Cables Cables

Cables
Cables

Los cables flexibles y las cadenas se usan para
soportar y transmitir cargas entre miembros.

En los puentes en suspensión, estos llevan la mayor
parte de las cargas.

En el análisis de fuerzas, el peso de los cables se
deprecia al ser muy pequeño comparado con las
cargas.

Consideraremos dos casos: cables sujetos a cargas
concentradas y a cargas distribuidas
1
Cables

Asumamos que el cable es perfectamente flexible y no
se extiende

Debido a su flexibilidad, los cables no ofrecen
resistencia a flexión y por esto, la fuerza tensora que
actúa en el cable es siempre tangente a los puntos a lo
largo de su longitud.

Al no extenderse, la longitud permanece constante
antes y después de la carga, se puede considerar como
un cuerpo rígido.
Cables With Concentrated
Loads
• Para el análisis se asume:
a) Cargas concentradas verticales en líneas verticales dadas,
b) El peso del cable es despreciable,
c) cable es flexible, i.e., resistencia a flexión es pequeña, d) porciones del cable entre cargas sucesivas se puede tratar como elementos sometidos a dos fuerzas
• Se desea determinar la forma del cable, i.e., la distancia vertical desde el apoyo A a cada punto de carga.
2
Cables
Cables Sujetos a Cargas Concentradas 
Para un cable con peso despreciable que soporta varias cargas concentradas, el cable toma la forma de varios segmentos de líneas rectas, cada uno sujeto a una fuerza de tensión constante.
Cables
Cables Sujetos a Cargas Concentradas 



Conocidas: h, L1, L2, L3 y las cargas P1 y P2
Formar 2 ecuaciones de equilibrio en cada punto
A, B, C y D
Si se tiene la longitud total L, usar Pitágoras para
relacionar las tres longitudes del segmento.
Si no, especificar una de las deflectadas, yC y yD,
y de la respuesta, determine la otra deflectada y
entonces la longitud total L
3
Cables con Cargas Concentradas
• Considerar el cable completo como un cuerpo libre. Las pendientes del cable en A y B no se conocen – se requieren dos reacciones en cada apoyo.
• Cuatro desconocidas y tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reacciones. • La ecuación adicional se obtiene al considerar equilibrio en la porción de cable AD y asumiendo que las coordenadas del punto D
en el cable se conocen. La ecuación adicional es:  M D  0.
• For other points on cable,
M
C2
F
x
7‐ 7
 0 da
y2
 0,  Fy  0 da Tx , Ty
• Tx  T cos  Ax  constant
Cables
Ejemplo
Determine la tensión en cada segmento del
cable.
4
Cables
Solución
DCL para el cable completo
Cables
Solución
   Fx  0;
 Ax  E x  0
 M E  0; Ay (18m)  4kN (15m)  15kN (10m)  3kn(2m)  0
Ay  12kN
   Fy  0;
12kN  4kN  15kN  3kN  E y  0
E y  10kN
5
Cables
Solución
Considere la sección a la extrema
izquierda que corta el cable BC
con el colgante conocido yC =
12m
Cables
Solución
 M C  0; Ax (12m)  12kN (8m)  4kN (5m)  0
Ax  E x  6.33kN
   Fx  0;
TBC cos  BC  6.33kN  0
   Fy  0;
12kN  4kN  TBC sin  BC  0
 BC  51.6 , TBC  10.2kN
6
Cables
Solución
Considere los puntos A, C y E,
Cables
Solución
Punto A
   Fx  0;
TAB cos  AB  6.33kN  0
   Fy  0;
 TAB sin  AB  12kN  0
 AB  62.2
TAB  13.6kN
7
Cables
Solución
Punto C
   Fx  0;
TCD cosCD  10.2 cos 51.6 kN  0
   Fy  0;
TCD sin CD  10.2 sin 51.6 kN  15kN  0
CD  47.9
TCD  9.44kN
Cables
Solución
Punto E
   Fx  0;
6.33kN  TED cos ED  0
   Fy  0;
10kN  TED sin  ED  0
 ED  57.7
TED  11.8kN
8
Cables
Solución
 Por comparación, la tensión máxima en el cable esta
en el segmento AB dado que este segmento tiene la
mayor pendiente.

