∈ A \ {0}. ϕ(r) ϕ(a). ∈ I ≥ 0) = Z √ −19

DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES QUE NO SON EUCLIDEANOS
IGNACIO DARAGO
Cuando estudiamos anillos hay dos ejemplos naturales en los que inmediatamente pensamos: Z y k[ x ]. Estos dos anillos tienen una propiedad muy importante: poseen un algoritmo de división. La noción de dominio euclideano se obtiene al pensar en los anillos en
los que es posible hacer un algoritmo de división. Más precisamente:
Definición 1. Un anillo A se dice euclideano si existe ϕ : A r {0} → N0 tal que:
ϕ( ab) ≥ ϕ( a) para todos a, b ∈ A r {0}.
Para todos a ∈ A r {0}, b ∈ A, existen q, r ∈ A tales que b = aq + r donde r = 0 o
ϕ (r ) < ϕ ( a ).
Nuestros dos ejemplos Z y k[ x ] además cumplen otras dos propiedades: todo ideal
propio está generado por un único elemento y existe factorización única en irreducibles.
Tenemos entonces las siguientes dos definiciones:
Definición 2. Sea A un anillo conmutativo. Un ideal I ⊆ A se dice principal si existe x ∈ I
tal que I = h x i. Un dominio de ideales principales es un dominio ı́ntegro tal que todo ideal
es principal.
Definición 3. Sea A un dominio ı́ntegro. a ∈ A, a 6= 0. Decimos que a se factoriza en
fórma única por irreducibles si a = µ ∏ri=1 pi con µ ∈ A× y pi ∈ A irreducibles (r ≥ 0)
y cada vez que a = µ ∏ri=1 pi = ν ∏sj=1 q j con µ, ν ∈ A× , entonces r = s y pi es asociado
a qi para todo 1 ≤ i ≤ r (a menos de orden de los factores). Decimos entonces que A es
un dominio de factorización única si es un dominio ı́ntegro tal que todo a ∈ A, a 6= 0 se
factoriza en forma única por irreducibles.
Estas tres nociones no están desconectadas entre sı́. En efecto, vale el siguiente teorema:
Teorema 4. Sea A un anillo conmutativo. Entonces:
Si A es un dominio euclideano, entonces A es un dominio de ideales principales.
Si A es un dominio de ideales principales, entonces A es un dominio de factorización única.
Demostración. Consultar cualquier referencia clásica, por ejemplo [1].
Pero estos conceptos no son equivalentes entre sı́. Es fácil ver que Z[ x ] es un ejemplo de
un dominio de factorización única que no es un dominio de ideales principales. En efecto,
Z[ x ] es un DFU por serlo Z, mientras que el ideal h2, x i no puede ser generado por un
único elemento. El objetivo de esta nota es ver que tampoco vale la recı́proca para la otra
implicación. Es decir, existen dominios
ideales# principales que no son euclideanos.
" de √
1 + −19
Vamos a ver que el anillo O√−19 = Z
es un dominio de ideales principales
2
que no es euclideano. Para ello, seguiremos de cerca los artı́culos de O. Cámpoli [2] y K.
Conrad [3].
1
2
IGNACIO DARAGO
Veamos primero que O√−19 es un dominio de ideales principales. Antes, necesitaremos
un concepto que extiende levemente al de norma euclideana.
Definición 5. Sea A un dominio ı́ntegro. Decimos que ν es una norma de Dedekind-Hasse
si es una función ν : A r {0} → N0 tal que para todos a, b ∈ A r {0} se tiene que, o bien
a ∈ hbi, o bien existen elementos x, y ∈ A tales que 0 < ν( xa − yb) < ν(b).
La importancia de esta noción se debe a la siguiente proposición:
Proposición 6 (Criterio de Dedekind-Hasse). Un dominio ı́ntegro A es un dominio de ideales
principales si y sólo si admite una norma de Dedekind-Hasse.
Demostración. (⇐=) Sea ν una norma de Dedekind-Hasse sobre A, y sea I ⊆ A un ideal.
Tomemos b ∈ I tal que ν(b) sea minimal (notar que existe por el principio de buena
ordenación de los números naturales). Sea a ∈ I, a 6= 0. Por lo tanto, ax − by ∈ I para
todos x, y ∈ A. Como b hace que ν(b) sea minimal, no puede ser que a ∈
/ hbi, pues de otro
modo tendrı́amos x, y ∈ A tales que 0 < ν( xa − yb) < ν(b) y ası́ tendrı́amos un elemento
xa − yb ∈ I de norma menor que la de b. Es decir, probamos que para todo a ∈ I debe
ser a ∈ hbi. Pero esto es I ⊆ hbi. Como trivialmente vale la otra inclusión, debe ser que
I = hbi y ası́ es principal.
(=⇒) Sea A un dominio de ideales principales. Definamos ν(u) = 1 para cada u ∈ A× .
