Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física

Física Experimental II – Curso 2016 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP
Laboratorio VII: Dilatación térmica de sólidos y ley de enfriamiento de Newton.
Laboratorio 7: Dilatación térmica de sólidos y ley de enfriamiento de
Newton.
Para empezar, un problema.
El detective Diamond Gerace es convocado por Scotland Yard a una casa de Lara
Point, donde se ha producido un asesinato. Llega a la escena a las 10.23 pm y
comienza su investigación. Toma inmediatamente la temperatura del cuerpo y
encuentra que es 26.7 ºC. Además, analiza el control del aire acondicionado y verifica
que la habitación se ha mantenido a 20 ºC los últimos tres días. Después de recoger
evidencias en la escena de la escena del crimen, toma una vez más la temperatura del
cuerpo, y encuentra que es 25.8 ºC. Esta última temperatura fue tomada exactamente
una hora después de la primera. Luego de pensar unos segundo y tomar un vaso de
brandy afirma: “Murió a las 6.27 pm, suponiendo que no haya estado enfermo y que
antes de morir su temperatura corporal era normal, esto es 37 ºC”. Como lo supo? [1]
Introducción.
1- Expansión térmica
Casi todos los materiales se expanden al aumentar
su temperatura. El aumento en la temperatura hace que el
líquido se expanda en los termómetros de líquido en un
tubo y que las cubiertas de puentes necesitan
articulaciones y soportes especiales que den margen a la
expansión. Una botella totalmente llena de agua y tapada
se revienta al calentarse; pero podemos aflojar la tapa
metálica de un frasco vertiendo agua caliente sobre ella.
Éstos son ejemplos de expansión térmica. Otro ejemplo es
el avión SR-71. Cuando está en tierra, los paneles de sus alas “encajan” de forma tan
holgada que hay fugas de combustible de las alas al suelo. Sin embargo, una vez que el
avión está en vuelo a más del triple de la rapidez del sonido, la fricción del aire calienta
tanto los paneles que se expanden y encaja
perfectamente (El abastecimiento de combustible
durante el vuelo compensa la pérdida de
combustible en tierra) [2].
Veamos el caso más simple, la expansión
lineal. Supongamos que una varilla de material
tiene longitud L0 a una temperatura inicial T0. Si
la temperatura cambia en ΔT, la longitud cambia
en ΔL. Se observa experimentalmente que si ΔT
no es muy grande ΔL es directamente
proporcional a ΔT. Si dos varillas del mismo
material tienen el mismo cambio de temperatura,
pero una es dos veces más larga que la otra, su
cambio de longitud también será del doble. Por lo
tanto, ΔL también debe ser proporcional a L0 (ver
figura). Si introducimos una constante de
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proporcionalidad α (diferente para cada material),
Podemos expresar estas relaciones en una ecuación:
L - L0 = αL0 ΔT.
(1)
La constante α, que describe las propiedades de expansión térmica de un material dado,
se denomina coeficiente de expansión lineal. Las unidades de α son K-1 o ºC-1 (recuerde
que un intervalo de temperatura es igual en las escalas Kelvin y Celsius). En muchos
materiales, todas las dimensiones lineales cambian según la ecuación (1). Así, L podría
ser el espesor de una varilla, la longitud del lado de una lámina cuadrada o el diámetro
de un agujero (algunos materiales, como la madera o los monocristales, se expanden de
diferente forma en diferentes direcciones, caso que no consideraremos aquí).
Podemos entender la expansión
térmica cualitativamente desde una
perspectiva molecular. A temperaturas
ordinarias, los átomos de un sólido
oscilan alrededor de su posición de
equilibrio con una amplitud de
alrededor 10-11 m. El espaciado
promedio entre los átomos es de 10-10
m.
Imaginemos
las
fuerzas
interatómicas en un sólido como
resortes (ver figura). Cada átomo vibra alrededor de su posición de equilibrio. Al
aumentar la temperatura, también se incrementan la energía y la amplitud de la
vibración. Las fuerzas interatómicas no son simétricas alrededor de la posición de
equilibrio. Suelen comportarse como un resorte que es más fácil de estirar que de
comprimir. En consecuencia, al aumentar la amplitud de las vibraciones, también se
incrementa la distancia media entre las moléculas. Al separarse los átomos, todas las
dimensiones aumentan.
