Todos los ejercicios del libro hechos

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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
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Pág. 1
PÁGINA 212
Recorta en cartulina cada una de estas figuras y sujétalas en palillos de dientes. Sosteniendo el palillo entre los dedos y soplando en el lateral, ¿qué ves en
cada caso?
Triángulo → Cono
Trapecio → Tronco de cono
Unidad 11. Cuerpos de revolución
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Pág. 2
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TE CONVIENE RECORDAR
1 ¿Cuáles de estos objetos son cuerpos de revolución?
b)
a)
c)
d)
e)
Los objetos a), c) y d) son cuerpos de revolución.
2 Para generar esta botella hay que hacer girar
la figura de su derecha alrededor del eje.
Dibuja las figuras que generan los cuerpos
de revolución a), c) y d) del ejercicio anterior.
Unidad 11. Cuerpos de revolución
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Pág. 3
PÁGINA 215
2 Dibuja en tu cuaderno los cilindros que se generan al gi-
A
B
C
D
rar el rectángulo:
a) Alrededor de CD.
b) Alrededor de BD.
a)
b)
A
B
C
A
B
C
D
D
3 ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de 0,6 m de radio de la base y 1,8 m de altura?
Área total = 2π · 0,6 · 1,8 + 2π · 0,62 = 9,04 m2
Se necesitan 9,04 m2 de chapa.
4 Se han de impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un aljibe circular abierto por arriba. El radio de su base mide 4 m y la altura 5 m.
Si cuesta 18 € impermeabilizar 1 m2, ¿cuál es el coste de toda la obra?
El aljibe está abierto, solo tiene una base.
Área del aljibe = 2π · 4 · 5 + π · 42 = 175,84 m2
Coste = 175,84 · 18 = 3 165,12 €
El coste de toda la obra es de 3 165,12 €, aproximadamente.
5 Dibuja el desarrollo de un cilindro recto cuya base tiene 2 cm de radio y cuya
altura es de 8 cm.
Alto del rectángulo = 8 cm
Ancho del rectángulo = 2 π r = 12,6 cm
Unidad 11. Cuerpos de revolución
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Pág. 4
2 cm
8 cm
12,6 cm
2 cm
6 Toma medidas y decide cuál de los siguientes desarrollos corresponde a un cilindro.
Radio de la base = 4,25 mm
Ancho del rectángulo ≈ 26,5 mm
Longitud de la base = 2π · 4,25 ≈ 26,6 mm
Es el desarrollo de un cilindro.
Radio de la base = 4,25 mm
Ancho del rectángulo = 40 mm
Longitud de la base = 2π · 4,25 ≠ 40
No es el desarrollo de un cilindro.
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Pág. 5
PÁGINA 217
2 Dibuja los conos que se obtienen al girar este triángulo rectángulo:
B
a) Alrededor del lado AC.
d) Alrededor del lado BC.
a)
b)
B
B
A
A
A
C
C
C
D
3 Para construir un cono de radio 3 cm y altura 4 cm, procede del siguiente
modo:
a) Averigua que la generatriz mide 5 cm.
b) Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio: un sector suyo será el desarrollo lateral del cono.
c) ¿Cuál es el ángulo, α, del sector? Hállalo mediante la proporción:
2πr = α
→ α = r · 360° = …
360°
2πg
g
d) Calcula el área lateral y el área total de ese cono.
a) La generatriz es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y
4 cm.
Por tanto: g = √32 + 42 = 5 cm
b) Longitud del arco = 2π · 3 = 18,84 cm
Longitud circunferencia de radio 5 cm = 2π · 5 = 31,4 cm
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Pág. 6
31,4 → 360° 
 x = 216°
18,84 → x 
216°
5 cm
c) 2π · 3 = α → α = 3 · 360° = 216°
2π · 5
360°
5
d) Área lateral = π · r · g = π · 3 · 5 = 47,1 cm2
Área total = 47,1 + π · 32 = 75,36 cm2
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1 El cono cuya base tiene un radio de 12 cm y cuya altura es de 16 cm es cortado por un plano perpendicular a su eje que pasa a 4 cm de la base. Hallar las
dimensiones, el área lateral y el área total del tronco de cono que se forma.
r' = 12 → r' = 12 · 12 = 9 cm
12 16
16
g = √42 + 32 = 5 cm
g'
12 = g'
→ 12 =
→
16 g + g'
16 5 + g'
g'
12 cm
→ 60 + 12g' = 16g' → 4g' = 60 → g' = 15 cm
g + g' = 20 cm
r'
g
4 cm
r – r'
r = 12 cm
Tenemos un cono grande cuya base tiene 12 cm de radio, su altura es de 16 cm
y su generatriz mide 20 cm.
