Tema 8 Cuerpos en el espacio

Tema 8
Cuerpos en el espacio
Poliedros
La primera distinción que debemos hacer es entre los poliedros, que son cuerpos
geométricos limitados por polígonos, y los cuerpos de revolución, donde una forma plana
girando en torno a un eje de revolución forma lo que se conoce como un cuerpo redondo.
Observemos ahora los llamados poliedros regulares (figura 8.1). De ellos tres tienen por
caras triángulos equiláteros: el Tetraedro con 4 caras, el Octaedro con 8 y el Icosaedro con 20
caras. Aún hay dos más: El Hexaedro o Cubo, que tiene 6 caras formadas por cuadrados y el
Dodecaedro, con 12 caras formadas por pentágonos regulares.
Figura 8.1
En general, los poliedros regulares tienen por caras polígonos regulares (sus lados son
iguales, sus ángulos interiores también) y sólo son cinco los que se pueden construir. Pero estos
poliedros tienen otros elementos característicos, al igual que otros poliedros no regulares.
Al cortarse dos planos se divide el espacio en cuatro regiones, cada una de las cuales se
llama ángulo diedro (figura 8.2). Sus caras son los semiplanos que los determinan y la recta
común a las dos caras se llama arista. ¿Cuántas aristas tienen los poliedros regulares? Se puede
comprobar que son:
Tetraedro …………… 6
Octaedro …………… 12
Icosaedro …………... 30
Cubo ……………….. 12
Dodecaedro ………… 30
Figura 8.2
1
Si en vez de dos son tres o más planos cortándose mediante rectas que concurren en un
punto, a la región del espacio comprendido entre esos planos se le llama ángulo poliedro y al
punto común vértice. En el tetraedro, por ejemplo, concurren tres planos en cada uno de los
vértices, en el octaedro son cuatro, sin embargo, y cinco en el dodecaedro. ¿Cuántos vértices
tienen estos poliedros regulares? Si formamos una tabla con el número de caras, aristas y
vértices encontraremos una curiosa relación:
Poliedro
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Cubo
Dodecaedro
Caras
4
8
20
6
12
Vértices
4
6
12
8
20
Aristas
6
12
30
12
30
Se puede observar que sumando el número de caras y vértices siempre excede en 2 al
número de aristas, relación conocida como teorema de Euler (figura 8.3), válida para cualquier
poliedro, no sólo los regulares: C + V = A + 2.
Figura 8.3
Usaremos ahora este teorema para demostrar que no pueden existir más de cinco
poliedros regulares. En efecto, sea C el número de caras y n el número de lados por cara (n ≥ 3
porque al menos las caras son triángulos). Sea V el número de vértices, A el número de aristas y
a el número de aristas concurrentes en un vértice (a ≥ 3).
Pues bien, se cumplirá n C = 2 A y a V = 2 A
ya que, en el primer caso, si
fuera un tetraedro, por ejemplo, tendríamos 4 caras pero cada cara dispondría de 3 lados, al
multiplicar ambos números estaríamos contando dos veces el número de aristas. Si esto es así,
A = nC/2
V = 2A / a = nC/a
Y ahora sustituimos en la relación de Euler:
C + nC/a = nC/2 + 2
Multiplicando por 2 a:
2aC + 2nC = anC + 4 a
Despejando C:
4a
C=
2 (a + n) −an
Si n = 3 (las caras son triángulos equiláteros):
- a = 3 C = 4 y tenemos el tetraedro.
- a = 4 C = 8 y es el octaedro.
2
- a = 5 C = 20 el icosaedro
Si n = 4 (las caras son cuadrados):
- a = 3 C = 6 El cubo
Si n = 5 (tomando por caras pentágonos):
- a = 3 C = 12 Dodecaedro
Si en este último caso, por ejemplo, a = 4 sería C = -8, que es imposible. Del mismo
modo, n = 6, es decir, considerando como caras hexágonos regulares, no da lugar a ningún
poliedro regular puesto que para a = 3, C = 12/0
Áreas laterales de los poliedros
Es un ejercicio habitual en Primaria construir estos poliedros regulares a partir de su
desarrollo plano (figura 8.4). Eso nos conduce a tratar de averiguar, a partir exclusivamente de la
longitud de sus aristas, cuál será el área de dicho poliedro.
