temarios para el concurso anual de matemáticas del sureste

FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
ÁLGEBRA
¿Cuál es el número positivo par más pequeño divisible entre 17
y 59? Justifica tu respuesta.
(3 minutos)
Solución:
Para encontrar un número que sea divisible entre 17 y 59,
hacemos:
17  59 = 1003
Como 17 y 59 no tienen factores comunes entonces 1003 es el
número más pequeño que es divisible entre ellos.
Como nos están pidiendo un número par y ni 17 ni 59 lo son,
hacemos:
1003  2 = 2006
Luego, el número pedido es 2006
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
ÁLGEBRA
Encuentra todos los valores que puede tomar w para que se
cumpla la siguiente igualdad
2
3
2 4w  17 
  1
w3 5
5 w  3 
(3 minutos)
Solución:
Tenemos la igualdad
2
3
2 4w  17 
  1
w3 5
5 w  3 
Multiplicando por 5(w – 3), obtenemos
2(5) – 3(w – 3) = 5(w – 3) – 2(4w – 17)
10 – 3w + 9 = 5w – 15 – 8w + 34
19 – 3w = 19 – 3w
Por lo tanto, la igualdad se cumple para todo número w  3
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
ÁLGEBRA
La longitud de los lados de un triángulo rectángulo son tres
números pares consecutivos. ¿Cuánto mide su perímetro?
(4 minutos)
Solución:
Sean n, n+2 y n+4 la longitud de los lados del triángulo. Por el
Teorema de Pitágoras y teniendo en cuenta que la hipotenusa es
el lado mayor
n2 + (n + 2)2 = (n + 4)2
n2 + n2 + 4n + 4 = n2 + 8n +16
n2 – 4n – 12 = 0
(n + 2) (n – 6) = 0
Entonces,
n1 = - 2 y n2 = 6
Pero como la longitud de los lados es positiva;
descartamos n1 = - 2
Por tanto, el perímetro es 6 + 8 + 10 = 24
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
ÁLGEBRA
Considera los números:
A  2 35 y B  5 15
¿Cuál es mayor? Justifica tu respuesta.
(4 minutos)
Solución:
Como el máximo común divisor de 35 y 15 es 5 , considerando la
raíz quinta de A y B :
5
A
5
2 35
y
5
5
B = 5 15
Entonces,
5
A  27  128
Como 5 A  5 B
Entonces, A  B
y
5
B  5 3  125
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
ÁLGEBRA
La media geométrica de dos números positivos es la raíz cuadrada
positiva
de
su
producto.
Encuentra
dos
números
enteros
consecutivos y positivos cuya media geométrica sea 2 3 .
( 5 minutos)
Solución:
Sean n y n  1 los enteros positivos consecutivos
Entonces,
n( n  1 )  2 3
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad
n ( n  1 )  12
n2  n  12  0
( n  4 )( n  3 )  0
Entonces,
n 4  0
ó
n 3  0
Así,
n  4
ó
n3
La solución positiva es n  3
Luego, los números buscados son 3 y 4
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
GEOMETRIA ANALÍTICA
La base de un triángulo isósceles es el segmento OA, donde A es
un punto que se mueve sobre el eje X. Si el triángulo OAP tiene 12
unidades de área, hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer
vértice P.
Y
P
P
’
O
A
X
A’
(4 minutos)
Solución:
Sea P un punto con coordenadas  x , y 
Entonces,
2x = longitud de la base del OAP
y = altura del OAP
El área de un triángulo está dada por:
Luego, el área OAP =
Área =
base altura 
2x  y
= 12
2
Por tanto, la ecuación del lugar geométrico es: xy = 12
2
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
GEOMETRIA ANALÍTICA
Una pelota fue arrojada hacia arriba. La distancia (en metros) a la
que se encuentra del suelo al cabo de t segundos, está dada por la
ecuación d  64 t  16 t . Hallar el tiempo en el que la pelota alcanza
2
su altura máxima.
(4 minutos)
Solución:
La ecuación d  64 t  16 t
2
representa una parábola vertical que
abre hacia abajo.
Luego, el punto en que la pelota alcanza su altura máxima se
determina con el vértice de la parábola.
Para obtener las coordenadas del vértice, transformemos la
ecuación dada a su forma canónica:
d = 64t – 16t2
d = –16 (t2 – 4t)
d – 64 = – 16 (t2 – 4t + 4)
d – 64 = – 16 (t – 2)2
Así, las coordenadas del vértice son (2, 64)
Es decir, la parábola alcanza su altura máxima, a los t = 2 segundos
de haber sido lanzada.
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
GEOMETRIA ANALÍTICA
La diferencia de las distancias de un punto P de una hipérbola a los
focos es 8 y la distancia entre los focos es 12 . Sabiendo que el eje
transverso de la hipérbola es paralelo al eje X y su centro es el
punto  3 ,  5 , hallar su ecuación.
(4 minutos)
Solución:
Sea
2a = longitud del eje transverso
2b = longitud del eje conjugado
2c = longitud del eje focal
Como el eje transverso es paralelo al eje X y su centro es  3 ,  5 ,
entonces se trata de una hipérbola horizontal con centro fuera del
origen, cuya ecuación es de la forma:
 x  32  y  5 2
Se tiene que:

