METODO SIMPLEX

Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
METODO SIMPLEX
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
1
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Contenido
EL MÉTODO SIMPLEX ................................................................................................... 3
Procedimiento del Método Simplex para la Forma Matricial......................................... 3
Ejemplo: .......................................................................................................................... 5
Formato general de la tabla para el Método Simplex ..................................................... 9
Ejemplo: ...................................................................................................................... 9
Forma tabular del libro de Mokthar Bazara .................................................................. 11
Identificar B inversa en la tabla optima. ..................................................................... 11
MÉTODO DE LA “M”..................................................................................................... 13
Ejemplo: ........................................................................................................................ 14
MÉTODO DE LAS DOS FASES .................................................................................... 16
Ejemplo: ........................................................................................................................ 17
DEGENERACIÓN ........................................................................................................... 20
Ejemplo: ........................................................................................................................ 20
CICLAJE .......................................................................................................................... 21
Ejemplo: ........................................................................................................................ 22
METODO LEXICOGRAFICO ........................................................................................ 24
Ejemplo: ........................................................................................................................ 24
SOLUCIÓN ILIMITADA ................................................................................................ 26
Ejemplo: ........................................................................................................................ 26
SOLUCIÓN MÚLTIPLE ................................................................................................. 26
Ejemplo: ........................................................................................................................ 26
CONVERSIÓN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN A UN PROBLEMA DE
MAXIMIZACIÓN ............................................................................................................ 28
PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO .................................................................. 29
Ejemplo 1: ..................................................................................................................... 30
Ejemplo 2: ..................................................................................................................... 32
Ejemplo 3: ..................................................................................................................... 34
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
2
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX
EL MÉTODO SIMPLEX
Es un procedimiento general para encontrar la solución óptima a problemas de
Programación Lineal. Este método logra la solución óptima en un número finito de
pasos, la demostración de esto es lo que se pretende realizar.
Para el desarrollo de éste método son necesarias algunas definiciones:
Solución: Cualquier conjunto de variables x j que satisfacen las restricciones del
problema ( Ax = b ).
Solución factible: Cualquier solución que satisface la no-negatividad de las restricciones
( x j ³ 0 ).
Solución básica: En un sistema de m ecuaciones lineales con n variables Ax = b
( m < n ) cuyo rango R ( A) = m ; una solución es obtenida haciendo n - m variables
igual a cero y resolviendo para las m variables restantes, siempre y cuando el
determinante de los coeficientes de estas m variables no seas cero. Las m variables se
llaman variables básicas (la solución resultante a este sistema, se le llama solución
básica).
Solución básica factible: Es una solución básica en la cual todas las m variables básicas
son mayores o iguales que cero ( x j ³ 0 ).
Degeneración: Una solución básica Ax = b es degenerada si una o más variables
básicas son iguales a cero (más de n - m variables iguales a cero).
Procedimiento del Método Simplex para la Forma Matricial
Primero
Partiendo de un problema de Programación Lineal que se encuentra en la forma estándar,
se determinan las matrices
A, b, B, Cj, CB, y XB
Donde:
A es la matriz de coeficientes de las variables en las restricciones
b es el lado derecho de las restricciones (limitaciones )
B es la matriz que proporciona la Solución Inicial Básica Factible y esta formada por las
columnas de las variables básicas, es decir aquellas que están en solución.
Cj son los coeficientes de las variables en la función objetivo
CB son los coeficientes de las variables básicas en la Función Objetivo.
XB son los valores de las variables básicas que dan la solución al problema.
Segundo
Se obtiene B Inversa ( B-1 ). Ya sea por el Método de Cofactores o por el Método de
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
3
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Gauss-Jordan
Tercero
Se obtiene XB, donde
X B = B -1b
Z = CB X B
Cuarto
Determinar la variable que entra en la base de solución
Se obtienen los Zj-Cj para las variables No-básicas donde
Z j = C BY j y
-
Y j = B -1 a j
Las Yj de las variables básicas forman las columnas de la matriz identidad y las Zj-Cj de
las variables básicas son cero.
Las Yj son las columnas actualizadas a las transformaciones de renglón de la matriz A
para generar la columna de la matriz identidad que aporta la columna de la variable que
entra en solución.
Para un problema de Maximización
Entra la variable que tenga el más negativo Zj-Cj y se alcanza la solución óptima cuando
todos los valores sean positivos en el análisis de Zj-Cj
Para un problema de Minimización
Entra la variable que tenga el más positivo Zj-Cj y se alcanza la solución óptima cuando
todos los valores sean negativos en el análisis de Zj-Cj
Cj-Zj es el beneficio que se tendrá en Z por cada unidad de valor que tenga la variable que
entra en solución (Xr)
Quinto
Determinar la variable que sale de solución
Se analiza cada columna de las variables No-básicas junto con el valor de las variables
básicas XB.
Sale de solución aquella variable que tenga el
æX
ö
æX
ö
X
Minçç Bi , donde Yir > 0 ÷÷ = Minçç B1 , B 2 ,....., donde Yir > 0 ÷÷ ,
è Yir
ø
è Y1r Y2 r
ø
donde r corresponde a la columna de la variable que entra en la solución
Sexto
La columna de la variable que entra en solución deberá aportar la columna de la matriz
identidad.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
4
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
æX
En la matriz B la columna de la variable que tuvo el Minçç Bi
è Yir
solución y entra en su lugar la columna de la variable r.
ö
÷÷ abandona la base de
ø
Séptimo
Regresar al paso 2, hasta que se cumpla el criterio de optimización, considerado en el
paso 4.
Ejemplo:
Forma canónica
Max Z = 5 x1 + 3 x 2 , sujeto a :
3 x1 + 5 x 2 £ 15
5 x1 + 2 x 2 £ 10
x1 , x 2 ³ 0
Forma estándar
Max Z = 5 x1 + 3 x 2 , sujeto a :
3 x1 + 5 x 2 + x 3
5 x1 + 2 x 2
= 15
+ x 4 = 10
x1 , x 2 , x 3 x 4 ³ 0 y x 3 , x 4 son variables de holgura
é15ù
é3 5 1
b=ê ú
A=ê
Dado
ë10 û
ë5 2 0
columnas de la matriz identidad ( x 3 y x 4
C j = [5 3 0 0]
0ù
1úû que las columnas de a 3 y a 4 forman las
son variables básicas), hacemos que:
b1 = a 3 y b2 = a 4
é1 0 ù
B=ê ú
ë0 1 û
é1 0ù é15ù é15ù ¬ x 3 = x B1
x B = B -1 b = ê ú ê ú = ê ú
ë0 1û ë10û ë10û ¬ x 4 = x B 2
El valor de la función objetivo Z es:
é1 0ù
B -1 = ê ú
ë0 1 û
x1 = x 2 = 0
é15ù
Z = C B xB = [0 0]ê ú = 0
ë10û
Analizando la variable que entra en solución:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
5
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
é1 0ù é3ù é3ù ¬ y11
y1 = B -1 a1 = ê ú ê ú = ê ú
ë0 1û ë5û ë5û ¬ y 21
é1 0ù é5ù é5ù ¬ y12
y 2 = B -1 a 2 = ê ú ê ú = ê ú
ë0 1û ë2û ë2û ¬ y 22
é3ù
z1 = C B y1 = [0 0]ê ú = 0
ë5û
é5 ù
z 2 = C B y 2 = [0 0]ê ú = 0
ë 2û
z 2 - c 2 = 0 - 3 = -3
se toma el z j - c j más negativo. Así, la variable entrante será x1 .
zj - cj < 0
z1 - c1 = 0 - 5 = -5
Analizando la variable que sale de solución:
ìx
ü
x Br
= Min ïí Bi , yrj > 0ïý = Min
ïî yrj
ïþ
y rj
ìï xB1 xB 2
üï
x
ì15 10 ü ì10 ü
, yrj > 0 ý = Min í , ý = í ý ¬ 4
í ,
y 21
ïî y1 j y2 j
ïþ
î3 5þ î5þ
Será el valor de la variable entrante en la solución en la tabla siguiente, por lo que x 4
sale de solución.
