Calculo de coeficientes de transferencia

Calculo de coeficientes de
transferencia
Dr. Rogelio Cuevas García
1
El calculo de los coeficientes de transferencia de masa se
prefiere en función de números adimensionales. En
ingeniería de reactores heterogéneos, considerando l0 y v0 la
longitud y velocidad característica del sistema, los más
comunes son:
El número de Reynolds
Re =
l0v0 ρ
μ
ó en un lecho empacado Re=
Sc =
El número de Schmidt
d PG
μ
μ
ρD
El número de Sherwood
Sh =
kCl0
k ρ
; en un reactor de lecho fijo Sh = m
D
G
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2
1
Nusselt
Nu =
hl0
kT
Prandtl
Pr =
CP μ
kT
Lewis
Le =
Factores j
α
DAB
jD =
=
k
;
ρ CP DAB
Sh
;
ReSc1/3
jH =
Le=
Sc ν / DAB μρ / DAB
=
=
Pr
ν /α
CP μ / K
Nu
Re Pr1/3
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Anteriormente, se definió el flujo molar causado por un
fenómeno puramente difusivo, utilizando la ley de Fick
como:
J j = Dmj∇( Cj )
O cuando nos referimos a una dimensión
j= -D
dC
dy
Donde este factor JA[=] mol/(tiempo*área). Este factor se
determina experimentalmente. Cuando existe una
diferencia de concentraciones entre dos localizaciones 1 y
2 se define como
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2
J A = km am (C A1 − C A2 )
Que representa la definición más simple del coeficiente de
transferencia kmA ([=] longitud/tiempo).
A su vez el coeficiente de transferencia de masa se define a
través del número de Sherwood:
Shl 0 =
velocidad de transferencia de masa por flujo convectivo kmAl0
=
DA
velocidad de transferencia de masa por difusión
Donde l0, es una longitud característica.
Existen bastantes correlaciones experimentales basadas en el
Sh y entonces con este número es posible calcular kmA.
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• Para una placa plana de longitud L y ReL<105
En este caso la definición del número de Reynolds (Re) y
Schmidt (Sc) es respectivamente:
Cuando
Cua
do Re>10
e 05
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3
• Flujo sobre una esfera (gotas de líquido, burbujas de gas,
partículas pequeñas de sólidos). La longitud característica se
( )
convierte en el diámetro (D).
Donde
Re D =
uD
μ
Conforme el diámetro de la partícula se hace pequeño, el límite
es Sh=2. Situación que corresponde a una esfera rodeada por
líquido estancado.
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• Flujo a través de un tubo de diámetro D
Si ReD<2100
Sh=8/3
Ecuación valida a una distancia dentro del tubo
suficiente para que el flujo laminar se desarrolle
completamente.
Si ReD>2100
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8
4
•
(1) Gamson et al. y Wilke
and Hougen
(2) Taecker and Hougen
(3) McCune and Wiihelm
(4): Ishino and Otake.
(5) Bar Ilan and Resnick.
(6) De Acetis and Thodos
(7) Bradrhaw and Bennett
(8) Hougen, Yoshida,
Ramasnlami, and Hougen
(esferas; ε = 0.37).
•
•
•
•
•
•
•
Datos experimentales del coeficiente de transferencia de masa contra Re
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• Partículas en un lecho empacado. En el cálculo de reactores
de lecho empacado,
Sh =
Para esta geometría
í en particular
km ρ
G
Existen varias correlaciones; pero una de las más usuales es
la propuesta por Dwivedli y Upadhai; porque es la que Smith
utiliza en su libro de texto.
jD =
A vez,
0.458
εB
( Re )
−0.407
;
⎛a ⎞
2 /3
jD = Sh ⎜ m ⎟ ( Sc ) ;
⎝ at ⎠
Re
Re=
d PG
Sc =
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μ
μ
ρD
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5
P llo tanto
Por
t t ell procedimiento
di i t para determinar
d t
i
km en este
t
caso seria:
1) Buscar o evaluar el valor del coeficiente de difusión
(D).
2) Calcular el número de Schmidt Sc y el Re
3) Evaluar el valor de jD utilizando el Re.
