capitulo 8 resonancia

CAPITULO 8
RESONANCIA
8.1 INTRODUCCION
Todo sistema oscilante tiene una frecuencia característica (oscilaciones que da en un segundo) llamada de resonancia.
Cuando lo sometemos a una fuerza exterior, periódica (se repite cada cierto tiempo), las amplitudes de las oscilaciones
cambian, aumentando y disminuyendo; pero si la frecuencia de la fuerza exterior es la misma que la del sistema
(acompasado) se produce un fenómeno curioso y es que las amplitudes van aumentando.
El fenómeno de resonancia se manifiesta cuando una oscilación excita a un sistema cuya frecuencia propia es igual o un
múltiplo entero de la frecuencia de la oscilación.
Al referirme a oscilación me refiero a una onda (mecánica o eléctrica) Cuando digo excita, me refiero a que impulsa al
sistema. Cuando hablo de sistema me refiero a un sistema mecánico o eléctrico cuyo comportamiento es susceptible a ese
tipo de oscilación.
La frecuencia propia del sistema es la frecuencia fundamental en alguno de sus modos de vibración.
El más simple, un columpio (o hamaca) con un niño sentado en ella. Si consideras el sistema como un péndulo, sabrás que
tiene una frecuencia propia dada por el peso del niño, sin importar la amplitud de la oscilación (es decir sin importar la altura
que está alcanzando el niño al hamacarse). Una persona parada en el piso empuja al niño en la hamaca, cada vez que pasa
por su posición. Obviamente la persona ejerce su fuerza una vez por ciclo de la hamacada, por lo tanto la frecuencia de esa
fuerza impulsora es igual a la frecuencia propia del sistema niño hamaca, la amplitud de oscilación aumenta (fuerza y
movimiento están en fase, están en resonancia)
Otro ejemplo es una cuerda de guitarra. Dada su masa, longitud y tensión, tiene bien definidos sus modos de vibración y
frecuencias fundamentales. Si de alguna forma generamos un sonido (por ejemplo con el diapasón), que le imponga una
fuerza a la cuerda de igual frecuencia que la propia, entonces la vas a ver vibrar, ya que entro en resonancia.
Los sistemas de segundo orden (mecánicos o eléctricos) son aquellos donde su comportamiento están definidos por
ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ejemplos, una masa unida a un resorte y un amortiguador (sistema de
suspensión del auto), o un circuito con resistencias capacitores e inductores. Estos sistemas tienen una frecuencia a la cual
las energías que están en juego se aprovechan al máximo: esa es la frecuencia de resonancia.
Un ejemplo eléctrico es el sintonizador del radio. Variando los valores de capacidad (o inductancia) se modifica la frecuencia
propia del sistema. Al entrar un grupo de señales de distintas frecuencias, aquella que es la de resonancia prevalece sobre las
demás que encuentran una gran resistencia a ser tomadas. La de resonancia se aprovecha al máximo, y es lo que hace que
este en "sintonía". Haya corriente (movimiento de electrones) y tensión (fuerza que los impulsa) están en fase, como en el
caso del columpio, y también la amplitud es máxima.
Como ejemplo mecánico, aparte del de la suspensión del automóvil, es muy famoso el del puente Tacoma Narrows, donde la
frecuencia del viento se igualo con la frecuencia de vibración propia del puente, lo que genero que toda la energía se
expresara como movimiento del puente, haciendo que se destruyera.
Otro ejemplo mecánico son las tropas que marchan en fila. Alguna vez esta marcha igualo la frecuencia propia de un puente
haciendo que las vibraciones lo destruyeran. Desde ahi se suelen romper filas antes de cruzar un puente.
Entonces la frecuencia de resonancia de un sistema no es más que su frecuencia propia de vibración.
214
8.2 FRECUENCIA NATURAL (Fn):
Es la frecuencia que presenta cada componente por su propia naturaleza y características. Esta frecuencia oscilará si es
excitada por agente externo que opere a una frecuencia muy cercana. Por lo tanto, la frecuencia natural es la frecuencia a la
que un sistema mecánico seguirá vibrando, después que se quita la señal de excitación. A veces se le llama la frecuencia de
resonancia pero eso no es correcto, ya que la frecuencia de resonancia es la frecuencia a la que vibraría el sistema, si no
hubiera amortiguación.
8.3 LUGAR GEOMETRICO DE IMPEDANCIAS:
a)
Lugar geométrico de Z e Y de un circuito serie con R variable

Circuito RL
+
=
=−
+
1
2
+
=
+
1
2
=
=
+
+
+
+
1
2
1
+
−
1
+
=
→
+
…….
+
−
+
+
+
=0
=
= −
1
2
215