Como sabemos que A es dominio de factorización única (por ser dominio de ideales principales), todo elemento a ∈
/ A× , a 6= 0 admite una factorización como producto finito de
irreducibles y todas esas factorizaciones tienen una misma cantidad de factores irreducibles. Entonces, si a = p1 · · · pr es la factorización en irreducibles, definiremos ν( a) = r + 1.
Tomemos a, b ∈ A r {0} y supongamos que a ∈
/ hbi. Consideremos entonces el ideal
I = h ai + hbi. Como A es un dominio de ideales principales, debe existir c ∈ A tal que
I = hci. Ahora bien, como b ∈ I, resulta que existe x ∈ A con b = xc. Como x no es
una unidad (ya que si no b y c serı́an asociados y ası́ hci = hbi) debemos tener que la
factorización de xc es más larga que la de c. Es decir, 0 < ν(c) < ν( xc), y ası́ es una norma
de Dedekind-Hasse. Como querı́amos probar.
Corolario 7. El anillo O√−19 es un dominio de ideales principales.
Demostración. Por el Criterio de Dedekind-Hasse, simplemente debemos construir una
norma de Dedekind-Hasse sobre O√−19 . Pero tenemos un candidato obvio para esta nor√
ma: si z = x + y 1+ 2−19 ∈ O√−19 , se define N (z) = zz = x2 + xy + 5y2 . Se puede ver fácilmente que N : A → Z verifica que N ( ab) = N ( a) N (b) para todos a, b ∈ A y N ( a) ≥ 0
para todo a ∈ A con N ( a) = 0 si y sólo si a = 0. Probemos que esta N es una norma de
Dedekind-Hasse. Sean α, β ∈ O√−19 , β 6= 0. Si β no divide a α y N (α) ≥ N ( β), entonces,
√
√
como Q( 1+ 2−19 ) es un cuerpo, escribimos α/β = a + b 1+ 2−19 donde a, b ∈ Q y al menos
alguno no es entero (si fueran ambos enterostendrı́amos
que β divide a α). Si pudiéramos
α
hallar γ, δ ∈ O√−19 de modo tal que 0 < N
γ − δ < 1, entonces esto implicarı́a que
β
0 < N (αγ − δβ) < N ( β), que es lo deseado. Ahora, debemos cubrir muchos casos:
DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES QUE NO SON EUCLIDEANOS
3
√
Caso 1: b ∈ Z. Entonces, a ∈
/ Z y podemos tomar γ = 1 y δ = b ae + b 1+ 2−19 donde
b x e es el entero más cercano a x. En efecto,
!
√
√
α
1 + −19
1 + −19
N
γ−δ = N a+b
− b ae − b
= N ( a − b ae)
β
2
2
Como a ∈
/ Z esa norma no es 0 y como | a − b ae| ≤ 12 , debemos tener que esa norma
es menor que 14 y, en particular, menor que 1.
√
√
Caso 2: a ∈ Z, 5b ∈
/ Z. Entonces,
tomamos γ= 1− 2−19 y δ = b a + 5be − a 1+ 2−19 .
√
√
α
Notemos que γ − δ = a + 5b − a 1+ 2−19 − (b a + 5be − a 1+ 2−19 ) = a + 5b −
β
b a + 5be. Por un argumento análogo al caso anterior, la norma de eso no es 0 por no
ser entero a + 5b y es menor o igual que 14 y listo.
√
Caso 3: a ∈ Z, 5b ∈ Z. Entonces, tomamos γ = 1, δ = a + bbc 1+ 2−19 . Resulta
√
α
entonces γ − δ = (b − bbe) 1+ 2−19 . Por los argumentos anteriores, no es 0 y su
β
2
norma es 5(b − bbe)2 ≤ 5 · 25 = 20
< 1.
25 √
√
√
−19 1+ −19
1+ −19
=
−
5b
+
(
a
+
b
)
.
2
2
2
√
√
1+ −19
y δ = b−5be + b a + be 1+ 2−19 sigue
2
Caso 4: a, b ∈
/ Z, 2a, 2b ∈ Z. Luego, a + b 1+
Usando esa identidad y tomando γ =
lo deseado (Notar que a + b es entero porque a ∈
/ Z, 2a ∈ Z implica que a es de la
1
forma r + 2 con r ∈ Z).
Caso 5: a, b ∈
/ Z, 2b ∈
/ Z. Entonces, o bien |b − bbe| ≤ 13 o |2b − b2be| ≤ 13 . En el
√
primer caso, tomemos γ = 1, δ = b ae + bbe 1+ 2−19 . Esto, haciendo cuentas como
las anteriores, nos da la cota
α
35
0<N
γ−δ ≤
<1
β
36
√
En el segundo caso, tomamos γ = 2, δ = b2ae + b2be 1+ 2−19 y obtenemos exactamente la misma cota.
