1 IntroducciQn

1
1.1
Introducción
De…nición de series temporal y de proceso estocástico.
SERIE TEMPORAL
Punto de vista descriptivo: Es una sucesión ordenada en el tiempo de observaciones de una variable
económica separadas entre si por el mismo lampso
temporal.
PIB USA trimestral 1947-I a 1987.IV
GNP (USA): ORIGINAL SERIES
3,800
3,600
3,400
3,200
3,000
2,800
2,600
2,400
2,200
2,000
1,800
1,600
1,400
1,200
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150 160
Las series la podemos clasi…car por tanto desde este punto
de vista en cuanto a su periodicidad en anuales, trimestrales, mensuales, ...
Existen básicamente dos enfoques para el tratamiento de
series temporales el enfoque determinta y el enfoque estocástico. En primer lugar describiremos brevemente el
enfoque determinista y con posterioridad nos centraremos
en el enfoque estocástico.
1.2
Enfoque determinita de series temporales.
En esta aproximación se suele suponer que la serie analizada puede ser expresada como la agregación de sus
componentes no observables. Los economistas tienden
a clasi…car los movimientos o oscilaciones de las series
económicas diferenciando entre componentes tendencial,
ciclíco, estacional e irregular. Se les conoce como componentes no observables, dado que se man…estan de forma
conjunta en la serie temporal, pero no son observables
por separado.
Tradicionalmente los economistas han considerado como
componentes de interés la tendencia y el cíclico. Y los
componentes estacional e irregular como provocados por
factores exógenos e independientes a los factores económicos.
Tendencia y tendencia ciclo: El comportamiento tendencial de las series temporales está asociado a oscilaciones con período de repetición superior a 5 años.
Por lo que respecta a al componente cíclico se identi…ca con aquellas oscilaciones asociadas a períodos
de repeticción compredidos entre 5 años y un año.
El límite entre componente tendencial y cíclico es
arbitrario, por lo que en la práctica se suele hablar
de componente tedencia-ciclo, que se identi…ca con
oscilaciones que se repiten con un período de repetición compredidio entre in…nito y un año. Es decir,
el componente ciclo-tendencia se identi…ca con las
oscilaciones de medio y largo plazo.
Componente estacional: Se identi…ca con las oscilaciones de caracter períodico o cuasi-periodico de duración anual o inferior a la anual.
Componente irregular: Se identi…ca a oscilaciones no
asociadas a los componentes tendencia-ciclo y estacional.
En este enfoque se asume que la serie temporal es el resultado de combinar todo los componentes no observables:
Adtivo
Multiplicativo
xt = Tt + St + It:
xt = Tt St It:
El metodo más extendido en este enfoque son los alisados
exponenciales. Existen varios métodos dependiendo de si
la serie temporal presenta tendencia y estacionalidad. El
método más completo es de Holt-Winters que permite
obtener predicciones de series temporales que presenten
estacionalidad.
1.3
Enfoque estocástico.
Punto de vista estocástico: Una serie temporal es la
realización de un proceso estocástico.
Proceso estocástico: Un proceso estocástico es un
conjunto ordenado de variables aleatorias que depende de un indicador. En el caso de lasn series temporales el indicador es el tiempo t fxtg ; xt1 ; xt2 ; xt3 ;
:::; xtn g. Tambíén se puede decir que un proceso
estocástico es una sucesión de v.a. ordenadas en el
tiempo (sólo válido para ST).
Por tanto, una serie temporal es una muestra T -dimensional
de tamaño 1, o lo que es lo mimo, una serie temporal es
una realización de tamaño muestral 1 de cada una de
las variables aleatorias que integran el proceso estocástico. Como sólo vamos a disponer de una única realización muestral por v.a., será necesario asumir que se
cumplirán un conjunto de supuestos para poder trabajar
con las series temporales para poder extraer conclusiones
a partir de la información de la series temporal (muestra)
que sean válidas para el proceso estocástico (población).
Estos supuestos o propiedades serán básicamente la estacionariedad y la ergodicidad.
1.4
Ergodicidad y estacionariedad.
Dado que un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias y que las v.a. se caracterizan através de
sus funciones de distribución y densidad y de sus momentos poblacionales (valor esperado, varianza, covarianzas,
...), caracterizemos los procesos estocásticos através de la
Función de Distribución Conjunta del proceso estocástico
y de los momentos poblacionales:
F xt1 ; xt2 ; xt3 ; :::; xtn
h
i
h
i
E xt1 ; E xt2 ; :::; E [xtn ]
h
i
h
i
V AR xt1 ; V AR xt2 ; :::; V AR [xtn ]
h
i
h
i
COV xt1 xt2 ; COV xt1 xt3 ; :::
Por ejemplo, supongamos que estamos analizando la serie
temporal del PIB USA del grá…co anterior, como disponemos
de 165 observaciones para caracterizar el proceso estocástico deberíamos sacar conclusiones sobre las v.a.’s integrantes del proceso estocástico a partir de realizaciones
muestrales de tamaño 1. Es decir, por ejemplo a partir
de una única observación obtener conclusiones sobre el
valor esperado E [ ] y varianza V AR [ ]de una variable
aleatoria.
