inflación - Pontificia Universidad Católica de Chile

Facultad de Astronomía y Astrofísica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Santiago 28 de Junio del 2006
INFLACIÓN
Pilar Lapuente Fuentes
Curso de Cosmología
Introducción
La cosmología inflacionaria [1] se ha convertido en piedra angular de la cosmología
moderna. La Inflación fue la primera teoría en la que se pudo hacer predicciones sobre la
estructura del Universo a gran escala basada en la física causal.
El objetivo de este trabajo es dar una idea general e introductoria de la cosmología
inflacionaria, partiendo por las carencias de la teoría estándar del big bang, llegando a una
teoría que resuelve muchos de esos problemas.
1. Cosmología estándar
La cosmología estándar se basa en el principio cosmológico [2], que consiste en que el
universo es homogéneo e isotrópico. Entonces la métrica toma la forma de FriedmannRobertson-Walker (FRW).
dr 2
+ r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )
1 − κr 2
ds 2 = g µν dx µ dxν = −dt 2 + a 2 (t )
(1.1)
Donde a(t) es el factor de escala con t el tiempo cosmológico y la curvatura espacial.
La evolución del universo depende del material que lo compone [3]. Ejemplos típicos
son:
p = /3
(radiación)
p=0
(materia o polvo)
La dinámica por otra parte se conoce sabiendo las ecuaciones de Einstein:
Gµν ≡ Rµν − 1 g µν R = 8πGTµν − Λg µν (1.2)
2
Si consideramos una métrica sin constante cosmológica, las ecuaciones de Einstein
quedan:
κ
8π
ρ− 2
2
3mPl
a
ρ&+ 3H ( ρ + p ) = 0
H2 =
(1.3)
(1.4)
Estas son las llamadas ecuaciones de fluidos de Friedmann. Donde H ≡ a&/ a es la tasa de
expansión de Hubble y
( G)
5
mPl = ηc
se obtiene:
1/ 2
. Combinando estas relaciones y considerando =c=1
a&
4π
= − 2 ( ρ + 3 p)
a
3mPl
(1.5)
La ecuación (1.3) puede ser rescrita de la siguiente forma:
Ω −1 =
Donde
2
2
κ
2
a H
2
=
κ
a&2
(1.6)
= / c Con c = 3H mpl /(8 ).
Cuando la geometría espacial es plana ( = 0). La solución de las ecuaciones (1.3) y
(1.4) son:
Domina radiación: a t1/2,
Domina materia: a t2/3,
a
a-4
-3
(1.7)
(1.8)
En estos casos simples, el universo se expande desaceleradamente (ä < 0).
2. Defectos de la cosmología estándar
La teoría del Big-Bang provee una gran certeza de los acontecimientos del universo
-2
desde un tiempo de 10 segundos hasta hoy. No tiene competencia en este sentido, pero sí
carencias que se mencionarán a continuación.
2.1. Problema del Horizonte, homogeneidad a gran escala
¿Por qué el espacio es tan homogéneo e isotrópico? Si todo el universo observable
hubiese estado en contacto causal cuando ocurrió el último scattering de radiación, entonces
se podría pensar que los procesos físicos hubiesen suavizado cualquier fluctuación de
temperatura por supuesto dando origen a un fondo de radiación con una temperatura única. Sin
embargo esto no pudo haber ocurrido debido al horizonte de las partículas.
La cosmología estándar se caracteriza por una expansión del parámetro de escala a(t) t p,
(0<p<1) por lo que la longitud de onda física cumple a
t p, pero sabemos que el radio de
-1
Hubble evoluciona como H
t. Con esto, la longitud de onda física (a ) se hace mucho más
pequeña que el radio de Hubble en algún tiempo [3]. Así como veremos a continuación, en el
desacople ya no quedarían fotones conectados causalmente a estas escalas.
Si definimos el horizonte de partículas como DH(t) = a(t)dH(t), donde dH(t) (~ct) es la
distancia comóvil; comparamos lo que ocurre cuando observamos fotones en el CMB, emitidos
en el tiempo de desacople, con la distancia comóvil actual del universo. Se estima que:
dH(tdesacople)/ dH(t0) = (tdesacople / t0)
(105/1010)
10-2
(2.1)
Por lo tanto dH(tdesacople) « dH(t0), lo que quiere decir que las regiones causales de los
fotones son muy pequeñas. De hecho, la superficie de último scattering abarca sólo 1º en el
cielo.