(Donde r es la fila en cuestión y j corresponde a la variable que entra en solución.)
y el próximo valor Z ( Z mejorada) será:
x
10
Zˆ = Z + 4 (c1 - z1 ) = 0 + (5 - 0) = 10
y 21
5
el c j - z j es una razón de cambio, por cada unidad que tenga la variable entrante a la
solución, la función objetivo se verá mejorada en c j - z j unidades.
ahora
si b1 = a 3 y b2 = a1 tenemos:
é1 3ù
B=ê
ú
ë 0 5û
é1
B -1 = ê
ë0
- 3 5ù é15ù é9ù ¬ x 3 = x B1
=
1 5 úû êë10úû êë2úû ¬ x1 = x B 2
El valor de la función objetivo Z es:
é1
x B = B -1 b = ê
ë0
- 3 5ù
1 5 úû
x2 = x4 = 0
é9 ù
Z = C B xB = (0 5)ê ú = 10
ë 2û
Analizando la variable que entra en solución:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
6
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
é1
y 2 = B -1 a 2 = ê
ë0
- 3 5ù é5ù é19 5ù ¬ y12
=
1 5 úû êë2úû êë 2 5 úû ¬ y 22
é1
y 4 = B -1 a 4 = ê
ë0
- 3 5ù é0ù é- 3 5ù ¬ y14
=
1 5 úû êë1úû êë 1 5 úû ¬ y 24
é19 5ù
é - 3 5ù
,
[
]
z 2 = c B y 2 = [0 5]ê
=
2
z
=
c
y
=
0
5
4
B 4
ú
ê 1 5 ú =1
ë2 5û
ë
û
z 2 - c 2 = 2 - 3 = -1,
z4 - c4 = 1 - 0 = 1
se toma nuevamente aquella variable que tenga el z j - c j más negativo,
correspondiendo a x 2 salir de solución.
Se analiza ahora la variable que abandonará la solución;
x Br
x3
ì 9
ü ì 9 ü
2
= Min í
,
, y ij > 0ý = í
ý¬
y rj
y12
î19 5 2 5
þ î19 5 þ
por lo que x 3 sale de solución.
y el próximo valor de Z ( Z mejorada) será:
x
235
Zˆ = Z + 2 (c2 - z2 ) = 10 + 45 19 (3 - 2) =
y12
19
Nuevamente continuando con este proceso iterativo, ahora haciendo b1 = a 2 y b2 = a1 ,
tenemos:
é5 3ù
B=ê
ú
ë2 5û
é 5 19
x B = B -1 b = ê
ë - 2 19
y
é 5 19
B -1 = ê
ë- 2 19
- 3 19ù
5 19 úû
- 3 19 ù é15 ù é 45 19 ù ¬ x 2 = x B1
=
,
5 19 úû êë10 úû êë 20 19 úû ¬ x1 = x B 2
x3 = x 4 = 0
Ahora el valor de la función objetivo es:
æ 45 / 19 ö
÷÷ = 235 / 19
Z = CB xB = (3 5) çç
è 29 / 19 ø
Analizando la variable que entra en solución:
é 5 19
y 3 = B -1 a 3 = ê
ë- 2 19
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
- 3 19ù é1ù é 5 19 ù ¬ y13
=
5 19 úû êë0úû êë- 2 19úû ¬ y 23
7
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
é 5 19
y 4 = B -1 a 4 = ê
ë- 2 19
- 3 19ù é0ù é- 3 19ù ¬ y14
=
5 19 úû êë1úû êë 5 19 úû ¬ y 24
é 5 19 ù
z3 = CB y3 = [3 5] ê
ú = 15 19 - 10 19 = 5 19
ë- 2 19û
é- 3 19ù
z4 = C B y4 = [3 5] ê
ú = - 9 19 + 25 19 = 16 19
ë 5 19 û
z 3 - c 3 = 5 19 - 0 = 5 19
z 4 - c 4 = 16 19 - 0 = 16 19
encontramos que como todos los valores de z j - c j son mayores que cero, entonces
ninguna otra variable entrará en solución ya que ésta es óptima.
Así la solución óptima será:
é45 19ù
Z = C B x B = [3 5]ê
ú = 235 19
20
19
ë
û
é45 19ù
por lo que x 2 y x1 son variables básicas x B = ê
ú , ya que con estos valores la
20
19
ë
û
función objetivo es óptima ( Z
*
=
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
235
).
19
8
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Formato general de la tabla para el Método Simplex
cj
CB
XB
b
c1
x1
c2
x2
c3
x3
|
|
|
a1
a2
a3
|
|
|
L
L
cn
xn
x Br y rj
|
L
an
|
Z*
zj
zj - cj
X B = Vector que representa la Solución Básica Factible.
C B = Vector formado por los componentes de C correspondientes a la Solución Básica
Factible.
c j = Vector de costos (coeficientes de las x j en la Función Objetivo).
z j = CB X B
z j - c j = CB X B - c j
y rj = Componente del vector que va a formar parte de la nueva Solución Básica
Factible.
b = Valor de las variables básicas (en solución).
Z * = Valor actual de la Función Objetivo.
Ejemplo:
Resolviendo el ejemplo anterior por la forma tabular, tenemos;
Max 5 x1 + 3x 2 , sujeto a :
3 x1
5 x1
+
+
5x 2
2x2
£ 15
£ 10
x1 , x 2 ³ 0
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
9
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Tabla 1 (Tabla Inicial)
cj
CB
XB
b
5
x1
3
x2
0
x3
0
x4
b y rj
0
0
x3
x4
15
10
Z*
0
3
5
5
2
0
0
-5 -3
1
0
0
0
0
1
0
0
15 3
10 5
zj
zj -cj
¬ Sale x4 de solución
- Entra x1 en solución
Tabla 2
cj
5
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
b y rj
0
x3
9
0
19 5
1
-3 5
45 19
5
x1
2
1
25
0
15
15
*
5
2
0
1
zj
10
0
-1
0
1
zj -cj
Z
¬ Sale x3 de solución
- Entra x2 en solución
Tabla 3 (Tabla Final)
cj
5
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
45 19
0
1
5 19
- 3 19
5
x1
20 19
1
0
- 2 19
5 19
0
0
5 19
16 19
zj
0
0
5 19
16 19
z j - cj
Z
*
235 19
b yrj
como todos los z j - c j son ³ 0 la solución es óptima.
x 3 = 0 , x 2 = 45 19 , x1 = 20 19 y Z * = 235 19
En resumen, se observa que:
1. En la fila zj-cj las posiciones que corresponden a las variables básicas tienen valor
cero
2. Las columnas de las variables básicas forman la matriz identidad
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
10
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Forma tabular del libro de Mokthar Bazara
Z
x1
x2
x3
x4
x 5 (L.D.)
zj - cj
1
-5
-3
0
0
0
x3
x4
0
3
5
1
0
15
0
5
2
0
1
10
¬ Fila de z j - c j
Interpretación de la tabla del simplex
Z
XB
Z
1
0
XB
0
1
Xn
C B B -1 N - C N
B -1 N
b
C B B -1 b
B -1 b
Min Z sujeto a :
Z - CB X B - CN X N = 0
BX B + NX N = b
XB, XN ³ 0
desde :
Z = C B B -1 b
y
X B + B -1 NX N = B -1 b
Identificar B inversa en la tabla optima.