El orden expresado arriba se resume en la siguiente secuencia:
Aumenta la temperatura del cuerpo → aumenta la energía de vibración → aumenta la
distancia de separación interatómica → se manifiesta la expansión térmica.
La proporcionalidad directa expresada
por la ecuación (1) no es exacta; sólo es
aproximadamente correcta para cambios de
temperatura pequeños. Para un material dado, α
varía un poco con la temperatura inicial T0 y el
tamaño del intervalo de temperatura. En la tabla
1 se dan valores promedio de α para varios
materiales. Observe que los valores típicos de α
son muy pequeños; aun para un cambio de
temperatura de 100°C, el cambio de longitud
relativo ΔL/ L0 es del orden de 1/1000.
En la dilatación superficial y volumétrica, resulta:
A - A0 = βA0 ΔT
V - V0 = γV0 ΔT
2
(2)
(3)
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Si el material es isótropo, se verifica que β≈2α, γ≈3α.
2- Conducción del calor.
Existen materiales que permiten o impiden la transferencia de calor entre
cuerpos. Son los conductores y aislantes, respectivamente, Veamos ahora más a fondo
las tasas de transferencia de energía. En la cocina, usamos una olla de metal o vidrio
para tener buena transferencia de calor de la hornalla a lo que cocinamos, pero el
refrigerador está aislado con un material que evita que fluya calor hacia la comida que
está en el interior.
Los tres mecanismos de transferencia de calor son conducción, convección y
radiación. Hay conducción dentro de un cuerpo o entre dos cuerpos que están en
contacto. La convección depende del movimiento de una masa de una región del
espacio a otra. La radiación es transferencia de calor por radiación electromagnética,
como la luz del Sol, sin que tenga que haber materia en el espacio entre los cuerpos.
Conducción.
Si sujetamos el extremo de una varilla de cobre
y colocamos el otro en una llama, el extremo que
sostenemos se calienta cada vez más, aunque no esté
en contacto directo con la llama. El calor llega al
extremo más frío por conducción a través del material.
En el nivel atómico, los átomos de las regiones más
calientes tienen más energía cinética, en promedio, que
sus vecinos más fríos, así que empujan a sus vecinos,
transfiriéndoles algo de su energía. Los vecinos
empujan a otros vecinos, continuando así a través del
material. Los átomos en sí no se mueven de una región
del material a otra, pero su energía sí.
La mayoría de los metales usa otro mecanismo
más eficaz para conducir calor. Dentro del metal,
algunos electrones pueden abandonar sus átomos
originales y moverse “libremente” por la red cristalina.
Estos electrones “libres” pueden llevar energía rápidamente de las regiones más
calientes del metal a las más frías; por ello, los metales generalmente son buenos
conductores del calor. Una varilla metálica a 20 °C se siente más fría que un trozo de
madera a 20 °C porque el calor puede fluir más fácilmente de la mano al metal.
Para este mecanismo sólo hay transferencia de calor entre regiones que están a
diferente temperatura, y la dirección de flujo siempre es de la temperatura más alta a la
más baja. La figura muestra una varilla de material conductor con área transversal A y
longitud L. El extremo izquierdo de la varilla se mantiene a una temperatura TH, y el
derecho a una temperatura menor TC, así que fluye calor de izquierda a derecha.
Supondremos que los costados de la varilla están cubiertos con un aislante ideal, así que
no hay transferencia de calor por los lados.
Si se transfiere una cantidad de calor ΔQ por la varilla en un tiempo Δt, la tasa
de flujo de calor es ΔQ/ Δt. Llamamos a éste cociente H. Se observa experimentalmente
que H es proporcional al área transversal A de la varilla y a la diferencia de temperatura
(TH - TC), e inversamente proporcional a la longitud de la varilla L. Introduciendo una
constante de proporcionalidad k llamada conductividad térmica del material, tenemos:
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𝐻=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴
(𝑇 𝐻 − 𝑇 𝐶 )
𝐿
(4)
La cantidad (TH - TC)/L es la diferencia de temperatura
por unidad de longitud, llamada gradiente de
temperatura. El valor numérico de k depende del
material de la varilla. Los materiales con k grande son
buenos conductores del calor; aquellos con k pequeña
son conductores o aislantes deficientes. La ecuación (4)
da la corriente de calor que pasa a través de cualquier
cuerpo homogéneo con área transversal A uniforme y
perpendicular a la dirección de flujo; L es la longitud de
la trayectoria de flujo del calor. Las unidades de H son
unidades de energía por tiempo, es decir, potencia; la
unidad SI es el watt (1 W = 1 J/s). En la tabla se dan
algunos valores de k.
