La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al

La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
La matemática del buen orden.
Del Lema de Zorn al Axioma de Elección.
01. Orden:
01.1. Definición de relación de orden.
Una relación definida sobre los elementos de un conjunto de forma que sea
reflexiva, antisimétrica y transitiva es una relación de orden. Tal relación permite
comparar dos elementos dados y nos permite indicar cuál de ambos está “antes” en
dicho orden y cuál es el que está “después”.
Así, si existe una relación R entre elementos, x,y, de un conjunto que verifica que
a) Es reflexiva: ∀x ∈ A, xRx
b) Es antisimétrica: xRy ∧ yRx ⇒ x = y
c) Es transitiva: xRy ∧ yRz ⇒ xRz
Si consideramos la relación “menor o igual que” de la teoría de números, se cumple
que:
- Es reflexiva: ∀x ∈ A, x ≤ x
- Es antisimétrica: x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
- Es transitiva: x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
Un conjunto dotado de una relación de orden es un conjunto ordenado. El conjunto
N de los números naturales es un conjunto ordenado, o también el conjunto R de
los números reales.
01.2. Orden total y orden parcial.
Si en un conjunto ordenado A hay pares de elementos, a, b, tales que no son
comparables, esto es, tales que ni es a ≤ b ni tampoco es b ≤ a , la relación ≤ se
dice que es de orden parcial en el conjunto A. El conjunto A se dice parcialmente
ordenado por la relación ≤ .
Si, por el contrario, todos los pares de elementos del conjunto son comparables, la
relación se denomina de orden total. Una relación ≤ de orden total en el conjunto A
verifica que:
- ∀x ∈ A, x ≤ x
- ∀x, y ∈ A, x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
- ∀x, y ∈ A, x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
- ∀x, y ∈ A, x ≤ y ∨ y ≤ x
Un orden parcial indica, pues, que existen pares de elementos de los que no se
pueda decir cuál de los dos está “antes” que el otro en dicho orden.
El conjunto P(A) de las partes de un conjunto A, dotado de la relación de inclusión,
“⊆”, es un conjunto parcialmente ordenado, pues hay partes que no son
comparables para la inclusión. Así, de las diferentes partes que tienen, por ejemplo,
un solo elementos, a,b,..., no se puede afirmar que a⊆b ni tampoco que
b⊆a... Diremos (P(A), ⊆) está parcialmente ordenado.
1
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
Un determinado conjunto A, dotado de un orden cualquiera, ya sea total o parcial,
puede contener subconjuntos C1,...,Ck, que con respecto al orden dado en A están
totalmente ordenados. Se denominan cadenas contenidas en el conjunto A.
01.3. Orden estricto. Sección inicial y parte hereditaria.
Dado el conjunto ordenado ( A, ≤ ) se dice que el elemento x es estrictamente
menor que el elemento y, x<y, si se verifica que x ≤ y ∧ x ≠ y . Se denomina
sección inicial estricta definida por a al conjunto S a = {x ∈ A / x < a} .
H ⊆ A es parte hereditaria de A ↔ ∀x ∈ A, x ≤ s, s ∈ H → x ∈ H .
01.4. Cotas.
Un conjunto B dotado del orden ≤ se dice superiormente acotado, o mayorado, por
el elemento p si todo elemento x de B verifica que x ≤ p . Análogamente, se dice
inferiormente acotado, o minorado, por el elemento q si todo elemento x de B
verifica que q ≤ x . Se dice que p es una cota superior, o un mayorante, del
conjunto B, mientras que q se dice cota inferior o minorante del conjunto B.
p cot a sup de B ⇔ ∀x ∈ B, x ≤ p
q cot a inf de B ⇔ ∀x ∈ B, q ≤ x
01.5. Elemento maximal y minimal. Elemento máximo y elemento mínimo.
Si es A un conjunto al menos parcialmente ordenado, un elemento ma de A se dice
maximal de A si se verifica que ∀a ∈ A, no ( ma ≤ a ) . O sea, no es menor o igual
que ningún otro elemento de A.
Si es A un conjunto al menos parcialmente ordenado, un elemento mi de A se dice
minimal de A si se verifica que ∀a ∈ A, no( a ≤ mi ) . O sea, no es mayor o igual que
ningún otro elemento de A.
Si el conjunto A está totalmente ordenado, entonces el elemento maximal, si
existe, es único y se denomina elemento máximo del conjunto A.
Si el conjunto A está totalmente ordenado, entonces el elemento minimal, si existe,
es único, y se denominan elemento mínimo del conjunto A.
01.6. Supremo e ínfimo.
Si el conjunto de las cotas superiores de A estuviera totalmente ordenado, su
elemento mínimal, caso de existir, sería único y elemento mínimo de dicho conjunto
de cotas superiores, el cual se dice que es el supremo del conjunto A, y, si
perteneciera al conjunto A, sería también el máximo de A.
Por analogía, si el conjunto de las cotas inferiores de A estuviera totalmente
ordenado, su elemento maximal, caso de existir, sería único y elemento máximo de
dicho conjunto de cotas inferiores, el cual se dice que es el ínfimo del conjunto A, y,
si perteneciera al conjunto A, sería también el mínimo de A.
Se dice que un conjunto ordenado A por la relación de orden ≤ es un conjunto
inductivo si toda cadena contenida en A está mayorada. Si toda cadena admite un
mayorante mínimo o supremo, el conjunto A se dice que es fuertemente inductivo.
2
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
02. Buen orden:
02.1. Definición.
Un conjunto se dice bien ordenado, o, simplemente, dotado de un buen orden, si
toda parte no vacía del mismo admite primer elemento. Es inmediato que si un
conjunto está bien ordenado, también está totalmente ordenado, pues bastará
tomar una parte de solo dos elementos y uno de ellos, por el buen orden existente,
será el primer elemento, es decir, el que está “antes” en dicho orden. Ambos
elementos son, pues, comparables y el orden es total.
