Thevenin y Norton: Cálculo de Circuitos Equivalentes

Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton
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Calcular el equivalente Thevenin y Norton entre los puntos a y b en el circuito de
la figura
4Ω
2Ω
3v
6Ω
a
a
+
Rth
+
Vth
RL
RL
5Ω
2Ω
2v
+
b
b
Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b
4Ω
d
Calcularemos así la tensión
6Ω
c
a
+
+
en circuito abierto Vth
3v
2Ω
2v
5Ω
Vth
b
Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo de los recorridos
2Ω
+
4Ω
d
I1
2v
6Ω
c
a
+
I2
3v
2Ω
5Ω
Vth
b
⎧2 = I 1 2 + ( I 1 − I 2 ) 2
⎫
Mallas ⎨
⎬ I1 , I 2
⎩0 = I 2 4 + I 2 5 + ( I 2 − I1 )2 ⎭
Vc = I 2 5 = 3 + Vth ⇒ Vth = Vc − 3
De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la resistencia de 6Ω
la tensión buscada es Vab =-3+Vc:
El resultado obtenido es Vth=-2.5V
Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes de tensión:
a
4Ω
2Ω
2Ω
6Ω
5Ω
Rth = {[(2 // 2 ) + 4] // 5}+ 6
Rth = (5 // 5) + 6 = 8.5Ω
Rth
Para calcular el equivalente Norton cortocircuitamos los puntos a y b
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Componente electrónicos 2007 1/11
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Calculamos la intensidad por ese cortocircuito
Escribimos las ecuaciones de mallas
2Ω
I1
+
2v
4Ω
d
6Ω
c
3v
+
I2
2Ω
a
IN
IN
5Ω
⎧2 = I 1 2 + ( I 1 − I 2 ) 2
⎫
⎪
⎪
⎨0 = I 2 4 + ( I 2 − I N )5 + ( I 2 − I 1 )2 ⎬
⎪− 3 = I 6 + ( I − I )5
⎪
N
N
2
⎭
⎩
b
Resolviendo el sistema calculamos IN.=-5/17A
Naturalmente se cumple Vth/IN=Rth
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Componente electrónicos 2007 2/11
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Dado el circuito de la figura 1 calcule:
a)
La relación io / ii.
b)
La relación vi / ii.
c)
La relación vo / vi.
d)
La relación vo / vs.
e)
La resistencia equivalente vista desde RL, anulando vs.
Datos: Rs = 600 Ω; RB = 500 KΩ; Rie = 1.5 KΩ; Roe = 100 KΩ; RL = 2.5 KΩ.
B
ii
ib
io
+
+
vs
vi
120ib
RB
Roe
Rie
RL
vo
Figura 1
Comentario
El circuito de la figura es el circuito equivalente de pequeña señal de un amplificador
basado en un transistor bipolar. Las relaciones que se pide calcular en el enunciado son los
parámetros de dicho amplificador:
a)
Ganancia en corriente: Ai = io / ii
b)
Impedancia de entrada: Zi = vi / ii
c)
Ganancia en tensión: Av = vo / vi
d)
Ganancia en tensión Avs = vo / vs
e)
Impedancia de salida Zo
En este ejemplo vamos a ver que una vez obtenido el circuito equivalente de pequeña
señal, para analizar dicho circuito, es decir, para obtener los parámetros del amplificador, basta
con utilizar las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm.
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Componente electrónicos 2007 3/11
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Solución
En la figura 2 se reproduce el circuito de la figura 1, marcando las mallas que vamos a
emplear en su análisis. Se han elegido éstas ya que en este caso se pueden utilizar como
variables (intensidades de malla) las corrientes que se dan en el enunciado, que incluyen la
corriente del generador y su variable de control. El sentido es el fijado en el enunciado, que se
corresponde con el standard en el caso de los amplificadores.
ii
vS
~
B
ib
i0
RS
ii
ib
vi
RB
Rie
120ib
i0
120ib
v0
Roe
RL
E
Figura2
El nudo E engloba distintos "puntos" de la representación del circuito, ya que todos
estos "puntos" están directamente unidos por cables, de modo que desde el punto de vista
eléctrico son el mismo punto (Tienen el mismo potencial). En este caso este nodo se haya
conectado a tierra, así que el potencial de ese punto se considera 0 y se toma de referencia para
Nudo A
Nudo A
Figura 3
el potencial en el resto de los nodos. El circuito sería exactamente el mismo si en la
representación gráfica el nodo E se hubiera representado como un solo punto. (Véase el
ejemplo de la figura 3).
