3. deflexión eléctrica y magnética de electrones

3. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones
3. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE
ELECTRONES
TAREA DE PREPARACION
Nombre Estudiante:__________________________ Código: ___________ Plan: _____
Fecha: ______________________
1. Un electrón es acelerado por un potencial acelerador Va entre dos electrodos. Si la velocidad
inicial es cero: ¿Cuál es su energía cinética final?
2. En una región limitada del espacio existe un campo eléctrico uniforme de magnitud E, cuyas
líneas de campo son verticales, dirigidas hacia arriba.
a) ¿Cuál es la trayectoria de un electrón que entra horizontalmente a la región de campo con
velocidad v0? Explique.
b) Encuentre la expresión para la velocidad v (magnitud y dirección) con que el electrón
abandona la región de campo en función del campo E, la velocidad inicial v0, el ancho s donde
existe el campo eléctrico. Haga un esquema y explique.
4. Asuma que se acelera un electrón con un voltaje acelerador de 500 V, los cuales entran
perpendicularmente a una región donde hay campo eléctrico uniforme E y campo magnético
uniforme B, perpendiculares entre sí. Si el campo E es creado entre dos placas plano paralelas
separadas una distancia de 2 mm y entre ellas hay un diferencia de potencial de 50 Voltios,
¿Cuál debe ser la magnitud del campo magnético para que los electrones no se desvien? Haga
un esquema de los tres vectores velocidad E y B para que eso se cumpla.
4. Identifique cada una de las magnitudes físicas que Ud. va a medir en este experimento. ¿Cuáles
son las magnitudes físicas definidas en la ecuación que describe el fenómeno físico?
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Guía Electromagnetismo
3. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE ELECTRONES
1.
OBJETIVOS


2.
Estudiar el movimiento de electrones bajo la acción de campos eléctricos
y magnéticos uniformes.
Determinar la relación carga / masa del electrón.
MODELO TEÓRICO
En este capítulo discutiremos primero el equipamiento que nos permite obtener partículas cargadas
y el campo eléctrico para desviarlas, este se llama Tubo de Rayos Catódicos (TRC) o tubo Brawn.
Luego discutiremos como producir un campo magnético a la par que discutiremos la física de la
desviación de electrones por campos eléctricos y magnéticos que nos permiten medir
experimentalmente la relación carga/masa del electrón.
2.1
Principio de funcionamiento del Tubo de Rayos Catódicos (TRC)
Un tubo de rayos catódicos (TRC) conocido como Tubo de Braun (Phywe), (fig. 1), nos provee
de un haz de electrones y de un campo eléctrico uniforme que nos permite deflectar el haz.
Podemos controlar la velocidad que adquieren los electrones, la magnitud del campo eléctrico, y
podemos visualizar el haz sobre una pantalla. Un TRC consta esencialmente consta de tres partes:
un cañón de electrones, una etapa de deflexión y un indicador donde incide el haz sobre una
pantalla.
2.1.1. El Cañón de Electrones: cátodo, ánodo enfocador y ánodo acelerador. Esta etapa consta de
un filamento que al calentarse emite electrones por un proceso físico conocido como termoemisión.
Los electrones emitidos son acelerados con un voltaje acelerado Va en la dirección del eje principal
del TRC (que llamaremos eje x), por ánodos con simetría cilíndrica que están a un potencial
positivo con respecto al filamento, ó cátodo. Cuando los electrones pasan a través de los agujeros
se coliman formando un haz, mientras sufren una o dos aceleraciones sucesivas. Al salir del ánodo
acelerador, cada electrón del haz lleva una velocidad v que conserva (si despreciamos choques
inelásticos con las moléculas del gas residual) hasta llegar a la pantalla. El voltaje Va se puede
controlar a voluntad y así mismo su velocidad.
2.1.2. Etapa de Deflexión: C consiste en un par de placas metálicas plano-paralelas,
sometidas a una diferencia de potencial VD que varía entre 0 y 80 V. El haz de electrones
incide siempre perpendicularmente al campo eléctrico entre placas, de tal manera que actúa
sobre el haz una fuerza transversal a la dirección de su movimiento desviándolos de su
trayectoria. La desviación del haz es vertical si las placas están colocadas horizontalmente.
La magnitud del campo E puede controlarse a voluntad variando el voltaje VD entre las
placas.
2.1.3. El indicador de deflexión del haz es una pantalla circular recubierta por un material
fosforescente que produce luminiscencia cuando los electrones rápidos chocan contra ella.
