ENGRANAJES CILINDRICOS A DIENTES HELICOIDALES

MECANISMOS Y SISTEMAS DE AERONAVES
MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MÁQUINAS
ENGRANAJES CILINDRICOS
A DIENTES HELICOIDALES
Prof.: Ing Pablo L. Ringegni
Ayte: Sr. Mariano Arbelo
Engranajes cilíndricos a dientes helicoidales
Definiciones – Generalidades
Por simplicidad nos referiremos a estos engranajes con el nombre de “engranajes
helicoidales”.
Una característica importante de estos engranajes es la silenciosidad de su
funcionamiento, que representa una indudable ventaja respecto a los engranajes a
dientes rectos, que son mucho más ruidosos. La razón de tal fenómeno se explica mejor
pensando en la ruidosidad de los engranajes rectos: esto tiene su causa en la
periodicidad que caracteriza la transmisión de movimiento en los engranajes rectos,
estando el periodo representado por el tiempo necesario para que las primitivas rueden
una sobre la otra en un arco igual al paso. Durante el periodo, cambia el punto de
aplicación de la fuerza mutua; los dientes sufren pequeñas deformaciones elásticas
variables de instante a instante, que puede dar lugar a pequeños choques y vibraciones.
Dicha periodicidad queda prácticamente eliminada en los dientes helicoidales, ya que
en cada posición relativa de los dientes en acción se tienen entre ellos puntos de
contacto correspondientes a una extendida parte del arco de engrane; por otra parte, la
rigidez de los dientes helicoidales es bastante mayor que la de los dientes rectos.
Los dientes de una rueda helicoidal pueden ser considerados como engendrados por
hélices del mismo paso que tienen por eje común, el eje del círculo primitivo.
Los elementos característicos de una rueda helicoidal se dicen:
-
reales: si se corresponden a las dimensiones de la herramienta de corte, o si están
tomados “normalmente” al diente.
-
aparentes: si se corresponden a una sección perpendicular al eje, “oblicuamente”
con respecto al diente. Es lo que se “ve” sobre la cara de una rueda dentada (Fig.1).
Figura 1
Convenciones normalizadas
Las convenciones normalizadas para engranajes a dientes rectos se aplican también a
los engranajes helicoidales:
Figura 2
-
Hélice primitiva: intersección del cilindro primitivo o del diente y de la superficie
activa. La hélice puede ser izquierda (como en la figura 2) o derecha.
-
Inclinación de la hélice – Angulo β: ángulo agudo formado por una tangente
cualquiera a la hélice primitiva con el eje de la rueda dentada.
-
Paso aparente: viene dado por
πD
Pa =
n
Donde n: número de dientes
Figura 3
-
Paso real: viene dado por
Pr = Pa cos β
-
Paso axial o paso de la helice: paso medido paralelamente al eje de la rueda.
H = π D cotg β
-
Módulo aparente: viene dado por
ma =
D Pa
=
π
n
-
Módulo real: es el módulo de la herramienta de tallado
m=
-
Pr
π
= na. cos β
Altura del diente: se toman los siguientes valores
S=m
C = 1.25 m
La tabla 1 resume las relaciones entre las principales dimensiones de los dientes.
TABLA 1
Para una rueda dentada de n dientes
m.n
D=
= ma.n
Diámetro primitivo
D
cos β
Este valor es representado sólo en el círculo
Inclinación de la hélice
β
primitivo. Es un dato convencional a acordar con
H para determinar el modo de tallado.
π .m.n
Paso axial o paso de la
H = π .D. cot gβ =
H
hélice
senβ
Módulo real o módulo del
m
m = ma cos β
herramental
D
ma =
Módulo aparente
ma
n
Diente normal: S = m
Altura de cabeza
S
Diente corregido: S = m ± x
Diente normal: T = D + 2m
Diámetro del diente
T
Diente corregido: T = D + 2m ± 2x
Paso real
Pr
Pr = π m ó Pr = Pa cos β
π .D
Pa = π ma ó Pa =
Paso aparente
Pa
n
Propiedades del engranaje helicoidal
Las propiedades del diente helicoidal engranado por envolvente de circulo son iguales
a las del diente recto vistas en el apunte anterior.
La tabla 2 define las condiciones que deben satisfacer las hélices.
Las ruedas helicoidales generan cargas axiales que dependen del sentido de la hélice y
del sentido de rotación de la acción (rueda conductora o conducida).
TABLA 2: Sentido de la carga axial (mené = conducida; menant = conductora)
Cálculo del diente
Los métodos de cálculo para los dientes rectos pueden aplicarse a los dientes
helicoidales, según la calidad del engranaje.
Siendo:
n: Nº de dientes
m: módulo real
Con:
P: potencia en kW
v: velocidad en el circulo primitivo, en m/seg
F: esfuerzo tangencial en el punto primitivo, en daN
σ: tensión admisible
Figura 4
F=
100.P
v
, en daN
La resistencia estática es (como en los dientes rectos)
F=Ymlσ
m = módulo real
Donde el factor de forma Y, para una rueda de n dientes, es la de una rueda ficticia de
n
cos 3 β
dientes
(con esta forma se puede calcular para dientes rectos)
El ábaco de la Fig A-1 da el factor Y en función de n y de β.
Cálculo del diente según Lewis
La fórmula ya dada para dientes rectos, en el apunte anterior, puede usarse aquí
tomando para Y el resultado dado por el ábaco mencionado:
-
Factor de velocidad:
G = 25 (5 + v)
G = 45 (3 + v)
-
para engranajes calidad C
para engranajes calidad D y E
Potencia máxima transmitida:
P=
Y .m.l.σ .v
, en kW
G
-
Elección del módulo:
m.l =
P.G
Y .σ .v
Cálculo según la carga dinámica y el desgaste:
Consiste en una extensión de la formula de Buckingham para dientes rectos.