Figura 8.4
En el caso más sencillo, el del tetraedro, basta multiplicar por 4 el área de una de sus
caras triangulares. Siendo a la arista y h la altura del triángulo, se cumplirá por aplicación del
teorema de Pitágoras, que h = a √3 / 2
de donde el área de una de las caras será:
A = a2 √3 / 4
de donde el área total es:
AT = a2 √3
En esta línea es sencillo deducir otras áreas laterales:
Octaedro
Icosaedro
Cubo
AT = 2 a2 √3
AT = 5 a2 √3
AT = 6 a2
La del dodecaedro resulta considerablemente más complicada y será por tanto no
considerada aquí.
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Prismas
Entre los poliedros, además de los regulares, destacan dos tipos: los prismas y las
pirámides. El prisma es un cuerpo geométrico que está limitado por dos bases paralelas
formadas por polígonos iguales teniendo por caras laterales paralelogramos. Si las bases son
triángulos el prisma se llama triangular, si son cuadrados, prisma cuadrangular y así
sucesivamente.
Los prismas más frecuentes son aquellos en que las bases son paralelogramos, al igual
que las caras laterales. En este caso nos encontramos con prismas cuadrados, rectangulares,
romboidales, etc. que se denominan paralelepípedos. Pues bien, una caja de zapatos, una torre
de base cuadrada o rectangular, son ejemplos de paralelepípedos frecuentes en nuestras vidas
pero hay casos en que las caras laterales de un prisma no son perpendiculares a las bases.
Estamos entonces, como sucede en las famosas torres KIO de Madrid, con prismas oblicuos
(figura 8.5).
Figura 8.5
En el caso de los prismas rectilíneos la altura de los mismos coincide con una de las
aristas laterales pero, si el prisma es oblicuo, la altura habrá de definirse como la longitud del
segmento perpendicular comprendido entre las dos bases.
Estos prismas también son susceptibles de ser construidos con no demasiada dificultad.
En el caso de un paralelepípedo de base cuadrada, su superficie estaría constituida por cuatro
rectángulos y dos bases cuadradas (figura 8.6).
Figura 8.6
Naturalmente, el área lateral se formaría con los cuatro rectángulos que actúan como
caras formando un rectángulo más general que tiene de largo el perímetro de la base cuadrada, y
de ancho la altura del paralelepípedo.
Área lateral = Perímetro base x Altura
de forma que el área total se obtendría sumando las dos bases cuadradas.
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Pirámides
Cuando las caras laterales no son paralelogramos sino triángulos con un vértice común
sólo existe, por tanto, una base poligonal. Estamos entonces ante el caso de una pirámide cuyos
ejemplos más conocidos son los monumentos egipcios de su Imperio Antiguo (figura 8.7), que
tienen base cuadrada.
Figura 8.7
El desarrollo de la superficie lateral de una pirámide de este tipo (figura 8.8) nos da las
claves para averiguar su área. Si el cuadrado de la base tiene de lado L y h es la altura de una de
las caras laterales, la superficie total se obtendrá sumando las cuatro caras laterales (superficie
lateral de la pirámide) al área de la base:
L⋅h
P⋅h
A = 4⋅
+ L2 =
+ L2
2
2
dado que 4L es igual al perímetro P de la base.
Figura 8.8
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Volúmenes
Como en el caso de las superficies planas, la medida de un volumen para un cuerpo en el
espacio parte de una unidad de medida, en este caso un cubo que puede repetirse tantas veces
como haga falta. Para un prisma recto de base rectangular, por ejemplo, los cubos que pueden
incluirse en su interior serán tantos como los marcados por la superficie B de la base por la
altura h que alcanza.