Proposición 02.1:
Un conjunto A bien ordenado por OA verifica siempre que tiene primer elemento y
todo subconjunto B de A está también bien ordenado por OA.
En efecto:
1) Si el conjunto A está bien ordenado, todo subconjunto del mismo tiene, por
definición, elemento mínimo. Como A es también subconjunto de A, el
mismo A tendrá elemento mínimo.
2) Si B es subconjunto de A se cumple que todo subconjunto de B es también
subconjunto de A, y siendo A bien ordenado por el orden OA tal subconjunto
tendrá elemento mínimo. Luego B está bien ordenado por el orden OA
inducido por A.
Proposición 02.2:
Todo conjunto A totalmente ordenado y finito está bien ordenado.
Efectivamente:
Si A es totalmente ordenado y finito, todo subconjunto B de A es finito. Probemos
mediante recurrencia que está bien ordenado. Si tomamos un subconjunto B2 de A
que tenga dos elementos, a1 y a2, entonces como ambos son comparables por estar
A totalmente ordenado, uno de ellos, el menor, sería el elemento mínimo de tal
subconjunto.
Supongamos que esto sea cierto para n-1 elementos, es decir, si el subconjunto
Bn −1 = {a1 , a2 ,..., an −1} tiene elemento mínimo, sea por ejemplo a1. Al añadirle un
elemento más, an, la parte
{a1, an }
también tendrá elemento mínimo, que es el
elemento mínimo de Bn = {a1 , a2 ,..., an −1 , an } . Luego todo subconjunto de A tiene
elemento mínimo. Está bien ordenado.
Proposición 02.3:
Si es ( A, ≤ ) un conjunto bien ordenado, entonces toda parte hereditaria de A,
distinta de A, es una sección inicial estricta.
Demostración:
Sea ( A, ≤ ) bien ordenado y sea H parte hereditaria de A/ H ≠ A . Entonces:
A − H ≠ φ → A − H ⊆ A ∧ ( A, ≤) bien ord → ∃a ∈ A / a primer elem de A − H
Para todo elemento x de A se verifica:
Si x ≥ a → x ∈ A − H → x ∉ H
Si x < a → x ∈ H ( pues si x ∉ H → x ∈ A − H → a no es primer elem de A − H )
Por tanto, la parte hereditaria es H = {x ∈ A / x < a} que coincide con la sección
inicial Sa definida por el elemento a, por definición de sección inicial estricta.
Toda sección inicial de una sección inicial de A es también, obviamente, sección
inicial de A.
Proposición 02.4:
3
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
La familia M de las secciones iniciales de un conjunto bien ordenado ( A, ≤ ) es un
conjunto bien ordenado respecto a la relación de inclusión de conjuntos, es decir,
(M , ⊆ ) es conjunto bien ordenado.
En efecto:
Sea N ⊆ M un subconjunto cualquiera de la familia M de las secciones iniciales de
A y sea ϕ N el subconjunto de A formado por los elementos que generan la
subfamilia N de secciones iniciales:
ϕ N = {n ∈ A / S n ∈ N }
Como A es bien ordenado, al ser ϕ N subconjunto de A tendrá un primer elemento.
Sea ϕ el primer elemento de ϕ N y sea Sϕ la sección inicial que genera ϕ .
La sección inicial Sϕ ∈ N es el primer elemento de N, pues de existir otra S k ∈ N tal
que S k ⊆ Sϕ entonces k ≤ ϕ y no sería
ϕ
primer elemento de
ϕN .
Puesto que A no es sección inicial de A, se tiene que A∉ M , por lo que si existe un
elemento u máximo de A, u = max A , entonces
∀x ∈ A, x ≤ u → S x ⊆ Su → Su = max M .
Proposición 02.5:
La aplicación f : A → M , de un conjunto ordenado A en el conjunto M de sus
secciones iniciales definida por la condición de que ∀x ∈ A, f ( x ) = s x ∈ M , es un
isomorfismo entre los conjuntos bien ordenados ( A, ≤ ) y (M , ⊆ ) .
Demostración:
Obviamente es f biyectiva, ya que cada sección inicial está definida por un único
elemento de A, y, recíprocamente, cada elemento de A define una sección inicial.
Por otra parte, se tiene que
∀x, y ∈ A, x ≤ y → S x ⊆ S y → f ( x) ⊆ f ( y )
Por tanto f es un isomorfismo de conjuntos ordenados.
Proposición 02.6:
Si un conjunto bien ordenado A no posee elemento máximo m, entonces se verifica
que A = ∪ S x . Caso contrario es A − {m} = ∪ S x .
x∈ A
x∈ A
Demostración:
- Si A no tiene máximo ∀y ∈ A, ∃z ∈ A / y < z → y ∈ S z → y ∈ ∪ S x → A = ∪ S x
x∈ A
-
Si A tiene máximo m ∈ A → ∀y ∈ A, y ≤ m ∧ m ∉ ∪ S x = S m = A − {m}
x∈ A
x∈ A
4
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
03. Isomorfismos de orden. Semejanza. Continuaciones:
03.1. Isomormismos de orden.
Dados dos conjuntos ordenados, A y B, donde OA es el orden de A y OB es el orden
de B, es decir, dados ( A, OA ) y (B, OB ) , se define el isomorfismo de orden entre A y
B como una aplicación biyectiva, f : A → B , que sea estable con respecto al orden
definido en ambos conjuntos. Esto es:
f : A → B biyectiva
∀x, y ∈ A, xOA y ⇒ f ( x)OB f ( y )
Si se trata del orden usual, ≤ , de los conjuntos numéricos, se tiene que un
isomorfismo f cumplirá que
f : A → B biyectiva
∀x, y ∈ A, x ≤ y ⇒ f ( x) ≤ f ( y )
03.2. Semejanza de orden.
Dos conjuntos ordenados, ( A, ≤ ) y
(B, ≤ ) ,
se dicen semejantes sii existe un
isomorfismo de orden f : A → B . Es decir:
( A, ≤ ) ≅ ( B, ≤) ⇔ ∃f : A → B / f
biyectiva ∧ ∀x, y ∈ A, x ≤ y → f ( x) ≤ f ( y )
Proposición 03.1:
La relación de semejanza de orden es de equivalencia.
