Problemas de Electrónica Física 1 ESTRUCTURA DE BANDAS

Problemas de Electrónica Física 1
ESTRUCTURA DE BANDAS (REPASO)
1. En la aproximación del electrón fuertemente ligado se obtiene, para la primera banda de
conducción de un sólido con estructura cúbica, la relación de dispersión:
( & N
( D J ¦ H[SLNUP P
donde Dy Json constantes, k es el vector de onda y Um es el vector de posición del m-vecino más
próximo al de referencia, que tendrá posición U0=0. Teniendo en cuenta esta expresión, representar
E(k) para los puntos y direcciones de simetría de un cristal cuyos átomos estén dispuestos según a)
una red sc b) una red fcc c) una red bcc. En los tres casos calcular cuánto vale el ancho de banda y
la masa efectiva alrededor del mínimo de energía de la banda
I. PROPIEDADES DE TRANSPORTE: TEORÍA SEMICLÁSICA
2. Imagínese una banda de una estructura cúbica simple de constante a, dada por:
(N ( FRVN [ D FRV N \D FRVN ] D
Un electrón, con N=0 sufre la acción de un campo eléctrico constante a partir de t=0.
a) hallar la trayectoria en el espacio real
b)representar la trayectoria cuando ( tiene la dirección (1,2,0)
3. En el silicio y el germanio, cerca del borde de la banda de conducción, la relación de dispersión
es, en la aproximación de la masa efectiva:
( & N ( N [ N \ N]
P W
P O
(las superficies E(k)=cte son elipsoides, con mt y ml las masas efectivas transversal y longitudinal a
z respectivamente).Se aplica un campo externo magnético, cuya dirección forma un ángulo T con el
eje z e inmerso en el plano ky=0.
a) escríbanse las ecuaciones semiclásicas del movimiento de un electrón en la banda de
H%
H%
ZO
conducción, introduciendo los parámetros Z W
.
PO
PW
b) Suponiendo que las variables dinámicas varían armónicamente con el tiempo con una
frecuencia Z, obténgase la relación entre Zy el ángulo T y hállese la dependencia de la masa
ciclotrónica con T
4. En una muestra de Si la movilidad de los electrones es de 1200 cm2/Vs y la de los huecos 600
cm2/Vs. Si se aplica un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares, determinar las
concentraciones relativas de los portadores para que no se observe efecto Hall.
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II. ESTADISTICA DE ELECTRONES Y HUECOS
5. Un semiconductor intrínseco con masas efectivas para electrones y huecos respectivamente de
me=0.2 m0 , mh=2 m0 tiene un gap de 2 eV a temperatura ambiente y el coeficiente de temperatura
del mismo es de -5 10-4 eV/K.
a) Determínese la posición del nivel de Fermi y la concentración de electrones y huecos a 1000 K
b) ¿A qué temperatura alcanzará el nivel de Fermi la banda de conducción?
6. Medidas de efecto Hall en un semiconductor de tipo n han proporcionado la siguiente tabla de
datos:
T (K)
15
-3
n (10 cm )
30
35
45
50
70
90
120
0.026
0.152
1.611
3.571
16.177
19.578
19.959
Calcular la concentración de impurezas dadoras ND presentes en el semiconductor así como su
energía respecto al borde de la banda de conducción 'ED. Para ello representar las magnitudes que
se consideren involucradas frente a 1000/T (representación de Arrhenius) indicando qué parte de la
gráfica conduce a los resultados requeridos.
7. Calcular el nivel de Fermi y la concentración de electrones en un semiconductor compensado que
contiene un nivel de impurezas dador y otro aceptor, tal que Nd >Na en la región de temperaturas
inferior al comportamiento intrínseco.
i) Dar las expresiones aproximadas en las tres regiones de temperatura características antes del
comportamiento intrínseco:
a) T | 0 K
b) zona intermedia entre a) y c) (T baja pero no nula)
c) T tal que todas las impurezas están ionizadas
ii) Estudiar los casos particulares en los que el material de tipo n, con una concentración de
dadores Nd =1017 cm-3, está parcialmente compensado con una concentración de impurezas
aceptoras de Na=0, 1013, y 1016 cm-3. Suponer: 'Ed ='Ea=100 meV respecto al mínimo de la
banda de conducción y máximo de la banda de valencia, respectivamente; me=mh=0.5 m0,
Eg=1 eV. Representar en los 3 casos el diagrama de Arrhenius de la concentración de
portadores.