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Componente electrónicos 2007 4/11
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A continuación planteamos las ecuaciones de Kirchoff en las mallas:
malla ii:
– vs + ii Rs + (ii – ib) RB = 0
(1)
malla ib:
Rie + (ib – ii )RB = 0
(2)
malla i0:
i0 RL + (i0 + [120ib] ) Roe = 0
(3)
Al plantear las ecuaciones de malla ya se ha aplicado la ley de Ohm en las resistencias y
se ha tenido en cuenta el signo de la fuente de tensión vs. En el caso de la fuente dependiente de
corriente, no aparece explícitamente en la ecuación de su malla ya que el valor de la intensidad
no es una variable independiente.
Las ecuaciones 1-3 forman el sistema de ecuaciones que nos permitirá resolver el
circuito. Las variables que aparecen en el sistema son: ib, io, ii.además de vs. Vamos a obtener
relaciones entre pares de variables, que es exactamente lo que nos pide el enunciado.
Veamos cómo operar para obtener los parámetros que pide el enunciado:
a)
Cálculo de Ai = io / ii
A partir de la ecuación (3) separando los términos en i0 e ib:
i0 RL + i0 Roe =-120ib Roe
i0
120R oe
=−
ib
R L + R oe
obtenemos:
(4)
de (2) separando las intensidades
ii RB =ib (Rie+RB)
⇒
ib
RB
=
i i R ie + R B
(5)
La ganancia en intensidad queda entonces
AI =
b)
i0 ib
120 Roe RB
× =−
ib ii
( RL + Roe )( Rie + Rb )
(6)
Cálculo de Zi = vi / ii
De acuerdo con el circuito de la figura 2, teniendo en cuenta la ley de Ohm:
v i = i b R ie
(7)
Anteriormente ya hemos encontrado una relación entre ib e ii . Sustituyendo: (7) y (5)
R ie R B
v
v i
Zi = i = i × b =
= 1495.5Ω
ii
ib ii
R ie + R B
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(8)
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c)
Cálculo de Av = vo / vi
Aplicando la ley de Ohm en la resistencia RL:
vo = RL io
(9)
Además hemos calculado ya Ai = io / ii y Zi = vi / ii. Teniendo esto en cuenta:
v o = R Li o = R L A ii i =
R LAi
vi
Zi
(10)
Por tanto:
Av =
d)
vo
R
= A i L = −195,12
vi
Zi
(11)
Cálculo de Avs = vo / vs
La variable vs aparece en la ecuación de la malla ii (1):
– vs + Rs ii + RB i1 = 0
(12)
Teniendo en cuenta que vi = RB i1 y que ii = vi / Zi:
− vs +
Rs
vi + vi = 0
Zi
;
vi
Zi
=
vs R s + Zi
(13)
Teniendo en cuenta que Av = vo / vi, que ya está calculado y la ecuación (13):
A vs =
vo vo vi
ZA
=
× = i v = −139,25
vs v i vs R s + Zi
(14)
e) Cálculo de la impedancia de salida Zo (resistencia equivalente vista desde RL anulando
vs)
La resistencia buscada corresponde exactamente con la resistencia del equivalente Thevenin.
Puesto que aparece una fuente dependiente, ésta no se puede anular, por lo que podemos optar
por dos métodos para calcular esa resistencia:
•
Anular la fuente independiente y situar entre los terminales de salida una fuente
TEST. La resistencia buscada se calculará como vTEST/iTEST
Como vs es una fuente de tensión, anularla significa cambiarla por un cortocircuito. Por otra
parte, para calcular la resistencia equivalente vista desde RL, "abrimos" el circuito entre los
dos terminales de RL y "medimos" la resistencia entre esos dos puntos. Para resolverlo de
forma analítica, suponemos una fuente de tensión vTEST que hará que circule una corriente
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Componente electrónicos 2007 6/11
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iTEST, como se muestra en la figura 4. La resistencia equivalente (en este caso Zo), teniendo
en cuenta la ley de Ohm, será:
ii
ib
iTEST
RS
ib
vi
ii
iTEST
Rie
RB
Zo =
+
120ib
vTEST
v TEST
(15)
i TEST
Roe
120ib
Tanto ii como ib son 0 ya que:
ii Rs +(ii-ib) RB = 0
(ib-ii) RB + ib Rie = 0
B
B
La única corriente que circula es iTEST a través de Roe donde se cumple
i TEST R oe = v TEST ⇒ Z o =
v TEST
= R oe = 100 KΩ
i TEST
ii
•
La otra posibilidad para
calcular la impedancia de
salida es calcular la
tension Thevenin vth y la
intensidad Norton iN, de tal
manera que la resistencia
buscada es vth/iN.