Demostración:
a) Es reflexiva:
∀( A, ≤ ), ( A, ≤ ) ≅ ( A, ≤ )
Pues, por ejemplo, la identidad es un isomorfismo de orden en A.
b) Es simétrica:
∀( A, ≤ ), (B, ≤ ), ( A, ≤ ) ≅ (B, ≤ ) ⇒ (B, ≤ ) ≅ ( A, ≤ )
-1
Pues si f es isomorfismo de orden de A en B, entonces f es también
isomorfismo de orden de B en A.
c) Es transitiva:
∀( A, ≤ ), (B, ≤ ), (C , ≤ ) /
( A, ≤ ) ≅ (B, ≤ )
⇒ ( A, ≤ ) ≅ (C , ≤ )

(B, ≤ ) ≅ (C , ≤ )
Esto es así por la transitividad del isomorfismo de orden.
Proposición 03.2:
Un conjunto bien ordenado,
( A, ≤ ) ,
no es semejante a ninguna de sus secciones
iniciales.
Demostración:
Suponer lo contrario implicaría una contradicción, pues si suponemos que se
cumple que ∃a ∈ A / f : A → S a es isomorfismo, entonces, puesto que f ( a ) ∈ S a será
f (a) < a , por lo que el conjunto M = {x ∈ A / f ( x) < x} no es vacío. Llamemos m al
elemento mínimo de M. Se tiene que f ( m) < m . Y como f es isomorfismo, se
5
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
cumple que f ( f ( m)) < f ( m) , por lo que también f(m) pertenece al conjunto M,
pero si f(m) es elemento de M, como sabemos que f ( m) < m , entonces no puede
ser m elemento mínimo de M, lo que manifiesta la contradicción.
Proposición 03.3:
Dados dos conjuntos bien ordenados y semejantes, ( A, ≤ ) y (B, ≤ ) , se cumple que si
admiten dos isomorfismos de orden, f y g, ambos coinciden.
Demostración:
Si son f,g isomorfismos de A en B, entonces h = f
isomorfismos de A en A. Se tiene que:
−1
og o k = g −1of son también
∀a ∈ A, a ≤ h(a) = f −1 g (a ) → a ≤ f −1 g (a ) → f (a ) ≤ g (a )
→ f = g
∀a ∈ A, a ≤ k (a ) = g −1 f (a ) → a ≤ g −1 f (a ) → g (a ) ≤ f (a )
Proposición 03.4:
Sea A un conjunto bien ordenado y sean Sa y Sb secciones iniciales de A. Ambas
secciones iniciales no son semejantes.
Demostración:
Si a ≠ b → a < b ∨ b < a → S a ⊂ Sb ∨ Sb ⊂ S a
f : S a → Sb un isomorfismo. Se tiene que S a es
y f sería un isomorfismo de S a en una de sus secciones
Sea, por ejemplo, a<b, y sea
sección inicial de Sb
iniciales, lo cual es imposible, por la proposición 03.2.
Proposición 03.5:
Sean ( A, ≤ ) y (B, ≤ ) dos conjuntos bien ordenados. Se cumple que o bien ambos
( A, ≤ ) y (B, ≤ ) , son semejantes, o bien (B, ≤ ) es semejante a una sección inicial de
( A, ≤ ) , o bien ( A, ≤ ) es semejante a una sección inicial de (B, ≤ ) .
Demostración:
Llamemos SxA a la sección inicial de A determinada por el elemento x ∈ A , y sea
asimismo, SyB a la sección inicial de B determinada por el elemento y ∈ B .
Sea X el conjunto de elementos de A que determinan secciones iniciales semejantes
a secciones iniciales de B:
X = {x ∈ A / ∃y ∈ B, S xA ≅ S yB }
Sea Y el conjunto de elementos de B que determinan secciones iniciales semejantes
a secciones iniciales de A:
Y = {y ∈ B / ∃x ∈ A, S xA ≅ S yB }
Puesto que A y B son conjuntos ordenados, tienen elemento mínimo. Si es m el
mínimo de A y es n el mínimo de B, las secciones iniciales, vacías, determinadas
por ambos son semejantes, por lo cual, m ∈ X y n ∈ Y , resultando que no son
vacíos tales conjuntos:
X ≠ φ, Y ≠ φ
∀x ∈ X , ∃! y ∈ Y / S xA ≅ S yB .Podemos indicar esto por y = f (x) , y llamar también f(X)
al conjunto Y.
6
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
Veamos que ambos conjuntos, X y f(X), son partes hereditarias de A y B,
respectivamente:
Por definición, sabemos que X será parte hereditaria de A si se verifica que
-
∀x ∈ A, x* ≤ x, x ∈ X ⇒ x* ∈ X
Sea entonces x ∈ X y sea x* ≤ x , con lo que S x* A es sección inicial de S xA . Esto
quiere decir que
S x* A sec c inic de S xA 
*
 ⇒ ∃y* ∈ S f ( x ) B / S x* A ≅ S y * B ⇒ x ∈ X
S xA ≅ S f ( x ) B

Con lo que X resulta ser parte hereditaria de A.