Si la temperatura varía de manera no uniforme a
lo largo de la varilla conductora, introducimos una
coordenada x a lo largo y generalizamos el gradiente de
temperatura como dT/dx. La generalización correspondiente de la ecuación (4) es:
𝐻=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
(5)
El signo negativo indica que el calor siempre fluye en la dirección de temperatura
decreciente (el flujo de calor es contrario al gradiente de temperatura).
Convección.
La convección es transferencia de calor por
movimiento de una masa de fluido de una región a
otra. Como ejemplos conocidos tenemos los
sistemas de calefacción domésticos de aire y agua
caliente, el sistema de enfriamiento de un motor de
combustión y el flujo de sangre en el cuerpo. Si el
fluido circula impulsado por un ventilador o
bomba, el proceso se llama convección forzada; si
el flujo se debe a diferencias de densidad causadas
por expansión térmica, como el ascenso de aire
caliente, el proceso se llama convección natural o
convección libre (ver figura).
La convección libre en la atmósfera
desempeña un papel dominante en la
determinación del estado del tiempo, y la
convección en los océanos es un mecanismo
importante de transferencia global de calor. El
mecanismo de transferencia de calor más
importante dentro del cuerpo humano (necesario
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para mantener una temperatura casi constante en diversos entornos) es la convección
forzada de sangre, bombeada por el corazón.
La transferencia de calor convectiva es un proceso muy complejo, y no puede
describirse con una ecuación simple. Veamos algunos hechos experimentales:
- La corriente de calor causada por convección es directamente proporcional al área
superficial. Esto explica las áreas superficiales grandes de los radiadores y las aletas de
enfriamiento.
- La viscosidad de los fluidos frena la convección natural cerca de una superficie
estacionaria, formando una película superficial que, en una superficie vertical, suele
tener el mismo valor aislante que tiene 1.3 cm de madera terciada. La convección
forzada reduce el espesor de esta película, aumentando la tasa de transferencia de calor.
Esto explica el “factor de congelación”: nos enfriamos más rápidamente en un viento
frío que en aire tranquilo a la misma temperatura.
Radiación.
La radiación es la transferencia de calor por ondas electromagnéticas como la
luz visible, el infrarrojo y la radiación ultravioleta. Todos hemos sentido el calor de la
radiación solar y el intenso calor de un asador de carbón, o las brasas de una chimenea.
Casi todo el calor de estos cuerpos tan calientes no nos llega por conducción ni por
convección en el aire intermedio, sino por radiación. Existiría esta transferencia de calor
aunque sólo hubiera vacío entre nosotros y la fuente de calor.
Todo cuerpo, a cualquier temperatura, emite energía en forma de radiación
electromagnética. A temperaturas del orden de los 300 K casi toda la energía se
transporta en ondas de infrarrojo con longitudes de onda mucho mayores que las de la
luz visible. Al aumentar la temperatura, las longitudes de onda se desplazan hacia
valores mucho menores. A 1100 K, un cuerpo emite suficiente radiación visible para
convertirse en objeto luminoso “al rojo vivo”, aunque aun a esta temperatura la mayoría
de la energía se transporta en ondas de infrarrojo. A 3300 K, la temperatura de un
filamento de bombilla incandescente, la radiación contiene suficiente luz visible para
que el cuerpo se vea “al rojo blanco”.
La tasa de radiación de energía de una superficie es proporcional a su área
superficial A y aumenta rápidamente con la temperatura, según la cuarta potencia de la
temperatura absoluta (Kelvin). La tasa también depende de la naturaleza de la
superficie; esta dependencia se describe con una cantidad e llamada emisividad: un
número adimensional entre 0 y 1 que representa la relación entre la tasa de radiación de
una superficie dada y la de un área igual de una superficie radiante ideal a la misma
temperatura (la emisividad también puede depender de la temperatura). Así, ΔQ/Δt
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debida a radiación de un área superficial A con emisividad e a la temperatura T (en K)
se puede expresar:
𝐻=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝐴𝑒𝜎𝑇4 ,
(6)
donde 𝜎 es una constante física fundamental llamada constante de Stefan-Boltzmann.