4) Utilizando
Utili
d ell jD calcular
l l ell número
ú
d Sh.
de
Sh
5) Del Sh determinar km(am)
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Transferencia de calor
Dado que la radiación no es importante hasta ~500 °C, el calor
que se transfiere en condiciones de flujo convectivo es
Q = hA(T − TS )
D d A
Donde
A= área
á
d transferencia
de
t
f
i y
h=coeficiente de transferencia de calor. Este
coeficiente se define con el número de Nusselt
Nul =
hl
kT
kT es la conductividad térmica del fluido.
Resulta que para gases el Sh
Sh=Nu;
Nu; porque el número de Lewis
(Le)
Sc Difusividad térmica
Le =
=
=1
Pr Difusividad masica
De donde es posible substituir el Sh por el Nu para calcular kT.
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6
Transferencia de calor entre
un fluido y las particulas.
(1) Gamson et al. Y Wilke
and Hougen. (2)
Baumeister and Bennett
(a) for dt/dp>20, (b)
correlación promedio
(3) Glaser and Thodos. (4)
de Acetis and Thados
(5) Sen Gupta and Thadas
(6) Handley and Heggs (ε =
0.37).
G.E. Froment, K.E. Bishop,
Chemical Reactor analysis
and design, 2nd ed. 1979
El coeficiente de calor también puede correlacionarse con el
número de Re de acuerdo a:
jH =
hf
cP G
Pr 2/3
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Factores de efectividad no isotérmicos
Para determinar el efecto de la temperatura en el factor de
efectividad; procedemos de la siguiente manera: Para una
reacción de orden n:
R kSC S n ⎛ kS ⎞ ⎛ C S ⎞
η=
=
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
R 0 k 0C 0n ⎝ k 0 ⎠ ⎝ C 0 ⎠
n
La situación que se presenta es:
Reacción exotérmica
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Para determinar la relación (k/ks)
−
EA
⎡⎛ E
⎡ E
k S A0e RTS
E ⎤
=
= exp ⎢ − A + A ⎥ = exp ⎢ ⎜ A
E
− A
k0
RT
RT
S
0 ⎦
⎣
⎣⎝ R
A0e RT
0
⎡⎛ E A ⎞ ⎛ T0 ⎞⎤
⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎟ ⎜ − ⎟ ⎥ = exp ⎢ ⎜
⎟ ⎜1− ⎟ ⎥
T
T
⎠⎝ 0
S ⎠⎦
⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ T S ⎠ ⎦
Definiendo la temperatura adimensional
T*=
TS
T0
⎡⎛ E ⎞ ⎛
kS
1 ⎞⎤
= exp ⎢ ⎜ A ⎟ ⎜1−
⎟⎥
k0
⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ T * ⎠ ⎦
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Para determinar la relación CS/C0, se utiliza el hecho de que en estado
estable la velocidad de transferencia de masa es igual a la reacción
química:
k m a m (C0 − C S ) = ( − R A )
( − R A ) = k m a m C0 − k m a m C S ;
k m am C0 − ( − R A )
k m a m C S = k m a m C0 − ( − R A ) ;
(−R A )
CS
=1−
= 1 − η Da
D 0
C0
k m am C0
CS =
km am
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= C0 −
(−R A )
k m am
;
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E lla ecuación
En
ió original:
i i l
⎡⎛ E ⎞ ⎛
kS
1 ⎞⎤
= exp ⎢ ⎜ A ⎟ ⎜1−
⎟⎥
k0
⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ T * ⎠ ⎦
CS
= 1 − η Da0
C0
n
⎧⎪
⎡⎛ E ⎞ ⎛
⎛ k ⎞⎛ C ⎞
1 ⎞ ⎤ ⎫⎪
n
η = ⎜ S ⎟⎜ S ⎟ = ⎨exp ⎢⎜ A ⎟⎜1−
⎟ ⎥ ⎬ (1− η Da 0 )
⎝ k 0 ⎠⎝ C 0 ⎠
⎪⎩
⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝ T * ⎠ ⎦ ⎪⎭
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Ahora el problema es determinar T*
Calor
Ca
o d
disipado=calor
s pado ca o ge
generado
e ado por
po la
a reacción
eacc ó
ha (TS −T0 ) = −ΔH R ( -R A (T ,C S ) ) ;
T S −T 0 =
−ΔH R ( -R A (T ,C S ) )
ha
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre T0.