Repitiendo el mismo razonamiento, encontramos que también f(X) es parte
hereditaria de B, es decir, encontramos que también
∀f ( x*) ∈ B, f ( x*) ≤ f ( x), f ( x) ∈ f ( X ) ⇒ f ( x*) ∈ f ( X )
- Veamos ahora que los conjuntos X y f(X) son semejantes:
Puesto que por construcción, ∀y ∈ f ( X ), ∃! x ∈ X / f ( x ) = y , f es isomorfismo. Y
comprobamos fácilmente que es estable respecto al orden, pues:
x* ≤ x → S x* A sec c inic de S xA → ∃y* ∈ S f ( x ) B / S y * B ≅ S x* A → y* = f ( x*) ≤ f ( x)
En definitiva, se verifica la semejanza: X ≅ f ( X )
-
Finalmente, veamos que ha de ser X = A o bien f ( X ) = B , pues si ocurriera
lo contrario, es
contradicción:
decir,
si
fuera
X ≠ A, f ( X ) ≠ B , llegaríamos a una
Al ser X y f(X) partes hereditarias de A y B, respectivamente, serán secciones
iniciales de ambos conjuntos, con lo que existirán elementos a, de A, y b, de B,
que las determinen:
∃a ∈ A, b ∈ B / X = S aA , f ( X ) = S bB y SaA ≅ SbB
{
}
y siendo X = x ∈ A / ∃y ∈ B, S xA ≅ S yB , se tiene que a ∈ X , esto es, a ∈ S aA , con lo
cual a<a, lo cual es absurdo.
Proposición 03.6: (Inducción transfinita)
Sea ( A, ≤ ) un conjunto bien ordenado y sea A* un subconjunto de A que cumple
que para toda sección inicial Sx de A* generada por x, el elemento x pertenece a
A*. El subconjunto A* coincide entonces con el conjunto A.
{A* ⊆ A / S x ⊆ A* → x ∈ A *} ⇒ A = A *
Demostración:
Si es A* ≠ A llegaríamos a una contradicción, pues se tendría:
7
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
-
Carlos S. CHINEA
Por una parte, al ser A − A* ≠ φ , el conjunto
A − A*
elemento m, o sea, ∃m ∈ A / m = min( A − A*) → m ∉ A *
-
tendrá primer
[1]
Por otra parte, si es Sm la sección inicial de A determinada por m, se tiene
que ∀x ∈ S m , x < m → x < m ∧ m = min( A − A*) → x ∉ A − A* → x ∈ A * [2]
Obviamente, los resultados [1] y [2] son contradictorios, por lo que A=A*.
Proposición 03.7: (Inducción completa)
Dado el conjunto bien ordenado de los números naturales, ( N , ≤ ) . Se cumple que si
para un subconjunto N* de N es 0 ∈ N * y (∀n ∈ N )(n − 1 ∈ N * → n ∈ N *) entonces el
subconjunto N* coincide con el conjunto N.
{N * ⊆ N / 0 ∈ N * ∧ (∀n ∈ N )(n − 1 ∈ N * → n ∈ N *)} ⇒ N = N *
Demostración:
Una sección inicial de N* determinada por n es S n = {x ∈ N * / x < n} = {0,1,..., n − 1} .
Por tanto, si se cumple que para N* es 0 ∈ N * y (∀n ∈ N )(n − 1 ∈ N * → n ∈ N *) ,
esto es lo mismo que decir que S n ⊆ N * → n ∈ N * , por lo que, aplicando inducción
transfinita, se tiene que N=N*.
03.3. Continuaciones.
Dados dos conjuntos bien ordenados,
( A, ≤ )
y
(B, ≤ ) ,
se dice que
( A, ≤ )
es una
continuación de (B, ≤ ) si B ⊆ A es una sección inicial o parte hereditaria de A y si el
orden “ ≤ ” del conjunto B coincide con el orden “ ≤ ” del conjunto A.
Así, si
( A, ≤ )
es un conjunto bien ordenado, para dos elementos a, b ∈ A / b < a se
tiene que Sa es una continuación de Sb, y, obviamente, A es una continuación tanto
de Sa como de Sb.
En definitiva, si es M una familia arbitraria de secciones iniciales de
cumple que con respecto a la continuación es una cadena:
( A, ≤ ) ,
se
∀S a , Sb ∈ M , (S a continuacion de Sb ) ∨ (Sb continuacion de S a )
Proposición 03.8:
Dada una familia M de conjuntos bien ordenados, que es una cadena con respecto a
la continuación y si es Z la unión de los conjuntos de M, entonces existe un buen
orden único tal que es Z una continuación de cada conjunto de la familia.
Demostración:
Sean a, b ∈ Z , entonces, ∃M a , M b ∈ M / a ∈ M a , b ∈ M b . Como Ma y Mb son
elementos de una cadena (orden total) para la continuación, se tiene que
M a = M b o bien ( M a contin de M b ∨ M b contin de M a )
Es decir, existe un M s ∈ M / a, b ∈ M s , siendo Ms continuación de Ma y Mb .
Si definimos el orden “ ≤ ” en Z por la condición:
a ≤ b ⇔ M b continuac de M b ∧ a ∈ M a ∧ b ∈ M b
tal orden es total, pues también es total en M la continuación (es una cadena).
Veamos que además es un buen orden, esto es, que todo subconjunto no vacío de
Z tiene un primer elemento.
8
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
Puesto que toda parte no vacía U de Z es realmente una parte de la unión de
conjuntos de M, ha de tener intersección no vacía con uno o más elementos dela
familia M:
∀U ⊆ Z , ∃M u ∈ M / U ∩ M u = M u* ≠ φ
Como los elementos de la familia M son, por hipótesis, bien ordenados, toda parte
*
no vacía, M u , ha de tener un primer elemento:
∃m ∈ Z / m = min M u*
y m ha de ser también el mínimo del conjunto U, pues de lo contrario se llegaría a
una contradicción:
Supongamos que ∃x ∈ Z / x < m y x ∈ U .