Volumen prisma = B x h
No es sencillo deducir que un prisma triangular se puede descomponer en tres pirámides
de la misma base e idéntica altura (figura 8.9) pero ello permite concluir que el volumen de una
pirámide será la tercera parte del volumen del prisma correspondiente:
Volumen pirámide = B x h / 3
Figura 8.9
Conviene hacer un repaso de las unidades principales. En general, la unidad fundamental
es el metro cúbico, el cubo que tiene un metro por arista. Otras bien conocidas son el decímetro
o el centímetro cúbico, cuyas equivalencias serían:
1 dm3 = 0,001 m3
1 cm = 0,001 dm3 = 0,000001 m3
3
Mientras el volumen se refiere al espacio ocupado por dicho cuerpo, la capacidad se
mide en litros y viene a referirse al volumen de líquido que contiene dicho cuerpo cuando está
lleno. Es necesario recordar la relación:
1 dm3 = 1 litro
de donde caben 1000 litros (10 Hl = 1 Kl) en un metro cúbico.
Por ejemplo, ante una noticia como ésta, ¿qué cantidades en litros corresponden?:
La reserva hidráulica española ha aumentado esta semana sólo en 119 hectómetros
cúbicos, lo que sitúa las reservas de agua en la Península en el 47,6 por ciento (25.370 hm3).
El aumento de 119 hm3 significa que se está tomando como unidad de medida un cubo
de 1 hm de arista, es decir, 100 metros. De ahí que el hectómetro cúbico equivalga a
1 hm3 = 1003 m3 = 1.000.000 m3 Es decir, un millón de m3. Como a su vez el metro cúbico
admite una capacidad de mil litros, 1 hm3 = 1.000.000.000 litros
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En otras palabras, la reserva hidráulica española ha aumenta en 119 mil millones de
litros.
Cilindro y cono
Si apoyamos un rectángulo por uno de sus lados sobre un eje de revolución y hacemos
girar el rectángulo, obtendremos un cilindro, un cuerpo caracterizado por tener una superficie
lateral curva y dos bases iguales que son círculos (figura 8.10).
Figura 8.10
Figura 8.11
En caso de que dicha base tenga de radio r y la altura del cilindro sea h, el desarrollo de
su superficie (figura 8.11) nos indica que el área vendrá dado por el de un rectángulo que
constituye la superficie lateral con un largo igual a la circunferencia de la base y ancho la altura
del cilindro. Por tanto, en total será:
A = 2 π r h + 2 π r2 = 2 π r (h + r)
El cono, en cambio, se forma con el espacio engendrado por un triángulo rectángulo
cuando gira apoyando uno de sus catetos sobre el eje de revoluciónLa base en este caso será de
nuevo un círculo pero el resto de la superficie curva convergerá en un punto, uno de los vértices
de ese triángulo rectángulo (figura 8.12).
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Figura 8.12
La superficie del cono en este caso es algo más complicado ya que, además de la base
circular, se obtiene un sector circular de radio igual a la hipotenusa del triángulo (también
llamada generatriz del cono) y de arco la longitud de la circunferencia de la base (figura 8.13).
De manera que si llamamos g a dicha hipotenusa, el área será:
Área sector = ½ arco x radio = ½ 2 π g . r = π r g
Área total = π r g + π r2 = π r (g + r)
Los volúmenes de estos cuerpos se calculan de un modo similar al del prisma y la
pirámide, es decir, en el caso del cilindro:
V = π r2 h
Y la tercera parte para el cono:
V = 1/3 π r2 h
Figura 8.13
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Problemas
1) ¿Cuántas aristas tiene un prisma exagonal? ¿Y un paralelepípedo?
2) Calcular el área lateral de un prisma pentagonal de 10 cm de altura y 8 cm de lado del
pentágono.
3) Calcular la altura de un prisma recto, sabiendo que el perímetro de la base es de 22,5 cm y
la superficie lateral mide 202,50 cm2
4) Hallar el área total de un prisma recto de altura 10 cm y de base un triángulo equilátero de
lado 5 cm.
5) Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la
piscina a razón de 6 euros el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? ¿Cuántos litros de
agua serán necesarios para llenarla?
6) Calcular la superficie total de un prisma recto de 20 cm de altura, cuya base es un
heptágono regular de 5 cm de lado y 6,23 cm de apotema.
7) ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una
piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
8) Hallar el número de caras que tiene un prisma recto, cuya arista lateral es de 12 cm, cada
lado de la base mide 4 cm y la superficie lateral es de 288 cm2
9) Si la suma de todas las aristas de un cubo es de 320 cm, calcular la superficie total del
cubo.
10) Deducir en un cubo la longitud de una diagonal del mismo en función de la arista a.