a2
b2
2a = 8 
2c = 12 
1
a=4
c=6
Ahora, en la hipérbola se cumple la relación c2 = a2 + b2, de donde
b2 = c2 – a2 = 36 – 16 = 20
 x  32  y  5 2
Por tanto, la ecuación de la hipérbola es:

1
16
20
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
GEOMETRÍA PLANA
En la figura, AB es el diámetro de una circunferencia y CD es
perpendicular a AB. Si AD = 9 y DB = 4, determinar la longitud de
CD.
C
A
D
B
(5 minutos)
Solución:
Obsérvese que se puede formar tres triángulos rectángulos ABC,
ACD y BCD.
Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras implica que
13 2   AC 2  BC 2 ,
 AC 2  9 2  CD 2
BC 2  CD 2  4 2
De estos valores se sigue que:
13 2  9 2  CD 2  CD 2  4 2
Simplificando,
2CD 2  169  81  16  72
CD  6
y
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
GEOMETRÍA PLANA
En la figura, se supone que el ángulo K mide 60 y que las líneas
KH y KG son tangentes a la circunferencia en los puntos H y G.
¿Cuánto mide el arco mayor GH y el arco menor GH?
H
G
K
(5 minutos)
Solución:
El triángulo GHK es isósceles, pues las tangentes KG y KH son
iguales.
Por lo tanto, los ángulos interiores del triángulo en H y G
son
iguales y, como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
de 180  , cada uno debe medir 60  .
Sabemos entonces que el menor de los arcos GH debe tener el
doble de dicha medida, es decir, 120  . Así que el mayor de los
arcos GH debe ser de 240  .
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PRECÁLCULO
¿Cuál es el área del cuadrilátero encerrado por las gráficas de
y  x 5 y
y 5 x ?
(4 minutos)
Solución:
Graficando las funciones y  x  5 y
y  5  x obtenemos:
y  x 5
y 5 x
El área del cuadrilátero es igual a la suma de las áreas de los 4
triángulos rectángulos determinados por las dos gráficas y los
ejes coordenados, es decir,
A  4 5  5  2
A  50
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PRECÁLCULO

Sea f :    definida por
simplifica el resultado.
f  x   x x . Hallar
 f  f  x 
(3 minutos)
Solución:
Si y  f  x  , entonces
 f  f  x   f  f  x 
 yy
 