Esta relación se llama ley de Stefan-Boltzmann en honor de sus descubridores (finales
del siglo XIX). El valor numérico actual de 𝜎 es 5.67040040x10-8 WK4/m2. La
emisividad e suele ser mayor para superficies oscuras que claras. La emisividad de una
superficie de cobre lisa es del orden de 0.3, pero para una superficie negra opaca puede
ser cercana a la unidad. Se verá la Ley se Stefan-Boltzmann con mayor profundidad en
cursos posteriores (Física General IV).
3- Ley de Enfriamiento de Newton
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos
llamados fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación,
vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor
tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La
transferencia de calor es importante en los procesos porque es un tipo de energía que se
encuentra “en tránsito” debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y esta
energía en lugar de perderse sin ningún uso puede transformarse en energía mecánica
para producir trabajo.
En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de
los procesos de transferencia de calor a través de la ecuación empírica que relaciona la
temperatura de enfriamiento de un cuerpo con respecto al medio que lo rodea.
La ley de enfriamiento de Newton enuncia que, cuando la diferencia de
temperaturas entre un cuerpo y su entorno no es demasiado grande, el calor transferido
por unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y
radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el
cuerpo y dicho medio externo, siempre y cuando este último mantenga constante su
temperatura durante el proceso de enfriamiento.
La genialidad de Newton se pone de manifiesto nuevamente cuando utilizando
un horno de carbón de una pequeña cocina, realizó un sencillo experimento: calentó al
rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo lo colocó en un lugar frío y observó cómo se
enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus conjeturas sobre el ritmo al cual se
enfriaba el bloque dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de
enfriamiento de Newton. Esta ley describe que la razón de pérdida de calor de un cuerpo
es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y el medio ambiente que
lo circunda. Se expresa de la siguiente forma:
donde α es el coeficiente de intercambio de calor y S el área superficial del cuerpo que
se encuentra expuesta al medio ambiente. Si la temperatura del cuerpo es mayor que la
ambiental, entonces deberá experimentar una pérdida de calor, la cual será proporcional
a la diferencia de temperaturas. Podemos expresar esto en forma:
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donde m es la masa del cuerpo y Ce su calor específico. El signo menos indica una
pérdida de calor (flujo del cuerpo al entorno). Podemos combinar las ecuaciones
anteriores en una forma simplificada:
donde k es una constante de proporcionalidad conocida como parámetro de
enfriamiento (su inversa, k-1, es el tiempo característico del proceso) que depende de las
condiciones ambientales y TA es la temperatura ambiente, que se supone siempre es
constante. Resolviendo esta ecuación diferencial para un cuerpo que se enfría desde una
temperatura T0 (tiempo “cero”) hasta una temperatura T, obtenemos la temperatura del
cuerpo en función del tiempo:
De donde:
𝑇(𝑡) = 𝑇𝐴 + (𝑇0 − 𝑇𝐴)𝑒−𝑘𝑡
(7)
Debemos recordar que esta expresión es una aproximación válida para pequeñas
diferencias entre T0 y TA . Una formulación más precisa del enfriamiento de un cuerpo
en un medio necesitaría un análisis del flujo de calor del cuerpo caliente en un medio
heterogéneo de temperatura. En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utilizado
especialmente en modelos climáticos como una forma rápida y computacionalmente
económica de calcular la evolución de temperatura de la atmósfera. Estos cálculos son
muy útiles para determinar las temperaturas así como para predecir los acontecimientos
de los fenómenos naturales.
Los experimentos.
La dilatación térmica de sólidos se manifiesta en forma cotidiana y se muestra
tanto cualitativa como cuantitativamente en experimentos básicos de laboratorio, aún en
cursos de nivel secundario. El presente experimento consiste en someter a un tubo
hueco de longitud conocida inicialmente a temperatura ambiente a una fuente de calor
en su interior (flujo de vapor de agua generado en una caldera apropiada) y medir su
longitud cuando alcanza una temperatura cercana a 100 ºC. Se determina así el
coeficiente de dilatación lineal, parámetro característico del material entre esas dos
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temperaturas. Normalmente, la experiencia se repite con otros tubos de distinto material
y se comparan los valores obtenidos con los existentes en la literatura.
Este experimento puede ser tomado como punto de partida para un segundo
experimento y demostrar la curva de enfriamiento exponencial predicha por la ley de
Newton. Esto se hace midiendo la temperatura en el centro del tubo o midiendo el
acortamiento del mismo a intervalos regulares de tiempo, después de haber apagado la
caldera y cesado el flujo de vapor.