¡Roe queda anulada por el
vS
~
Del circuito Thevenin obtenemos
RS
ib
vi
ii
Rie
RB
120ib
vth
Roe
120ib
E
ii
~
cortocircuito!
ib
ib
RS
ii
ib
vi
RB
Rie
120ib
120ib
iN
Roe
v th = −120i b R oe
i N = −120i b
Del circuito Norton
Puesto que ib no depende de la salida (las ecuaciones para ib son las mismas (1) (2)) Zo se
calcula directamente como
Z0 =
v th − 120i b R oe
=
= R oe
iN
− 120i b
Como hemos visto, simplemente utilizando las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm y
operando de forma adecuada, podemos calcular los parámetros característicos de un
amplificador, una vez que tengamos el circuito equivalente de pequeña señal.
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Calcular las intensidades de corriente que circulan por cada rama y las
diferencias de tensión Vab, Vbc y Vcd y las tensiones Va, Vb y Vc en el siguiente
circuito:
Comentario
En la resolución de este problema se puede calcular la resistencia equivalente entre bd o bien
mantener el circuito tal y como está.
Solución
A) Se calcula la resistencia equivalente del conjunto formado por las resistencias en paralelo de
1kΩ y de 50Ω.
1
1
1
La resistencia equivalente tiene un valor de 47.62Ω. (Notar que cuando se
=
+
3
Requ 1× 10 50
hace el paralelo de dos resistencias el resultado es menor que la menor resistencia, y se
aproxima a ella si la otra es muy grande. El caso límite es que una de ellas sea 0, un
cortocircuito, en cuyo caso el paralelo es 0, y la otra resistencia no tiene ningún efecto puesto
que por ella no circula corriente). El circuito resultante es por lo tanto:
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Se aplica la ley de las mallas de Kirchoff a la malla derecha (I1). Es además la única ecuación
necesaria porque la intensidad de la otra malla es conocida de valor 2mA. La ecuación que se
obtiene es:
4 = 10 I1 + 47, 62 ( I1 − 2 ×10−3 )
Resolviendo I1 = 71,1 mA.
La corriente que circula por la resistencia de valor 47,62Ω, es obviamente 71,1 -2 = 69.2mA
Ahora se puede calcular las diferencias de tensión Vab, Vbc y Vcd. Se toma como origen de
potenciales el punto que está conectado a tierra en este caso se trata de “d” por lo tanto Vd = 0.
Vad = Va – Vd = 4 V. Como Vd =0 ⇒ Va = 4V.
Vab = Va – Vb = 71,1.10-3 x 10 = 0,71 V ⇒ 4 – Vb = 0,71 ⇒ Vb = 3,29 V
Vbc = Vb – Vc = 2.10-3 x 20 = 40.10-3 V ⇒ 3,29 – Vc = 40.10-3 ⇒ Vc = 3,25 V
Vcd = 3,25 V
Puesto que se piden explícitamente las intensidades de todas las ramas se debe deshacer el
paralelo para encontrar la intensidad por cada una de las resistencias.
Conocemos la tensión Vbd=Vb, Si llamamos Ia a la intensidad en la resistencia de 1kΩ y Ib en la
de 50Ω, escribimos las siguientes ecuaciones:
Vbd = 3.29v = I a 1.103 = I b 50
I a + I b = 69,1mA
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Obteniéndose los valores que aparecen en la figura.
B) Si no se calcula la resistencia equivalente entre bd, se calculan las intensidades que circulan
por cada rama en el siguiente circuito:
Las ecuaciones que resultan para este circuito son:
Malla de la izquierda 4 = 10 I1 + 1. 103 I2
Primer nodo
I1 = I2 + I3
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Segundo nodo
I3 = I4 + 2.10-3
Malla central
0 = 50 I4 – 1. 103 I2
Despejando de la última ecuación se obtiene: I4 = 20I2
Sustituyendo en la tercera resulta: I3 = 20 I2 + 2. 10-3
Con lo que I1 = I2 + I3 ; I1 = 21I2 + 2.10-3
Sustituyendo en la primera ecuación se obtiene:
4 = 210I2 + 2. 10-2 + 1. 103 I2 ⇒
I2 =3.29 . 10 -3 A = 3.29 mA
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores resulta:
I1 = 21I2 + 2.10-3 = 71.1 mA
I3 = 20 I2 + 2. 10-3 = 67.8 mA
I4 = 20I2 = 65.8 mA
Una vez obtenidos los valores de las corrientes, el cálculo de los potenciales es idéntico al
realizado anteriormente.
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