Circuito RC
−
=
=
−
1
2
+
=
−
1
2
=
=
+
+
+
−
1
2
1
+
1
−
−
→
+
…….
=
+
−
+
+
+
=0
=
=
1
2
216
b)
Lugar geométrico de Z e Y de un circuito serie con X (inductivo y capacitivo) variable
La admitancia será:
+
=
=
→
1
=
1
+
=
+
=
→
+
−
+
→
1
+
̅=
=
+
→
+
=
−
+
−
+
=0
−
+
+
4
1
=
4
1
217
−
1
2
+
1
…….
4
Radio =
y centro
;0
Plano de admitancia B-G:
=
X →inductiva →
=
1
+
=
−
La resonancia eléctrica es un fenómeno que se produce en un circuito en el que existen elementos reactivos (bobinas y
capacitores) cuando es recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la reactancia se anule, en caso
de estar ambos en serie o se haga infinita si están en paralelo.
Se dice que un circuito eléctrico se encuentra en resonancia cuando se comporta como resistivo puro. La corriente es máxima
y la tensión en la resistencia está en fase con la tensión de excitación del circuito.
Para el caso del circuito RLC serie, la frecuencia angular de resonancia está dada por donde L es la inductancia y C es la
capacitancia del circuito.
Por otra parte, el campo magnético generado en la bobina puede estar afectado por distintas causas, entre ellas la cercanía
de otra inductancia
DISCUSIÓN:
La condición de resonancia la estudiamos en las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle elástico.
La resonancia de los circuitos RLC serie no es un proceso complicado de estudiar. Es algo bien conocido y sobre lo cual se
pueden encontrar muchos experimentos realizados.
En nuestro caso los resultados experimentales concuerdan mucho con el estudio teórico previo al proceso de obtención de
datos. Para todo esto, debíamos conocer bien los valores de cada componente utilizada en el circuito. Lo más complicado fue
medir la impedancia de la bobina, pero poniendo a los circuitos en resonancia y, conociendo C, por la ec (1), pudimos obtener
L en cada circuito.
Al principio surgieron inconvenientes al no considerar correctamente los valores de las resistencias internas de cada bobina,
pero al hacerlo se nos simplificó el estudio y se ajustó mejor la parte experimental con la teórica.
218
RESONANCIA
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA N°01
Trazar el lugar geométrico de la corriente total y hallar el valor de
X C , para que la IT atrase el voltaje en 15 .
*La corriente total:
IT  I1  I 2
........(*)
Sea:
E
XL
1200
I1 
 890  cte
1590
I
Como la corriente total ( I T ) debe ser:
IT  IT   15  8  90  I 2
Entonces el L.G. será:
219
Del circuito se observa que:
I 2 MAX 
1200
R j
Para que:
R  jX C es max imo  X C  0
Entonces:
I 2 MAX 
1200
 240 A
50
Aplicando la Ley de Cosenos en el triangulo sombreado:
I 2 2  82  2 2(8)( I T )Cos 75 .......(1)
Además, la potencia disipada puede expresarse como:
Pdisipada  120IT Cos15  5I 22
I 22  24Cos15 I T ..........(2)
(2) en (1) :
24Cos15 I T  64  I T 2  16 I T Cos 75 I T , sabiendo que:
Cos15  0.966 ;
Cos 75  0.259
I T 2  27.328 I T  64  0
220

I T 1  2.287 A

I T 2  24.73 A
Como tenemos 2 soluciones; cada uno corresponde a cada
Calculando
IT correspondiente.
I2 :
De (2) :
120Cos15 x 2.287
5
120
Cos
15
 x 24.73
I 222 
5
I 212 
 I 21  7.28 A
 I 21  23.94 A
En la rama R-C:
V  I 2 . 5  jX C 
En
V  I 2 . 52  X C 2 .........(3)
(3) :
120  7.28 52  X C 2

120  23.94 52  X C 2
¡ Existen

X C1  15.7
X C2  0.35
2 Soluciones !
PROBLEMA N°02
En el circuito
RC es variable y varia de 0 a 10 X C , calcular el ángulo a través del cual VMN puede ser variado y el lugar
geométrico de
VMN .
Solucion :
Datos : RC : 0  10 X C ,
Piden :
a)  para variar VMN .
b)
L.G. de
X C es fijo
VMN .
Se observa que:
221
Z C  Z C 
Z C  RC  jX C 
VMN  VM  VN
VM 
,
donde :
VAB
V 0 VAB
, I  AB


