Operadores lineales diagonalizables

Operadores lineales diagonalizables
Objetivos. Estudiar operadores lineales diagonalizables. Establecer criterios de operador
lineal diagonalizable.
Requisitos. Independencia lineal de subespacios propios asociados a diferentes valores
propios.
1. Definición (operador lineal diagonalizable). Sean V un espacio vectorial sobre
un campo F, dim(V ) < +∞, T ∈ L(V ). Se dice que T es diagonalizable si existe una base
U de V tal que la matriz TU es diagonal.
2. Observaciones antes de la definición de matriz diagonalizable. A cada matriz
cuadrada A ∈ Mn (F) asociamos el operador lineal TA ∈ L(Fn ) definida mediante la
siguiente regla:
TA x = Ax
∀x ∈ Fn .
Este operador TA tiene propiedad que (TA )E = A, donde E es la base canónica de Fn . Es
natural decir que A es diagonalizable si es diagonalizable el operador TA , esto es, si existe
una base U de Fn tal que la matriz (TA )U es diagonal. Notemos que
−1
−1
(TA )U = PE,U
(TA )E PE,U = PE,U
APE,U .
Se sabe que a cada matriz invertible P ∈ Mn (F) le corresponde una única base U de
Fn tal que P = PE,U . Tomando en cuenta estas observaciones, obtenemos la siguiente
definición.
3. Definición (matriz diagonalizable). Una matriz cuadrada A ∈ Mn (F) se llama
diagonalizable si existe una matriz invertible P ∈ Mn (F) tal que la matriz P −1 AP es
diagonal.
4. Definición (polinomio se factoriza en factores lineales). Sea f ∈ P(F). Vamos
a decir que f se factoriza en factores lineales sobre F si f se puede escribir en forma
f (x) = c(x − x1 )p1 · . . . · (x − xm )pm ,
donde c, x1 , . . . , xm ∈ F, p1 , . . . , pm ∈ {1, 2, . . .}.
5. Ejemplos.
1. f (x) = x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3) se factoriza en factores lineales sobre Q.
2. f (x) = x2 − 7 no se factoriza en factores lineales sobre Q, pero se factoriza en
factores lineales sobre R.
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3. f (x) = x2 +6 no se factoriza en factores lineales sobre R, pero se factoriza en factores
lineales sobre C.
6. Ejemplo. Este ejemplo sirve para comprender mejor la demostración del lema y del
teorema escritos en continuación. Sea V un espacio vectorial real de dimensión 5, sea
T ∈ L(V ) y sea U = (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) una base de V tal que
T u1 = 7u1 ,
T u2 = 7u2 ,
T u3 = 7u3 ,
T u4 = 6u4 ,
T u5 = −3u5 .
Escriba TU .
Calcule CT y sp(T ).
Para todo λ ∈ sp(T ) calcule r(λI5 − TB )) y dim(ker(λI − T )).
7. Proposición (criterio para que la matriz asociada a un operador lineal sea
diagonal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n < +∞, sea
T ∈ L(V ) un operador lineal y sea U = (u1 , . . . , un ) una base de V . Entonces las siguientes
condiciones son equivalentes:
(a) la matriz TU es diagonal;
(b) los elementos de U son vectores propios de T , o sea U consiste de vectores propios
de T .
Además, si se cumplen estas condiciones, entonces los elementos diagonales de TU son
valores propios de T .
Demostración. (a)⇒(b). Supóngase que
TU = diag(α1 , . . . , αn ).
Entonces por la definición de la matriz asociada TU se tiene que T uj = αj uj para todo
j. Además los vectores uj son no nulos como elementos de la base U. Por lo tanto, los
vectores uj son vectores propios de T .
(b)⇒(a). Supongamos que u1 , . . . , un son vectores propios de T y α1 , . . . , αn son valores
propios correspondientes (algunos de los escalares α1 , . . . , αn pueden coincidir entre si):
T uj = αj uj
