A L G E
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2007
ALGEBRA II
(PI – LSI)
F.C.E y T – UNSE
Autoevaluación
Temas:
Estructuras algebraicas. Grupo, anillo,
cuerpo, espacio vectorial, álgebra de Boole.
Subestructuras
Para resolver esta autoevaluación tienen dos opciones:
realizarla en forma completa verificando al final las
respuestas o bien corroborar los resultados a medida
que se va resolviendo cada actividad.
Un parcial está aprobado cuando se han resuelto bien el
60% de las actividades planteadas.
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María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
Actividades
1. Dado el conjunto P1(x) (conjunto de polinomios de grado menor o igual que
1) y la ley interna asociativa definida por:
p(x) q(x) = p(x) + q(x) – x
a) Pruebe que ( P1(x), ) tiene estructura de grupo.
b) Determine si (H,) es un subgrupo de ( P1(x), ), siendo
H = { ax + b / b = 0 }
Verifica la
respuesta
2. Considere el anillo (A, +, . ) donde A = {a, b, c } y las leyes están definidas en
las siguientes tablas:
+
A
B
C
a
c
a
b
b
a
b
c
c
b
c
a
.
a
b
c
a
a
b
c
b
b
b
b
c
c
b
a
i) Pruebe que (A,+,. ) es un cuerpo
ii) Halle el valor de x en cada caso:
x
a) a x
b) x c ( a c )2
c
Verifica la
respuesta
3. Considere el anillo (R, + , . )
Determine si el conjunto A = {a + b 3 / a, b Q } con la suma y
producto usual de números reales constituye un subanillo de R.
Verifica la
respuesta
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María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
4. Establezca la forma canónica y la canónica dual de la siguiente función
booleana sin hacer uso de la tabla.
F( x, y,z ) ( x y )' z
Verifica la
respuesta
5. Pruebe que en un álgebra de Boole es válido siguiente enunciado. Escriba el
dual correspondiente:
Verifica la
a b 0 a b' a' b a b
respuesta
6. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.
Sean R y u,v V / u 0v . Determine el o los valores de de modo que:
( u v ) u v (Justifique cada paso con los axiomas o propiedades de
espacio vectorial empleados).
Verifica la
respuesta
7. Dado el conjunto U =
a
c
b
d
R2 x 2
ab 0 c
d
2
Pruebe que es un subespacio de R2x2
Verifica la
respuesta
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María Inés Morales
El aula virtual de Álgebra Lineal
Respuestas:
1.a) ( P1(x), ) tiene estructura de grupo si verifica que: a1) es asociativa, a2)
P1(x) posee neutro respecto de , a3) todo elemento de P1(x) posee inverso
respecto de .
a1) es asociativa de acuerdo al enunciado del problema
a2) Se debe verificar que:
e( x ) P1( x ) / p( x ) P1( x ) : p( x )* e( x ) e( x )* p( x ) p( x )
tomando la primera igualdad:
p( x )* e( x ) p( x )
y aplicando la definición de se tiene:
p( x ) e( x ) x p( x )
donde + es la suma usual de polinomios, con lo que:
e( x ) p( x ) p( x ) x
e( x ) x
En forma análoga se obtiene el neutro por izquierda: e( x ) x
Finalmente existen el neutro por derecha y el neutro por izquierda y son
iguales, por lo tanto existe el neutro e( x ) x .
a3) Se debe verificar que:
p( x ) P1( x ), p'( x ) P1( x ) / : p( x )* p'( x ) p'( x )* p( x ) e( x )
tomando la primera igualdad:
p( x )* p'( x ) e( x )
aplicando la definición de y reemplazando con el neutro obtenido se
tiene:
p( x ) p'( x ) x x
luego
p'( x ) 2 x p( x )
En forma análoga se obtiene el inverso por izquierda: p'( x ) 2 x p( x )
Por último, todo elemento de P1(x) tiene inverso respecto de .
De acuerdo a lo desarrollado en a1), a2), a3) puede afirmarse que ( P1(x), ) tiene
estructura de grupo.
b) Para que (H,) sea un subgrupo de ( P1(x), ) se debe verificar que:
b1) H P1(x) Esto es verdadero ya que los elementos de H son
polinomios de grado menor o igual que 1.