11) En un depósito de materiales hay un espacio de 8,4 m de largo por 4,5 m de ancho por
1,2 m de alto. En el se acomodaron ladrillos para la construcción de 28 cm por 15 cm por 4 cm.
Averiguar cuántos ladrillos se apilaron.
12) Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 litros de
capacidad.
13) Determinar la profundidad de una piscina de 6 m de longitud y 4 m de ancho, sabiendo
que para llenarla es preciso tener abierto, durante 12 horas, un grifo que arroja 50 dm3 de agua
por minuto.
14) Se tiene un paralelepípedo recto de base rectangular y área total 370 dm2. La superficie
de una cara es de 50 dm2. Midiendo 5 dm la arista perpendicular a dicha cara, hallar el valor de
las otras aristas.
15) ¿Cuánto mide el lado de la base de un prisma exagonal cuya área total es 46,392 m2 y la
altura es el triple del lado de la base?
16) Calcular la altura de un prisma recto cuya área lateral es 171 m2 y la base un pentágono
regular con 3,8 m de lado.
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17) Una caja de hojalata tiene 0,50 m de largo, 0,25 m de ancho y 0,20 m de profundidad.
¿Cuántos litros cabe?
18) Una caja de madera se ha forrado interiormente con una chapa que presenta una
superficie de 6,40 m2. La longitud de la caja es el doble de su anchura y las caras extremas son
cuadrados iguales. Hallar el volumen interior.
19) Un florero tiene la forma de un prisma exagonal con 30 cm de alto y 9 dm2 de área
lateral. Sus tres cuartas partes se llenan de agua. ¿Cuál es el volumen de dicha agua?
20) La arista de la base en una pirámide triangular mide 8 m y la arista lateral 5 m. Calcular
su área total.
21) Determinar el área total de una pirámide cuadrangular de lado de la base 5 cm y de
apotema 10 cm.
22) Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular de altura 8 dm y de arista básica 6
dm. ¿Cuántos litros contiene?
23) Una pirámide exagonal tiene de arista básica 3 cm y de arista lateral 5 cm. Hallar el área
lateral, el total y su volumen.
24) Se tiene un tubo de 4 cm de radio interior. Si se tapa por un extremo y se echa un litro de
agua ¿qué altura alcanzará?
25) En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A
qué altura llegará el agua cuando se derritan?
26) Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica
de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
27) La superficie lateral de un cilindro es igual a la superficie de su base y la altura del
mismo es de 10 cm. Calcular el volumen del cilindro.
28) La base de un cilindro es 3,08 m2 y la altura es triple del radio de la base. Calcular el
área lateral del cilindro.
29) ¿Qué volumen tiene una piedra que, echada en un vaso cilíndrico de 0,8 m de diámetro,
eleva 0,483 m el nivel del agua que había en él?
30) El diámetro de la base de un cono es el doble de la altura. ¿Cuál es el área lateral de ese
cono?
31) El contenido de un cono, cuya base tiene 20 cm de diámetro y 30 cm de altura, se vuelca
6 veces en un cilindro cuya base tiene el mismo radio que dicho cono. Calcular la altura del
cilindro.
32) Los diámetros de dos conos con igual altura miden 0,56 m y 1,12 m respectivamente.
¿En qué proporción están los volúmenes de esos conos?
33) Un triángulo equilátero de 4 cm de lado gira alrededor de un lado. Hallar el volumen
engendrado.
10
34) Hallar el volumen engendrado por un trapecio isósceles (figura 8.14) que gira sobre la
base mayor de 12 m. La otra base mide 7 m y el lado no paralelo 9 m.
Figura 8.14
Soluciones
1) El prisma 18, el paralelepípedo 12.
2) Perímetro de la base = 8 x 5 = 40 cm
Área lateral = 40 x 10 = 400 cm2
3) h = 9 cm
4) Área lateral = P x a = 15 x 10 = 150 cm
Área total = A lateral + 2B = 150 + 12,5 √ 3 cm2
Base = l2 √ 3 / 4 = 25 √ 3 / 4
5) A = 90 m2 lo que da un precio de 540 euros
V = 8 . 6 . 1,5 = 72 m3 = 72.000 litros
6) Área total = 1101,66 cm2
7) A = 156 m2
A loseta = 20 . 20 = 400 cm2 = 0,04 m2
El número de losetas será de 156 / 0,04 = 3900
8) Tiene 6 caras.