Hoy vemos una temperatura única del fondo de radicación cósmica de microondas (CMB)
de aproximadamente 2.73 K sin embargo en la época de recombinación, el volumen de Hubble
era 105 veces mayor que las regiones desconectadas causalmente por lo que no se explica tal
homogeneidad.
2.2. Inhomogeneidad a pequeña escala
El satélite COBE observó anisotropías en la superficie de último scattering cuya amplitud
-4
es muy pequeña, casi invariante: <10 . Es prácticamente imposible generar estas fluctuaciones
entre el big bang y el tiempo del último scattering con argumentos de la cosmología estándar.
Por otra parte a pequeñas escalas observamos organizaciones de estructuras con densidades
de hasta 1014M en ~ 100Mpc. ¿Pero cómo ocurrió esto?.
Cuando el universo se volvió dominado por la materia, pequeñas inhomogeneidades de
densidad primordiales (I.D.P.) crecieron por inestabilidad de Jeans dando origen a las macro
estructuras que observamos hoy. Esto no se explica con la teoría estándar del big bang,
básicamente por el problema del horizonte de partículas, entonces... ¿cuál es el motivo de
estas I.D.P.?
2.3. Planitud
tiene
Si ignoramos la constante cosmológica en las ecuaciones de Friedmann, entonces se
-1 =
/ (a2H2)
(2.3.1)
Como vimos a2H2 está decreciendo (ä<0) y
se aleja de 1 con la expansión lo que
contradice las siguientes observaciones: hoy el radio de curvatura del universo ~ H0-1 y 0 ~ c
[4]. Por ejemplo:
-4
era radiación (
a ) =>
-1 t
(2.3.2)
-3
era materia (
a ) =>
-1 t2/3
(2.3.3)
Como sabemos, hoy
es del orden de 1 por lo tanto en el pasado debe haber sido
-43
mucho más cercano a 1 debido a que es un punto crítico inestable. Esto implica que (t = 10
30
s) 1 y que el radio de curvatura en el tiempo de Planck era 10 veces mayor que el radio de
Hubble. Si esto hubiese ocurrido, el universo hubiera re-colapsado mucho antes del primer
segundo ( > 0) o alcanzado la temperatura de 3 K ( < 0). Sin embargo el universo ha
60
sobrevivido 10 tiempos de Planck sin haber re-colapsado o convertido en dominado por la
curvatura.
2.4. Reliquias
Hay muchas partículas (llamemos X) súper masivas, súper estables que se pudieron
haber formado en el Universo Temprano (E.U.) y haber sobrevivido la aniquilación (hoy: x»1)
[4].
El problema es que cualquier especie con estas características hubiese dominado rápidamente
el universo debido a que su densidad de energía decrece como materia ( a-3), ganándole así a
la radiación ( a-4).
En el universo actual no estamos dominados por una especie de súper partícula, sin
embargo la cosmología estándar no se puede deshacer de estas reliquias indeseadas.
2.5. Constante cosmológica
La solución a la energía del vacío es que la expansión acelera, y la energía total crece
exponencialmente. Lo que teóricamente se predice es que vacío mPl4, pero en realidad se
observa una diferencia de 122 órdenes de magnitud con la prevista por la física de partículas
[4].
A. Einstein introdujo la constante cosmológica (C.C.)
como una fuerza repulsiva que
contrastara la gravedad para que el universo estuviese estático. Sabemos que esto no sucede,
el universo se está expandiendo por lo que la contribución de la constante no es necesaria para
esos fines. Por otra parte, en 1996 se descubre que el universo se está expandiendo
aceleradamente con lo que renace la idea de una C.C.
Siguiendo con la idea anterior, la única explicación para la diferencia de órdenes de
magnitud mencionada sería que la C.C. esté decreciendo, pero esto es imposible pues hubiese
necesitado mucho más que 14 MGyr (la edad actual del universo) para lograrlo.
3. Idea básica de la Inflación
El problema en la cosmología del big bang es que el universo siempre exhibe una
expansión desacelerada. Lo que promueve la Inflación es que en una etapa temprana del
universo, la energía del vacío dominó la densidad de energía total por lo que el factor de escala
creció exponencialmente [3].
