Medidas de riesgo coherentes y funciones de distorsión

Medidas coherentes de riesgo y funciones de
distorsi¶on
Silvia Mayoral
Servicio de Estudios, Banco de Espa~na
21 de Septiembre, 2005
1
Contenido:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Resumen y motivaci¶on
Valor en Riesgo
Medidas coherentes de riesgo
Propiedades de las medidas de riesgo: falta de consenso
Medidas de riesgo basadas en distorsiones
M¶as all¶a de la coherencia.
Conclusiones.
2
1. Resumen
Importancia de las medidas de riesgo
• Necesidad de cuanti¯car el riesgo asumido
• Las entidades ¯nancieras han fomentado la gesti¶on del riesgo
en los ¶ultimos a~nos
• Estudio PricewaterhouseCoopers: 82% de los directivos de
empresas ¯nancieras indican que el conocimiento del riesgo
es un tema prioritario en sus organizaciones
• 73% piensan que sus organizaciones de¯nen su nivel de aceptaci¶on
al riesgo de forma m¶as clara.
• Acuerdo de Basilea II.
3
• Existen muchas medidas de riesgo.
• No existe consenso en la literatura sobre qu¶e medida de riesgo
es la m¶as adecuada.
• >Qu¶e propiedades debe tener? ⇔ No hay acuerdo
• La medida CV aR puede llevar a toma de decisiones incorrectas.
Principales objetivos:
• >Por qu¶e el CVaR funciona mal?.
• De¯nir propiedades \m¶³nimas".
4
2.Valor en Riesgo
• La medida m¶as utilizada en la pr¶actica: Valor en Riesgo
(VaR)
• Du±e y Pan (1997), el Valor en Riesgo se puede de¯nir
como:
Dado un horizonte temporal T y un nivel de con¯anza
100α%, el Valor en Riesgo es la p¶erdida en el valor
de mercado sobre el horizonte temporal T que s¶olo es
superada con una probabilidad 1 − α.
• El VaR responde a >C¶ual es la m¶³nima p¶erdida en que incurrimos en los 100(1 − α)% peores casos de la cartera?
5
• Ejemplo: α = 0.99, T = 7 d¶³as V aR = 1.000.000: la p¶erdida
de la posici¶on no deber¶³a ser superior a un mill¶on de d¶olares
en 99 de 100 casos a lo largo de los siete d¶³as.
• Si X indica las p¶erdidas-bene¯cios de la cartera.X ≥ 0 indicar¶a p¶erdidas y X ≤ 0 indicar¶an bene¯cios.
V aRα = inf {x ∈ R | P (X ≤ x) ≥ α} .
• Valor en Riesgo: p¶erdida asociada con el percentil α de la
distribuci¶on de p¶erdidas de la cartera.
6
• Las ventajas del VaR:
1. Se expresa siempre en \dinero perdido"
2. Simplicidad
3. Universalidad
• Paradoja
{ Cartera A: Valor 100 euros, p¶erdida 100 euros en los peores 5% casos.
{ Cartera B: Valor 100 euros, posici¶on en futuros con p¶erdidas
no acotadas.
{ Se puede escoger B de tal forma que el V aR(B) = 100.
7
Problemas que presenta el VaR:
• Si la distribuci¶on de p¶erdidas tiene una cola pesada nos podemos encontrar con dos carteras con igual VaR pero con
p¶erdidas superiores al VaR muy diferentes.
• Medida no subaditiva: diversi¯caci¶on puede aumentar el riesgo
• Dif¶³cil de optimizar
8
3. Medidas coherentes de riesgo
Artzner y otros (1997) intentan resolver estos problemas de¯niendo
las medidas coherentes
1.
2.
3.
4.
Sub-aditiva: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X ) + ρ(Y ),
Positiva homog¶enea: ρ(λX ) = λρ(X ).
Invariante por traslaci¶on: ρ(X + a) = ρ(X ) + a, a ∈ R
Mon¶otona: Si X ≤ Y entonces ρ(X ) ≤ ρ(Y ).
9
• Artzner y otros (1999): Caracterizaci¶on de estas medidas.
• Ejemplo de medida coherente: Valor en Riesgo condicionado
(CVaR)
• CVaR responde: >C¶ual es la p¶erdida esperada incurrida en
los (1 − α)% peores casos de una posici¶on?