9) Área total = 5766 cm2
10) Si llamamos d a la diagonal de una cara y D a la del cubo (figura 9.11), aplicando Pitágoras
será
d = a√2
D=a√3
11) 27.000 ladrillos
12) 48 dm3 = 12 . h →
h = 4 dm
13) La altura es de 1,5 metros
14) Área total = 2ab + 2ac + 2bc = 370; A = bc = 50 ; a = 5
Operando: ab + ac + bc = 185 → 5b + 5c + 50 = 185 → b + c = 27
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Y considerando que bc = 50 se obtiene b = 2, c = 25 Las aristas son 2, 5 y 25 cm
15) Área de las dos bases = 3 √3 l2
Área lateral = 18 l2
2
2
Área total = 46,392 m de donde l = 2 y l = √2 m
Área lateral = 19 a = 171 m2
16) Perímetro de la base = 19 m
De donde la altura a = 9 m.
17) Volumen caja = 0,340 m2
Capacidad en litros = 340 litros
18) Si x es la anchura y 2x la longitud, el perímetro de la caja será 6x. Entonces el área lateral
será 6x2 y el área de la base 2x2, de donde el área total es 10 x2.
x = 0,8 m Volumen interior = 0,8 . 0,8 . 1,6 = 1,024 m2
10 x2 = 6,4
19) Perímetro de la base = 30 cm
Área de la base = 64,95 cm2
Lado de la base = 5 cm
Volumen agua = 1461,375 cm2
20) La apotema de esta pirámide es cateto de un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa 5
m siendo 4 m el otro cateto. De ahí que la apotema resulte de 3 m.
Área base = 27,712 m2
Área total = 63,712 m2
Área lateral = 36 m2
21) Área total = P . a / 2 + l2 = 20 . 10 / 2 + 52 = 125 cm2
22) V = 1/3 B h = 1/3 62 . 8 = 96 dm3 = 96 litros
23) Apotema = 4,77
Área lateral = P . a / 2 = 42,93 cm2
2
Área total = 66,33 cm siendo la base = 23,4 cm2
V = 1/3 B h = 31,2 cm3
siendo h = 4
24) 1 litro = 1 dm3 = 1000 cm3
1000 = π . 42 . h → h = 19,9 cm
25) V = 256 cm3 = π 62 h →
Como el Volumen = B h = π r2 h
h = 2,26 cm
26) A = 2 π 5 (20 + 5) = 785,398 cm2
que para 10 botes será 7.853,98 cm2
27) V = 12.560 cm3
28) Área lateral cilindro = 2 π r a
Como a = 3 r
A = 2 π r . 3 r = 18,48 m2
29) Volumen piedra = (0,8 / 2)2 . 3,14 . 0,483 = 0,242782 m3
30) Diámetro de la base es 2r y 2ª de donde r = a.
l2 = a2 + r2 = 2 r2 = 9
de donde r = 3 √2 / 2
Área lateral = 3,14 . 3 . 3 √2 / 2 = 19,993 m2
31) La altura será de 60 cm
32) Sea a la altura común. Los volúmenes serán: a/3 . π 0,562 / 4
De donde la razón será 0,562 / 1,122 = 1/4
33) Se forman dos conos iguales, por lo que V = 2 . 1/3 . B . h
La base tiene como radio la altura del triángulo: r = l √ 3 / 2
La altura del cono es h = l/2
V = 2 . 1/3 π r2 h = 16 π cm3
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y a/3 . π 1,122 / 4
La altura del cono es h = l/2
V = 2 . 1/3 π r2 h = 16 π cm3
34) Se forma un cilindro central más dos conos en los extremos. La altura de los conos será:
12 – 7 / 2 = 2,5 m y el radio
r = 9 2 2,5 2 = 8,65 de donde r2 = 74,75
V cono = 1/3 B h = 1/3 π r2 h = 62,29 π m3
V cilindro = B h’ = π r2 h’ = 523,25 π m3
V total = 523,25 π + 2 . 62,29 π = 647,83 π m3
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