-1
En la tabla final (óptima) para calcular las columnas que forman la B ( B inversa) estas
corresponderán a las columnas de las variables que en la tabla inicial aportarán las
columnas para formar la matriz identidad.
En el caso del problema usado como ejemplo
x2
x1
æ 5 3ö
÷÷
B = çç
è 2 5ø
x3
æ 5 19
B -1 = çç
è - 2 19
x4
- 3 19 ö
÷
5 19 ÷ø
Otro ejemplo en el que se tengan en solución las siguientes variables, obtenemos su
inversa.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
11
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Proceso de Solución de un Problema de
Programación Lineal por el Método Simplex
Inicio
Leer el Problema
Determinar si es un problema de Maximización o de Minimización
Añadir las Variables de Holgura y/o Artificiales para presentar el problema en la Forma
Estándar
Escribir la Función Objetivo correspondiente
Crear la tabla del Simplex correspondiente
Problema de:
Maximización; ¿Son todos los valores de ZjCj ³ 0 ?
Minimización; ¿Son todos los valores de ZjCj £ 0 ?
Si
Solución Optima
Maximización:
Cuando todos los
valores de Zj-Cj ³ 0.
Minimización:
Cuando Todos los
valores de Zj-Cj £ 0.
Obtener de la tabla los
valores de las variables
y
de la función
objetivo Z.
No
Determinar la variable que entra en solución:
Para un problema de :
Maximización; Entra la variable que en la fila de
Zj-Cj tenga el valor mas negativo.
Minimización; Entra la variable que en la fila de
Zj-Cj tenga el valor mas positivo.
Determinar la variable que sale de solución:
Divida cada elemento del renglón de b entre el
elemento correspondiente (mayor que cero) del
renglón de la variable que entra en solución; y
abandonara la solución aquella variable en XB que
corresponda al cociente menor.
Establezca como elemento pivote aquél que se
encuentre en el cruce del renglón de la variable
entrante y la columna de la variable saliente.
Genere en esta posición la unidad y ceros en los
elementos restantes de la columna de la variable
entrante ( en este proceso de Gauss-Jordan se
actualiza la tabla).
Continuar el proceso
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
12
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
MÉTODO DE LA “M”
Este método es utilizado cuando existe la necesidad de introducir variables artificiales (xa
´s) con el objeto de generar una solución básica factible.
Aplicando el Método Simplex para su solución, la función objetivo Z se ve alterada, ya
que la contribución de las variables artificiales (coeficientes de las variables artificiales)
es:
- M para un problema de maximización.
+ M para un problema de minimización.
Donde M es un valor muy grande (mucho mayor que cualquier coeficiente de las
variables en la función objetivo) por ejemplo: M >>> 0.
Como las variables artificiales no tienen ningún significado en el problema. Son definidas
como un artificio (ya que es una conveniencia matemática para lograr la matriz identidad
y así una solución inicial básica factible), y por lo cual ninguna variable artificial deberá
formar parte de una solución básica factible. Para eliminar las variables artificiales de la
solución, se les asigna en la función objetivo original coeficientes, tales que haga su
presencia no atractiva en la base.
Para ilustrar esto, suponga que deseamos resolver el siguiente problema de Programación
Lineal, donde b ³ 0.
Maximice CX
Sujeto a:
Ax = b
x ³ 0.
Si una conveniente base no es conocida, se introduce un vector artificial xa, lo que
conduce al siguiente sistema:
Ax + Xa = b
x, Xa ³ 0
La solución inicial básica factible está dada por xa = b y x = 0. Para mostrar que se desea
tener un vector artificial mayor que cero, la función objetivo es modificada de la forma
que una penalización alta es pagada para cualquier solución.
Minimice CX + MXa.
Sujeto a:
Ax + Xa = b
x, Xa
³0
El método simplex por sí mismo, trata de eliminar las variables artificiales de la base, y
entonces continua tratando de encontrar la solución optima a el problema original.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
13
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Ejemplo:
Minimizar
Sujeto a:
Z = x1 - 2x2
x1 + x2 ³ 2
-x1 + x2 ³ 1
x2 £ 3
x1 y x 2 ³ 0
transformando a la forma estándar tenemos :
Minimizar Z = x1 - 2x2 - 0x3 - 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7
Sujeto a:
x1 + x2 - x3
+x6
-x1 + x2
-x4
x2
+x5
=2
+x7
=1
=3
donde :
Xh son variables de holgura.
Xa Son variables artificiales.
M es un número positivo muy grande.
Tabla 1
Cj
CB
M
M
0
XB
X6
X7
X5
b
2
1
3
Z=
3M
1
X1
1
-1
0
0
-1
-2
X2
1
1
1
2M
2+2M
0
X3
-1
0
0
-M
-M
0
X4
0
-1
0
-M
-M
0
X5
0
0
1
0
0
M
X6
1
0
0
M
0
M
X7
0
1
0
M
0
0
X4
1
-1
1
M+2
M+2
0
X5
0
0
1
0
0
M
X6
1
0
0
M
0
M
X7
-1
1
-1
-2-M
-2-2M
Sale X7 de
solución
Entra X2 en solución
Tabla 2
Cj
CB
M
-2
0
XB
X6
X2
X5
b
1
1
2
Z=
-2+M
1
X1
2
-1
1
2M+2
1+2M
-2
X2
0
1
0
-2
0
0
X3
-1
0
0
-M
-M
Entra X1 en solución
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
14
Sale X6 de
solución
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Tabla 3
Cj
CB
1
-2
0
XB
X1
X2
X5
b
1/2
3/2
3/2
Z=
-5/2
1
X1
1
0
0
1
0
-2
X2
0
1
0
-2
0
0
X3
-1/2
-1/2
1/2
1/2
1/2
0
X4
1/2
-1/2
1/2
5/2
5/2
0
X5
0
0
1
0
0
M
M
X6
X7
1/2
-1/2
1/2
1/2
-1/2
3/2
-1/2
-3/2
-1/2-M -3/2-M
0
X4
1
0
0
0
0
0
X5
0
0
1
0
0
M
X6
1
1
-1
-2
-2-M
M
X7
-1
0
0
0
-M
0
X4
1
0
0
0
0
0
X5
1
1
1
-2
-2
M
X6
0
0
-1
0
-M
M
X7
-1
0
0
0
-M
Sale X1 de
solución
Entra X4 en solución
Tabla 4
Cj
CB
0
-2
0
XB
X4
X2
X5
Z=
b
1
2
1
-4
1
X1
2
1
-1
-2
-3
-2
X2
2
1
-1
-2
0
0
X3
-1
-1
1
2
2
Entra X3 en solución
Tabla 5
Cj
CB
0
-2
0
XB
X4
X2
X3
b
2
3
1
Z=
-6
1
X1
1
0
-1
0
-1
-2
X2
0
1
0
-2
0
0
X3
0
0
1
0
0
Como todos los zj-cj son £ 0 para todas las variables no-básicas. Esta tabla nos indica que
esta solución es óptima.