(j ∈ {1, . . . , n}).
Entonces por la definición de la matriz asociada a un operador lineal tenemos
TU = diag(α1 , . . . , αn ).
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8. Teorema (criterio para que un operador lineal sea diagonalizable). Sean V un
espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) = n < +∞, T ∈ L(V ). Sean λ1 , . . . , λm todos
los valores propios distintos de T y ST,λk := ker(λk I − T ) los correspondientes subespacios
propios. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) T es diagonalizable.
(b) En V existe una base de vectores propios de T .
(c) dim(ST,λ1 ) + . . . + dim(ST,λm ) = n.
(d) El polinomio caracterı́stico de T se factoriza en factores lineales sobre F:
CT (λ) = (λ − λ1 )p1 · . . . · (λ − λm )pm ,
y las multiplicidades algebraicas coinciden con las multiplicidades geométricas:
∀j ∈ {1, . . . , m}
dim ker(λj I − T ) = pj .
Demostración. La equivalencia (a)⇔(b) sigue de la proposición antes del teorema.
(c)⇒(b). Encontramos algunas bases B1 , . . . , Bm de los subespacios ST,λ1 , . . . , ST,λm y
denotemos por U a la contenación de las listas B1 , . . . , Bm :
U := B1 ∨ . . . ∨ Bm .
Del teorema de la independencia lineal de subespacio propios asociados a diferentes valores
propios sigue que U es una base de W1 + . . . + Wm . Como
|U| =
m
X
k=1
|Bk | =
m
X
dim(ST,λk ) = n,
k=1
U es una base de V .
(d)⇒(c). Es grado del producto de polinomios es igual con el producto de los grados,
por eso
m
m
X
X
dim(ST,λk ) =
pk = deg(CT ) = n.
k=1
k=1
(a)⇒(d). Sea U una base tal que TU es diagonal:
TU = diag(α1 , . . . , αn ).
Denotemos por qj al número de las entradas diagonales de la matriz TU iguales a λj :
qj := i ∈ {1, . . . , n} : αi = λj .
Entonces q1 + . . . + qm = n y
CT (λ) = CTU (λ) = (λ − α1 ) · . . . · (λ − αn ) = (λ − λ1 )q1 · . . . · (λ − λm )qm .
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Además,
dim(ker(λj I − T )) = n − r(λj I − T )) = n − r(λj In − TU )
el número de las entradas diagonales no nulas
=n−
de la matriz λj In − TU
el número de las entradas diagonales nulas
=
de la matriz λj In − TU
el número de las entradas diagonales
=
= qj .
de la matriz TU iguales a λj
9. Corolario. Sean V un EV/F, dim(V ) = n < +∞, T ∈ L(V ). Supongamos que T
tiene n valores propios diferentes. Entonces T es diagonalizable.
10. Ejercicio. Sean V un EV/F de dimensión finita y T ∈ L(V ) un operador lineal diagonalizable. Demuestre que el polinomio mı́nimo de T posée una factorización en factores
lineales sobre F, y todas sus raı́ces son simples:
µT (λ) = (λ − λ1 ) · . . . · (λ − λm ).
Sugerencia. Sea B una base tal que TB es diagonal. Calcule
(TB − λ1 I) · . . . · (TB − λm I).
11. Tarea adicional. Sean V un espacio vectorial F de dimensión finita y T ∈ L(V ) un
operador lineal tal que µT se puede factorizar en factores lineales sobre F, y todas sus
raı́ces son simples. Demuestre que T es diagonalizable.
12. Ejemplo. Determine si la matriz dada A es diagonalizable o no. Si es diagonalizable,
encuentre una matriz P tal que P −1 AP sea una matriz diagonal.


4
3
4
3
3 .
A= 3
−4 −3 −4
13. Ejemplo.


0
2
2
A =  −1 −3 −2  .
1
2
1
14. Ejercicios.


−1 −4 −2
A =  −6 −3 −6  ,
4
4
5


−1 −1 −1
1
1 .
A= 1
2
2
1
15. Ejercicio (criterio para que una matriz sea escalar). Sea A ∈ Mn (F) y sea
λ ∈ F. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) A es diagonalizable y sp(A) = {λ}.
(b) A = λIn .
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