Condiciones suficientes de integrabilidad

Condiciones suficientes de integrabilidad
a) Toda función monótona en [a, b] es integrable en [a, b].
Supongamos que f es monótona creciente y f (b) > f (a) (si f (b) = f (a) la función
es constante y la demostración de su integrabilidad resulta trivial). Entonces, en
cada subintervalo [xi−1 , xi ],
mi = inf f (x) = f (xi−1 ),
Mi = sup f (x) = f (xi ).
Elegido ε > 0, tomamos una partición / 4xi <
S(P ) − s(P ) =
n
X
i=1
ε
, con lo que
f (b) − f (a)
n
X
ε
(Mi − mi ) 4xi <
(Mi − mi ) =
f (b) − f (a) i=1
ε
[f (xn ) − f (xn−1 ) + f (xn−1 ) − f (xn−2 ) + · · · + f (x1 ) − f (x0 )] = ε.
f (b) − f (a)
con lo que se cumple la condición de integrabilidad.
b) Toda función continua en [a, b] es integrable en [a, b].
Si f es continua en [a, b], será uniformemente continua en [a, b], por lo que dado
un ε > 0 cualquiera, existirá un δ tal que, para x, x0 ∈ [a, b] se cumple
|x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| <
ε
.
b−a
(1)
Sea P (x0 , x1 , . . . , xn ) una partición de [a, b] / 4xi < δ. Como f es continua, en
cada intervalo [xi−1 , xi ] alcanzará valores máximo y mı́nimo, es decir mi = f (x0i )
y Mi = f (x00i ) para ciertos x0i , x00i de [xi−1 , xi ].
Entonces, al ser xi − xi−1 = 4xi < δ, será x0i − x00i < δ; luego, debido a (1),
Mi − mi = |Mi − mi | = |f (x00i ) − f (x0i )| <
ε
.
b−a
Por tanto, para la partición P ,
S(P ) − s(P ) =
n
X
i=1
n
ε X
ε
(Mi − mi ) 4xi <
4xi =
(b − a) = ε,
b − a i=1
b−a
con lo que se cumple la condición de integrabilidad.
c) Toda función continua a trozos en [a, b] es integrable en [a, b].
Se dice que f es continua a trozos si tiene un número finito de puntos de discontinuidad, en ellos existen los lı́mites laterales y son finitos. La demostración puede
verse en J. Burgos, 296.