Si x ∈ U , ∃M x ∈ M / x ∈ M x ∧ M x ⊆ M u ∨ M u ⊆ M x ,
*
*
Si M x ⊆ M u → x ∈ M u ∧ x < m, lo que es contradictorio con que m = min M u .
*
*
*
Si M u ⊆ M x → x ∈ U ∧ U ∩ M u = M u → x ∈ M u ∧ x < m, lo que igualmente resulta
*
*
*
contradictorio con que m = min M u .
*
9
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
04. Axiomas:
04.1. El axioma de Buena ordenación de Zermelo:
En el año 1904, Ernst Zermelo (1871-1953), que era profesor en la Universidad de
Berlín, enunció una proposición que probó desde el Axioma de Elección, y a la que
se denominó primero “Teorema del Buen Orden” o “Teorema de la Buena
Ordenación”. Hoy se conoce como Axioma de la buena ordenación de Zermelo, al
probarse más tarde su equivalencia con el Axioma de Elección, uno de los axiomas
clave de la teoría de conjuntos.
La proposición simplemente era la afirmación de que
Todo conjunto puede ser dotado de un buen orden
Esto es, en todo conjunto A puede definirse una relación de orden total de modo
que toda parte de A tenga un elemento mínimo.
Esta proposición, aunque bastante controvertida en su tiempo ya que la teoría de
conjuntos carecía realmente en estos primeros años del siglo XX de una base
axiomática clara, dio una gran notoriedad al profesor Ernst Zermelo, el cual
comenzaría un año más tarde, en 1905, a desarrollar un sistema axiomático que ha
perdurado bastante tiempo con algunas ampliaciones y modificaciones posteriores
realizadas por Adolf Fraenkel y por Thoralf Skolem, conociéndose hoy día, desde un
punto de vista histórico, como Sistema Axiomático de Zermelo-Fraenkel.
04.2. El axioma maximal de Hausdorff:
El principio maximal, o axioma maximal, o, simplemente, axioma de Hausdorff, o
conocido también como Teorema de Waldorff, es una proposición que el alemán
Felix Hausdorff (1868-1942) enunciaría en el año 1909, probándola también desde
el Axioma de Elección.
Este es el enunciado:
En un conjunto A parcialmente ordenado existe siempre al menos una cadena
maximal
Aclaremos algo el enunciado del Axioma de Hausdorff: Sea un conjunto A
parcialmente ordenado por ≤ .
Sean M1,...., Mn los subconjuntos de A que están totalmente ordenados por el
orden de A. Es decir las cadenas contenidas en A.
El axioma maximal de Hausdorff dice que existe en A al menos una cadena, Max,
que es maximal para el conjunto M de todas las cadenas contenidas en A. Si el
orden de M fuera total, entonces Max es elemento máximo de M.
Entre las aplicaciones del Axioma de Hausdorff podemos considerar la demostración
de existencia de bases para espacios vectoriales de cualquier dimensión, finita o
infinita.
10
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
04.3. El Lema de Zorn:
Max Zorn fue un matemático alemán, nacido en el año 1906 en la población de
Krefeld, a unos 20 kms de Dusseldorf, realizando sus estudios de matemática en la
Universidad de Hamburgo, con Emil Artin. Se doctora en esta Universidad en el año
1930 con una tesis sobre Algebras Conmutativas, y consigue en esa misma época
excelentes logros por los cuales la Universidad de Hamburgo le concede al poco
tiempo un Premio Extraordinario.
Sin embargo, aunque Zorn no era judío, el nazismo que ya tenia gran fuerza en
Alemania le obliga a exilarse a los Estados Unidos en el año 1934, trabajando en la
Universidad de Yale entre los años 1934 y 1936, hasta trasladarse a la Universidad
de California donde permanecería hasta 1946.
Fue durante el periodo de Yale cuando enunció una proposición que llamó “Principio
del Máximo” en un artículo que publicó en el año 1935 en el Boulletin de la
American Mathematical Society y que, sin embargo, la posterioridad lo conoce por
el nombre que le dio el matemático John Tukey, uno de sus contemporáneos: “El
Lema de Zorn”.
Trabajó a partir de 1946, y hasta su jubilación en el año 1971, en la Universidad de
Indiana, incursionando en diversos temas tales como los Espacios de Banach y
cuestiones diversas de Topología General y Álgebras Conmutativas, así como
problemas concretos tales como el estudio de la Hipótesis de Riemann. En realidad,
aunque siempre le acompañó la fama creada por el enunciado de su Lema, nunca
dejó de estudiar problemas de la actualidad matemática de su tiempo, hasta su
muerte en el año 1993, acaecida en Bloomington, Indiana (EEUU).
Este es el enunciado del Lema:
Si un conjunto A es inductivo, esto es, si toda cadena de A esta mayorada en A,
entonces A admite al menos un elemento maximal.
El mismo Zorn desde el principio hizo notar que su enunciado o “Principio del
máximo” como originalmente le llamaría, resultaba ser equivalente a algunos
enunciados clave de la matemática, como el Axioma de Elección o el Axioma de
Zermelo de la buena ordenación. Hoy día se conocen decenas de proposiciones que
son equivalentes al Lema.
04. 4. El Axioma de Elección:
Cuando en 1904 Ernst Zermelo intentó deducir la proposición que hoy
denominamos Axioma de la buena ordenación (y que él en principio consideraba
“Teorema de la buena ordenación”), utilizó implícitamente para la prueba una
proposición que desde esta época comenzaría a denominarse Axioma de Elección, y
que más tarde se comprobaría que también sería deducible desde el Axioma de la
buena ordenación, es decir, se comprobaría la equivalencia entre ambas
proposiciones.
El enunciado corriente es el siguiente:
Siempre existe una función f tal que para todo conjunto no vacío H contenido en el
dominio de f, (H⊆Df), se puede elegir uno de los elementos de H como imagen del
mismo por la función f:
∃f / f función ∧ ∀H ⊆ Df , H ≠ φ → f ( H ) ∈ H
11
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
A la función f se la puede denominar “función de elección”.