−ΔH R ( -R A (T ,C S ) )
TS
−1 =
;
T0
ha (T0 )
ΔH R ( -R A (T ,C S ) )
TS
= 1−
T0
ha (T0 )
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Si no existen datos para determinar el valor de h, se utilizan
los factores j; porque en las condiciones en que operan
los reactores de lecho fijo:
JD=JH
2
2
k g Sc 3
h Pr 3
=
;
vX
ρv X Cp
2
JD
=
JH
h Pr 3
ρv X Cp
2
k g Sc 3
vX
2
h Pr 3
=
=1
ρCp 23
Sc
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2
ΔH R ( -R A (T ,C S ) ) ⎛ C 0 ⎞
TS
h Pr 3
= T * = 1−
=
⎜ ⎟•
2
T0
ha (T0 )
⎝ C 0 ⎠ ρCpk m Sc 3
−
−ΔH R C 0 ⎛ Sc ⎞ 3 ⎛ ( -R A (T ,C S ) ) ⎞
=1+
⎜
⎟
T0 ρCp ⎜⎝ Pr ⎟⎠ ⎜⎝ k m a mC 0 ⎟⎠
2
Donde
T * = 1+ β • ηDa
Para gases Le=1
β=
−ΔHC 0 1
cpT 0 ρ
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2
Le 3
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η=
⎡⎛ E ⎞ ⎛ 1
R ⎛
⎞⎤ ⎞
= ⎜ exp ⎢⎜ − A ⎟⎜
−1⎟ ⎥ ⎟ 1− ηDa 0
⎟
R 0 ⎜⎝
⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝T * ⎠ ⎦ ⎠
(
)
⎡⎛ E ⎞⎛
⎞⎤
1
= exp ⎢⎜ − A ⎟⎜
−1⎟ ⎥ 1− ηDa 0
⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝1+ β • ηDa ⎠ ⎦
(
n
=
)
n
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• 1. Cuando domina la reacción química. (La velocidad de
transferencia de masa es alta, Da0→0)
η=
⎡⎛ E ⎞⎛
⎞⎤
R
1
= exp ⎢⎜ − A ⎟⎜
−1⎟ ⎥ 1− ηDa 0
R0
⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝1+ β • ηDa ⎠ ⎦
(
(
≈ exp(0) 1− ηDa 0
)
n
)
n
≈ exp(0)(1) ≈ 1
n
• 2. Cuando controla la transferencia de materia, Da0 alcanza
valores altos. Esto implica que:
(1− ηDa )
0
n
→0
Teniendo en cuenta el orden de reacción (n) en la ecuación
anterior, resulta que para ordenes mayores la limitación
causada por los problemas de transferencia de masa es mayor:
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• 3. Se presenta una zona con comportamiento interesante en
la zona intermedia, En la definición de T* se tienen dos
funciones.
β=
−Δ
ΔHC 0
cpT0 ρ
• Al principio (conforme aumenta Da0) predomina la función
exponencial y entonces el valor de η depende del calor de
reacción
n
⎡⎛ E ⎞ ⎛
⎞⎤
1
η = exp ⎢ ⎜ − A ⎟ ⎜
−1⎟ ⎥ 1− ηDa 0
⎣ ⎝ RT 0 ⎠ ⎝ 1+ β • ηDa ⎠ ⎦
(
)
• Si la reacción es exotérmica, esto implica que ΔHR>0, β también
es positivo y T*>1, lo cual implica que TS>T0. lo cual acelera la
velocidad de reacción y el factor de efectividad es η>1
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Para una reacción endotérmica ΔHR es positivo; β es negativo,
1+ β • ηDa ≤ 1 ⇒
Entonces
Y finalmente
1
≥1
1+ β • ηDa
1
−1 ≥ 0
1+ β • ηDa
⎡⎛ E ⎞⎛
⎞⎤
1
exp ⎢⎜ − A ⎟⎜
−1⎟ ⎥ ≤ 1
⎣⎝ RT0 ⎠ ⎝1+ β • ηDa ⎠ ⎦
Lo que indica que el factor de efectividad cae bastante rapido.
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• Para una reacción exotérmica
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