Sobre la pantalla se mide la deflexión D del haz desde su posición de deflexión cero. Todo
el conjunto compuesto por cañón de electrones, placas deflectoras, y pantalla se encierra en
una ampolla de vidrio al vacío (o con gas noble llamado gas residual, a muy baja presión).
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3. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones
Figura 1: Representación esquemática Tubo de rayos catódicos (TRC)
2.2 Campo Magnético creado por bobinas Helmholtz
El campo magnético uniforme lo vamos a crear con ayuda de dos bobinas en la configuración
Helmholtz. Esto es dos bobinas idénticas, de N espiras, radio R y separadas una distancia 2a, Fig.
2. Si circula una corriente I el campo magnético en cualquier punto x sobre el eje de las bobinas
está dado por la expresión:
𝐵 (𝑥 ) =
𝜇𝑜 𝑁𝐼𝑅2
1
1
[ 2
+ 2
]
⁄
2
3
2
[𝑅 + (𝑥 + 2𝑎) ]
[𝑅 + (𝑥 − 2𝑎)2 ]3⁄2
2
(1)
En donde hemos escogido el origen de coordenadas en el punto equidistante a los centros de las
bobinas a lo largo del eje común. Si la distancia 2a entre las bobinas es igual al radio R0, el campo
magnético es uniforme en todo el volumen entre las bobinas. Esta geometría de las bobinas se
conoce como configuración Helmholtz. El campo magnético B creado viene dado por:
𝐵(𝑥) =
8√5 𝜇0 𝑁
𝐼
25 𝑅
(a)
(2)
(b)
Figura 2. (a) Dos bobinas paralelas en configuración Helmholtz para crear campos
magnéticos uniformes, en ellas se observan las líneas de campo magnético. (b) Foto de las
bobinas Helmholtz.
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Guía Electromagnetismo
2.3 Deflexión de un haz de electrones bajo la acción de campos eléctrico y magnético.
Todo electrón que entre con una velocidad 𝑣⃗ a una región del espacio donde hay un campo
⃗⃗ experimenta la fuerza de Lorentz, 𝐹⃗𝐿 :
eléctrico 𝐸⃗⃗ y uno magnético 𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
𝐹𝐿 = −𝑒𝐸⃗⃗ − 𝑒𝑣⃗ × 𝐵
La fuerza de Lorentz puede ser cero si:
(3)
⃗⃗ = −𝐸⃗⃗
(4)
𝑣⃗ × 𝐵
⃗⃗
⃗⃗
Esta ecuación nos indica que 𝐸 debe ser perpendicular al plano formado por 𝑣⃗ y 𝐵. Si además los
⃗⃗ son perpendiculares entre sí y la magnitud del campo eléctrico está dada por:
vectores 𝐸⃗⃗ y 𝐵
(5)
𝐸 = 𝑣𝐵
⃗⃗
⃗⃗
Y las direcciones de 𝐸, 𝑣⃗ y 𝐵 se rigen por el producto vectorial de la ecuación (4). Es decir, si
tenemos los dos campos son perpendiculares entre sí, y el electrón entra a la región de campo con
⃗⃗ = 𝐵𝑥 𝑖̂ como se ilustra en la Fig. 3,
velocidad 𝑣⃗ = 𝑣𝑦 𝑗̂ perpendicular a los dos campos, 𝐸⃗⃗ = 𝐸𝑧 𝑘̂ y 𝐵
el electrón atraviesa la región de campos sin sufrir ninguna deflexión si su velocidad es tal que:
𝑣𝑦 = 𝐸𝑧 /𝐵𝑥
(6)
Conociendo la velocidad del electrón, el campo eléctrico Ez que lo desvía en una dirección y el
campo magnético Bx que lo desvía en dirección opuesta, con magnitudes tales que hacen que la
DESVIACIÓN DEL HAZ DE ELECTRONES MEDIDA SOBRE LA PANTALLA SEA CERO,
podemos encontrar una expresión para la relación carga masa del electrón: e/me
Figura 3. Esquema de campos uniformes perpendiculares entre sí y la dirección de la velocidad.
¿Cómo calcular la velocidad del electrón?
Un electrón de masa m y carga e abandona un cañón de electrones con una velocidad 𝑣𝑦 , Fig. 3, la
cual puede calcularse a partir de la ley de conservación de la energía de acuerdo con la expresión:
1
𝑚𝑣𝑦2 = 𝑒𝑉𝑎
2
𝑣𝑦2 =
2𝑒𝑉𝑎
𝑚
(7)
(8)
26
3. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones
Donde 𝑉𝑎 es el voltaje acelerador en el cañón de electrones, 𝑣𝑦 es la velocidad de los
electrones en la dirección y, adquirida bajo la acción del potencial acelerador 𝑉𝑎 . El voltaje
acelerador es mensurable y podemos calcular 𝑣𝑦 .