Asumamos entonces la existencia de un estado en el E.U. con una expansión
acelerada, i.e., ä > 0. Lo que corresponde a:
+ 3p < 0
(3.1)
Esta condición esencialmente quiere decir que a&( = aH ) crece durante la inflación y entonces
-1
el radio comóvil de Hubble (aH) decrece en esta etapa. Con esto, regiones suaves
conectadas causalmente pudieron crecer y separarse hasta llegar a un volumen comóvil que se
convirtió en el universo que observamos hoy.
3.1. Dinámica de la Inflación
En teoría de partículas los campos escalares (C.E.) son de gran importancia.
Consideremos un C.E. φ , llamado inflatón, cuya energía potencial conlleva a una expansión
exponencial del universo [3]. La densidad de energía y presión se pueden describir
respectivamente como:
=½
φ&2 + V( φ )
, p= ½
φ&2 - V( φ )
(3.1.1)
donde V( φ ) es el potencial del inflatón. Sustituyendo en las ecuaciones (1.3) y (1.4) resulta:
[
8π
½φ&2 + V (φ )
2
3mPl
&
&
φ + 3Hφ&+ V ′(φ ) = 0
H2 =
donde
2
]
(3.1.2)
(3.1.3)
2
2 2
8 G = 8 / mPl , y se despreció el término de curvatura K a en la ecuación (3.1.2)
[
]
Durante la inflación, la relación (3.1) implica que φ& < V (φ ) , lo que indica que la
energía potencial domina a la cinética. Por esto, un potencial plano se requiere para dirigir la
suficiente cantidad de inflación.
14
Las cosas en el E.U. cambian muy rápidamente. Para una escala de 10 GeV, la
-34
escala de tiempo de expansión es de 10 s por lo tanto la longitud del tiempo requerido para
la transición de fase se hace comparable con la edad del universo lo que conlleva a un
rompimiento de simetría.
La forma esquemática del potencial inflacionario es el dado en la figura 1. En este
diagrama se ven las etapas de este potencial partiendo por a) penetración de la barrera (etapa
que no se sabe con certeza si es necesaria), b) slow roll (lento desliz en inglés) y c) oscilación
alrededor del mínimo de potencial [4]. El proceso de slow roll ocurre clásicamente. ¿Pero
cuánto se demora en rodar hasta el mínimo de potencial? Como el potencial es lo
suficientemente plano, este tiempo puede ser bastante largo comparado con la escala de
tiempo de expansión, esto es: H t » 1. Durante el tiempo en que φ evoluciona hasta , el
universo es dotado de una enorme energía del vacío. Cuando esta energía domina la densidad
total del universo, comienza la expansión exponencial:
a(t)
Ht
e
2
(3.1.4)
Es en esta fase que el factor de escala crece 1043 veces usando M ~ 1014 Gev, por lo
-32
-34
que el tiempo de rodar (10 s) es bastante más que 10 s, que corresponde a la escala de
tiempo del universo (de ahí el nombre de “lento”).
Finalmente, si imponemos las condiciones de slow roll: ½φ&« V (φ ) y
entonces las ecuaciones (3.1.2) y (3.1.3) se aproximan a:
2
H2 ≈
8π
[V (φ )]
3mPl2
&
φ&
« 3Hφ&,
(3.1.5)
3Hφ&≈ −V ′(φ )
(3.1.6)
-60
Para resolver el problema de planitud
debe ser f-1 < 10 justo después de la
inflación. Mientras que el radio
-1 entre la fase de inflación inicial y la final está dada por:
f -1
/
i -1
2
-2N
(ai / af) = e
(3.1.7)
Asumiendo que i -1 es del orden de la unidad, el número de exponentes de e (e-folding en
inglés), que describe la cantidad de inflación requerido es de N > 70 para resolver el problema
de planitud [3]. Se requieren aproximadamente el mismo número de e-foldings para resolver el
problema del horizonte de partículas.
3.2. Modelos de Inflación
Hasta el momento no se ha mencionado la forma del potencial del inflatón V (φ ) . Hay
ahora nuevas variedades de modelos inflacionarios que a grandes rasgos se subdividen en tres
grandes grupos como veremos a continuación.
3.2.1. Modelos de campo largo: Tipo I
El valor inicial del inflatón es grande y rueda cuesta abajo hacia el mínimo de potencial
(2)
a menores φ . En este modelo la segunda derivada del potencial V ( φ ) toma valores positivos
usualmente.