III. TEORIA GENERAL DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE
8. En una muestra de Ge tipo p se ha medido el coeficiente de Seebeck (D) en función de la
temperatura de la muestra, mediante efecto Seebeck. Los datos obtenidos se presentan en la tabla
adjunta.. ¿Cual es la concentración de aceptores en la muestra Na?. Interpretar el cambio de signo
observado. Datos: me=0.54m0, mh=0.33m0, Eg(300K)=0.678 eV, Pe=(300K)=4000
cm2/Vs, Ph=(300K)=1900 cm2/Vs.
T (ºC)
23.8
50.3
66
79
92.3
800
808.1 592.3 323.8 121.5
104
110.3
114.5
117
126.1
139.4
166.4
185.4
0
-133.1
-260.2
-193.7
-321
-326.6
-395.8
-365.3
D
(mV/K)
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9. Considérese la experiencia de efecto Hall esquematizada en la figura. Sobre el semiconductor de
grosor d se han depositado 5 contactos óhmicos: 1 y 2 sirven para establecer una corriente
estacionaria I0 a lo largo de la muestra, 3 y 4, separados por una distancia b, sirven para medir la
caida de potencial resistiva VU, y los 3 y 5, separados una distancia a se usan para medir la tensión
de Hall VH que aparece al aplicar un campo magnético de intensidad Bo y perpendicular a la
muestra. Calcular la movilidad de Hall y la concentración de electrones conocidos los parámetros y
magnitudes especificadas arriba y que son los que se miden en el laboratorio.¿Qué significado
tendría una variación de VU al aplicar el campo magnético?.
VU
3
4
1
VH
2
I
5
B
A
10. Llevamos a cabo una experiencia de efecto Hall en función de la temperatura, siguiendo la
configuración descrita en la figura anterior, en una muestra de GaSe tipo p de 10 Pm de espesor. Se
hace pasar una corriente I a través de los contactos 2 y 1 y a cada temperatura se mide: (i) la caída
de potencial resistiva VU(V4-V3 ) y (ii) la tensión de Hall VH (V3-V5) al aplicar un campo magnético
de intensidad Bo=1.2 T perpendicular a la muestra. Los datos obtenidos se presentan en la tabla
adjunta. Determinar la dependencia con la temperatura de la movilidad de Hall y de la
conductividad de la muestra. Representar el diagrama de Arrhenius de la concentración de
portadores. Determinar la concentración de aceptores en la muestra (Na), su energía de ionización
(Ea)y el grado de compensación existente (F=[Na-Nd]/Na). Datos: mh=0.5m0.
VU(V)
1.90
1.58
1.57
0.83
0.83
0.86
0.99
1.22
1.51
1.94
2.70
1.21
VH(mV)
3.74
3.74
4.09
2.43
2.85
3.53
4.47
6.36
8.86
12.64
20.12
10.49
I(mA)
0.05
0.05
0.05
0.025
0.025
0.025
0.025
0.025
0.025
0.025
0.025
0.01
T(K)
630
519
460
395
354
314
287
262
242
223
204
192
IV. DISPERSION DE LOS PORTADORES
11. A bajas temperaturas y especialmente en semiconductores no compensados, la proporción de
impurezas ionizadas es inferior a la de impurezas neutras y el tiempo de relajación está dominado
por la dispersión de los electrones con estas últimas. Calcular el tiempo de relajación en el caso de
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dispersión de los electrones por impurezas neutras, suponiendo que la difusión es exclusivamente de
tipo elástico. Para ello seguir los siguientes pasos:
a) Calcular el potencial que describe el átomo neutro suponiendo que los electrones se
encuentran en un estado descrito por una función de ondas de tipo s. Se despreciará un eventual
potencial de polarización.
b) Calcular la sección eficaz diferencial y el tiempo de relajación. Particularizar para el caso en
que ko >>k, siendo ko la inversa del radio de Bohr.
12. En cristales semiconductores formados por átomos distintos entre sí y en el que los enlaces son
parcialmente iónicos y la celda unidad no contiene un centro de simetría (por ejemplo SiC), los
portadores pueden ser dispersados por ondas acústicas longitudinales debidas a lo que se
denomina difusión piezoeléctrica: los iones oscilan dando lugar a un momento dipolar. Calcular
el tiempo de relajación en el caso en que esté dominado por esta dispersión de los electrones
por fonones piezoeléctricos (Seeger, pag. 178).
13. Comparar los distintos mecanismos de dispersión estudiando su efecto sobre la movilidad en los
rangos para los que son relevantes.
