Una empresa se dedica a la producción de dos tipos de tejidos A y

ZARAGOZA / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / OPCIÓN A / EJERCICIO 1
Una empresa se dedica a la producción de dos tipos de tejidos A y B utilizando como
materias primas, algodón, poliéster y seda. Si dispone de 60 unidades de algodón, de 35
de seda y de 80 de poliéster y se sabe que las unidades de cada materia prima
necesarias para la producción de 1 rollo de cada tipo de tejido vienen dadas en la
siguiente tabla:
algodón poliéster seda
A
1
2
0
B
3
2
1
a) Calcular el beneficio total máximo, sabiendo que el beneficio obtenido de un rollo de
tejido A es de 50 euros y del B es de 70. Explicar los pasos obtenidos para obtener la
solución.
b) ¿Se obtendrá excedente de alguna materia prima? En caso afirmativo, decir cuántas
unidades.
c) ¿Cambiaría la solución del apartado a) si al menos hubiera que producir 15 rollos de
tejido A? Razonar la respuesta.
Solución:
Con los datos anteriores se obtiene:
Cantidad Algodón
A
x
x
B
y
3y
Disponibilidades
60
Poliéster
2x
2y
80
Seda
0
y
35
El objetivo es maximizar el beneficio. Esto es:
Maximizar
B(x, y) = 50x + 70y
restringido por: x + 3y ≤ 60 (unidades de algodón)
2x + 2y ≤ 80 (unidades de poliéster)
y ≤ 35 (unidades de seda)
x ≥ 0; y ≥ 0
Estas restricciones generan la región factible dada en la siguiente figura.
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Beneficio
50x
70y
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Los vértices son:
 x + 3 y = 60
⇒ Q = (30, 10) y R = (40, 0).
O = (0, 0), P = (0, 20), Q: 
2 x + 2 y = 80
Como sabemos, la solución buscada se encuentra en alguno de esos vértices.
Los beneficios para esos niveles de producción son:
En O,
En P,
En Q,
En R,
B(0, 0) = 0.
B(0, 20) = 1400
B(30, 10) = 2200. Es la solución buscada.
B(40, 0) = 2000.
El beneficio máximo se obtiene produciendo 30 rollos de A y 10 de B.
b) Se gastan todas las unidades de algodón y de poliéster. Hay un excedente de 35 − 10 = 25
unidades de seda.
c) En este caso se añade una restricción más: x ≥ 15.
La región factible cambia (como se puede observar en la figura siguiente) pero la solución óptima
no varía.
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Los nuevos vértices son: O´ = (15, 0), P´= (15, 15), Q y R.
El beneficio mayor sigue dándose en Q = (30, 10).
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