 x
x
x x
 xx
Esto es,
 f  f  x   x x
x 1
x1

y
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PRECÁLCULO
Indicar el inciso que corresponde a la gráfica. Justificar.
a) f ( x )  3
x
b) f ( x )  4
x
c) f ( x )  3
x
1
x
 1
d) f ( x )     1
 2
(3 minutos)
Solución:
(a) no puede ser por ser creciente.
(c) y (d) pasan por el origen, por lo tanto se descartan.
(b) es la respuesta correcta, pues pasa por el punto 0 , 1 , es
decreciente y se aproxima a 0 al crecer x.
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PRECÁLCULO
Hallar
la
función
f
inversa
f (0.a1 a 2 a 3 ...)  0.a 2 a1 a 3 ...
1
para
f : (0,1)  (0,1)
si
(es decir usando representación
decimal).
(4 minutos)
Solución:
f
1
 f , ya que f sólo intercambia los dos primeros dígitos
decimales del número al que se le aplica. Por lo tanto, si al
resultado de aplicarle f al número le aplicamos de nuevo f,
recuperamos el número original.
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PRECÁLCULO
Calcular el valor de a de modo que
3a , 6 a  3 , 15a  21
sea
una progresión aritmética.
(5 minutos)
Solución:
Para que sea una progresión aritmética debe cumplir que la
diferencia entre dos términos consecutivos sea la misma,
entonces:
6a  3  3a  15a  21  6a  3
Por tanto,
a
15
6
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Si las letras de la palabra “p r o b a b i l i d a d” son ordenadas al
azar, ¿cuál es la probabilidad de volver a formar exactamente la
palabra “probabilidad”?
(4 minutos)
Solución:
Sea el evento
A = { Se forma la palabra probabilidad }
Entonces, la probabilidad de formar la palabra “probabilidad”,
está dada por:
1  1  1  2  2 1  2  1  1  2  1 
P ( A )  12
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
24
P( A) 
12!
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
El código Morse consiste en una secuencia de dos símbolos
(punto y guión) que pueden repetirse. ¿Cuántas palabras de cinco
o menos caracteres se pueden escribir con dichos símbolos?
(4 minutos)
Solución:
Suma de ordenaciones de 2 en 5 , 2 en 5  1 , … , 2 en 5  4
O 5  O 4  O 3  O 2  O1  2
2
2
2
2
2
5
 2 4  2 3  2 2  21
 32  16  8  4  2
 62
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
En la siguiente tabla vemos una distribución de frecuencias
relativas
CLASE
A
B
C
D
FRECUENCIA
RELATIVA
0.22
0.18
0.40
?
a) ¿Cuál es la frecuencia relativa de la clase D?
b) Si el tamaño total de la muestra es 200, ¿cuál es la frecuencia
de la clase D?
(4 minutos)
Solución:
a)
La frecuencia relativa de la clase D es:
fr = 1 - 0.22 - 0.18 - 0.40
fr = 0.20
b)
f  200 0.20 
f  40
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
TRIGONOMETRÍA
¿Puede haber un triángulo rectángulo cuya hipotenusa valga 7 y
cuya área sea 40? Justifica tu respuesta.
(4 minutos)
Solución:
Si el área del triángulo es 40,
B
entonces:
h=7
ba
 40
2
a
C
De donde, a 
b
A
80
(*)
b
a
7
80
Sen A 
Sustituyendo (*):
7b
Además:
 1  sen A  1
80
80
 1 , multiplicando por b,  b 
b
Esto es,  1 
7b
7
80
Por propiedad de las desigualdades b 
7
Es decir, b  11.42 , así, b  h
Debe ser triángulo rectángulo, entonces: Sen A 
Y como b es positiva ya que es una longitud, entonces: b  h
Por lo tanto, no puede haber un triángulo cuya hipotenusa valga 7
y su cuya área sea 40.
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XXXVI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL
SURESTE
Fase abierta
TRIGONOMETRÍA
Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 5 unidades de
longitud y su perímetro es de 12 unidades ¿Cuál es el área del
triangulo?
(4 minutos)
Solución:
B
Tenemos que:
La hipotenusa es h  5
h=5
a
El perímetro es P  a  b  h
Es decir, 12  a  b  5
C
b
A
De donde obtenemos: a  7  b
Ahora, por el Teorema de Pitágoras, tenemos que: a 2  b 2  h2
7  b2  b 2  25
Sustituyendo a y h , obtenemos:
Realizando las operaciones correspondientes:
49  14 b  b 2  b 2  25
2b 2  14 b  49  25  0
2b 2  14 b  24  0
b 2  7 b  12  0
b  4 b  3   0
b4
b3
Si
b4  a  3
b 3  a  4
1
ba
2
1
 4 3 
2
 6 unidades cuadradas
área 