Teniendo el resultado siguiente x4 = 2, x2 = 3, x3 = 1 y las variables restantes son iguales
a cero. Con un valor optimo de la función objetivo Z de -6.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
15
Sale X5 de
solución
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
MÉTODO DE LAS DOS FASES
El problema del ejemplo anterior fue manejado en la forma regular después de que las
variables artificiales habían sido añadidas. Existe una complicación en el método de la M,
en el cual se debe asignar un valor M sin especificar exactamente qué valor es. Si un
valor numérico específico fuera asignado a la M, este deberá ser mucho mayor que
cualquier otro número que aparece en la función objetivo y probablemente no satisfaga
todas las condiciones. Su propósito sería el de proveer una penalización para eliminar las
variables artificiales de la base, ya que ellas realmente no pueden formar parte de la
solución en un problema de la vida real. Un enfoque para evitar estas dificultades está
incorporado o considerado en el método de dos fases.
La primera fase consiste en convertir todas las variables artificiales en cero, para obtener
una solución básica factible para las variables reales del problema.
La segunda fase consiste en optimizar la función objetivo actual Z, iniciando de una
solución básica factible que puede o no contener variables artificiales a nivel cero.
FASE I
Se inicia con una solución básica factible formada con algunas variables artificiales y con
la finalidad de eliminar las variables artificiales.
Se asigna a cada coeficiente de la variable artificial en la función objetivo un valor de la
unidad (positiva o negativa, dependiendo de si es un problema de Minimización o de
Maximización respectivamente) en lugar del valor M. A todas las variables restantes se
les asigna un coeficiente cero (sin importar los coeficientes actuales del problema).
Entonces en lugar de considerar la función objetivo actual.
Se optimiza la función:
Z = å is =1(± 1) XAi = (±XA1 ±XA2 ± XA3......±XAs)
donde XA son las s variables artificiales (XA ³ 0)
La fase I termina después de haber aplicado el Método Simplex, cuando:
1).- Z* = 0
Una o más variables están en la base a un nivel positivo.
El problema original tiene una solución no factible.
2).- Z* = 0
Ninguna variable artificial está en la base. Se ha encontrado
una solución básica factible al problema original.
3).- Z* ¹ 0
Una o más variables artificiales están en la base a un nivel cero
(es decir que la b correspondiente a la variable artificial es igual a cero).
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
16
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Se ha encontrado una solución factible al problema original. Debido a que algunas
variables artificiales están en la base a un nivel cero, posiblemente haya redundancia en
las ecuaciones restrictivas.
La fase I termina cuando los elementos zj - cj son ³ 0 para un problema de Maximización
y £ para un problema de Minimización.
ANTES DE INICIAR LA FASE II
a) Elimine todas las columnas correspondientes a las variables artificiales no básicas.
b) Cheque redundancia (ecuaciones redundantes) en el problema original. El sistema de
ecuaciones original es Ax = b. Si una restricción (ecuación) puede ser obtenida como
una combinación lineal de las otras, la restricción es redundante. Para localizar la
existencia de ecuaciones redundantes observe en la tabla final de la fase I (después de
haber eliminado las columnas correspondientes a las variables artificiales no básicas)
si existe alguna fila cuyos elementos sean todos cero a excepción de un elemento 1
que corresponda a la columna de una variable artificial básica, entonces esto indicará
que la fila es redundante, por lo tanto elimine la fila y la columna.
c) Elimine las variables artificiales en la base, en la tabla final de la fase I, estas variables
estarán representadas por columnas que tienen elementos cero a excepción de un uno
en la fila donde b=0. Seleccione uno de los elementos diferentes de cero en esta fila
(debe de existir alguno, de otra forma esta fila se hubiera eliminado en el paso b). Este
elemento elíjalo como pivote, transformando su columna correspondiente a tener el
elemento 1 en el pivote, y cero en el resto de la columna (es decir, se genera en esa
columna el vector necesario para eliminar la variable artificial de la solución.)
FASE II
La primera tabla de la fase II, es la última tabla de la fase I, sufriendo los siguientes
cambios; se reemplazan los coeficientes de la función objetivo por los coeficientes
originales de las variables reales y después se calculan las filas zj y zj-cj. Una vez que se
han realizado estos cambios, se aplica el Método Simplex nuevamente para optimizar la
función objetivo Z.
Ejemplo:
Minimizar Z = -X1
Sujeto a:
X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 = 2
2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 = 3
3X1
- 2X3 - X4
+X6 = 5
X1, X2, X3, X4, X5, X6 ³ 0
Expresándolo en la forma estándar, tenemos:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
17
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Minimizar Z = -X1
Sujeto a:
X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 +X7
=2
2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6
+ X8
=3
3X1
- 2X3 - X4
+X6
+ X9 = 5
X´s ³ 0, para toda X.
Donde X7, X8 Y X9 son variables artificiales.
FASE I
Tabla 1
Cj
CB
1
1
1
XB
X7
X8
X9
b
2
3
5
Z=
0
X1
1
2
3
6
6
0
X2
1
-1
0
0
0
0
X3
-1
-1
-2
-4
-4
0
X4
1
-2
-1
-2
-2
0
X5
-1
1
0
0
0
0
X6
2
-1
1
2
2
1
X7
1
0
0
1
0
1
X8
0
1
0
1
0
1
X9
0
0
1
1
0
0
X5
-1.5
.5
-1.5
-3
-3
0
X6
2.5
-.5
2.5
5
5
1
X7
1
0
0
1
0
1
X8
-.5
.5
-1.5
-2
-3
1
X9
0
0
1
1
0
Zj
Zj-Cj
1
X7
.4
.2
-1
-1
-2
1
X8
-.2
.4
-1
-1
-2
1
X9
0
0
1
1
0
Zj
Zj-Cj
Sale X8 de
solución
Zj
Zj-Cj
Entra X1 en solución
Tabla 2
Cj
CB
1
0
1
XB
X7
X1
X9
b
.5
1.5
.5
Z=
0
X1
0
1
0
0
0
0
X2
1.5
-.5
1.5
3
3
0
X3
-.5
-.5
-.5
-1
-1
0
X4
2
-1
2
4
4
Sale X7 de
solución
Entra X6 en solución
Tabla 3
Cj
CB
0
0
1
XB
X6
X1
X9
Z=
b
.2
1.6
0
0
1
X1
0
1
0
0
0
-2
X2
.6
-.2
0
0
0
0
X3
-.2
-.6
0
0
0
0
X4
.8
-.6
0
0
0
0
X5
-.6
.2
0
0
0
0
X6
1
0
0
0
0
Como todos los elementos en Zj-Cj son £ 0, la fase I esta terminada. El valor mínimo de
la fase I es cero y por esto el problema es factible. Una solución factible para el problema
original es (1.6, 0, 0, 0, 0, .2). Para establecer la tabla de la fase II; elimine las columnas 7
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
18
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
y 8, asigne los coeficientes originales en la función objetivo y calcule las entradas de la
fila Zj-Cj (en la variable artificial cero).