¿Cómo calcular los campos E y B para desviación cero de un electrón?
Si el electrón con velocidad 𝑣𝑦 entra a una región de un campo eléctrico uniforme 𝐸𝑧 perpendicular
a la dirección de su velocidad, experimenta una aceleración en la dirección opuesta a la dirección
del campo eléctrico. El campo eléctrico no es mensurable pero si lo creamos por dos placas
conductoras plano, separadas una distancia d, entre las cuales hay una diferencia de potencial 𝑉𝐷 ,
Fig. 3, la relación entre 𝐸𝑧 y 𝑉𝐷 es:
𝐸𝑧 = 𝑉𝐷 /𝑑.
(9)
⃗⃗ lo podemos calcular si medimos la corriente I que circula por las bobinas,
El campo magnético 𝐵
de acuerdo con la ecuación (2). Llevando las expresiones (2), (8) y (9) a la ecuación (6):
√
2𝑒𝑉𝑎 𝑉𝐷 25 𝑅0
=
𝑚𝑒
𝑑 8√5 𝜇0 𝑁𝐼
(10)
Asumiendo que la variable dependiente es 𝑉𝐷 y la independiente es 𝐼, la ecuación (10) queda:
𝑒 8√10 𝜇0 𝑑𝑁
𝑉𝐷 = √
√𝑉𝑎 𝐼
𝑚𝑒 25 𝑅0
Carga/masa
Factor geométrico
(11)
Voltaje acelerador
En donde vemos que la pendiente de esa relación lineal contribuyen 4 factores: relación
carga/masa del electrón; un factor geométrico que depende de las bobinas que crean los campos
eléctrico (separación entre las placas) y magnético (radio y número de espiras); la velocidad de los
electrones medida por el voltaje acelerador 𝑉𝑎 .
Sin embargo debemos hacer una corrección a esta ecuación debido a la geometría del TRC.
Esto es, los electrones son deflectados por el campo eléctrico mientras estén en la región entre las
placas de ancho s. Una vez abandonan las placas continúan con una trayectoria rectilínea hasta
alcanzar la pantalla a una distancia L, Figura 4, y sobre la pantalla la deflexión es D. Además, el
campo magnético sigue actuando sobre los electrones una vez ellos abandonan las placas, como se
esquematiza en la Fig. 5 y la deflexión magnética sobre la pantalla es Dm. Así que el factor de
corrección depende del ancho de las placas, s, es decir, la distancia recorrida por los electrones bajo
la acción del campo eléctrico; 𝑠 + 𝐿 la distancia recorrida por los electrones bajo la acción del
campo magnético. El factor de corrección está dado por la expresión:
(12)
2𝑠𝐿/(𝑠 + 𝐿)2
Así nuestra ecuación (11) queda modificada así:
27
Guía Electromagnetismo
𝑒
𝑠𝐿 16√10 𝜇0 𝑑𝑁
𝑉𝐷 = √
√𝑉𝑎 𝐼
(
𝑚𝑒 𝑠 + 𝐿)2 25
𝑅0
𝑽𝑫
𝒆
=√
𝑮√𝑽𝒂 𝑰 = 𝒎𝒆𝒙𝒑 𝑰
𝒎𝒆
(13)
(14)
Figura 4. Diagrama de la deflexión de un haz de electrones que incide con velocidad 𝑣𝑦 a una
región donde existe un campo eléctrico uniforme vertical.
Figura 5. Deflexión de un haz de electrones que incide con velocidad 𝑣𝑦 en una región donde existe
un campo magnético uniforme entrando al plano de la hoja.
Donde 𝐺 es el factor geométrico:
𝐺 =
𝑠𝐿 16√10 𝜇0 𝑑𝑁
(𝑠 + 𝐿)2 25
𝑅0
(15)
A partir de medidas de la corriente I en las bobinas que desvían el haz y el voltaje deflector 𝑉𝐷 que
lo regresa a posición cero, para cada valor de voltaje acelerador 𝑉𝑎 , podemos a partir del cálculo
experimental de la pendiente 𝑚 calcular √𝑒⁄𝑚𝑒 , dado que el factor geométrico G, ecuación 15, se
conoce.
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3. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones
3.