√
Caso 6: a, b ∈
/ Z, 2b ∈ Z, 2a ∈
/ Z. Tomamos γ = 2, δ = b2ae + 2b 1+ 2−19 .
Como en todos los casos posibles pudimos ver que la norma es de Dedekind-Hasse, la
proposición anterior implica lo deseado. Y estamos.
Veamos ahora que este anillo no es euclideano. Para eso, antes veremos un criterio
muy útil para probar que un dominio ı́ntegro no es euclideano. Sea A un dominio ı́ntegro
y S = A× ∪ {0} el conjunto de unidades junto al 0. Un elemento u ∈ A r S se dice un
divisor universal si para cada x ∈ A existe z ∈ S tal que u divide a x − z. Equivalentemente,
todas las clases del cociente A/hui tienen representantes en S. Esto nos da una especie de
algoritmo de Euclides, pues podemos escribir x = qu + z donde z es, o bien 0, o bien una
unidad.
Proposición 8. Sea A un dominio ı́ntegro que no es un cuerpo. Si A es un dominio euclideano,
entonces existen divisores universales en A.
Demostración. Supongamos que A es euclideano respecto de alguna norma N. Tomemos
u ∈ A r S (esto es no-vacı́o pues A no es un cuerpo) de norma minimal. Para cualquier
4
IGNACIO DARAGO
x ∈ A, escribimos x = qu + r donde r = 0 o N (r ) < N (u). En el primer caso, trivialmente
r ∈ S. En el segundo caso, no podemos tener r ∈ A r S en virtud de la minimalidad de la
norma de u. Por lo tanto, en cualquier caso r ∈ S y ası́ u es un divisor universal.
La ventaja de esta proposición es su contrarrecı́proca: si no hay divisores universales, el
anillo no puede ser un dominio euclideano. Esto es muy útil dado que la noción de euclideano depende de una norma, y para probar que un anillo no es euclideano nos estamos
independizando de ese objeto externo. Estamos en condiciones de probar lo siguiente:
Corolario 9. El anillo O√−19 no es un dominio euclideano.
Demostración. Bastará probar, por la proposición anterior, que no hay divisores universales en O√−19 . Para ello, primero hallemos las unidades de este anillo. Pero esto es fácil,
pues sabemos que al ser N : O√−19 r {0} → N dada por N (z) = x2 + xy + 5y2 una
función multiplicativa, las unidades de O√−19 son precisamente los elementos tales que
y 2
2
N (z) = 1. Notemos,
completando
cuadrados,
que
N
(
z
)
=
x
+
+ 19
2
4 y . Ahora bien,
√
19
2
si z = x + y 1+ 2−19 y tuvieramos que y 6= 0, entonces N (z) ≥ 19
4 y ≥ 4 > 4. Por lo
×
= {−1, 1}.
tanto, las unidades de O√−19 deben tener y = 0 y ası́ es fácil ver que O√
−19
Pero la acotaci
ón de la norma que hicimos nos prueba además que todos los elementos
√
1+ −19
z = x+y 2
con y 6= 0 tienen norma mayor o igual que 5, mientras que cuando
×
√
y = 0, si z ∈
/O
debemos tener | x | > 1, que implica que la norma es al menos 4. Es
−19
decir, no hay elementos de norma 2 ó 3.
Supongamos que u es un divisor universal en O√−19 . Por definición, sabemos que u
debe dividir a 2 − z para algún z ∈ {−1, 0, 1}. Por lo tanto, u debe ser un divisor de 2 o
3 que además no es una unidad. Si escribimos 2 = αβ, tomando norma, obtenemos que
N (α) N ( β) = 4. Pero como vimos que no hay elementos de norma 2, debemos tener que
α o β es una unidad. Pero las unidades son {−1, 1}. Por lo tanto, sólo podemos escribir
α = ±1 y β = ±2 o α = ±2 y β = ±1. De manera análoga, si escribimos 3 = αβ, entonces
N (α) N ( β) = 9, y al no haber elementos de norma 3, debemos tener que α o β es una
unidad. En consecuencia, esto nos dice que u ∈ {−2, 2, −3, 3√}. Ahora,
si u fuera un
divisor
√
√
1+ −19 1+ −19
1+ −19
universal, deberı́amos tener que u divide a alguno de
,
− 1,
+ 1.
2
2
2
Pero las normas de estos elementos son 5, 5 y 7 respectivamente, que no son divisibles
por 4 ni 9. Por lo tanto, tomando normas, se ve que u no puede dividir a ninguno de esos
tres elementos. Esto prueba que no existen divisores universales en O√−19 , y ası́ no puede
ser un dominio euclideano.
R EFERENCIAS
[1] D. Dummit, R. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.
[2] O. Cámpoli, A Principal Ideal Domain That is Not a Euclidean Domain, Amer. Math.
Monthly, vol. 95 no.9 (Nov. 1998), 868-871.
[3] K. Conrad, Remarks About Euclidean Domains,
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ringtheory/euclideanrk.pdf