Cj
CB
0
-1
0
XB
X6
X1
X9
b
.2
1.6
0
Z=
0
-1
X1
0
1
0
-1
0
0
X2
.6
-.2
0
.2
.2
0
X3
-.2
-.6
0
.6
.6
0
X4
.8
-.6
0
.6
.6
0
X5
-.6
.2
0
-.2
-.2
0
X6
1
0
0
0
0
0
X9
0
0
1
0
0
Zj
Zj-Cj
Como todos los elementos en la tercera fila son cero, excepto por un 1 que representa la
variable artificial X9, la fila es eliminada por ser redundante. Cheque en el problema
original y encontrará que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras ecuaciones.
Se elimina la fila 3 y la columna 7 (X9).
Cj
CB
0
-1
XB
X6
X1
Z=
b
.2
1.6
0
-1
X1
0
1
-1
0
0
X2
.6
-.2
.2
.2
0
X3
-.2
-.6
.6
.6
0
X4
.8
-.6
.6
.6
0
X5
-.6
.2
-.2
-.2
0
X6
1
0
0
0
Sale X6 de
solución
Zj
Zj-Cj
Entra X4 en solución
Fin FASE I, principio de la FASE II
FASE II
Cj
CB
0
-1
XB
X4
X1
b
.25
1.75
Z=
1.75
-1
X1
0
1
-1
0
0
X2
.75
-.25
-.25
-.25
0
X3
-.25
-.75
.75
.75
0
X4
1
0
0
0
0
X5
-.75
.25
.25
.25
0
X6
1.25
-.75
-.75
-.75
Zj
Zj-Cj
Entra X3 en solución
La columna muestra que el problema es ilimitado (los elementos en la columna
correspondiente a la variable entrante son £ 0, yrj £ 0), por tanto la solución es ilimitada
(Z = -a ).
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
19
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
DEGENERACIÓN
Una solución básica a Ax = b es degenerada si una o más de las variables básicas son
cero ( si alguna XB = 0).
Una solución básica factible representa a b como una combinación lineal de m columnas
de A. Cualquier base que incluya alguna columna de A que sea dependiente de la
columna de b determinará una solución degenerada.
Para saber en la tabla si existe degeneración, es suficiente con observar en la columna de
b y saber si existe uno o más elementos iguales a cero.
Cuando la degeneración se presenta, el proceso de selección de la variable saliente, en la
mínima razón XBr/Yrk puede no ser única.
Vector saliente de la base:
xBr
yrk
ìx
= min i í Bi
î yik
i
ü
, yik < 0 ý
þ
Vector que entra en la base:
Zk - Ck = Min (Zj - Cj ) , para un problema de Maximización.
Se ha visto que cualquiera de las variables correspondientes al mínimo puede ser
removida, y la nueva solución básica será factible (y degenerada).
Ejemplo:
Maximizar Z = X2
Sujeto a :
X1 + X2 ³ 1
1/3X1 + X2 £ 1
X1, X2 ³ 0
Forma estándar
Maximizar Z = X2 - MX5
sujeto a :
X1 + X2 -X3
+X5
1/3X1 + X2 +X4
=1
=1
donde X3 Y X4 son
variables de holgura y X5
es una variable artificial.
Forma tabular:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
20
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Tabla 1
Cj
CB
-M
0
XB
X5
X4
b
1
1
Z=
-M
0
X1
1
1/3
-M
M
1
X2
1
1
-M
M+1
0
X3
-1
0
M
-M
0
X4
0
1
0
0
-M
X5
1
0
-M
0
Sale X5 de
solución
Zj
Cj-Zj
Entra X2 en solución
Tabla 2
Cj
CB
1
0
XB
X2
X4
b
1
0
Z=
1
0
X1
1
-2/3
1
-1
1
X2
1
0
1
0
0
X3
-1
1
-1
1
0
X4
0
1
0
0
-M
X5
1
-1
1
-1-M
Zj
Cj-Zj
-M
X5
0
-1
0
-M
Zj
Cj-Zj
Sale X4 de
solución
Entra X3 en solución
Tabla 3
Cj
CB
1
0
XB
X5
X4
b
1
0
Z=
1
0
X1
1/3
-2/3
1/3
-1/3
1
X2
1
0
1
0
0
X3
0
1
0
0
0
X4
1
1
1
-1
La solución óptima es degenerada, ya que en XB hay una variable a nivel cero.
Teniéndose que x2 = 1, x3 = 0 y Z* = 1.
CICLAJE
Cuando la degeneración se presenta, la función objetivo puede no cambiar cuando hay un
cambio de una solución básica factible a otra. Entonces no se puede estar seguro que una
base no se repita. En efecto, se puede caer en la situación en la cual se ciclaje el
problema, repitiéndose las mismas secuencias de bases solución, y nunca alcanzar la
solución optima.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
21
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Ejemplo:
Minimizar Z = -2X4 -3X5 + X6 +12X7
Sujeto a :
X1
- 2X4 - 9X5 + X6 + 9X7
X2
+1/3X4 + X5 - 1/3X6 - 2X7
X3 + 2X4 + 3X5 - X6 - 12X7 = 2
=0
=0
X´s ³ 0, para toda X.