V. PORTADORES FUERA DE EQUILIBRIO
14. Sea un semiconductor homogéneo en el que hay un proceso de generación de portadores.
Determínese la concentración en exceso 'n en función del tiempo suponiendo que la tasa de
generación de portadores es constante para: a) recombinación lineal, b) recombinación
cuadrática.
15. En un semiconductor la movilidad de los electrones es de 1000 cm2/Vs y su concentración
n=1016 cm-3. La movilidad de los huecos es de 100 cm2/Vs. Suponiendo que ambos tienen el
mismo tiempo de vida medio (1 ms) y que la muestra es muy delgada, determínese la variación
de la conductividad cuando se ilumina uniformemente con una radiación de intensidad I=1016
fotones/cm2s, siendo D =10 cm-1. Determínese la longitud de difusión de los portadores.
16. El efecto Dember consiste en la aparición de una diferencia de potencial en una muestra
semiconductora con un elevado coeficiente de absorción cuando ésta es iluminada. La luz genera
pares electron-hueco fuera de equilibrio que se difunden en el volumen de la muestra. La mayor
movilidad de los electrones da lugar a una separación de cargas y por tanto a la instauración de
un campo eléctrico (G
a) Calcular el campo ( G suponiendo la existencia de las dos corrientes de los dos tipos de
portadores y sabiendo que la muestra semiconductora es no degenerada y está
eléctricamente aislada.
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b) La diferencia de potencial entre los extremos de la muestra. Comentar el resultado.
c) A partir de la expresión anterior, obtener dicha diferencia de potencial en el caso
particular en que la intensidad de iluminación sea baja y por lo tanto también lo sea la
diferencia de conductividades entre los dos extremos.
d) Obtener el resultado numérico en el caso en que I=5x1018 fotones/cm2s, coeficiente de
absorción D=106 cm-1, coeficiente de recombinación lineal k=106 s-1 (considerar situación
estacionaria), T=300 K y con µn=3900 cm2/Vs, µp=1900 cm2/Vs, V : cm-1.
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VI. EL DIODO PN Y EL DIODO TÚNEL
17. Una unión PN simétrica de GaAs, con una sección A=1 mm2, tiene una zona p y una zona n
17
-3
dopadas con una concentración de impurezas Na=Nd=10 cm . Las movilidades de los huecos
en la zona n y de los electrones en la zona n son ,respectivamente µhn=250 cm2V-1s-1, µep=5000
cm2V-1s-1 y la permitividad eléctrica relativa H=13.2. El diodo está polarizado directamente a
1Volt. Suponiendo un nivel bajo de inyección de portadores, con un coeficiente de
recombinación de 7.21 10-16 m3s-1, calcular a 300 K la corriente de difusión debida a los
portadores minoritarios suponiendo recombinación directa en las zonas neutras. Asímismo,
estimar la componente de la corriente debida a la recombinación en la zona de agotamiento.
DATOS: Egap=1.42 eV, me*=0.067 mo, mlh*=0.08 mo, mhh*=0.45 mo).
18. Suponer un dispositivo formado por una unión PN en la que la diferencia entre concentraciones
de aceptores y dadores varíe linealmente a lo largo de la zona de agotamiento con un gradiente
de impurezas que llamaremos a, siendo la concentración nula en el punto medio de dicha zona.
Calcular el campo, potencial, potencial de difusión y longitud de la zona de agotamiento. Si se
aplica una f.e.m. externa al dispositivo (directa o inversa), ¿como varía la zona de
agotamiento?¿Cuál sería la capacidad del dispositivo?.
19. Las gráficas que aparecen a continuación son el resultado de una medida de la capacidad de dos
diodos distintos en función de la tensión de polarización (inversa). Determinad la tensión de la
barrera de potencial y la concentración relativa de portadores en ambos casos, teniendo en
cuenta que la superficie es de 1 mm2 y que la permitividad eléctrica relativa es de 12.
0,9
0,95
díodo 1
diodo 2
0,9
0,7
C(nF)
C (nF)
0,8
0,6
0,5
0,85
0,8
0,75
0,4
0
1
2
3
V(volt)
4
5
0,7
0
1
2
3
4
5
V(volt)
20. Estimar la probabilidad de transmisión por efecto túnel para distintos semiconductores (Ge, Si,
GaAs, etc...) suponiendo una barrera triangular. Así mismo, estimar la densidad de corriente
máxima a que dicha transmitancia da lugar.
