Teoría de Inventarios Modelo EOQ con Demanda Incierta Modelo

18/04/2009
Universidad Técnica Federico Santa María
Modelo EOQ con Demanda Incierta
Teoría de Inventarios
• Lead Time no nulo
• Demanda aleatoria durante el Lead Time
Modelo Probabilísticos
• Se mantienen definiciones de EOQ:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
c0: Costo de ordenar
ch: costo de almacenar una unidad durante un año
L: Duración del Lead Time
Q: Cantidad Ordenada
Daniel Basterrica
<[email protected]>
Modelo EOQ con Demanda Incierta
• Se agregan las definiciones:
Modelo EOQ con Demanda Incierta
ID(0) = 200, ID(1) = 100, ID(6) = 0, ID(7) = 0
B(t) = 0 para 0 <= t <= 6 y B(7) = 100
I(0) = 200 ‐ 0 = 200, I(3) = 260 ‐ 0 = 260, I(7) = 0‐100 = ‐100
Si L = 2 meses:
R = 100 unidades
Q = 240 artículos
Q = 240 artículos
ƒ D: Variable aleatoria (continua) que representa la demanda anual
demanda anual
ƒ cb: Costo por unidad insatisfecha
ƒ ID(t): Nivel de inventario disponible en el instante t
ƒ B(t): Cantidad de unidades pendientes en t
ƒ I(t): Inventario neto en el instante t = ID(t) – B(t)
Demanda durante el Lead Time
• Sea
ƒ X: Representa la demanda durante el Lead Time Variable aleatoria continua con densidad de probabilidad f(x) media E[X] varianza V[X] y probabilidad f(x), media E[X], varianza V[X]
y
desviación estándar de σX.
ƒ Se asume que la demanda en instantes distintos es independiente, entonces:
E[X]=LE[D] V[X]=LV[D] σX = σD √L
Demanda durante el Lead Time
• Si L es una variable aleatoria con media E[L], varianza V[L] y desviación estándar σL , y si L es independiente a la demanda por unidad de tiempo durante el Lead Time entonces:
tiempo durante el Lead Time, entonces:
E[X] = E[L] E[D]
V[X]=E[L] V[D] + E[D]2 V[L]
ƒ Si D se distribuye normalmente, entonces X también.
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Minimizar Q y R
Minimizar Q y R
• Cálculo del punto de reorden:
Si L = 2 meses
– Con órdenes pendientes (sin pérdida de ventas)
– Con pérdida de ventas
• Se considera el costo de compra fijo.
• Costo Total:
CT(Q,R) = costo inventario + costo ordenar + costo por escasez
Minimizar Q y R
• Nivel medio de órdenes pendientes es pequeño respecto al de inventario.
• Como I(t)=ID(t) – B(t), entonces
E[I(t)] ≈ E[ID(t)]
Minimizar Q y R
• Con demanda constante,
Valor esperado I(t) = (valor esperado de I(t) al inicio del ciclo + valor esperado de I(t) al término del ciclo)/2
• Al
Al término del ciclo el nivel de inventario es R, menos la término del ciclo el nivel de inventario es R, menos la
demanda durante el Lead Time X.
I(t) = R – E[X]
• Para estimar el costo por mantención de inventario, se necesita estimar el valor esperado de I(t). • Al inicio del ciclo, el nivel de inventario es la del término del ciclo anterior, aumentada en Q.
I(t) = R – E[X] + Q
Minimizar Q y R
Costo por Stockouts
• Por lo tanto, el valor esperado de I(t) durante un ciclo:
• Sea:
BR = variable aleatoria que representa el número de stockouts durante un ciclo asociado a R
• Por lo tanto, p
p
p
p
• Costo por escasez anual corresponde al costo esperado por escasez por ciclo por el número esperado de ciclos de año, entonces
• Como eventualmente, toda la demanda será satisfacha, ocurren en promedio E[D]/Q órdenes por año.