Un ejemplo del tipo I es la Inflación caótica. Este modelo se describe por un potencial
del inflatón cuadrático o cuártico
V (φ ) = ½m 2φ 2 ,
V (φ ) = ½ λφ 4
ó
(3.2.1.1)
El término caótico quiere decir que las condiciones iniciales del inflatón se distribuyen
caóticamente. Según esto, la región que alcanza suficiente cantidad de inflación da origen a
nuestro universo.
Si observamos el potencial cuadrático, las ecuaciones (3.1.5) y (3.1.6) quedan:
H2
4 m2 φ / (3mPl2 )
2
3H φ& + m2 φ = 0
Combinando estos resultados da la siguiente relación:
a
ai exp [ ( 2
π /3
(3.2.1.2)
(3.2.1.3)
φ
φi
– mmPlt / (2 3π ) Por lo tanto:
m/mPl ( φi t – mmPlt2 / (4 3π ) ) ]
(3.2.1.4)
Encontramos de esta relación que el universo se expande exponencialmente durante las
primeras etapas de la inflación. La tasa de expansión disminuye con el segundo término del
mPl/2 π , luego el
paréntesis cuadrado. El período inflacionario termina así cerca de φ
sistema entra en una etapa de re-calentamiento. Para guiar suficiente inflación N > 70, se
-6
requiere que el valor inicial sea φi > 3mPl y m (la masa del inflatón) 10 mPl. En el caso de un
potencial cuártico, el auto-acoplamiento se restringe a
10-13
En la figura 2. se ilustra el modelo de potencial de inflación caótica [3].
3.2.2. Modelos de campo pequeño: Tipo II
El campo del inflatón es chico inicialmente y evoluciona lentamente hacia el mínimo de
(2)
potencial a medida que crece φ . El valor de V ( φ ) puede cambiar de signo.
El ejemplo típico de este tipo de modelo es el de Inflación Natural, caracterizado por
bosones pseudo Nambu-Golstone (PNGBs) que aparecen cuando una simetría global es rota
espontáneamente. El potencial PNGB se expresa de la siguiente forma:
V( φ ) = m [1+cos( φ / f)]
4
(3.2.2.1)
Donde m y f caracterizan el alto y ancho del potencial, respectivamente.
Consideremos el caso donde el inflatón se localiza inicialmente en la región 0< φ < f,
y la inflación ocurre mientras el inflatón evoluciona lentamente hacia el mínimo de potencial a
φ = f. La inflación comienza desde el régimen donde φ es cercano a cero. El sistema entra
en un estado de re-calentamiento cuando el inflatón comienza a oscilar alrededor de φ = f.
Para obtener una suficiente cantidad de inflación, o sea e-foldings que satisfagan N >
70, el valor inicial del inflatón debe ser φ (ti) < 0.1mPl para la escala de masa f ~ mPl
En la figura 3. se ilustra esquemáticamente este potencial [3].
3.2.3. Modelo híbrido (doble) de inflación: Tipo III
En este modelo, la inflación generalmente termina por la transición de fase que ocurre
debido a la presencia de segundos campos escalares (o por la segunda fase de inflación luego
de la transición de fase).
Consideremos el modelo inflacionario híbrido de Linde [7] descrito por:
V=¼ (
2
– M2/ )2 + ½ g2
φ2
2
+ ½ m2
φ2
(3.2.3.1)
Cuando φ 2 es grande, el campo tiende a rodar cuesta abajo hacia el mínimo de potencial en
=0. En este caso, el potencial es descrito de manera efectiva por un único campo
V
En la presencia de una campo
4
¼M / +½m
2
φ2
(3.2.3.2)
la masa del campo se hace negativa para
φ
<
φ crit
M/g.
Entonces el campo comienza a rodar hacia abajo hacia un mínimo en φ = 0 y = + M/ . Ver
figura 4 [3].
Si la condición M2 » mp2 se satisface, entonces la masa del campo es liviana en
comparación con la tasa de Hubble alrededor de φ = φ crit conllevando a un segundo estado de
inflación para
φ
<
φ crit.
4. Recalentamiento
En cualquiera de los escenarios mencionados arriba, luego de la inflación el universo
entra en una etapa de re calentamiento, durante la cual la energía potencial del inflatón es
transferida a la radiación y con ello el universo de termaliza [3].