Estacionariedad en sentido estricto: Un proceso
estocástico se dice que es estacionario en sentido estricto o fuerte si para un subconjunto ft1; t2; ::; thg
se cumple:
F xt1 ; xt2 ; :::; xth = F xt1+k ; xt2+k ; :::; xth+k :
Es decir, que la función de distribución conjunta es invariante ante deplazamientos en el tiempo. Por lo tanto,
también será invariante ante desplazamientos en el tiempo
todos los momentos poblacionales, dado que estos se de…nen a partir de la función de densidad. Esta propiedad
es muy difícil de comprobar o casi imposible.
Estacionariedad en sentido débil: Se dice que un
proceso estocástico es estacionario en sentido débil
o de segundo orden, cuando se cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones:
E [x t ] = E x t k =
V AR [xt] = V AR xt k = 2
h
i
h
i
COV xt1 ; xt2 = COV: xt1 k ; xt2 k
8k =
1;
2; ::
La estacionariedad en sentido estricto implica estacionariedad en sentido débil, pero la existencia de estacionariedad en sentido débil sólo implica estacionariedad en sentido estricto cuando el proceso estocástico sigue una ley
normal. En la práctica se trabaja con el concepto de
estacionariedad en sentido débil que implica que el valor
esperado y la varianza son constantes y que la covarianza entre v.a.’s asociadas a distintas observaciones sólo
depende del lapso temporal que las separa.
Ergodicidad: La condición su…ciente (pero no necesaria) de ergodicidad para un proceso estacionario
consiste en que se cumpla:
0
1
lim @
T !1 T
T
X
k=1
1
COV xt; xt k A = 0:
La ergodicidad permite limitar el grado de dependencia
temporal y nos permite modelizar la dependencia temporal de un proceso estocástico utilizando un conjunto …nito
de parámetros. Se introduce para eliminar la dependencia
de xt de valores pasados muy lejanos. La ergodicidad es
un supuesto que no es contrastable a partir de una sola
realización del proceso estocástico, por lo tanto, es una
hipótesis que se asume pero no se contrasta.
1.5
Funciones de autocovarianzas, autocorrelación simple y parcial.
Para caracterizar los procesos estocásticos estacionarios
ergódicos utilizaremos las funciones de autocorrelación,
que nos permiten medir la asociación entre las variables
aleatorias de un proceso estocástico separadas entre si
por un lapso temporal.
A la covarianza entre dos variables aleatorias integrantes
de un mismo proceso estocástico la llamaremos autovarianza k y dado que asumiremos que los procesos son
estacionarios k se re…ere al lapso temporal que separa a
las dos observaciones:
k
donde
= COV xt; xt k
= E (xt E [xt]) xt k
= E ( xt
) xt k
E xt k
:
E [x t ] = E x t k = :
Para los procesos estacionarios se cumplen las siguientes
propiedades:
2>0
=
V
AR
[
x
]
=
t
0
k =
k
1:
k+i
k 8i
Al conjunto de todas las autocovarianzas que se pueden
calcular para una serie temporal o proceso estocástico se
le llama función de autocovarianzas 0; 1; 2 ; :::; k ;
k+1 ; ::. A partir de la autocovarianza de order k ( k )
se de…ne la autocorrelación de order k ( k )como:
k
=
:
k
0
Y es fácil ver que se cumple:
= 1
k =
k
1:
k+i
k 8i
1
1
k
0
(1)
Al conjunto de todas las autocorrelaciones que se pueden
calcular se le llama función de autocorrelación simple
(FAS) 1; 2; :::; k ; k+1; ::.
también es de utilidad de…nir los coe…cientes de autocorrelación parcial como:
k;k
h
i
= Corr xt; xt k jxt 1; :::; xt (k 1) :
Es decir, estos coe…cientes, a diferencia de los coe…cientes
de correlación simple k que miden la correlación entre
dos v.a.’s separadas entre si por k períodos, miden las
correlacion entre xt y xt k pero descontando el efecto
de xt 1; :::; xt (k 1). Una forma sencilla de entender la
idea es através de la siguiente regresión:
xt = xt 1 k;1 + xt 2 k;2 + ::: + xt k k;k + ut
El parametro que medirá el efecto que tiene una variación
de xt k sobre xt, descontando el efecto de las observaciones intermedias es k;k . Si multiplicamos la expresión
anterior por xt j y tomamos esperanzas (asumiendo que
E [xt] = 0) es fácil ver que:
xt j xt = xt j xt 1 k;1 + ::: + xt j xt k k;k
+xht j ut
i
i
h
i
h
E xt j xt = E xt j xt 1 k;1 + ::: + E xt j xt k k;k
h
i
+ E xt j u t
j =
j 1 k;1 + j 2 k;2 + ::: + k j k;k
j =
j 1 k;1 + j 2 k;2 + ::: + k j k;k ;
asumiendo que E xt k ut = 0. Por lo tanto, existe una
relación entre los coe…cientes de autocorrelación simple
j y parcial j;j . Dando valores a j obtenemos el sistema:
=
2 =
1
k
=
+ 1 k;2 + ::: + k 1 k;k
1 k;1 + k;2 + ::: + k 2 k;k
k;1
...
