espacio columna y espacio nulo de una matriz

ESPACIO COLUMNA Y ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ
El espacio columna de una matriz A de m x n, se escribe Col A, es el conjunto de todas las
combinaciones lineales de las columnas de A. Si A=[a1,...,an], con las columnas en R-m, entonces Col A
es lo mismo que Gen{a1,...,an}. Entonces
Col A=Gen{a1,...,an}
En notación de conjuntos, tenemos:
Col A={b: b = Ax para alguna x en R-n}
Teorema: El espacio columna de una matriz A de m x n es un subespacio de R-m.
Ejercicio: Sea A una matriz y b un vector. Determine si b está en el espacio columna de A.
(1)
Como vemos, el sistema tiene múltiples soluciones, es decir Ax=b es consistente y b está en Col A.
Cuando un sistema de ecuaciones lineales está escrito en la forma Ax=b, el espacio columna de A es el
conjunto de todas las b para las cuales el sistema tiene una solución.
El espacio nulo de una matriz A de m x n, que se escribe Nul A, es el conjunto de todas las soluciones
de la ecuación homogénea Ax=0. En notación de conjuntos
Nul A={x: x está en R - n y Ax=0}
Cuando A tiene n columnas , las soluciones de Ax=0 pertenecen a R-n, y el espacio nulo de A es un
subconjunto de R-n.
Ejercicio 1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones homogéneas
x1-3x2-2x3=0
-5x1+9x2+x3=0
El arreglo matricial de este sistema se escribe como Ax=0, donde
y sea u
Determine si u pertenece al espacio nulo de A.
Calculamos Au
(2)
Como se satisface Au=0, entonces u está en Nul A.
Teorema: El espacio nulo de la matriz A de m x n es un subespacio de R-n. De manera equivalente, el
conjunto de todas las soluciones de un sistema Ax=0 de m ecuaciones lineales homogéneas con n
incógnitas es un subespacio de R - n.
Es importante que las eccuaciones lineales que definen al conjunto H sean homogéneas. En caso
sontrario, definitivamente, el conjunto de soluciones no será un subespacio, puesto que el vector cero no
es solución de un sistema no homogéneo. También en algunos casos, el conjunto de las soluciones
podría estar vacío.
Ejercicio 2: Sea A una matriz y u un vector, ¿está u en Nul A? ¿Está u en Col A?
Solución:
Para determinar si u está en Nul A, resolvemos Au.
(3)
Para determinar si u está en Col A, formamos la matriz aumentada [A u] y se reduce a la forma
escalonada para determinar si la ecuación Ax=u es consistente.
(4)
Como vemos, el sistema no es consistente, por lo tanto u no está en Col A.
Ejercicios: Sea
Sean además
a) Determine si u está en Nul A. ¿Podría estar u en Col A?
b) Determine si v está en Col A. ¿Podría estar v en Nul A?
Solución
a)
(5)
Como vemos Au 0, por lo tanto u no está el Nul A,
Sobre la pregunta si podría estar u en Col A, la respuesta es no, debido a que u tiene 4 entradas y Col A
es un subespacio de R-3.
b)
(6)
Vemos que el sistema es consistente, es decir tiene solución, por lo tanto v está en Col A.
A la pregunta de si v podría estar en Nul A, la respuesta es no, ya que la operación Av no es posible. En
otras palabras, con solo tres entradas, v no podría estar en Nul A, puesto que Nul A es un subespacio de
R-4.