Una característica crucial de la Inflación es la producción masiva de entropía, que
ocurre durante el proceso de re calentamiento. En este período aumenta 10130 veces su
cantidad inicial [4].
5. Conclusiones
La enorme cantidad del incremento de entropía resuelve 3 de los problemas de la
cosmología estándar.
5.1. Horizonte de partículas y Homogeneidad
La inflación consigue que la luz viaje mucho más lejos antes del desacople que
después debido a que en la expansión exponencial, el universo aumenta e70 veces su tamaño.
Con esto la longitud de onda física crece más rápido que el radio de Hubble (primer cruce del
horizonte) y se soluciona el problema del Horizonte [7].
Las fluctuaciones que durante la inflación eran perturbaciones cuánticas muy pequeñas
se pueden describir como clásicas. Una vez finalizada la etapa inflacionaria, la evolución del
universo sigue el modelo estándar y el radio comóvil de Hubble comienza a crecer. Con esto
las perturbaciones cruzan el radio de Hubble nuevamente, en lo que se denomina segundo
cruzamiento. Es por esta razón que las pequeñas fluctuaciones impresas durante la inflación
aparecen como perturbaciones de gran escala luego de este cruce. Ver figura 5.
Esta física causal puede explicar ahora perfectamente por qué la radiación del CMB es
tan homogénea a gran escala y termalizada a cerca de 2,73 K sin prácticamente fluctuaciones.
5.2. Planitud
La inflación fuerza que –› 1 (que es lo que se observa) en vez de que se aleje de ese
valor, ya que a2H2 crece con la inflación. Sin embargo esperaríamos que
-1 posteriormente
creciera con la evolución (expansión) del universo y nos sacara de la planitud nuevamente.
Pero aun así, si durante la inflación se acercó a 1 con un margen de error de 10-60 (como lo
predice la teoría), entonces se mantendría muy cercana a 1 incluso en la actualidad.
5.3. Reliquias
Cualquier reliquia creada antes de la inflación decrece su abundancia
exponencialmente a la misma escala que la entropía crece. Cabe destacar que esto sólo se
logra si durante el recalentamiento la temperatura nunca sube lo suficiente como para reformar
estas reliquias. Aquel éxito permite volver al modelo estándar de big bang y recobrar así sus
aciertos como Nucleosíntesis y CMB.
Con respecto a los otros puntos, la teoría inflacionaria todavía no logra esclarecer las
interrogantes sobre constante cosmológica. Por supuesto queda mucho por hacer todavía para
llegar a un modelo definitivo que sea compatible con la física de partículas, etc.
6. Apéndice
En esta sección se mostrarán las formas de los distintos modelos de potencial
inflacionario y otras figuras.
Figura 1. Forma del potencial inflacionario. Se muestran las etapas a) penetración
de la barrera, b) slow roll y c) oscilación alrededor del mínimo de potencial.
Figura 2. Ilustración esquemática del modelo de potencial de inflación caótica.
Este pertenece al Tipo I, de largo campo.
Figura 3. Esquema del potencial del modelo de Inflación Natural. Este pertenece
a la clase de modelos de campo pequeño.
Figura 4. Esquema del potencial del modelo de inflación doble. Este modelo es
caracterizado por múltiples campos escalares.
Figura 5. Resolviendo el problema de Horizontes. Inicialmente la longitud de Hubble es
grande, y se forma un patrón suave por interacciones causales. La inflación entonces encoge el
radio de Hubble, e incluso la subsiguiente expansión luego de la inflación deja el universo
observable dentro del patrón suavizado. [5]
7. Bibliografía
[1] A. Guth, Phys. Rev D23, 347 (1981)
[2] A. R. Liddle and D. H. Lyth, Cosmological inflation and large-scale structure, Cambridge
University Press (2000)
[3] S. Tsujikawa, Introductory review of Cosmic Inflation, University of Tokyo, hep-ph (2003)
[4] Kolb & turner, chapter 8, Inflation, page 271-275.
[5] A. Liddle et al., An Introduction to Cosmological Inflation, University of Sessex, Astrophysical
Journal (1999)
[6] R. H. Brandenberger, A status review of Inflationary Cosmology, Brown University, hep-ph
(2001)
[7] A. D. Linde, Phys. Rev. D49, 748 (1994); E. J. Copeland, A. R. Liddle, D. H. Lyth, E. D.
Stewart, and D. Wands, Phys Rev. D49, 6410 (1994)