Se pueden dar enunciados diversos, todos equivalentes, para esta proposición, por
ejemplo se puede enunciar:
-
Toda familia de conjuntos no vacíos H posee una función de elección.
-
Para todo conjunto M, existe una función de elección sobre la familia de sus
partes no vacías.
-
Para toda familia M de conjuntos no vacíos, disjuntos dos a dos, existe
siempre un conjunto H que contiene exactamente un elemento de cada
conjunto de la familia M.
Durante los años 1935 a 1937, el trabajo realizado por el austriaco-estadounidense
Kurt Gödel (Brunn_Austria,1906-Princeton,1978) probó la consistencia del Axioma
de Elección con el sistema de Zermelo-Fraenkel, dejando claro que no es posible su
refutación desde los axiomas de dicho sistema.
Que el Axioma de Elección no es decidible desde la axiomática de Zermelo-Fraenkel
fue probado en 1963 por Paul Cohen (1934-2007), apoyándose en el trabajo previo
de Kurt Gödel. Quedaba entonces claro que ni su negación ni su afirmación pueden
decidirse desde los axiomas de la teoría de conjuntos.
12
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
05.
Carlos S. CHINEA
Equivalencias:
05.1. La equivalencia entre el Lema de Zorn y el Principio maximal de
Hausdorff:
Para probar la equivalencia entre ambas proposiciones, probemos que el Lema de
Zorn implica el Principio de Hausdorff y que también el Principio de Hausdorff
implica el Lema de Zorn.
-
El Lema de Zorn implica el Principio de Hausdorff:
Sea E un conjunto ordenado con la relación “ ≤ ”, que simbolizaremos por
(E , ≤ ) .
Sea P(E) el conjunto de las partes de E y sea K la familia de las cadenas de E, es
decir, la familia constituida por las partes de E que están totalmente ordenadas por
el orden “ ≤ ”.
K ⊆ P( E ), ∀Ci ∈ K , (Ci , ≤) totalmente ordenado, i = 1,2,...
Es claro que la relación “ ⊆ ” de inclusión de conjuntos es un orden parcial en P(E),
por lo que (K , ⊆ ) , familia de las cadenas, está parcialmente ordenado por la
relación de inclusión.
Consideremos ahora una cadena C formada por elementos de K, esto es, una
cadena de cadenas de P(E) y llamemos S a los elementos de esta cadena C, que
son también, obviamente, cadenas de la familia K.
Consideremos la cadena C’ unión de todas las cadenas que constituyen la cadena
C: C ' = U S . Se tiene entonces que C’ es una cadena, o sea, es un elemento de la
S∈C
familia K, pues si son a, b ∈ C ' entonces ∃Sa, Sb / a ∈ Sa, b ∈ Sb con Sa, Sb ∈ C , y
como C es una cadena de K, esto es, un conjunto totalmente ordenado, será
Sa ⊆ Sb o bien Sb ⊆ Sa , luego a ≤ b o bien b ≤ a , lo que implica que C’ es una
cadena de E, y por tanto, un elemento de K.
Asimismo, por construcción, cualquier cadena S de C está contenida en C’, lo que
implica que C’ es mayorante de C: ∀S ∈ C , S ⊆ C ' → C ' mayora a C . Veamos que C’
es además mayorante mínimo o supremo de C, pues si consideramos otro
mayorante B ∈ K , se tiene que ∀S ∈ C , S ⊆ B → U S ⊆ B → C ' ⊆ B .
S ∈C
En definitiva, el conjunto C, cadena de cadenas de P(E), está mayorado, por lo que
podemos decir que toda cadena de P(E) está mayorada, lo que nos indica que P(E)
es inductivo. Además toda cadena de P(E) admite mayorante mínimo o supremo,
por lo que P(E) es fuertemente inductivo.
Además, al estar mayorado el conjunto C, el conjunto
P(E) está mayorado, por lo (K , ⊆ ) es también inductivo.
(K , ⊆ )
de las cadenas de
Si aplicamos al conjunto (K , ⊆ ) el Lema de Zorn, encontramos que el conjunto K de
las cadenas de E tiene al menos un elemento maximal. Es decir, el conjunto E tiene
al menos una cadena maximal, que es el axioma maximal de Hausdorff.
-
El Principio de Hausdorff implica el Lema de Zorn:
13
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
Sea (E , ≤ ) un conjunto ordenado e inductivo, es decir, tal que toda cadena de
elementos de E está mayorada. Si se cumple el Axioma de Haussdorff, existe una
cadena maximal C del conjunto K de todas las cadenas de (E , ≤ ) .
Puesto que el conjunto E es inductivo, toda cadena está mayorada. Sea M una
cadena mayorante de la cadena C.
Si la cadena maximal M no perteneciera a C entonces {C , M } = C ' es una cadena de
elementos de E tal que C ⊆ C ' y C ≠ C ' , con lo cual C no sería cadena maximal.
Luego M debe pertenecer a C. M ∈ C y es M máximo de C.
Además, M es elemento maximal en
(E , ≤ ) ,
pues de existir otro M '∈ E / M ' > M ,
resultaría que es {C , M '} = C" una cadena que cumple que C ∈ C" y C ≠ C" , con lo
cual C no sería maximal.
En definitiva, existe en el conjunto E al menos un elemento maximal M. Se verifica
el Lema de Zorn.
05.2. Equivalencia de los enunciados de Zorn, Haussdorf, y Zermelo con el
Axioma de Elección:
De igual modo que el Lema de Zorn y el Axioma de Haussdorff resultan ser
equivalentes, podemos probar que también lo son con el el Axioma de Elección y
con el Axioma de Zermelo. Si partimos, por ejemplo, del Axioma de Haussdorff,
podemos pensar en la prueba de las implicaciones que se muestran en el siguiente
gráfico
La primera de las implicaciones, Haussdorff implica Zorn, está probada en el
apartado anterior. Veamos las siguientes.