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Costo por Orden
• Costo esperado por ordenar
Q* y R*
•
• El valor óptimo es muy cercano al de un EOQ normal, es decir:
• Luego, el costo total asociado queda:
• R* se obtiene de un análisis marginal
Cálculo de R*
• Si se asume un valor de Q, el costo anual por ordenar es independiente de R
• Para minimizar CT(Q,R) se debe minimizar la suma de los costos de mantención de inventario y los costos por escasez
costos de mantención de inventario y los costos por escasez
• Si R incrementa en Δ (pequeño), el costo de mantención de inventario tendrá una variación de:
Cálculo de R*
• Si se incrementa R a R + Δ
– La escasez se reduce en Δ unidades cuando X≥R
– Se reduce el costo de stockouts en cB Δ durante una fracción IP(X≥R) de todos los ciclos
una fracción IP(X≥R)
de todos los ciclos
– Con E[D]/Q ciclos por año
– El costo esperado por stockouts se reduce en
Cálculo de R*
• Si R crece en Δ
– IP(X≥R) decrece
– Por lo tanto, la reducción esperada en el costo anual por escasez es menor
– R* ocurre al igualar los beneficios marginales a los costos marginales
Cálculo de R*
• Si el problema no tiene solución
– El costo de mantener unidades en inventario es prohibitivo en relación al costo por órdenes
prohibitivo en relación al costo por órdenes pendientes. – El punto de reorden, debe ser lo más pequeño posible.
– Si R* es negativo, se debe tomar el punto de reorden más pequeño posible.
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Ejemplo
Ejemplo
Cada año, una tienda de computadores vende 1000 cajas para CD. La demanda anual por cajas de CD se distribuye normalmente con una desviación estándar de 40.8 cajas. La tienda posee un proveedor regional. Cada órden es entregada en 2 semanas. El costo de efectuar cada orden es US$50 el costo anual de mantener una caja en inventario es US$10
US$50, el costo anual de mantener una caja en inventario es US$10. Los parámetros de la distribución de X pueden ser obtenido s a partir de la distribución de la demanda anual y la longitud del Lead Time L=2 semanas
El costo unitario por escasez se asumen en US$20. Se admite mantener órdenes pendientes. Como cB = 20
Determine el punto de reorden, el tamaño de orden, y el nivel de seguridad del inventario la tienda. ¿Cuál es la probabilidad que ocurra un stockout durante el lead time?
Ejemplo
• A partir de una tabla normal estandarizada, se obtiene ф(1.65) = IP ( Z ≤ 1.65) = 0.9505
• Entonces IP(Z ≥ 1.65) = 1 – 0.9505 = 0.0495
•
• Luego, el nivel de seguridad:
Cálculo de R con pérdida de ventas
• Todos los stockouts involucran pérdida de ventas
• Existe un costo cLS asociado a la pérdida
• Se aproxima el tamaño óptimo de orden Q al Q* del EOQ clásico, y el punto de reorden, por análisis marginal es:
Ejemplo, con pérdida de ventas
Si cada caja de CD se vende a US$50
El costo de almacenaje es US$30
Costo asociado a stockouts de US$20
Se obtiene cLS como la suma de la pérdida de Se obtiene c
como la suma de la pérdida de
ganancia (50‐30) al costo por venta perdida (20)
• Entonces, cLS = 20 + 20 = 40
•
•
•
•
• Luego, Ejemplo, con pérdida de ventas
•
• Estandarizando se obtiene
• Con la tabla normal, se obtiene ф(1.98)=IP(z ≤ 1.98) = 0.9762, entonces IP(Z ≥ 1.98)= 1‐ 0.9762 = 0.0238
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EOQ con Demanda Incierta
• Es difícil determinar en forma exacta el costo asociado a la escasez de una unidad
• Enfoque del nivel de servicio para determinar el nivel de inventario de seguridad
i ld i
i d
id d
• Se definen dos niveles de servicio:
– Nivel de Servicio 1 (SLM1)
Fracción esperada de la demanda satisfecha a tiempo
– Nivel de Servicio 2 (SLM2)
Número esperado de ciclos por año en los que hay escasez
Ejemplo
• La demanda esperada durante el Lead Time es
• Si
Si el punto de reorden es 30 y la demanda durante el el punto de reorden es 30 y la demanda durante el
Lead Time, es de 20 ó 30 unidades, no habrá escasez.
• Cuando sea 40, 50 y 60 habrá escasez de 10, 20 y 30 unidades respectivamente.