Tabla 1
Cj
CB
0
0
0
XB
X1
X2
X3
b
0
0
2
Z=
0
0
X1
1
0
0
0
0
0
X2
0
1
0
0
0
0
X3
0
0
1
0
0
-2
X4
-2
1/3
2
0
2
-3
X5
-9
1
3
0
3
1
X6
1
-1/3
-1
0
-1
12
X7
9
-2
-12
0
-12
Sale X2 de
solución
-2
X4
1
1/3
1
1
1
-3
X5
0
1
0
-3
0
1
X6
-2
-1/3
0
1
0
12
X7
-9
-2
6
6
-6
Sale X1 de
solución
-3
X5
0
1
0
-3
0
1
X6
-2
1/3
3
3
2
12
X7
-9
2
15
15
3
Sale X5 de
solución
Entra X5 en solución
Tabla 2
Cj
CB
0
-3
0
XB
X1
X5
X3
b
0
0
2
Z=
0
0
X1
1
0
0
0
0
0
X2
9
1
-3
-3
-3
0
X3
0
0
1
-3
0
Entra X4 en solución
Tabla 3
Cj
CB
-2
-3
0
XB
X4
X5
X3
b
0
0
2
Z=
0
0
X1
1
-1/3
-1
-1
-1
0
X2
9
-2
-12
-12
-12
0
X3
0
0
1
0
0
-2
X4
1
0
0
-2
0
Entra X7 en solución
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
22
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Tabla 4
Cj
CB
-2
12
0
XB
X4
X7
X3
b
0
0
2
Z=
0
0
X1
-2
-1/3
0
0
0
0
X2
-2
-2
-6
-6
-6
0
X3
0
0
1
0
0
-2
X4
1
0
-2
-2
0
-3
X5
9
1
-3
-3
-3
1
X6
1
1/3
1
2
1
12
X7
0
1
12
12
0
Sale X4 de
solución
-2
X4
1
-1/3
-1
-3
-1
-3
X5
9
-2
-12
-15
-12
1
X6
1
0
0
1
0
12
X7
0
1
0
12
0
Sale X7 de
solución
-2
X4
-2
-1/3
-3
X5
-9
-2
-6
-9
-6
1
X6
1
0
0
1
0
12
X7
0
1
-3
0
-12
Sale X6 de
solución
Entra X6 en solución
Tabla 5
Cj
CB
-2
12
0
XB
X6
X7
X3
b
0
0
2
Z=
0
0
X1
-2
1/3
2
2
2
0
X2
9
1
3
3
3
0
X3
0
0
1
0
0
Entra X2 en solución
Tabla 6
Cj
CB
1
0
0
XB
X6
X2
X3
Z=
b
0
0
2
0
0
X1
1
1/3
1
1
1
0
X2
0
1
0
0
0
0
X3
0
0
1
0
0
-2
1
Entra X1 en solución
Como X1 entra a la base, la nueva base estará formada por (X1, X2, X3), la cual ya fue
obtenida en la tabla 1, teniéndose como resultado que el problema se ha ciclado.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
23
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
METODO LEXICOGRAFICO
El problema de ciclaje puede ser resuelto utilizando una regla que rompa los empates en
( x Br / y rj ) para determinar la variable que abandona la solución. Esta regla es
denominada lexicográfica y su procedimiento es el siguiente:
Si cuando se realiza la prueba para determinar el vector correspondiente a la variable que
sale de la base de solución, se tiene un empate, divida cada fila potencial (en empate)
entre su similar en fila de la columna pivote.
L
ak 2
at 2
L
L
a ij
a i1 a ij
a i 2 a ij
L
a kj
a tj
*
1
a k 1 a kj
a t1 a tj
a k 2 a kj
a t 2 a tj
1
1
L
L
a i1
ai2
a k1
a t1
L
L
L
L
L
a in
x Bi y ij
a kn
a tn
x Bk y kj
x Bt y tj
L
a in a ij
a kn a kj
a tn a tj
La columna señalada con * es la columna pivote (corresponde a la variable que entra en
solución).
Como las filas son linealmente independientes ningún par de filas divididas son idénticas.
Encuentre la primera columna donde se rompa el empate. Ignorar todas las filas que no
tengan el valor más bajo. Si únicamente una fila queda, esta será la fila pivote, si quedan
más pruebe en las columnas adicionales.
Ejemplo:
Trabájese el ejemplo de ciclaje cubierto previamente y pártase de las tablas 2
c j 0 0 0 -2 -3
1
12
cB xB
b
x1 x2 x3 x4 x5
x6
x7 xBr yrj
0 x1
0
1 9 0 1
0
-2 -9
01
-3 x5
0
0 1 0 1 3 1 -1 3 -2 0 1 3
0
x3
2
0
-3
2
1
0
0
6
21
Z
0
0
0
-3
-3
0
0
1
1
-3
0
1
0
6
-6
zj
z j - cj
Entra en Solución X7
Existe un empate entre estas 2 filas por lo que se deberán analizar con el método
lexicográfico para determinar la variable que deberá abandonar la solución.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
24
Notas del Método Simplex
x1
11
0
13
x2
91
1
13
Investigación de Operaciones I
x3
01
0
13
x4
1
1
x5
01
1
13
x6
-21
-1
x7
-91
-2
13
primera fila
segunda fila
Analizando de izquierda a derecha encontramos que en la primera columna se rompe el
empate ya que la fila 2 es menor que la fila 1 (0 es menor que 1), por lo que sale de
solución x 5 .
cj
0
0
0
-2
-3
1
12
cB
0
xB
x1
b
0
x1
1
x2
6
x3
0
x4
1
x5
-1
x6
-1
x7
-3
x Br y rj
--
-2
0
x4
x3
0
2
Z
0
0
0
3
-6
-6
0
1
0
1
0
-2
3
-3
-6
-1
1
2
6
0
12
-21
zj
0
0
-6
0
0
-3
1
0
zj - cj
Entra x 6 en solución
0
0
0
-2
-3
1
12
b
2
2
2
x1
1
0
0
x2
0
-3
-6
x3
1
1
1
x4
0
1
0
x5
-4
0
-3
x6
0
0
1
x7
-3
-6
0
x Br y rj
--21
Z
0
0
0
0
0
-1
-1
-2
0
-3
0
1
0
- 12
0
zj
zj - cj
cj
cB
0
-2
1
xB
x1
x4
x6
Sale de solución x 3
Como todos los elementos en la fila z j - c j son menores o iguales que cero la
solución es óptima. Observe que en la fila z j - c j existen 6 elementos iguales que cero,
por lo que existirá una solución múltiple. ( m = 3 Si existen más de m elementos en la
fila z j - c j iguales que cero, existe una solución básica factible múltiple). Es decir que
cualquiera de las variables no-básicas que tienen un valor cero en la fila z j - c j puede
entrar a formar parte de la solución y el valor de la función objetivo Z no cambiará.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
25
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
SOLUCIÓN ILIMITADA
Esta ocurre cuando el espacio de soluciones factibles no está acotado y la función a
optimizar puede mejorar indefinidamente. Esta situación se refleja en que todos los
elementos en la columna correspondiente a la variable elegida a entrar en la solución
(menor vector Zj - Cj £ 0, para un problema de Maximización) son no positivos (yrj £ 0).
Ejemplo:
Max Z=X1-X2+X3
Sujeto a:
X1 + X2 + 2X3 ≥ 4
X1 - 2X2 + X3 ≥ 2
X’s ≥ 0
F.O. Max Z=X1-X2+X3
X1 + X2 + 2X3 - X4
= 4
X1 - 2X2 + X3
+ X5 = 2
X’s ≥ 0
En cierta tabla encontramos qué
Cj
1 -1
CB XB B X1 X2
1 X1 10/3 1 0
-1 X2 2/3 0 1
1 -1
0 0
1
X3
5/3
1/3
4/3
1/3
0
0
X4 X5
-2/3 1/3
--1/3 -1/3
--1/3 2/3
Zj
-1/3 2/3 Zj-Cj
La Y4<0,
X4
-2/3
-1/3
X4 entra en solución
Y como todos los valores de la Y4 son negativos se dice que la Solución es Ilimitada.
SOLUCIÓN MÚLTIPLE
Cuando soluciones diferentes originen un mismo valor en la función objetivo se dice que
existen soluciones múltiples. Es decir cuando alguna otra variable aparte de las variables
básicas que se encuentre en la fila Zj - Cj a nivel cero, entonces esa variable puede ser
introducida en la base sin cambiar el valor de la función objetivo.