CV aRα(X ) = EP [X | X ≥ V aRα],
α ∈ (0, 1).
• Por de¯nici¶on: CV aRα ≥ V aRα.
• Propiedades m¶as atractivas: subaditiva y convexa.
10
4. Propiedades de las medidas de riesgo: Falta de consenso
Se de¯nen muchos conjuntos de medidas: medidas convexas,
espectrales, medidas de desviaci¶on, acotadas en media, etc..
Medidas convexas de riesgo:
Follmer y Schied (2002) sugieren que el riesgo puede crecer de
forma no lineal respecto al tama~no de la posici¶on.
Relajan las condiciones positiva homog¶enea y subaditiva por convexidad:
Convexidad:: ρ((1 − λ)Y + λX ) ≤ (1 − λ)ρ(Y )+ λρ(X ) para todo
λ ∈ [0, 1].
11
Medidas espectrales de riesgo:
Acerbi (2002) de¯ne las medidas espectrales:
Z1
Mφ(X ) = 0 φ(p)FX−(p)dp ,
(1)
donde φ es una funci¶on real sobre el intervalo [0, 1] y FX−(p) =
inf {x ∈ R | P [X ≤ x] ≥ p}.
Kusuoka (2001) demuestra que las medidas espectrales son medidas coherentes que satisfacen las propiedades de invariante por
ley y aditividad comon¶otona.
12
Rockafellar y otros (2002) de¯nen dos conjuntos diferentes de
medidas de riesgo: medidas de desviaci¶on y medidas acotadas
en media. Estas medidas no son coherentes.
No existe consenso sobre las propiedades que las medidas de
riesgo deben poseer.
Goovaerts y otros (2003) son bastante cr¶³ticos sobre las condiciones de coherencia: sub{aditividad, invariante por traslaci¶on y
positiva homog¶enea.
Las propiedades deseables di¯eren cuando una medida de riesgo
se utiliza para requerimientos de capital, para comparar primas
de riesgo o para prop¶ositos de regulaci¶on.
13
5. Medidas de riesgo basadas en distorsiones
Medida de riesgo: Valor esperado de las p¶erdidas bajo una probabilidad distorsionada (Integral de Choquet).
Z∞
Z∞
ρg (Y ) = EP ∗ [X ] = 0 g(S (y))dy − 0 [1 − g(S (−y))]dy . (2)
donde g es una funci¶on de distorsi¶on.
De¯nici¶on Una funci¶on de distorsi¶on, g : [0, 1] → [0, 1], es una
funci¶on no-decreciente que cumple g(0) = 0 y g(1) = 1.
14
Propiedades de las medidas basadas en distorsiones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Monoton¶³a
Homog¶enea positiva
Invariante por traslaci¶on
Aditiva comon¶otona
Subaditiva si g es c¶oncava y superaditiva si g es convexa.
Non-exceding loading : ρ(X ) ≤ max(X )
15
• Valor esperado de una nueva funci¶on de distribuci¶on incorporando las expectativas o la aversi¶on al riesgo del individuo.
• Una funci¶on de distorsi¶on repondera las probabilidades que
asigna la funci¶on de distribuci¶on real de p¶erdidas.
• Medidas coherentes basadas en distorsiones: repondera de
forma que la distribuci¶on distorsionada tiene una cola m¶as
pesada que la inicial.
• Las medidas m¶as utilizadas est¶an basadas en distorsiones.
16
6. M¶as all¶a de la coherencia
• Medidas basadas en distorsiones son coherentes ⇔ la distorsi¶on es c¶oncava.
• No todas las medidas de riesgo coherentes son medidas basadas
en distorsiones (aunque \si las m¶as importantes").
Valor en Riesgo

0 if y < 1 − α
g(y) = 1 if y ≥ 1 − α
(3)
Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos y no{c¶oncava (no coherente).
17
Valor en Riesgo Condicionado
 y
 1−α si y < 1 − α
g (y ) = 
.
1
si y ≥ 1 − α
(4)
Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos, continua y c¶oncava (medida coherente).
Ejemplo (CVaR inconsistente)
P¶erdida A
B
0
0.600 0.600
1
0.375 0.390
5
0.025 |
11
| 0.010
Tabla 1.:Distribuci¶on de las p¶erdidas de las carteras A y B.
18
Se puede calcular la distribuci¶on distorsionada de las carteras A
y B.