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María Inés Morales
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b2) H . El polinomio nulo es un elemento de H ya que se puede decir
que tiene término independiente cero.
b3) p( x ),q( x ) H: p( x )* q'( x ) H
Sean p( x ), q( x ) H p( x ) ax q( x ) mx
Entonces :
p( x )* q'( x ) p( x )* 2 x q( x ) ax 2 x mx x
ax mx x a m 1 x H
Luego (H,) es un subgrupo de ( P1(x), )
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2. i) Probar que (A,+,. ) es un cuerpo implica probar que:
a) (A,+) es grupo abeliano
Esto se verifica ya que (A,+, .) es un anillo
b) (A – {0}, .) es grupo abeliano
Como (A,+, .) es un anillo, se tiene que (A, .) es semigrupo, luego debe probarse
que en A – {0} se verifican los axiomas del neutro, inverso y conmutatividad.
Es importante tener en claro que el cero de este anillo (elemento neutro
respecto de la suma) es b con lo que A – {0} es equivalente a A – {b} y la tabla
para este conjunto de la ley “.” resultaría:
.
a
b
c
a
a
b
c
b
b
b
b
c
c
b
a
Neutro:
En la tabla puede verse claramente que:
a.a=a.a=a
c.a=a.c=a
luego a es el neutro respecto de “ . ”
Inverso:
De la observación de la tabla:
a.a=a
c.c=a
por lo tanto a-1 = a y c-1 = c
Conmutatividad:
La tabla representa una matriz simétrica respecto de la diagonal principal,
luego “.” Es conmutativa
c) . es distributiva respecto de +
Se verifica al ser (A,+, .) es un anillo
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ii)
a)
b)
x c ( a c )2
x
a x
c
x c 1 a x
x c b2
x c b
x c a x
x c c 1 b c 1
x c x a ( x x )
x a b
x c x a a ( x x )
x b x b x b
x c a a b
x c c c b
xa c
x a a 1 c a 1
x ca
xc
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3.Para que (A, + , . ) sea un subanillo de (R, + , .) se debe verificar que:
a) A R ,
Esto es cierto ya que cualesquiera sean a y b racionales, a + b 3 es un
número real.
b) A
Se verifica ya que 0 = 0 + 0 3 A
c) m,n : m,n A m n A m n A
Sean m,n A m a b 3 n c d 3 con a,b,c,d Q
Restando:
m n a b 3 c d 3 = a c + b d 3 con a c Q,b d Q
luego m n A
Multiplicando:
2
m n a b 3 c d 3 =ac ad 3 bc 3 bd 3
ac 3bd ad bc 3 con ac 3bd Q y ad bc Q
luego: m n A
Por a), b) y c) puede asegurarse que (A, + , . ) es un subanillo de (R, + , .)
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4.- F( x, y,z ) ( x y )' z
F( x, y,z ) ( x y )' z x' y' z x' z y' z
x' y y' z x x' y' z x' y z x' y' z x y' z x' y' z
x' y z x' y' z x y' z
luego la forma canónica de función dada es:
F( x, y,z ) x' y z x' y' z x y' z
por otra parte, la función complementraria de F es:
Fc ( x, y,z ) x y z x y z' x' y z' x y' z' x' y' z'
por lo que la forma canónica dual de F es:
Fc '( x, y,z ) x' y' z' x' y' z x y' z x' y z x y z
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5.- Se debe probar que en un álgebra de Boole se verifica:
a b 0 a b' a' b a b
Prueba:
a b' a' b a a' a b b' a' b' b
1
1
a b b' a' a b ( b a )' = a b 1 a b
0
por hip
Se aplicó: distributividad de + respecto de , la suma de elementos
complementarios, leyes de De Morgan, neutro del producto.
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6.- Sean R y u,v V / u 0v se debe determinar el valor o valores de para que
( u v ) u v .
Aplicando la distributividad del producto de un escalar por la suma de dos
vectores:
u v u v
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Aplicando la propiedad cancelativa de la suma en un espacio vectorial:
u v u v
u u
Sumando a ambos miembros el opuesto de u:
u u u u
Empleando el axioma del elemento neutro, la propiedad según la cual 1 u u
y la distributividad, se tiene:
1 u 0v
En un espacio vectorial, si el producto de un escalar por un vector da por resultado
el vector nulo entonces el escalar es cero o el vector es el vector nulo. Como por
hipótesis u 0v entonces,
1 0 1
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7.- Se debe probar que U=
a
c
b
d
R2 x 2
ab 0 c
d es un
2
subespacio de R2x2.
Es evidente que U R2 x 2 y U (la matriz nula pertenece a U).
a
Ahora bien sean R y d
2
a a'
, d '
d
2
a'
U
d'
Sumando:
a
d
2
a a'
d'
d
2
a' a a'
d d'
d'
2
2
a a' a a'
d d'
d d'
2
a a'
U
d d'
Multiplicando escalar por vector:
a
d
2
a a
d
d
2
a
U
d
Con lo que queda probado que U es un subespacio de R2x2.
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