Ejemplo
• Supuestos
–
–
–
–
Se admiten órdenes pendientes
La demanda anual promedio es 1000
Q*=100
Demanda durante el Lead Time aleatoria y descrita por
Probabilidad
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
Demanda Lead Time
20
30
40
50
60
– Punto de reorden es 30 unidades
– Determine el SLM1 y SLM2
Ejemplo
• Como Q* = 100 y toda la demanda debe ser satisfecha, se esperan E[D]/Q = 1000/100 = 10 órdenes anuales
• El número promedio de unidades pendientes es 12 x 10 = 120 unidades
• Se satisfacen 1000 – 120 = 880 unidades a tiempo
• SLM1 = 880/1000 = 0.88
• Obs: R es menos que la media de la demanda durante el Lead Time, pero el nivel de demanda satisfecha a tiempo es alta, debido a que los stockouts ocurren sólo durante el Lead Time, que es una pequeña porción de tiempo de cada ciclo.
Ejemplo
• Si el punto de reorden es 30, ocurrirá stockout en cualquier ciclo en el que la demanda durante el Lead Time exceda 30 unidades.
• Entonces IP(X=40) + IP(X=50) + IP(X=60) = 3/5
(
)
(
)
(
)
• Luego, con un promedio de 10 ciclos por año, el número esperado de ciclos con escasez en un año es 10 x 3/5 = 6.
• SLM2 = 6 stockouts por año
Calcular R a partir de SLM1
• Suponiendo Q* según EOQ
• E[D] la demanda anual esperada
• BR la variable aleatoria asociada al número de stockouts durante un ciclo
• SLM1 es el porcentaje de la demanda satisfecha a tiempo
• Con un valor Q y R dado, se tiene
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Calcular R a partir de SLM1
Calcular R a partir de SLM1
• Se asume que la demanda durante el Lead Time se distribuye normalmente con media E[X] y desviación estándar σX
• Se requiere estimar E[BR] para determinar el punto de reorden con un nivel de servicio deseado
• Debido a que puntos de reorden elevados conducen a pocas órdenes pendientes, se espera que NL(y) sea una función decreciente de y
• Se puede demostrar que para y ≤ 0, NL(y) = NL(‐y)‐y
• Asumiendo una demanda durante el Lead Time normal, se determina R que entrega un nivel deseado de SLM1 tomando
• Pérdida normal (escasez) : NL(y)
– Dado un punto de reorden E[X] + y σX
– σXNL(y) es el número esperado de unidades insatisfechas que ocurrirán durante el Lead Time
Calcular R a partir de SLM1
Ejemplo
• La definición de la función normal implica que durante el Lead Time un punto de reorden R entregará un número esperado de unidades insatisfecha E[BR] dado por:
Una tienda vende en promedio 1000 procesadores de alimento cada año. Efectuar cada orden por procesadores de alimento cuesta US$50. El lead time es un mes. Cuesta US$10 mantener un procesador de alimento un año en inventario. La demanda anual por procesadores de alimento se distribuye normalmente con una desviación estándar de 69.28. Obtenga el punto de p
y
reorden para un SLM
1 de 80% y 95%.
• Luego, como Considerando que E[D] = 1000, co = 50 y ch = 10, se tiene:
• Se obtiene
Ejemplo
Ejemplo
• Para obtener un SLM1 de 80% se debe cumplir:
• Si el SLM1 es 95 %, el punto de reorden R debe satisfacer:
• De acuerdo a la tabla de NL(y) , 1 excede cualquiera de los valores tabulados. Por lo tanto, (R‐83.33)/20 es negativo y por prueba y error se encuentra NL(‐0.9) = NL(0.9)+0.9 =1.004
• De la tabla se obtiene: NL(0.34) = 0.2518, entonces:
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Calcular R a partir de SLM2
• Se desea asegurar un promedio de s0 ciclos sin stockout
• Definidiendo R, una fracción IP(X>R) de todos los ciclos tendrán stockout
• Hay en promedio E[D]/Q ciclos por año
• IP(X>R) E[D]/Q tendrán stockout
IP(X R) E[D]/Q
dá
k
• Entonces, dado s0, el punto de reorden R es el menor valor que satisface Calcular R a partir de SLM2
• Entonces, el punto de reorden R para el SLM2 para una demanda durante el Lead Time continua • Entonces, el punto de reorden R para el SLM2 para una demanda durante el Lead Time discreta, es el menor valor que satisface
• X es variable aleatoria continua, entonces IP(X > R) = IP(X ≥R)
Ejemplo
• Continuando con el ejemplo anterior
• Se desea asegurar que los stockouts ocurran durante en promedio 2 Lead Time por año
• De la tabla normal estándar: IP(Z ≤ 0.84) = 0.7995 • IP(Z ≥ 0.84) = 1 – 0.7995 = 0.2005, entonces:
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