2
RC  jX C Z C
VN  I . X C , como X C es fijo
Como sabemos que: “El L.G. de Y (Admitancia) es proporcional al L.G. de I (Corriente)” , puesto que
Por lo tanto, el L.G. de I es el L.G. de
RC  0 ; I 
VAB
 K190
XC
RC  10 X C

I
Y C (Admitancia), sabiendo que:

YC 
V  cte .
1
1

Z C RC  jX C
 1  90
VAB
(10 X C  jX C )
 X
,    arctan  C
 10 X C
I
VAB
111X C 
I
VAB
 K 2 5.71
111X C   5.71
Entonces, el rango del ángulo  va desde

1
   arctan    5.71
 10 

  2  5.71
5.71 hasta 90 :
  5.71,90
Ahora, graficando:
VRC esta en fa se c on
I.
Como sabemos:
VMN  VM  VN ,
VMN 
VAB
 VN
2
o
VMN  VMB  VNB  radio (r )
222
Gráficamente:
 El L.G. de V
MN
es el radio del semicírculo.
PROBLEMA N° 03
Sea el siguiente circuito, hallar:
a.
b.
Lugar geométrico de la admitancia total.
Máxima admitancia y mínima admitancia.
c.
Valor de
d.
Angulo de variación de la admitancia total.
X C y la admitancia en la rama variable para la resonancia.
18.5  X C  24
Resolución:
De la rama conocida(los valores), tenemos:
Z  6  j6
1
Como: Y 
Z
1
1
 Y

6  j 6 6 2  45
Sea:
Y  0.1145
En la rama variable tenemos dos casos:
*) Cuando:
*) Cuando:
X C  18.5
X C  24
223
Z1  4  j1.5
Z2  4  j 4
Z1  4.2720.5
Z 2  5.65  45
Entonces:
Y1  0.23  20.51
Y2  0.17451
*Maxima Admi tan cia :
Ymax  0.1145  0.1745  0.28451
*Minima Admi tan cia :
Ymin  0.1145  0.23  20.5  0.29  0.54
Graficando el LUGAR GEOMETRICO(L.G.) de
YT :
224
Del grafico observamos que la ADMITANCIA DE RESONANCIA:
YR  0.25Sen15  0.077
 YR  0.142
Sabemos que existe RESONANCIA, ya que la grafica cruza el EJE REAL.
También tenemos que la rama variable es:
Z3  4  j (20  X C )
Z 3  16  (20  X C ) 2
Y3 

16  (20  X C ) 2

1
 0.25
 X C  20
Finalmente el ángulo de la admitancia total es:
  48
PROBLEMA N° 04
En el siguiente circuito determinar si existe algún valor de RL, para la condición de resonancia, además trazar el lugar
geométrico de la admitancia del circuito.
Resolución:
Para la rama R-C, la admitancia tiene un valor fijo que lo podemos representar.
Z1  4  j5
( fijo)
 Y1  0.098  j 0.122
Y1  0.15651.34
Para la rama R-L, como
RL varía su lugar geométrico de la admitancia.
225
Z 2  RL  j10
 Y2 
(var iable)
1
RL  j10
Como se sabe el lugar geométrico (L.G.) de
 1
Y2 es una semicircunferencia de radio 
 2X

 , en nuestro caso:

1
1

 0.05 es radio de la semicircunferencia.
2(10) 20
El lugar geométrico de las admitancias, será:
YT  Y1  Y2
Graficando:
Como NO hay cruce con el EJE REAL, entonces NO HAY RESONANCIA.
PROBLEMA N° 06
Sea el circuito dado, dibujar el diagrama de impedancias a los terminales A-B del circuito.
Para qué condiciones el circuito tiene un factor de potencia unitaria.
226
Resolución:
La impedancia
Z1 tiene un valor fijo, y lo vamos a representar en el plano, en el eje positivo superior.
Z1  R  jX L

Y1 
1
R  jX L
Para la impedancia
Z 2  RC  jX C
Z2 , que es variable, ya que depende de la variación del valor de X C , tenemos:
; RC  R
Z 2  R  jX C

Y2 
1
R  jX C
Ademas: Z total  Z 1  Z 2
;
Y total  Y 1  Y 2
Graficando:
Del grafico se observa que el punto de intersección de la grafica con el eje real es el “PUNTO DE RESONANCIA”,
por lo tanto tenemos que:
Z resonancia  Z R  R 
RC
R 3R
 R 