Ejemplo:
Max Z = 40 X1 + 1000 X2
Sujeto a:
10 X1 + 5 X2 ≤ 250
4 X1 + 10 X2 ≤ 200
2 X1 + 3 X2 ≤ 900
X1, X2 ≥ 0
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
26
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Max Z = 40 X1 + 1000 X2
Sujeto a:
10 X1 + 5 X2 + X3
≤ 250
4 X1 + 10 X2
+ X4
≤ 200
2 X1 + 3 X2
+ X5 ≤ 900
X1, X2 ≥ 0
X3, X4, X5 Variables de holgura
CB
0
0
0
XB
X3
X4
X5
Cj 40 100 0 0 0
B X1 X2 X3 X4 X5
250 10
5
1 0 0
50
200 4
10
0 1 0
20
900 2
3
0 0 1
300
0
0
0 0 0
Zj
-4 -100 0 0 0 Zj-Cj
Entra en solución x2 y sale x4
CB
0
100
0
XB
X3
X2
X5
Cj 40 100 0
0
0
B X1 X2 X3 X4 X5
150 8
0
1 -1/2 0 150/8
20 2/5 1
0 1/10 0
50
840 4/5 0
0 -3/10 1 1050
40 100 0
10
0
Zj
0
0
0
10
0 Zj-Cj
Como todos los valores Xbr son ≥ 0 se tiene la solución optima
Z* = 2000
X3* = 150
X2* = 20
X5* = 80
Como Z1 – C1 =0 y corresponde a una variable no básica, entonces existe una solución
optima múltiple.
Esto significa que puede entrar X1 en solución y el valor de la función objetivo Z* no
cambia
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
27
Notas del Método Simplex
CB
40
100
0
Investigación de Operaciones I
Cj
40 100
0
0
0
XB
B
X1 X2
X3
X4 X5
X3 150/8 1
0
1/8 -1/16 0
X2 50/4 0
1 -1/20 1/8
0
X5 650/2 0
0
1/50 -2/5 1
40 100
0
15/9 0
Zj
0
0
0
15/9 0 Zj-Cj
Solución Óptima
Z* = 2000
X1* = 150/8
X2* = 50/4
X5* = 1650/2
CONVERSIÓN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN A UN
PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN
Sea f una serie de puntos en la región de soluciones básicas factibles, elíjase una tal que:
Min f = f*, entonces f* £ f
y si pasamos f al lado izquierdo tenemos :
f* - f £ 0
-f* -(-f) ³ 0,
y multiplicando a la expresión por -1
-f* ³ f,
además - f £ -f*
de esto obtenemos que :
Max (-f) = -f*, por lo tanto sustituyendo en 1 tenemos:
Max (-f) = - Min f.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
28
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO
Este método requiere una menor cantidad de cálculos, ya que realiza cálculos
únicamente en los vectores de aquellas variables no-básicas y registra en memoria lo
-1
-1
relativo a las variables básicas, B , c B B , x B y c B x B (así como todos los valores
iniciales cj, aij y b i).
Pasos:
¨ Determinar las variables básicas y formar B.
-1
¨ Obtener B .
-1
¨ Obtener z j - c j = wa j - c j . Donde W = c B B
Si z j - c j £ 0 para un problema de minimización o z j - c j ³ 0 para un
problema de maximización la solución es óptima y es el fin del proceso. Si
esto no se cumple continúe el proceso.
¨ Determinar la variable que entra en solución (sea esta x k ) usando WA-C para
toda variable no-básica ( wi a j - c j ).
¨ Se analiza
xBi
(para toda i) para determinar que la variable sale de solución,
ykj
sea ésta x f . Ahora actualice la columna a k para que ésta aporte la columna de
la matriz identidad que aportaba la variable saliente x f .
¨ Regresar al principio del proceso, realizar los cálculos necesarios para sacar de
la base a x f y meter a la misma x k (actualice la columna a k para que esta
aporte la columna de la matriz identidad que aportaba la variable saliente x f ).
Procedimiento:
Si Z = c B X B donde X B = B A , entonces Z = c B B A equivale a z j = c B B a j y
-1
si W = c B B
-1
-1
-1
entonces ahora WA - C = Z - C equivale a wi a j - c j = z j - c j .
Base de la inversa
Lado derecho
W=c B B-1
CB X B
B-1
XB
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
29
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Tablas en el proceso
W
CB X B
B -1
x B1
xB2
xk
z k - ck
y1k
y 2k
M
M
y mk
x Bm
Ejemplo 1:
Max Z = 5 x1 + 3 x 2
Sujeto a:
3 x1 + 5 x 2 £ 15
5 x1 + 2 x 2 £ 10
x1 , x 2 ³ 0
Así:
x1
x2
x3
5
2
1
0
é3
A=ê
ë5
x4
C = [5
0ù
1úû
3
0]
0
é15ù
b=ê ú
ë10û
Analizando para todas las variables no-básicas:
x1
é3
0]ê
ë5
z j - c j = WA - C = [0
x2
5ù
- [5
2úû
3] = [- 5
3]
por lo que entra en solución x1 .
Tabla 1
y1
0 0
1 0
0 1
0
15
10
x3
x4
-5
3
5
¬ Sale x 4
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la
matriz identidad (la que aportaba la variable saliente x 4 ) se tiene:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
30
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
0
1
10
1
0
-3 5
15
9
2
x3
x1
Analizando para todas las variables no-básicas:
x2 x4
é5 0ù
z j - c j = WA - C = [ 0 1] ê
ú - [3 0] = [ -1 1]
ë2 1û
por lo que entra en solución x 2 .
Tabla 2
y2
0
1
0
1
-3 5
15
10
9
2
-1
19 5 ¬ Sale x3
25
x3
x1
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la
matriz identidad (la que aportaba la variable saliente x 3 ) se tiene:
5 19
16 19
235 19
5 19
- 2 19
- 3 19
5 19
45 19
20 19
Analizando para todas las variables no-básicas:
x3
z j - c j = WA - C = [5 19
é1
16 19]ê
ë0
x4
0ù
- [0
1úû
0] = [5 19
16 19],
Como todos los valores son mayores que cero la solución óptima se ha alcanzado.
Solución óptima:
Z = 325 19
x1 = 20 19
x 2 = 45 19
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
31
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Ejemplo 2:
Método de la M
Min Z = 3 x1 + 2 x 2
Sujeto a:
3 x1 + x 2 ³ 3
4 x1 + 3 x 2 ³ 6
x1 + x 2 £ 3
x1 , x 2 ³ 0
3 x1 + x 2 - x 3
+ x6
=3
4 x1 + 3 x 2
- x4
+ x7 = 6
x1 + x 2
+ x5
=3
x 6 y x 7 son variables artificiales
Así:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
é3
A = ê4
ê
êë1
1
3
-1 0
0 -1
0
0
1
0
1
0
1
0
0ù
1ú
ú
0úû
0
C = [3 2 0 0 0 M
M]
é3ù
b = ê6ú
ê ú
ëê3ûú
Analizando para todas las variables no-básicas:
C B B a j - c j = z j - c j = WA - C = [M
-1
C B B -1 a j - c j = z j - c j = WA - C = [7 M
M
x1
x2
é3
0]ê4
ê
êë1
1
4M
x3
0ù
3 0 - 1ú - [3 2 0 0]
ú
1 0 0 úû
- M - M ] - [3 2 0 0]
-1
C B B a j - c j = z j - c j = WA - C = [7 M - 3 4 M - 2 - M
-1
x4
- M]
Entra en solución x1 por tener el valor más positivo.