Para cualquier segmento a la izquierda, el
componente horizontal Tcosθ = Ax

Dado que los ángulos de la pendiente que el
segmento del cable tiene con la horizontal se
pueden calcular, las colgantes yB y yD se pueden
determinar usando trigonometría
Cables
Cable Sujeto a una Carga Distribuida

Considere un cable con peso despreciable
sujeto a una carga con función w = w(x)
medida en la dirección x.
9
Cable Sujeto a Carga Distribuida
• Para un cable que lleva una carga distribuida:
a) El cable cuelga con la forma de una curva
b) La fuerza interna es una fuerza de tensión dirigida a lo largo de la tangente a la curva.
Cable Sujeto a Carga Distribuida

DCL del cable con longitud ∆
0<k<1
10
Cable Sujeto a Carga Distribuida

Dado que la fuerza de tensión en el cable cambia continuamente en magnitud y dirección a lo largo de la longitud, este cambio se denota en el DCL como ∆T

La carga distribuida se representa por su fuerza resultante w(x)(∆x) que actúa a una distancia fraccional k(∆x) desde el punto O donde o < k < 1
Cable Sujeto a Carga Distribuida
Aplicando Equilibrio:
   Fx  0;
 T cos   (T  T ) cos(   )  0
   Fy  0;
 T sin   w( x)(x)  (T  T ) sin(   )  0
 M O  0;
w( x)(x)k (x)  T cos y  T sin x  0
11
Cable Sujeto a Carga Distribuida
Dividimos por ∆x y tomamos el limite, x0, y de allí
y0, 0, T0: d (T cos  )
0
dx
d (T sin  )
 w( x)  0
dx
dy
 tan 
dx
T cos   cos tan t  FH
Integrando,
FH= componente horizontal fuerza de tensión en
cualquier punto a lo largo del cable.
Cable Sujeto a Carga Distribuida
Integrando,
T sin    w( x)dx
Eliminando T,
tan  
dy
1

w( x)dx
dx FH 
Segunda integración,
1
y
FH
  w( x)dx dx
Ecuación para determinar la curva del cable y=f(x). La componente FH y las constantes C1, C2 se hallan con las condiciones de borde.
12
Cables
Ejemplo
El cable de un puente suspendido soporta la mitad de la
carga uniforme entre dos columnas en A y B. Si la carga
distribuida es wo, determine la fuerza máxima desarrollada
en el cable y la longitud requerida del cable. Se conocen la
separación L y la colgante h.
Cables
Ejemplo
13
Cables
Solución
Note w(x) = wo
y
1
FH
  wodx dx
Desarrollar dos integraciones
1
y
FH
 wo x 2



C
x
C


1
2
 2



Condiciones de borde en x = 0
y  0, x  0, dy / dx  0
Cables
Solución
Por esto,
C1  C2  0
La curva se convierte en:
y
wo 2
x
2 FH
Esta es la ecuación de una parábola
Condición de borde en x = L/2
yh
14
Cables
Solución
La constante FH se puede obtener tomando las
condiciones de frontera y=h en x=L/2,
wo L2
8h
4h
y  2 x2
L
FH 
Tensión, T = FH/cosθ
La máxima tensión ocurre en el punto B para
0 ≤ θ ≤ π/2
Cables
Solución
La pendiente en el punto B
O
dy
w
 tan  max  o
dx x  L / 2
FH
 max
xL / 2
w L
 tan 1 o 
 2 FH 
Por esto
Tmax 
FH
cos( max )
Usando una relación triangular
Tmax 
4 FH2  wo2 L2
2
15
Cables
Solución
Tmax 
wo L
L
1   
2
4
 h
2
Para un segmento diferencial del cable de longitud ds
ds 
2
dy 
 dx
 dx 
dx 2  dy 2  1  
Determine la longitud total integrando
   ds  2 
L/2
0
2
 8h 
1   2 x  dx
L 
La integración queda:

2

L
L
 4h 
1 4h 
 1     sinh  
2
4h
 L 
L

Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
16
Pórticos
Marcos:
 Estructura
compuesta
de
varios miembros conectados
por pasadores (pines) o bien
son rígidos en sus extremos.