DISEÑO EXPERIMENTAL:
3.1. Materiales y equipo:








Tubo de rayos catódicos TRC
Fuente de poder para el TRC
Fuente de poder para las placas deflectoras
Bobinas de Helmholtz para la creación del campo magnético
Fuente de poder para las bobinas
Cables de conexión
Voltímetro DC
Regla
3.2. Magnitudes Físicas a medir: Voltaje acelerador Va, voltaje deflector VD (en la deflexión
eléctrica), corriente I que circula por las bobinas, desviación D (ó deflexión) medida desde el
centro de la pantalla ó la posición correspondiente cuando VD = 0. Del Tubo de Braun o TRC debe
tomar las medidas de: longitud de las placas s, separación entre placas d, distancia desde el final de
las placas a la pantalla L.
Algunas características del tubo son:






Filamento: Vf = 6.3V AC, I ˜ 0.5 A
Voltaje de grilla VG: 0 → + 12 V DC
Voltaje wehnelt V1: 0 → + 50 V DC
Voltaje ánodo acelerador V2: 0 →+ 300 V DC Con un voltaje fijo +300V
Voltaje placas deflectoras VD: - 80 → 0 →+80 V
s =18mm, L= 10cm, d= 13mm
Algunas características de las bobinas:


Número de espiras N=154
Diámetro = 40cm
3.3. Montaje:
En la Fig.6 se muestra un esquema del panel de conexiones del tubo de rayos catódicos con
casquete y las bobinas de Helmholtz. Identifique: El TRC; la fuente que alimenta al TRC (en su
panel ofrece salidas del voltaje de hasta 12 V, hasta 50 V, hasta 300 V, una fija de 300V y una
salida alterna de 6.3 V para calentar el filamento; la fuente que alimenta las placas deflectoras con
voltajes entre + 80 V a -80 V; las bobinas de Helmholtz; la fuente que alimenta las bobinas con una
salida de voltaje de hasta 18 V con controlador de corriente de salida hasta 5 A; voltímetro y
amperímetro.
Vf es el voltaje alterno que se aplica al filamento (6,3 Vac). Los bornes negativos de la fuente
aceleradora se conectan entre si y uno va al borne indicado con el símbolo tierra en el tubo. La
fuente de 300V se conecta en serie con la de 0 a 300 V, conectando con un cable el borne positivo
+ 300 al borne negativo de la salida variable 0 a 300 V. Los bornes positivos de las fuentes
variables van respectivamente a los bornes del tubo indicados con el valor respectivo: 0 a 12 V, VG;
0 a 50 V, aplicado al ánodo enfocador y se llama V1; 300 a 600 V es el que acelera y se llama V2.
Los bornes de salida de la fuente deflectora (c), VD, de -80 V a +80 V, van a los bornes de las
placas de desviación.
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Guía Electromagnetismo
Figura 6 (a) Esquema de conexión tubo de rayos catódicos con casquete. Conexión del tubo
Brown con la fuente de poder y la unidad de operación
Figura 6 (b) Esquema de conexión bobinas deflectoras.
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3. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones
Borne inferior de la fuente a borne Left en el tubo; y borne superior de la fuente al borne Right del
tubo. Las bobinas deben ser orientadas y conectadas tal que el campo magnético que crean sea
horizontal, perpendicular al eje del tubo de rayos catódicos y perpendicular al campo eléctrico
creado por las placas. Verifique estas posiciones con su profesor.
3.4. Precauciones:




La operación de un TRC es relativamente simple, pero Ud. debe asegurarse de que todas las
conexiones son correctas y que conoce el rango de operación del TRC.
Debe asegurar que la orientación del TRC es tal que el haz sufre la mínima desviación posible
debido a la acción del campo magnético terrestre sobre el haz de electrones.
La medición de la desviación D sobre la pantalla debe hacerse cuidando de corregir el error de
paralaje que podría presentarse al no mirar perpendicularmente el punto luminoso que forma el
haz cuando llega a la pantalla.
Antes de enchufar y prender la fuente verifique que todos los voltajes de salida están en la
posición cero, y que el profesor ha verificado sus conexiones.