05.2.1. Obtención del Axioma de Zermelo desde el Lema de Zorn:
Si admitimos que se cumple el Lema de Zorn, entonces es posible probar el Axioma
de la buena ordenación de Zermelo, esto es, si damos por sentado que todo
conjunto inductivo admite al menos un elemento maximal, entonces es posible
probar que cualquier conjunto E puede ser dotado de un buen orden.
(Recordemos que un conjunto inductivo es un conjunto ordenado ( M , ≤ ) en el que
toda cadena C admite mayorante. Será fuertemente inductivo si admite mayorante
mínimo o supremo).
- Sea E un conjunto cualquiera y sea M una familia de partes bien ordenadas de E,
cada una con su orden específico:
M = {( A, OA ) / A ⊆ E , OA orden de A}
- Dotemos a M de un orden respecto del cual sea inductivo:
14
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
∀( A, OA ), ( B, OB ) ∈ M , ( A, OA ) ≤ ( B, OB ) sii
1) A ⊆ B
2) OA es restricción a A del orden OB de B.
3) Si a ∈ A y b ∈ B y b ≤ a → b ∈ A
Es decir, ( A, OA ) ≤ ( B, OB ) sii B es una continuación de A.
Para ver que ( M , ≤) es inductivo, consideremos una cadena C cualquiera de M y
veamos que admite mayorante. Para ello, llamemos F a la familia de las partes A
que figuran en la cadena C. La misma F es una cadena para la continuación.
Consideremos la unión de todas estas partes:
R= U A
A∈F
Y podemos dotar a R de un orden OR tal que ( R, OR ) resulte ser mayorante de la
cadena C, pues aplicando la proposición 03.8: Dada una familia C de conjuntos bien
ordenados, que es una cadena con respecto a la continuación y si es R la unión de
los conjuntos de C, entonces existe un buen orden único tal que es R una
continuación de cada conjunto de la familia. Por tanto, el par (R,OR) mayora a C y
( M , ≤) es inductivo.
- Puesto que ( M , ≤) es inductivo, incluso es fuertemente inductivo, pues R es
supremo de C, podemos aplicar el Lema de Zorn, resultando que M tiene un
elemento maximal, digamos ( A, OA ) .
- Ahora bien, si ( A, OA ) es elemento maximal de M entonces ha de ser A=E pues
caso contrario llegaríamos a una contradicción:
Si ∃h ∈ E / h ∉ A entonces A ∪ {h} , dotado del orden OA de A es un par ( B, OB ) ∈ M
( A, OA ) ≤ ( B, OB ) lo cual es contradictorio con que ( A, OA ) es maximal de
M. Así, pues, A=E y el orden OA es un buen orden.
Por tanto, al conjunto E se le puede dotar de un buen orden OA, lo cual es la
tal que
afirmación del Axioma de Zermelo.
05.2.2. Obtención del Axioma de Elección desde el Axioma de Zermelo:
Entre los varios enunciados del Axioma de Elección, podemos emplear, por ejemplo,
el siguiente: para todo conjunto A es posible construir una función de elección, esto
es, una función f que verifique:
f : p( A) − φ → A
tal que a toda parte P no vacía de A se le haga corresponder un elemento de A:
∀P ∈ p( A), f ( P) = p ∈ A
Entonces, trivialmente, si, por el Axioma de Zermelo se le puede dotar a A de una
buena ordenación, es decir, si todo subconjunto de A, incluyendo al mismo A, tiene
elemento mínimo, podemos definir la función de elección de modo que a cada parte
del conjunto A dado se le haga corresponder su elemento mínimo, verificándose en
definitiva el axioma.
Por Ax. de Zermelo → ∃m ∈ A / m = min A → ∃f : p ( A) − φ → A / f ( m) = A
15
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
05.2.3. Obtención del Axioma de Haussdorff desde el Axioma de Elección:
Veamos que si es posible establecer una función de elección para un conjunto
cualquiera, E, entonces en el conjunto ordenado (E, ≤ ) existe al menos una cadena
maximal.
Sea, por tanto, un conjunto, (E, ≤ ), al menos parcialmente ordenado y sea f una
función de elección, que existe en virtud del axioma:
∃e ∈ E / f ( E ) = e
Consideremos las cadenas de E, (CE , ≤ ) , subconjuntos de E totalmente ordenados
por el orden ≤ de E, y llamemos K al conjunto de todas estas cadenas:
K = {CE ∈ P( E ) /(CE , ≤) cadena de( E , ≤)}
El conjunto K es, por tanto un conjunto de partes de E, estando cada uno de sus
elementos totalmente ordenados por la relación de orden ≤ del conjunto E.
Obviamente, con respecto a la relación de inclusión (K, ⊆ ) es un conjunto
parcialmente ordenado.
Por otra parte, sabemos que si un conjunto ordenado (CE , ≤ ) es una cadena,
(
)
cualquiera de sus partes CE , ≤ es también una cadena:
*
∀CE ∈ K , ∀CE* ⊆ CE , CE* ∈ K
Consideremos también las cadenas
(CK , ⊆ )
de (K, ⊆ ), es decir, las partes del
conjunto K de todas las cadenas que, por la relación de inclusión, son también
cadenas del conjunto K. Son, en definitiva, cadenas de cadenas de (E, ≤ ).
La unión ∪ S es una unión de cadenas de (E, ≤ ) contenidas en la cadena (CK , ⊆ ) ,
S∈C k
que, por ser también una cadena, es elemento de (K, ⊆ ).
Intentamos probar que en el conjunto K de todas las cadenas CE de (E, ≤ ) existe al
menos una maximal. Es el principio maximal de Haussdorff.