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
32
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
Tabla 1
M
1
0
0
9M
3
6
3
M 0
0 0
1 0
0 1
y1
7M - 3
3
4
1
x6
x7
x5
¬ Sale x 6
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la
matriz identidad (la que aportaba la variable saliente x 6 ) se tiene:
- 4 3M +1
13
-43
-1 3
M
0
1
0
2M + 3
1
2
2
0
0
0
1
Analizando para todas las variables no básicas:
CB B a j - c j = z j - c j = WA - C = [ -4 3 M + 1 M
-1
x2
x3
x4
x6
é1
0] êê 4
êë1
-1
0
0
0
-1
0
1ù
0 úú - [ 2 0 0 M ]
0 úû
CB B -1a j - c j = z j - c j = WA - C = [5 3 M + 1 -4 3 M - 1 - M
CB B -1a j - c j = z j - c j = WA - C = [5 3 M - 1 4 3 M - 1 - M
-4 3 M ] - [ 2 0 0 M ]
-4 3 M + 1]
Entra en solución x 2 por tener el valor más positivo.
Tabla 2
y2
- 4 3M +1
M
0
2M + 3
13
0
0
1
x1
5 3M -1
13
-43
-1 3
1
0
0
1
2
2
x7
x5
53
23
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la
matriz identidad (la que aportaba la variable saliente x 7 ) se tiene:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
33
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
15
35
0
21 5
35
-45
-1 5
35
0
0
35
65
x1
x2
15
-2 5
1
65
x5
Analizando para todas las variables no-básicas:
x3 x4
x6
x7
1 0ù
é-1 0
ê
CB B a j - c j = z j - c j = WA - C = [1 5 3 5 0] ê 0 -1 0 1 úú - [ 0 0 M
êë 0 0 0 0 úû
CB B -1a j - c j = z j - c j = WA - C = [ -1 5 - 3 5 1 5 3 5] - [ 0 0 M M ]
-1
M]
CB B -1a j - c j = z j - c j = WA - C = [ -1 5 - 3 5 1 5 - M 3 5 - M ]
Se ha alcanzado la solución óptima por ser todos los valores negativos.
Solución óptima:
Z = 21 5
x1 = 3 5
x2 = 6 5
x5 = 6 5
Ejemplo 3:
Método de las 2 Fases
Max Z = x1 - 2 x 2 + x 3 - x 4
Sujeto a:
x1
+ 4x2
x1 + 4 x 2 + x 3 - x 4 £ 6
2 x1 + x 2 + 3 x 3 - 3 x 4 ³ 2
x1 , x 2 , x 3 , x 4 ³ 0
+ x3 - x 4 + x5
=6
+ 3x3 - 3x 4
- x6 + x7 = 2
x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ³ 0
donde x 5 y x 6 son variables de holgura y x 7 es una variable artificial.
2 x1
+ x2
FASE I
Así:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
34
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
é1
A=ê
ë2
4
1
-1
1
0
1
3
-3
0
-1
0ù
1úû
C = [0 0 0 0 0 0 - 1]
é6ù
b=ê ú
ë2û
Analizando para todas las variables no-básicas:
x1
x2
x3
x4
x6
4
1 -1
é1
- 1]ê
1
3 -3
ë2
z j - c j = WA - C = [- 2 - 1 - 3 3 0]
0ù
- [0
1úû
z j - c j = WA - C = [0
0
0
0
- 1]
Por lo que entra en solución x 3 .
Tabla 1
y3
-3
0 -1
-2
1 0
6
x5
1
0 1
2
x7
3
¬ Sale x 7
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la
matriz identidad (la que aportaba la variable saliente x 7 ) se tiene:
0
0 0
1
-1
3
16
0
1
3
2
3
x5
3
x3
Analizando para todas las variables no-básicas:
x1
é1
z j - c j = WA - C = [ 0 0] ê
ë2
x2
x4
x6
4
-1
0
1
-3
-1
x7
0ù
- [ 0 0 0 -1 -1] = [ 0 0 0 1 1]
1úû
Como todos los valores son iguales a cero se ha alcanzado el final de la Fase I.
FASE II
Ahora C = [5 - 2
las c j .
1 -1
0
0] y se recalcula la tabla con los valores verdaderos de
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
35
Notas del Método Simplex
z j - c j = WA - C = [ 0
z j - c j = WA - C = [ 2 3
1
3
1
Investigación de Operaciones I
x1
x2
x4
x6
é1
4
1
-1
-3
0ù
- [ 5 -2 -1
1úû
] ê2
ë
3
-1
1
3
] - [5
0]
0] = [ -13 3
-2 -1
7
3
0 - 13 ]
Entra x1 en solución por tener el valor más negativo.
Tabla 2
y1
0
1
3
2
1
0
-1
3
16
1
3
2
13
3
3
3
x5
1
3
3
x3
2
¬ Sale x 3
3
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la
matriz identidad (la que aportaba la variable saliente x 3 ) se tiene:
0
-5
1
0
-1
1
5
2
5
1
2
2
x5
x1
Analizando para todas las variables no-básicas:
x2
z j - c j = WA - C = [0
-5
z j - c j = WA - C = [- 5 2
2
15
x3
]éê
4
ë1
2
x4
1 -1
3 -3
-15
2
-5
2
x6
0ù
- [- 2
1 úû
] - [5
- 2 -1
0]
1 -1
0] = [ 1 2
13
2
-13
2
-5
2
]
Entra x 4 en solución por tener el valor más negativo.
0 5/ 2
1
0
-1
1
2
2
y4
13
2
5
5
1
x5
1
x1
-3
2
¬ Sale x5
2
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la
matriz identidad (la que aportaba la variable saliente x5 ) se tiene:
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
36
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
13 - 4
70
2 -1
3 -1
10
16
x4
x1
Analizando para todas las variables no-básicas:
x 2 x3 x 4 x6
é4
z j - c j = WA - C = [13 - 4]ê
ë1
0ù
- [- 2 1 - 1 0]
3 - 3 - 1úû
z j - c j = WA - C = [48 1 - 1 4] - [5 - 2 - 1 0] = [43 3 0 4]
1
-1
Como todos los valores son mayores que cero la solución óptima se ha alcanzado.
Solución óptima:
Z * = 70
x * 4 = 10
x *1 = 16
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
37
Notas del Método Simplex
Investigación de Operaciones I
¿Cómo calcular la reducción de costos de las variables básicas?
z j -c j = Wa j - c j donde j corresponde a las variables no-básicas
¿Cómo calcular la columna de yj asociada a la variable xj que entra en solución?
y k =B-1a k
¿Cómo actualizar B-1 , W, cB ,x B ?
a) Seleccione la variable entrante xk
b) Seleccione la variable saliente xr ,
ìï x
xr
= min í Bi , yi ,k > 0}
yr , k
ïî yi ,k
c) Agregue la columna de xk
W
B -1
x B1
xk
z k - ck
y1k
xB2
M
y 2k
M
x Bm
y mk
CB X B
d) Pivotee en yr,k
xk
Nueva W
Nuevo CB X B
Nueva B -1
Nueva xk
0
0
M
1 fila r
0
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis
38