4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
4.1. Conecte el TRC a su fuente de poder, conecte las placas deflectoras a su fuente de poder,
conecte las bobinas y el amperímetro a su fuente de poder, esquema Figura 6. Verifque
polaridad y escala del amperímetro; van a circular hasta 3 A. Prenda la fuente del TRC. Para
que el haz llegue a la pantalla, aumente el voltaje VG a 12 V; aumente el voltaje V1 lentamente
hasta 50 V o hasta que se vea una mancha en la pantalla; aumente muy lentamente el voltaje
V2 hasta obtener una punto iluminado y enfocado sobre la pantalla. Usted puede manipular V1,
V2 y VG para buscar el mejor punto. El voltaje total Va es la suma de las tres fuentes: VG: 0 a
12 V; V1: 0 a 50 V, V2: 300 a 600 V (los 300 V los provee los bornes de la fuente constante).
4.2. Mida con el voltímetro VG, V1 y V2. Calcule Va y lleve los valores a la tabla de datos. No
varíe ninguno de estos voltajes de salida en ningún momento. Conecte ahora el voltímetro
entre los bornes de salida de la fuente de las placas deflectoras. Borne negativo del voltímetro
a borne inferior de la fuente y borne positivo al al borne superior. Verifique que la perilla de
salida esté cerca de la línea de cero (0). Prenda la fuente de las placas deflectoras.
4.3. Asegurando que el voltaje deflector VD = 0 verifique que el haz sobre la pantalla esté muy
cerca del centro geométrico de la pantalla. Si el haz se encuentra desviado del centro de la
pantalla oriente el tubo hasta que la desviación sea mínima (debida a la acción del campo
magnético terrestre). Aumente lentamente el voltaje deflector en las placas VD y observe la
dirección en que se desvía el haz si mueve la perilla hacia + 80 V o si la mueve hacia -80.
Mida la posición del haz cuando VD es cero (medida con el voltímetro)
4.4. Prenda la fuente de poder de las bobinas; aumente la perilla de corriente a 3 A. Aumente MUY
LENTAMENTE la perilla de voltaje y observe en qué dirección se desvía el haz. Regrese el
haz a su posición inicial. Ese punto es el (0,0).
4.5. Vamos a desviar el haz una distancia D de máximo 2 mm con el campo magnético creado por
las bobinas aumentando lentamente la perilla de voltaje. Mida la corriente para esta
desviación, Varíe la escala del amperímetro si es necesario. Lleve su dato a la Tabla
4.6. Varíe lentamente el voltaje deflector sobre las placas DE TAL FORMA que el punto sobre
la pantalla retorne a LAS COORDENADAS (0, 0). Mida el valor del voltaje deflector.
Tome el valor absoluto si es negativo.
31
Guía Electromagnetismo
4.7 De nuevo aumente la corriente I hasta que el punto se desvié 2 mm y varíe VD hasta que el
punto regrese a la coordenada (0,0). Repita este paso hasta alcanzar los máximos valores de
VD. Consigne sus valores en la tabla de datos.
4.8 Vuelva la corriente de las bobinas a cero y el voltaje deflector a cero.
5
ANÁLISIS:
5.1 Determine el valor nominal del factor geométrico G, ecuación (15); y el valor teórico de la
relación √𝑒⁄𝑚𝑒 , de acuerdo con los valores definidos para estas dos constantes universales.
Lleve sus datos a la tabla 2.
5.2 Grafique I en función de VD. Determine la pendiente, Tabla No. 1. ¿Que representa está
pendiente?
5.3 Calcule el valor experimental de la raíz de la relación carga masa del electrón √𝑒⁄𝑚𝑒 , con su
respectiva incertidumbre, de acuerdo con la ecuación (14). Consigne los valores calculados en
la Tabla 2.
5.5 Analice sus resultados. Determine claramente y explique en su informe la incertidumbre en la
medida de √𝑒⁄𝑚𝑒 .
6
BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA
[1] R. A. Serway, Física tomo II, cap. 28, 3ra edición. Editorial. Mc. Graw Hill.
[2] Halliday – Resnick, Física Para Ciencias e Ingeniería, Tomo 2; Editorial CECSA
[3] M. Alonso, E. Finn, Física; tomo 2 Editorial Addison Wesley Iberoamericana
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3. Deflexión Eléctrica y Magnética de Electrones
3. DEFLEXIÓN ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA DE ELECTRONES
TABLAS DE DATOS
Fecha:
Profesor:
Asistente. de Docencia:
Grupo de Laboratorio:
DD
MM
AA
______
Nombre:
Código
Plan
Datos del equipo:
s=
L=
d=
Tabla 1 Deflexión Eléctrica y Magnética
DATOS EXPERIMENTALES
Vg 
±
V1 
±
V2 
±
Va 
±
I( )±
VD ( )
DATOS TEÓRICOS
±
√𝑒⁄𝑚𝑒 , teórico =
(
)
(
)
2𝑠𝐿/(𝑠 + 𝐿)2 =
G=
mexp =
𝑒
√𝑚 experimental =
𝑒
±
±
(
)
(
33
)
±