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VII. DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS
21. En base a la gráfica I(V) de un diodo Schottky W-Si que aparece abajo, y al modelo de emisión
termoiónica, calcular la altura de barrera, el potencial interno y la anchura de la zona de carga
espacial teniendo en cuenta que la concentración de dadores del semiconductor es de 1016 cm-3,
y que se encuentra a 300K de temperatura. Determinar la altura de la barrera a partir de los
datos experimentales de capacidad de otro diodo similar y comparar con la estimación
precedente.
22. Calcular el campo eléctrico que se debe aplicar a una muestra de GaAs a 300 K para que el
porcentaje de electrones en el mínimo L de la banda de conducción sea del 50%. Calcular la
velocidad de deriva y determinar si se encuentra en el régimen de resistencia negativa. Dicha
muestra es de tipo n, con una concentración de impurezas dadoras de 1014 cm-2 y tiene un grosor
de 10 µm ¿se cumple la condición para que se forme un dominio de carga espacial?, ¿cual será
la frecuencia de la radiación que se emita, suponiendo que el dispositivo no se encuentre
conectado a un circuito resonante?.
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23. Calculad la tensión umbral (tensión para la que se
produce la inversión) de los siguientes dispositivos
MOS:
a) p-Si (NA=3 1016 cm-3) con puerta de polisilicio n+ ,
óxido de silicio de grosor t=500 Å y carga superficial de
11
-2
10 cm .
14
-3
b) p-Si (NA=10 cm ) con puerta de aluminio, óxido de
10
-2
silicio de grosor t=500 Å y carga superficial de 10 cm .
halógena de 75 W ) de un dispositivo fotovoltaico de
silicio, de 4 mm de lado. Las distintas gráficas se
corresponden con distancias diferentes respecto a la
0,2
I(mA)
24. En la figura de la derecha aparecen las características
corriente-tensión bajo iluminación (con una lámpara
0
fuente luminosa.
a) determinar la corriente de saturación y el parámetro
Kque indica el grado de idealidad del diodo.
b) Para la característica a d=10 cm, calcular el factor de
-0,2 d=20 cm
-0,4
llenado y el rendimiento. Para ello, tener en cuenta que
una lámpara de 150 W a 5 cm del dispositivo
proporciona el flujo luminoso correspondiente a una
d=15 cm
d=12 cm
-0,6
d=10 cm
AM1.
c) Comparando la potencia teórica correspondiente a un
diodo ideal con los valores experimentales para d=10
cm, estimar el valor de la resistencia en serie de este
dispositivo.
-0,8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
V(V)
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VIII. DISPOSITIVOS OPTOELECTRÓNICOS
25. Un bolómetro de Ge opera a una temperatura de 2.15 K con una resistencia Rs=12 k:, un
-1
-6
3
coeficiente térmico de resistencia ß=-2 K y una capacidad calorífica cp = 6.8 10 T mJ/K. Se
conecta a un conductor térmico de conductancia térmica G=183 µW/K. Si la resistencia de
carga del circuito es Rl=500 k:y el voltaje de operación es 30 V, calcular la constante de
tiempo del bolómetro.
26.
Para
un
sistema
óptico
de
telecomunicaciones con un laser de GaAs
(Egap= 1.42 eV) se quiere utilizar un detector
de Ge. Calcular el grosor del detector
necesario para poder absorber un 90% de la
señal óptica que llegue al mismo. ¿Y si el
detector fuera de Si? (considérese que hay una
capa antireflectante).
27. Considérese un fotoconductor de GaAs
-6
con una longitud de 25 µm y un área de 10
cm2. Si se aplica una diferencia de potencial
de 5V, calcular la ganancia del dispositivo,
usando un modelo de movilidad constante
2
(ver figura adjunta) con µn=7500 cm /Vs y
µp=1000 cm2/Vs. El tiempo de recombinación
es W= 10 s.
-7
Problemas de Electrónica Física 10
28. Se tiene un láser semiconductor de AlDGa1-DAs cuya emisión a diferentes corrientes viene dada
por las figuras 1 y 2 . Se pide: a) Comprobar que la emisión espontánea tiene una anchura que
es del orden de kT, b) ¿Corresponde la 1ª región activa a una capa de GaAs puro?. Calcúlese en
su caso la concentración de Al. c) Calcular la longitud de la cavidad del láser a partir de la
separación entre modos longitudinales. Ténganse en cuenta las curvas de dispersión de índice
de la figura.