LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO

LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO
qq
Dado que : U  k 1 2 depende solamente de la distancia radial r entre el núcleo y el electrón,
r
algunos de los estados permitidos para este átomo pueden ser representados mediante
funciones de onda que solo dependen de r.
La mas simple de las funciones de onda para el hidrogeno es la que describe el estado 1s y se
conoce como 1s ( r ) :
 1s (r ) 
1
a03
e  r / a0
Donde a0 = radio de Bohr
Características:1s ( r )
i)
Satisface la ecuación schrodinger
ii)
Tiende a cero conforme r tiende a  y se normaliza
iii)
Dado que depende solo de r , es simétrico esféricamente, y la simetría existe
APRA todos los estados s
2
Densidad de Probabilidad :
 1 
 2r / a




e
1
s
3
 a 
 
 0

0
(*)
Densidad de probabilidad radial : p(r)
Ya que en la posición r = 0 suponemos que el núcleo esta fijo en el espacio, podemos asignarle
esta densidad de probabilidad a la cuestión de ubicar el electrón.
La probabilidad de encontrarlo en un elemento de volumen dV es de  dV
Definimos la función de densidad de probabilidad radial P ( r ) cono la probabilidad por
unidad de longitud radial de encontrar el electrón en una envolvente esférica de radio r y de
espesor dr.
2
Por tanto ,P(r) es la probabilidad de encontrar al electrón en esta envolvente.
El volumen dV de esta envolvente, infinitesimalmente delgada, es igual a su área superficial 4
 r2 , multiplicada por el espesor de la envolvente dr, por la cual la probabilidad será :
P(r )dr   dV    4r 2 dr
2
2
Por tanto, la función de densidad de probabilidad radial es :
P(r )  4r 2 
MORENO VEGA , JOSE LUIS
2
MATEMATICA , FISICA e INFORMATICA 2
LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO
Reemplazamos en (*) :
Grafico ;
 4r 2
P1s (r )   3
 a0
 4 r 2   2 r / a0
P1s (r )   3   e
 a0 
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
  e 2 r / a0

Grafico de puntos
Grafico xyz
GRAFICO 3D
Ejemplo 1: El estado base del hidrogeno
Calcule el valor mas probable de r para un electrón en su estado base del átomo de hidrogeno
Solución
MORENO VEGA , JOSE LUIS
MATEMATICA , FISICA e INFORMATICA 3
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Encontramos el valor más probable de r haciendo que : dP1s / dr  0
dP1s
d  4r 2


dr
dr  a03
 2 r / a0 
  e
0


r = a0
¡EL VALOR MAS PROBABLE DE r ES EL RADIO DE BOHR!
¿Qué pasaría si? ¿Qué pasaría si se le pidiera en vez del valor más probable, el valor
promedio de r para el electrón en su estado base?
Solución
El valor promedio de r es el mismo que el valor esperado de r

rav  r   rP(r )dr
0

Reemplazo :
0


0
 4r 2  2 r / a0 
r  3   e
 dr
a
 0 

 4 
rav   3   r 3 e 2 r / a0 dr
0
 a0 
Simplificando :
Aplicamos :

x n e ax dx 
n!
a n 1
 4   3 2 r / a0
 4 
3!  3
  a0
rav   3   r e
dr   3 
4 
0
 a0 
 a0  (2 / a0 )  2
rav 
3
a0
2
Ejemplo 2: probabilidades del electrón en el hidrogeno
Calcule la probabilidad de que electrón del hidrogeno en el estado base se encontrara fuera del
primer radio de Bohr
Solución

P   P1s dr
a0
4
a03


a0
r 2e 2 r / a0 dr
Resolviendo la integral :
P  5e 2
MORENO VEGA , JOSE LUIS
P = 0,677
P= 67,7 %
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FUNCION DE ONDA PARA EL HIDROGENO EN EL ESTADO 2S
Estado 2s ( n =2 , l = 0 , ml = 0 )
1
 2 s (r ) 
4 2
Grafico función probabilidad radial
 1
 
 a0 
3/ 2

r 
 2  .e r / 2 a0
a0 

Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = 1 )
=
MORENO VEGA , JOSE LUIS
2px
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Grafico función probabilidad radial
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = 0 )
=
2pz
Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
MORENO VEGA , JOSE LUIS
MATEMATICA , FISICA e INFORMATICA 6
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Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = -1 )
=
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
2py
Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO3D
Estado 3s ( n =3 , l = 0 , ml = 0 )
=
MORENO VEGA , JOSE LUIS
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Grafico función probabilidad radial
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = 1 )
=
3px
Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
MORENO VEGA , JOSE LUIS
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Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = 0 )
=
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
3pz
Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = -1 )
=
MORENO VEGA , JOSE LUIS
3py
MATEMATICA , FISICA e INFORMATICA 9
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Grafico función probabilidad radial
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 2 )
=
Grafico función probabilidad radial
MORENO VEGA , JOSE LUIS
3dx2- y2
Grafico de puntos
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GRAFICO 3D
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 1 )
=
3dyz
Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 0 )
=
MORENO VEGA , JOSE LUIS
3dz2
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Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO xyz 3D
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = -1 )
=
Grafico función probabilidad radial
MORENO VEGA , JOSE LUIS
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
GRAFICO 3D
3dyz
Grafico de puntos
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GRAFICO 3D
Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = -2 )
=
3dx2- y2
Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
Estado 4f ( n =4 , l = 3 , ml = 0 )
=
MORENO VEGA , JOSE LUIS
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FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Grafico función probabilidad radial
Grafico de puntos
GRAFICO 3D
SOLUCIONARIO
FISICA.
Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.688
Sección 20,5.
R.SERWAY – J. JEWETT
18.
 1s (r ) 
Dibuje la función de onda
probabilidad radial
 4r 2
P1s (r )   3
 a0
1
a03
e  r / a0