k 1 k;1
+ k 2 k;2 + ::: + k;k
Que permite obtener la siguiente relación:
1;1
=
1
1
k;k
=
::: k 1
1
::: k 2
1
1
::: k 3
2
1
...
...
...
...
...
1
k 1
k 2
k 3 :::
: (2)
1
::: 1
1
2
1
::: 2
1
1
1
::: 3
2
1
...
...
...
. . . ...
k 1
k 2
k 3 :::
k
1
2
1
Al conjunto de todos los coe…cientes de autocorrelación
parcial se le llama función de autocorrelación parcial
(FAP).
Tal y como iremos viendo las funciones autocorrelación
simple y parcial se representan grá…camente, lo que recibe
el nombre de correlograma. Nosotros identi…caremos el
tipo de proceso estocástico que sigue una serie en base a
analizar el correlograma de dicha serie. Pero utilizaremos
los correlogramas muestrales que son fáciles de obtener
una vez que estimamos las autocovarianzas muestrales
utilizando:
^k =
1
X
T k
1X
^0 =
( xt
T
1X
x =
xt ;
T
( xt
x) xt k
x
x) 2
entonces es inmediato obtener los coe…cientes de la FAS
y la FAP utilizando (1) y (2), pero sustituyendo j por
^ j y j por ^j .
1.6
Procesos de Ruido Blanco y Paseo Aleatorio.
Se dice que una serie sigue un proceso de ruido
blanco cuando responde al siguiente esquema:
xt = "t
"t
iid 0; 2"
donde iid 0; 2" signi…ca idénticamente e independientemente distribuidos con valor esperado 0 y varianza 2" .
Es fácil ver que para un ruido blanco se cumple:
E [xt] = E ["t] = 0
2
=
V
AR
[
x
]
=
V
AR
[
"
]
=
t
t
0
"
k = COV xtxt k = COV "t"t k = 0
k
=0
k =
0
8k
1:
Por lo tanto presenta un correlograma con todos los coe…entes iguales a cero. Este proceso es el proceso estacionario más sencillo de todos y, a partir del cual de…niremos en resto de procesos que analizaremos.
Se dice que una serie sigue un proceso de paseo
aleatorio cuando responde al siguiente esquema:
xt = xt 1 + "t
"t iid 0; 2" :
(3)
Tal y como veremos a continuación es el proceso no estacionario más sencillo que se puede de…nir. Si sustituimos
recursivamente en (3) es fácil ver que:
xt = xt 1 + "t
= (xt 2 + "t 1) + "t
= (xt 3 + "t 2) + "t 1 + "t
...
xt = x0 +
t
X
"t
i=1
Donde x0 es una observación inicial, entonces tenemos:
2
E [xt] = E 4x0 +
t
X
i=1
3
"t5
= x0 + E ["1 + "2 +
+ "t]
= x0 + E ["1] + E ["2] +
+ E ["t]
= x0 + 0 + 0 +
Y en cuanto a la varianza:
+ 0 = x0 :
2
V AR [xt] = V AR 4x0 +
t
X
i=1
3
"t5
= V AR ["1 + "2 +
+ "t]
= V AR ["1] + V AR ["2] +
=
2
"
+ 2" +
+ V AR ["t]
+ 2" = t 2" :
Por lo tanto no es estacionario, dado que, la varianza
depende del período temporal en el que nos encontramos.
Si añadimos una deriva , pasariamos a tener:
xt =
+ xt 1 + "t
"t iid 0; 2" :
Si sustituimos recursivamente:
xt =
+ xt 1 + "t
=
+ ( + xt 2 + "t 1) + "t
= 2 + ( + xt 3 + "t 2) + "t 1 + "t
...
xt = x0 + t +
t
X
"t
i=1
entonces tenemos:
2
E [xt] = E 4x0 + t +
t
X
i=1
3
"t5 = x0 + t
Y en cuanto a la varianza:
2
V AR [xt] = V AR 4x0 + t +
= t 2" :
t
X
i=1
3
2
"t5 = V AR 4
t
X
i=1
3
"t5
En este caso, tanto el valor esperado como la varianza
depende del período temporal en el que nos encontramos.