P¶erdida SA(x) SA∗ (x)
X <0
1
1
0 ≤ X < 1 0.4
1
1 ≤ X < 5 0.025 0.5
5≤X
0
0
Tabla 2.: Distribuci¶on distorsionada de la cartera A
El CV aRα(XA), a nivel α = 0.95, viene dado por:
Z1
Z5
CV aR0.95(XA) = 0 dx + 1 0.5dx = 3 = CV aR0.95(XB ).
19
Problema de la medida CVaR: no utiliza toda la informaci¶on
de la distribuci¶on inicial.
Ejemplo Supongamos que tenemos la siguiente funci¶on de distorsi¶on:

50x si 0 ≤ x < 0.01
g1(x) = 0.5 si 0.01 ≤ x < 0.5
x
si 0.5 < x ≤ 1
g es una funci¶on de distorsi¶on continua y constante en el intervalo
[0.01, 0.5].
20
Consideramos dos carteras A y B:
P¶erdida A
B
0
0.600 0.600
1
| 0.390
10 0.375 |
11 0.025 0.010
Tabla 3. Distribuci¶on de p¶erdidas de las carteras A y B
La medida de riesgo generada por g1 asigna el mismo valor (5.5)
a ambas carteras.
Problema: La funci¶on de distorsi¶on no utiliza toda la infor-
maci¶on inicial.
21
Se puede comprobar que da probabilidad cero a un conjunto de
sucesos
P¶erdida
0
10
11
P(A) P ∗(A)
0.600 0.5
0.375 0
0.025 0.5
Tabla 4.: Probabilidad distorsionada de la cartera A
Soluci¶on: La medida de riesgo debe utilizar toda la informaci¶on
de la distribuci¶on inicial.
22
De¯nici¶on: Consideramos un riesgo X y una medida de distorsi¶on
ρ, i.e. ρ(X ) = EP ∗ (X ). La medida de riesgo ρ se dice que es
completa si:
S (x1) = S (x2) ⇔ S ∗(x1) = S ∗(x2), ∀ x1, x2 ∈ [0, 1], (5)
donde S ∗ es la funci¶on de supervivencia de la probabilidad distorsionada, P ∗.
Las medidas VaR y CVaR no son completas.
Soluci¶on: La funci¶on de distorsi¶on que genera la medida de riesgo
no puede ser constante.
23
No utilizar la informaci¶on inicial es equivalente a realizar una
reponderaci¶on igual a cero.
El coe¯ciente de reponderaci¶on se puede aproximar por la derivada
de la funci¶on de distorsi¶on.
Teorema: Las siguientes condiciones son equivalentes
1. S (x1) = S (x2) ⇔ S ∗(x1) = S ∗(x2), for all x1, x2 ∈ [0, 1],
2. g es una funci¶on de distorsi¶on estrictamente creciente.
24
Si estamos interesados en medidas coherentes (concavidad de la
funci¶on de distorsi¶on) de¯nimos la propiedad de exhautividad.
De¯nici¶on: Una medida de riesgo basada en una distorsi¶on es
exhaustiva si es coherente y completa.
La diferencia entre medidas de distorsi¶on convexas y c¶oncavas
es que generan medidas super-aditivas o sub-aditivas, respectivamente.
Caracterizaci¶on de las medidas exhaustivas en funci¶on de la derivada
de la funci¶on de distorsi¶on.
25
• La coherencia no es sufuciente para evitar inconsistencias.
Las medidas deben ser completas.
• Las funciones c¶oncavas reponderan las p¶erdidas bajas por un
coe¯ciente < 1 y las p¶erdidas extremas por un coe¯ciente
> 1.
• Existe un punto donde la reponderaci¶on cambia y el inversor
decide asignar m¶as importancia a p¶erdidas superiores a ese
valor que aquellas inferiores.
26
7. Conclusiones
• No existe consenso sobre que propiedades deben tener las
medidas de riesgo.
• Se observan inconsistencias en las medidas de riesgo m¶as
utilizadas en la pr¶actica: VaR y CVaR.
• Las inconsistencias son debidas a que la funci¶on de distorsi¶on
que de¯nen dichas medidas son constantes.
• El problema aparece al reponderar por cero las probabilidades
iniciales.
• Se de¯nen propiedades para evitar dichas inconsitencias: Completitud y exhaustividad.
27