  e 2 r / a0

y la función de densidad de
para el hidrogeno. Establezca
los valores de r en el rango desde 0 hasta 1,5 a0 donde a0 es el radio de Bohr
Solución
 1s (r ) 
1
a03
e
 r / a0
MORENO VEGA , JOSE LUIS
 4r 2
P1s (r )   3
 a0

  e 2 r / a0

MATEMATICA , FISICA e INFORMATICA 14
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19.
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
La función de onda de estado base para el electrón en un átomo de hidrogeno es igual
a:
 (r ) 
1
a03
e  r / a0
Donde r es la coordenada radial del electrón y a0 es el radio de Bohr. (a) Demuestre
que la función de onda, como se ha dado, esta normalizada. (b) Determine la
probabilidad de localizar al electrón entre r1  a0 / 2
y r2  3a0 / 2
Solución

2
Parte (a) : Aplicando la condición de normalidad, que la suma debe ser uno: 

Según la probabilidad:
 dr  1
P  4r 2 2 dr
2


0


0
 1

r / a0 
2
4r
e
dr
 a 3

0


4r 2 2 r / a0
e
dr
a03


0
x n .e axdx 
n!
a n 1




4  2! 
=1
a 03   2  3 
  
  a 0  


MORENO VEGA , JOSE LUIS
MATEMATICA , FISICA e INFORMATICA 15
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FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Parte (b): Debemos hallar la Probabilidad :
4r 2
a03


3a0 / 2
a0 / 2
4r 2 2 r / a0
e
dr
a03
e 2 r / a0 dr
2r
Hacemos : 
m
a0
2dr

 dm
a0
reemplazo :

1
m 2 .e m dm

2
integramos por partes :  udv  uv   vdu
Sea u = m2
 dv   e

Luego :

m

y
du = 2mdm
v = em
dm

1 2 m
m .e   e m .2mdm
2


1 2 m
m .e  2m.e m   e m .2dm
2

Otra vez integramos por partes :  udv  uv   vdu
Sea u = 2m
 dv   e

1  4r
  2 e
2  a0
2
Pero : 
2r
m
a0
2 r
a0
Reemplazo los valores y obtengo :


Simplificando :
20.
 
1
9.e 3  6e 3  2e 3  e 1  2e 1  e 1
2
5e 2  17
2e 3
2
m
y
du = 2dm
v = em
dm

1 2 m
m .e  2m.e m  2e m
2
2r
.e
a0
2r

a0
 2e
2r

a0

3 a0
2


 a0
2

0,497
La función de onda para un electrón en el estado 2p del hidrogeno es igual a :
MORENO VEGA , JOSE LUIS
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 2p 
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
1
3 2a0 
3/ 2
r  r / 2 a0
e
a0
¿Cuál es la distancia más probable del núcleo para poder encontrar un electrón en el
estado 2p?
Solución
Valor de la probabilidad :
P(r )  4r 2 2 dr
1
r 2 r / a0
P(r )  4r .
. e
3(2a03 ) a02
2
Para hallar la distancia mas probable aplico :
 3  ar
 4r .e 0


4r 3 
21.
r

  4
1
   r .  .e a0
 
a0
 
dP
0
dr

0



r 
r 3  4    0
a0 

r4
0
a0
r=0 
r  4a0
Para un estado esféricamente simétrico de un átomo de hidrogeno, la ecuación de
Schrodinger en coordenadas esféricas es igual a :
 2  d 2 2 d



2m  dr 2 r dr
 kee 2
 
  E
r

Demuestre que la función de onda 1s para un electrón en el hidrogeno :
 (r ) 
1
a03
e r / a0
Satisface la ecuación de Schrodinger
Solución
Simplificaremos el lado izquierdo, para llegar a E.
 (r ) 
d

dr
1
a03
1
a03
e  r / a0
.
1 r / a0
.e
a0
MORENO VEGA , JOSE LUIS
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d 2

2
dr
1
a03
.
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
1
1
.  .e r / a0
a0
a0
Reemplazo
 2  1
1
1 r / a0 2 1
1 r / a0  ke e 2 1 r / a0

.  .  .e
 .
.  .e

.
e
3

2m  a03 a0 a0
r a03 a0
r
a0


 (r ) 
Factorizo :
1
a03
e  r / a0
2
2

   1 2 1  ke 



 2  . 
2
m
r
a
r
a


0 
 0


 2
2
ke2 




2
2
ma
mra
r
0
0


 2

 2ma0
 1 2  ke2 

  
a
r
r
 0


2
 a0
Pero : r 
mke2
2
 ke2
ma0
Factorizo :
 ke2  1 2  ke2 
Reemplazo : 
 r  r   r 
2


 ke2 ke2 ke2 




2
r
r
r


 ke2 


2
r


MORENO VEGA , JOSE LUIS
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E
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lq2d
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