Para los engranajes de calidades A, B y C, el método visto en el apunte de engranajes
con dientes rectos puede adaptarse a los dientes helicoidales, teniendo en cuenta la
influencia del ángulo β de inclinación de la hélice.
F: esfuerzo tangencial en el primitivo, en daN
Fd: esfuerzo dinámico sobre el diente, en daN
l: ancho de la rueda o del piñón, en mm (no confundir con el ancho del diente)
v: velocidad en el primitivo, en m/seg
eh = 1.15 e: eror convencional. El error e esta definido como para un diente recto de
ancho l y módulo m (módulo real).
C: factor de deformación correspondiente a eh
Esfuerzo dinámico:
Viene dado por:
Fd = F + Fm = F +
10.v.(l.C + F ). cos β
10.v + 1,5. l.c + F
El valor de Fm puede obtenerse del ábaco de la Fig D-1 del apunte anterior.
Deberá verificarse, con la carga estática admisible
F=Ymlσ
Las siguientes relaciones:
Fs > Fd ≥ 0.8 Fs
Carga regular, sin choque ni variación importante de
momento
0.85 Fs > Fd ≥ 0.75 Fs
Carga variable, sin choque
0.75 Fs > Fd ≥ 0.67 Fs
Carga variable, con choque
Carga límite de desgaste
Nuevamente adaptamos las expresiones correspondientes a dientes rectos:
D: diámetro primitivo, en mm
n1, n2: número de dientes, piñón y rueda (n1 < n2)
Q=
2n 2
n 2 + n1
S: valor dado por la tabla C-1 del apunte anterior
La carga límite de desgaste vale:
Fu =
D.l.S .Q
cos 2 β
Deberá verificarse:
Fd < Fu
Utilización de los engranajes helicoidales
Rendimiento de los engranajes helicoidales
El rendimiento de los engranajes rectos es:
⎛1
1 ⎞
Rd = 1 − π . f .⎜⎜ + ⎟⎟
⎝ n1 n 2 ⎠
fórmula conocida como de Poncelet o de Reuleaux, en la cual:
f: coeficiente de fricción (de 0.05 a 0.20)
n1, n2: número de dientes del piñón y rueda
En el caso de engranajes helicoidales, con árboles paralelos, hay un incremento de
fricción debido a la inclinación de la hélice, que disminuye ligeramente el rendimiento,
y la Fórmula de Poncelet se transforma en:
Rh = 1 −
π. f ⎛ 1 1 ⎞
.⎜ + ⎟
cos β ⎜⎝ n1 n2 ⎟⎠
Así por ejemplo, para un piñón de 32 dientes y una rueda de 50 dientes, de calidad C,
si el engranaje es recto puede obtenerse un valor Rd = 98 %, mientras que si es
helicoidal el rendimiento posible es Rh = 97.2 %.
Esfuerzos sobre árboles y paliers – Árboles paralelos
Fuerzas teóricas en el engrane
Teóricamente, el esfuerzo tangencial F transmitido por la rueda conductora, determina
normalmente al diente una fuerza Q, que se descompone en las fuerzas siguientes:
Figura 5
R: dirigida según O1O2
A: paralela a los árboles
Siendo:
α: ángulo de presión
β: ángulo de la hélice
Tenemos que:
R=
F .tgα
cos β
A= F.tg β
Deben tenerse en consideración las mismas observaciones realizadas para engranajes
rectos, sobre los esfuerzos dinámicos, para una evaluación más real de las cargas que
actúan sobre los paliers.
Estimación de las fuerzas medias para la elección de los paliers
Se trata de estimar los esfuerzos que actúan:
-
en el plano del engranaje: Fm
-
paralelamente a los árboles: Am
Tomando los resultados del apunte anterior, si Fd es el valor calculado según los visto,
se tiene:
Fm = (a.F3 + b.Fd3)1/3
Am = Fm tg β
El valor de R es despreciable pues, como en los dientes rectos, la fuerza media Fm está
tomada en la dirección y sentido más desfavorables.
Si no es posible calcular Fd, un valor aproximado puede ser determinado, tomando
Fd = Yh F
Con lo cual
Fm = F(a. + b.Yh3)1/3
Los valores de a y b, según el tipo de carga, son los mismos que para dientes rectos y
se encuentran en la tabla 3. El ábaco de la figura B-1 da el valor aproximado de Yh.
I
II
III
TABLA 3
Tipo de carga
Carga regular, sin choque ni variación importante de torque
Carga variable, sin choque
Carga variable, con choque y variación importante de torque
a
b
0.9 0.1
0.8 0.2
0.6 0.4
Valores de cargas paralelas a los árboles
Tenemos que:
Ad = Fd tg β
Am = Fm tg β
Para lo cual hay que conocer los valores de Fd, Fm y β.
Valores de los esfuerzos a introducir en los cálculos
-
Para la elección de los rodamientos: descomponer la fuerza Fm y el momento
debido a Am en fuerzas radiales sobre la luz. Combinar, para un rodamiento de
cada uno de los árboles, la carga axial Am según las indicaciones suministradas
por los fabricantes. Admitir el sentido de las fuerzas más desfavorables.
-
Para la elección de cojinetes lisos: tomar Fm y Am y admitir el sentido teórico de F
y A para la distribución del aceite lubricante.
-
Para la elección de los árboles: calcular con Fd y Ad.
Apéndice: Factor de forma
Figura A-1