2
2
2
227
PROBLEMA N° 07
Un circuito resonante RLC en serie como el de la figura, tiene una inductancia L = 10mH.
a) Seleccione C y R para que:
b) Determine la respuesta H de este circuito para una señal con:
Resolución:
a)
Por lo tanto:
Encontramos Q para hallar R:
Y como:
Por lo tanto:
228
b) Como la respuesta del circuito H es:
Reemplazando los valores:
Por lo tanto:
PROBLEMA N°08
Para un circuito resonante RLC en serie como el de la figura considere:
Calcule:
Resolución:
Encontramos primero
por medio de las formulas, para luego encontrar
:
229
Por lo tanto
es:
RTA/
;
;
.
PROBLEMA N° 09
El circuito de la fig.1 representa la conexión en paralelo de un condensador y una bobina, siendo
esta ultima. Hallar la frecuencia de resonancia del circuito.
la resistencia óhmica de
Fig.1
Resolución:
La admitancia total del circuito es:
)
En resonancia, la parte imaginaria es cero; por tanto
De donde:
Si la resistencia de la bobina es pequeña comparada con
la frecuencia de resonancia viene dada por
.
230
FACTOR DE CALIDAD:
El factor Q, también denominado factor de calidad o factor de selectividad, es un parámetro que mide la relación entre la
energía reactiva que almacena y la energía que disipa durante un ciclo completo de la señal. Es un parámetro importante para
los osciladores, filtros y otros circuitos sintonizados, pues proporciona una medida de lo aguda que es su resonancia.
Los sistemas resonantes responden a una frecuencia determinada, llamada frecuencia natural, frecuencia propia o frecuencia
de resonancia, mucho más que al resto de frecuencias. El rango de frecuencias a las que el sistema responde
significativamente es el ancho de banda, y la frecuencia central es la frecuencia de resonancia eléctrica.
También se define el factor de calidad para componentes, en particular, para los varactores y cristales.
El factor de calidad de circuitos pasivos formados con resistencias, bobinas y condensadores es bajo, inferior a 100, por el
efecto de la resistividad del hilo de las bobinas, principalmente, ya que para valores elevados de inductancia se necesitan
grandes longitudes de hilo. El uso de circuitos activos, que funcionan como multiplicadores de inductancia o capacidad puede
mejorar el Q.
Los cristales, que son resonadores piezoeléctricos, llegan a valores de Q de varios miles.
En microondas, dependiendo de la frecuencia, las cavidades resonantes pueden llegar a valores de Q extraordinariamente
altos, debido a que las únicas partes disipativas son las paredes de la cavidad. Estas pérdidas se minimizan recubriendo de
plata la parte interior de la cavidad.
Expresiones
El factor Q se define como la frecuencia de resonancia (f0) dividida por el ancho de banda (f2-f1):
El factor Q aplicado a un solo componente sirve para caracterizar sus componentes no ideales. Así para una bobina real se
tiene en cuenta la resistencia del cable; un valor alto de Q significa una resistencia pequeña y por tanto un comportamiento
más parecido a la bobina ideal.
En un circuito RL la expresión del factor Q es:
Donde w es
.
Para un circuito RC la expresión es:
En filtros sirve para ver lo selectivos que son, es decir, para ver el ancho de banda. En principio, un filtro con menor ancho de
banda (mayor Q), será mejor que otro con más ancho. También, como se puede deducir de la ecuación 2, es más difícil hacer
filtros de calidad (porque requieren una Q mayor) a alta frecuencia que a baja frecuencia.
231
RESONANCIA
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA N° 01
Según el circuito mostrado determine:
a) Lugar geométrico de la admitancia
b) Máxima admitancia, mínima admitancia
Valor de
X C y la admitancia en la rama variable para resonancia
PROBLEMA N° 02
Dado el siguiente circuito evaluar:
a) El valor de X C y X L para que el sistema sea resonante y a su vez la impedancia sea 20/3 entre los bornes a-b.
b) Si el sistema resuena a 16 MHz determine Qt ( factor de calidad).
PROBLEMA N° 03
El circuito resonante paralelo con bobina real de la figura se encuentra funcionando a su frecuencia de resonancia. A dicha
frecuencia se sabe lo siguiente:
La intensidad eficaz que circula por la capacidad es 10 mA.
La tensión eficaz en la resistencia es 50 V.
El factor de calidad de la bobina es Qb = 10 (>5).
232
A
+
r
200 pF
2 mA
Vout
50 k
L
B
Se pide:
1)
Factor de calidad del circuito.
2)
Frecuencia de resonancia.
3)
Valores r y L de la bobina.
4)
Suponiendo que la bobina es ideal (r=0), ¿cuál sería en este caso la nueva frecuencia de resonancia?
PROBLEMA N° 04
Un condensador de 400uf y una bobina de 50mH (RL=2 Ω). A que frecuencia resuenan y determinar el Q de la bobina.
Donde:
L=50mH,
C=400uf,
RL=2Ω.
233