¶
on. En el Libro II, encontramos el estudio de los cuerpos en medios resistentes
y la teor¶³a de las ondas. Adem¶as, en ese libro, Newton demostr¶
o que, si los movimientos peri¶odicos de
los planetas se desarrollaran en torbellinos (v¶
ortices)
de materia °uida, siguiendo la hip¶otesis presentada por el matem¶atico y ¯l¶osofo franc¶es Ren¶e du Perron Descartes (1596{1650), en 1644, esos movimientos no satisfar¶³an las Leyes de Kepler.
Por u
¶ltimo, en el Libro III, Newton us¶o algunos resultados obtenidos en los libros anteriores, principalmente la Ley de Gravitaci¶on Universal, para demostrar una \estructura del sistema del mundo". As¶³,
dentro de las proposiciones demostradas en el Libro III, destacan: la explicaci¶on del movimiento kepleriano de los sat¶elites de la Tierra, de J¶
upiter y de
Saturno; el c¶
alculo de la forma de la Tierra (achatada en los polos y alargada en el ecuador); una explicaci¶
on del fen¶omeno de las mareas (atracci¶
on gravitacional del Sol y de la Luna sobre las aguas de
los oceanos); y la precesi¶on de los equinoccios (observada por primera vez por el astr¶onomo babilo1S
eg¶
u n la v er si¶
on d e J oh n C on d u itt, esp oso d e C ath er in e, sob r in a d e N ew ton , ¶
este lleg¶
o a la id ea d e la gr av itaci¶
on
u n iv er sal cu an d o ob ser v ¶
o, en 1666, en el m an zan al d e su casa d e Lin coln sh ir e, la ca¶³d a d e u n a m an zan a. De esa ob ser v aci¶
on , se le ocu r r i¶
o la id ea d e q u e el p od er d e la gr av ed ad ter r estr e (q u e d er r u m b a u n a m an zan a) n o estab a lim itad o a
u n a cier ta d istan cia d e la T ier r a, sin o q u e d eb er ¶³a d e ex ten d er se m ¶
as all¶
a d e lo q u e se acostu m b r ab a acep tar y , q u ien sab e, tal v ez h asta la Lu n a ([4] p . 50).
nio Kiddinu (f.c. 397 a.n.e.) como debido a la diferencia entre la fuerza de gravitaci¶
on solar y lunar actuando en el plano ecuatorial alargado de la Tierra [2].
4. Comentarios Finales
A manera de conclusi¶
on de este art¶³culo, haremos algunos comentarios sobre las demostraciones
geom¶etricas hechas por Newton de las Leyes de Kepler. Para la demostraci¶
on de la Ley de las ¶
areas,
Newton consider¶
o que el movimiento de un planeta en torno del Sol es el resultado de una competencia entre la tendencia del mismo a seguir una
l¶³nea recta con movimiento uniforme, como si ninguna fuerza actuase sobre ¶el (Ley de Inercia), y el movimiento debido a la fuerza central de gravitaci¶
on ejercida por el Sol. De ese modo, mediante algunos teoremas de geometr¶³a plana, principalmente los relacionados con semejanzas y ¶
areas de tri¶
angulos, lleg¶o
a aquella demostraci¶
on.
Por otra parte, Newton obtuvo la demostraci¶
on de
la Ley de las ¶
orbitas en varias etapas, con el uso de
algunas propiedades de las secciones c¶
onicas2 . Inicialmente, demostr¶
o que, cuando un cuerpo se mueve en una ¶
orbita el¶³ptica bajo la acci¶
on de una fuerza
centr¶³peta dirigida a uno de los focos de esa c¶
onica,
dicha fuerza var¶³a como el inverso del cuadrado de
la distancia. Enseguida, prob¶
o que, si el mismo cuerpo se mueve en una hip¶erbola o una par¶
abola bajo la acci¶
on de una fuerza centr¶³peta dirigida a uno
de los focos de la c¶
onica considerada, dicha fuerza tambi¶en var¶³a como el inverso del cuadrado de
la distancia. Por u
¶ltimo, prob¶
o el problema inverso, a saber, si un cuerpo se mueve sujeto a una fuerza centr¶³peta que var¶³a como el inverso del cuadrado de la distancia, la trayectoria del cuerpo tiene que
ser una c¶
onica: elipse, par¶
abola o hip¶erbola.
Finalmente, como una aportaci¶
on de este art¶³culo,
resulta importante remarcar que la hip¶
otesis de que
una fuerza centr¶³peta variaba como el inverso del
cuadrado de la distancia, usada por Newton en la
demostraci¶
on de la Ley de las ¶
orbitas, conforme vimos antes, le fue sugerida al observar que la Ley de
2 Deb id o a q u e n o p u d o en ten d er b ien esas d em ostr acion es, el f¶³sico n or team er ican o Rich ar d P h ilip s Fey n m an (1918{
1988) p r ep ar ¶
o en 1964 u n a d em ostr aci¶
on geom ¶
etr ica d e la Ley
d e las ¶
or b itas d e Kep ler . E sa p r u eb a est¶
a m agn ¶³¯ cam en te \ex p licad a"en el lib r o in titu lad o U n a Lecci¶
on E sb ozad a d e Fey n m an : E l Mov im ien to d e los P lan etas en T or n o d el S ol, d e D.
Good stein y J . Good stein [1]. (A p r ov ech o la op or tu n id ad p ar a agr ad ecer al P r ofesor J os¶
e A c¶
acio d e B ar r os, d el Dep ar tam en to d e F¶³sica d e la U n iv er sid ad Fed er al d e J u iz d e For a, p or llam ar m i aten ci¶
on p ar a ese lib r o y su ger ir m e la lectu r a d e ese ar t¶³cu lo. A gr ad ezco tam b i¶
en al P r ofesor V ¶³tor
Fa»can h a S er r a, d el Dep ar tam en to d e F¶³sica d e la U n iv er sid ad Fed er al d e P ar ¶
a, p or h ab er m e ofr ecid o u n ejem p lar d e d ich o lib r o).
Newton y las leyes de Kepler. Jos¶e Mar¶³a Filardo Bassalo.
37
Bibliograf¶³a
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cs