Frecuentemente se necesita
dibujar diagramas de cortante
y momento para diseñarlos.
Fuerzas Internas Positivas Actuando
en un Pórtico
17
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Procedimiento para el Análisis:



Determinar las reacciones en los
apoyos, si es posible.
Determine las reacciones en los
apoyos A, V y M en los extremos
de los miembros usando el método
de las secciones.
Construir diagramas de V y M.
Dibujaremos
el
diagrama
de
momentos en el lado de compresión
del miembro
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Ejemplo: Dibujar los diagramas de V y M para el
pórtico mostrado.
18
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Primero: Encontrar el mayor numero
reacciones externas que sea posible.
de
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Segundo: Cortar el marco en sus miembros y
encontrar las reacciones internas.
19
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Tercero: Resolver las ecuaciones de equilibrio
para cada miembro. Comencemos en el miembro
AB.
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Siguiente: Resolver las ecuaciones de equilibrio
para el miembro CD.
20
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Ahora: Dibujar los diagramas de M y V (recordar
dibujar el diagrama en el lado de compresión del
miembro).
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Punto de Inflexión: Ubicación del momento cero
para estructuras mecánicamente cargadas.
21
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento
Flexionante por Superposición
Si la viga o marco son linealmente elásticos,
podemos usar los principios de superposición
para construir los diagramas de V y M.
Cada una de las cargas sobre la viga se puede
tratar de forma separada y el diagrama de M
puede construirse en una serie de partes y no en
una sola parte, algunas veces compleja.
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento
Flexionante por Superposición
La mayor parte de las cargas en vigas se forma
de la combinación de las siguientes cargas:
22
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento
Flexionante por Superposición
La mayor parte de las cargas en vigas se forma
de la combinación de las siguientes cargas:
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Ejemplo: Dibujar los diagramas de V y M para la
viga usando superposición.
23
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Los diagramas de V usando superposición.
Diagramas de Fuerza Cortante y
Momento Flexionante en Pórticos
Los diagramas de M usando superposición.
24
Funciones de Discontinuidad
Para manejar discontinuidades en las curvas de V(x) y
M(x) introducimos una familia de funciones llamadas
funciones de singularidad.
Permiten la formulación de una función discontinua
mediante una expresión simple y no mediante una
serie de expresiones (una para cada región donde la
función es diferente).
La función es discontinua… Tienen diferentes valores
en diversas regiones de la variable independiente
Funciones de Discontinuidad
Funciones de Macaulay:
Representan cantidades que “empiezan” en algún punto
particular sobre el eje x (como el punto x=a) y que tienen
valor cero a la izquierda de este.
Ej:
x es la variable independiente y a es el valor de x donde
“empieza” la función.
25
Funciones de Discontinuidad
En términos generales definimos la función por las
siguientes expresiones:
n= 0,1,2,3,…
“Si la cantidad x‐a incluida en los paréntesis angulares es
negativa o cero, la función de Macaulay tiene valor cero;
si la función x‐a es positiva o cero, la función tiene el
valor obtenido al sustituir los paréntesis angulares por
paréntesis curvos”.
Funciones de Discontinuidad
Cuando n=0, la función toma alguno de los valores:
Esta función tiene un “salto” vertical en el punto de
discontinuidad x=a, se llama función escalón.
26
Funciones de Discontinuidad
Operaciones como suma, resta y multiplicación por una constante.
Una función y con diferentes expresiones algebraicas para diferentes
regiones a lo largo de x puede escribirse como una función simple con
funciones Macaulay.
Pueden diferenciarse
e integrarse
La
función
impulso
unitaria también se llama
función delta Dirac
27
Funciones de Singularidad
Definidas por las expresiones:
n= ‐1, ‐2, ‐3, …
Definidas para valores enteros negativos de n, mientras que
las de Macaulay lo están para enteros positivos y cero.
Tienen valor cero en cualquier punto excepto en x=a.
Se presentan singularidades cuando n=entero negativo y x=a la
funcion se vuelve infinita.
Funciones de Singularidad
Definidas por las expresiones:
n= ‐1, ‐2, ‐3, …
Definidas para valores enteros negativos de n, mientras que
las de Macaulay lo están para enteros positivos y cero.
Tienen valor cero en cualquier punto excepto en x=a.
Se presentan singularidades cuando n=entero negativo y x=a la
funcion se vuelve infinita.
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Funciones de Singularidad
La índole de las singularidades depende del valor de n.
Las mas importantes son:
La función doblete unitaria (n=‐2): dos flechas de extensión
infinita, infinitesimalmente cercanas, que pueden visualizarse
como fuerzas, se representa con una flecha curva (momento
unitario o dipolo).
La función impulso unitaria (n=‐1): también infinita en x=a,
flecha sencilla, fuerza unitaria
Representación de Cargas con funciones de discontinuidad:
Únicamente se requiere multiplicar las funciones dadas (funciones unitarias) por las intensidades de carga apropiadas para obtener representaciones matemáticas de las cargas.
En cargas complicadas se pueden superpones casos elementales.
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