Para cada cadena A ∈ K , consideremos el elemento x ∈ E tal que la unión A ∪ {x}
sigue siendo una cadena de K. Llamemos A a estos elementos:
A = {x ∈ E / A ∪ {x}∈ K }
Definamos una función g : K → K , es decir, una función que hace corresponder a
cada cadena de K otra cadena de K, por la condición:
 A ∪ f ( A − A), si A − A ≠ φ
∀A ∈ K , g ( A) = 
, si A − A = φ
 A,
donde es f una función de elección, que existe por axioma, es decir, es una función
que cumple que f ( A − A) = x ∈ A − A , y es
16
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
{x}, si A − A ≠ φ
g ( A) − A = 
 φ , si A − A = φ
Carlos S. CHINEA
[h1]
Obviamente,
A max imal ↔ A − A = φ ∧ g ( A) = A
Probar el axioma maximal de Haussdorff significa probar que en el conjunto K de
todas las cadenas de (E, ≤ ) existe al meno una, A, que cumple que g(A)=A, siendo
g la función antes definida.
Para lograr esto definamos en primer lugar el concepto de torre en K para tal
función g, como una parte J de K que cumple las condiciones siguientes:
1)
φ ∈ J (φ ∈ K , pues es cadena de ( E , ≤))
2) A ∈ J → g ( A) ∈ J
3) C j cadena de ( J , ⊆) → ∪ S ∈ J
S ∈Cj
Las torres existen en K, pues la misma K es una torre. Trivialmente, la intersección
de una familia de torres es también una torre.
Si es Jo la intersección de todas las torres de K, entonces Jo es la menor de todas
las torres de K. Vamos a probar que esta torre mínima, Jo, es también una cadena
para la inclusión, es decir, que con respecto a la inclusión está totalmente
ordenada.
Diremos que un conjunto C ∈ Jo es comparable en Jo si es comparable con
cualquier otro conjunto A∈ Jo :
C ∈ Jo comparable ↔ ∀A ∈ Jo, A ⊆ C ∨ C ⊆ A
Los conjuntos comparables existen en Jo, ya que el mismo
φ
es uno de ellos.
Consideremos un conjunto comparable fijo, C ∈ Jo , y sea A∈ Jo tal que A ⊂ C .
Entonces, o bien g ( A) ⊂ C o bien C ⊂ g ( A) . Si C ⊂ g ( A) se ha de cumplir que
A ⊂ C ⊂ g ( A) , pero esto sería contradictorio con que la diferencia g ( A) − A ha de
ser, a lo sumo, un solo elemento {x}, por [h1]. Entonces vemos que si se da la
inclusión estricta A ⊂ C ha de ser g ( A) ⊂ C también estrictamente.
Consideremos ahora la familia L formada por los conjuntos A de la torre mínima Jo,
tales que o bien están contenidos en C, A ⊆ C , o bien g (C ) ⊆ A :
L = {A ∈ Jo / A ⊆ C ∨ g (C ) ⊆ A}
Se cumplen las tres condiciones de la definición de torre:
1) φ ∈ C → φ ∈ L
2) ∀A ∈ L, g ( A) ∈ L , pues:
-
Si A ⊂ C → g ( A) ⊂ C → g ( A) ∈ L
-
Si A = C → g ( A) = g (C ) ⊆ g ( A) → g ( A) ∈ L
-
Si g (C ) ⊆ A → g (C ) ⊂ g ( A) → g ( A) ∈ L
17
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
3) Si P es una cadena de L entonces la unión ∪ S de sus elementos pertenece a L,
S∈P
pues ∀S ⊆ C → ∪ S ⊆ C → ∪ S ∈ L
S ∈P
S ∈P
Por consiguiente, L es una torre contenida en Jo.
Consideremos ahora la familia N de los conjuntos comparables de Jo, esto es,
consideremos una cadena de elementos de Jo, que verifica, por lo visto antes que:
1) φ ∈ N
2) C ∈ N → g (C ) ∈ N
3) P cadena de N → ∪ ∈ N
S ∈P
En definitiva, la cadena N de elementos de Jo es también una torre, y como Jo es
la mínima torre, ha de ser necesariamente N=Jo, por lo cual Jo es una cadena.
Entonces, si es A la unión de todos los conjuntos de la torre Jo, A es también un
conjunto de Jo, y como contiene a todos ellos, será g ( A) ⊂ A , por otra parte,
sabemos que siempre es A ⊂ g ( A) , por lo cual, de ambas inclusiones:
g ( A) = A
y A es la cadena maximal que prueba el enunciado del Axioma de Haussdorff.
18
La matemática del buen orden. Del Lema de Zorn al Axioma de Elección
Carlos S. CHINEA
Bibliografía:
ABELLANAS, P., “Elementos de Matemáticas”, Editorial Romo, Madrid,
1975
BIRKHOFF, G.;MCLANE, S., “Álgebra Moderna”, Editorial Vicens Vives, Sevilla, 1970
BOURBAKI, N., “Theorie des ensembles”, Editorial Hermann, París, 1966
DUBREIL,P.; DUBREIL-JACOTIN,M.L., “Lecciones de Algebra Moderna”, Editorial
Reverté, Barcelona, 1965
HALMOS, P., “Teoria intuitiva de los conjuntos”, Editorial C.E.C.S.A., México, 1973
KELLEY, J.L., “Topología General”, Editorial Eudeba, Buenos Aires, 1975
LANG, S.,”Álgebra”, Ediciones Aguilar, Madrid, 1971
QUEYSANNE, M.,”Álgebra básica”, Editorial Vicens Vives, Sevilla, 1990
SUPPES, P., “Axiomatic Set Theory”, Editorial Dover, New York, 1972.
VAN DER WAERDEN,B.L.,”Modern Algebra”, Editorial Springer, New York, 1950
19