En el cono pequeño, el radio de la base mide 9 cm, la altura, 12 cm, y la generatriz, 15 cm.
Unidad 11. Cuerpos de revolución
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Pág. 7
• Calculamos el área lateral del tronco de cono restando al área lateral del cono
grande la del pequeño:
Alat. tronco = π · r (g + g' ) – π · r' · g' = π · 12 (20) – π · 9 · 15 = π (105) = 329,7 cm2
• Área total del tronco de cono:
Atotal = 329,7 + π · 122 + π · 92 = 329,7 - 706,5 = 1036,2 cm2
2 Halla la superficie de una flanera abierta por arriba,
con las siguientes medidas: radio de las bases, 10 cm y
15 cm; generatriz, 13 cm.
g
10
13
15
g
10 =
→ 10g + 130 = 15g → 5g = 130 → g = 26 cm
15 g + 13
Alat = π · 15 · 39 – π · 10 · 26 + π · 102 = 1334,5 cm2
PÁGINA 219
3 En nuestro jardín tenemos 32 macetones con forma de tronco de cono. Los
radios de sus bases miden 14 cm y 20 cm, y la generatriz, 38 cm.
Calcula cuánto cuesta pintarlos (solo la parte lateral) a razón de 40 € cada
metro cuadrado de pintura y mano de obra.
Área lateral de cada macetón = π (14 + 20) · 38 = 4 056,9 cm2
Área de todos los macetones = 32 · 4 056,9 = 129 820,8 cm2 ≈ 13 m2
Coste = 40 · 13 = 520 €
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Pág. 8
4 Considera un tronco de cono cuyas bases tienen radios de 17 cm y 22 cm y
cuya altura es de 12 cm.
a) Halla su generatriz.
b) Halla el área lateral de la figura.
c) Halla el área total de la figura.
a) g = √122 = 52 = 13 cm
17 cm
12 cm
12 cm
5 cm
22 cm
b) Alat = π (17 + 22) · 13 = 1592 cm2
c) Atotal = 1592 + π · 172 + π · 222 = 4 019,22 cm2
PÁGINA 220
1 Una esfera de 5 cm de radio es cortada por un plano que pasa a 3 cm de su
centro. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que determinan?
d 2 + r 2 = R 2 → 32 + r 2 = 52 → r = √25 – 9 = 4
El radio de la circunferencia resultante es de 4 cm.
2 Se sabe que al cortar una esfera con un plano que dista 2 cm de su centro, se
genera una circunferencia plana de 4 cm de radio. ¿Cuánto mide el radio de
la esfera?
4 cm
2 cm
R
Unidad 11. Cuerpos de revolución
R = √42 + 22 = √20 = 4,47 cm
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Pág. 9
PÁGINA 221
3 En una esfera terrestre escolar de 20 cm de radio están señaladas las zonas climática.
POLAR
TEMPLADA
TÓRRIDA
TEMPLADA
POLAR
Sabemos que cada casquete polar tiene 2 cm de altura y cada zona templada,
10 cm de altura. Halla la superficie de cada zona climática.
• Área de cada casquete polar: A1 = 2π · 20 · 2 = 251,2 cm2
• Área de cada zona templada: A2 = 2π · 20 · 10 = 1 256 cm2
• Área de la zona tórrida:
Altura de las cinco zonas = diámetro de la esfera = 40 cm
Altura de la zona tórrida = 40 – 2 · 2 – 2 · 10 = 16 cm
Área de la zona tórrida: A3 = 2π · 20 · 16 = 2 010 cm2
• La suma de todas las zonas climáticas es: Atotal = 2A1 + 2A2 + A3 = 5 024,4
• El área de la esfera es 4π · R 2 = 4π · 202 = 5 024
Lógicamente, la suma de todas las zonas es igual al área de la esfera. La diferencia de cuatro décimas es porque hemos redondeado las cifras decimales.
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1 Como sabes, un metro es la diezmillonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. Según esto, calcula la longitud del radio de la Tierra aproximándote hasta los kilómetros.
2 π R = 10 000 000 m
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RR
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2 π R = 10 000 km → 2 π R = 40 000 km → R = 40 000 = 6 369 km
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2π
(Si en lugar de tomar π = 3,14 se toma π = 3,14159265…, se obtiene
R ≈ 6 366 km).
2 Halla la superficie de la Tierra utilizando como radio R = 6 366 km. ¿Qué
fracción de la superficie terrestre es España, sabiendo que la superficie de España es, aproximadamente, 500 000 km2?
A = 4 π R 2 = 4π · (6 366)2 = 509 006 007,4 km2
La fracción de superficie de España, respecto a la de la Tierra, es:
500 000 ≈ 1
509 006 007
1 018
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