El equipo usado es llamado Thermal Expansion Apparatus por PASCO
Scientific, Modelo TD-8558a [3] , que es mostrado esquemáticamente en la Figura 1.
Figura 1: Diagrama esquemático del equipo empleado.
Consta de un tubo cilíndrico (gris claro, en el esquema) sujeto por un extremo a
un soporte levemente inclinado y solamente apoyado en el extremo a menor altura. El
tubo tiene rígidamente soldada una pieza metálica, en contacto con un calibre fijo al
soporte (lectura tipo reloj) que mide el alargamiento del tubo. La resolución de este
calibre es 0.01 mm. Un flujo de vapor es generado por una caldera y la temperatura del
centro de la barra se mide indirectamente con un termistor (elemento cuya resistencia
eléctrica depende de la temperatura). La temperatura será medida colocando una
termocupla en contacto con el tubo metálico y registrando directamente el descenso de
la temperatura durante el proceso de enfriamiento por convección natural, no forzada.
1. Dilatación térmica de sólidos.
Para la primera parte del laboratorio, midiendo las temperaturas ambiente y
final, la longitud inicial del tubo L0 y su alargamiento con el calibre, se determina el
coeficiente de dilatación lineal. Se estima que el tubo se dilatará alrededor de 1 mm,
según el material.
2. Ley de enfriamiento de Newton
Para verificar la Ley de Newton se podría medir la temperatura en el centro del
tubo a intervalos regulares de tiempo, después de interrumpir el flujo de vapor en el
interior del mismo y analizar la evolución de la temperatura con el tiempo durante el
proceso de enfriamiento por convección natural, no forzada.
Un tratamiento alternativo para verificar la ley de Newton consiste en medir el
acortamiento del tubo en los mismos instantes de tiempo (registro simultáneo, en
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paralelo con el método precedente). La reducción diferencial de longitud es
proporcional a la disminución diferencial de temperatura (ver ecuación 1). La evolución
temporal del acortamiento sigue la misma ley exponencial que la temperatura del tubo:
𝐿(𝑡) = 𝐿𝐴 + (𝐿0 − 𝐿𝐴 )𝑒−𝑘𝑡
(7)
(L0 es la longitud del tubo en el instante inicial de este proceso, esto es, cuando T=100
ºC). Se procederá de las tres maneras y se discutirán los resultados obtenidos en cada
procedimiento.
Referencias.
Material didáctico preparado para uso interno de la materia Física Experimental II por el Prof. J.
L. Alessandrini y modificado por los Prof. Leonardo Errico y José M. Ramallo López
[1] Un/una estudiante de física o física médica podría preguntarse: “Y si estaba afiebrado, con
40 ºC de temperatura corporal al momento de su muerte? A qué hora murió? Antes o después de
las 6.27 pm? Respondiendo a esta inquietud, se valora la influencia de la temperatura inicial T0
en la ley de enfriamiento de Newton. Es importante conocer esta respuesta antes de realizar el
experimento.
[2] El vuelo velocidades supersónicas produce un problema adicional: un enorme incremento de
temperatura en las superficies y bordes de ataque por rozamiento y debido a la compresión
adiabática del aire frente a la aeronave. Cuando volaba a Mach 2, el pico del Concorde se ponía
a 127 ºC y el borde de ataque de las alas, a unos 105 ºC. En este rango de temperaturas, algunos
materiales comúnmente usados en aviación por su coste y conveniencia como el aluminio
comienzan a perder su templado y debilitarse. No ocurre de inmediato, pero sí con el uso. Por
encima de estas temperaturas, hay que recurrir necesariamente a otros metales como el titanio,
más pesados y con un coste mucho mayor. Como el Concorde estaba hecho con duraluminio,
usando aleaciones de acero al titanio únicamente en algunos puntos, su velocidad efectiva
quedaba limitada a Mach 2.02. El Tu-144, equipado con componentes de titanio en todas las
zonas críticas, llegó a alcanzar Mach 2.26. Una curiosidad bastante famosa es que, debido a
estas temperaturas, el Concorde se alargaba por dilatación hasta veinticinco centímetros; cosa
que también hay que tener en cuenta durante el diseño.
Otra peculiaridad menos
conocida es que el color
predominantemente blanco del
Concorde y el Tu-144 no
obedecía a una razón caprichosa:
era
para
evitar
el
sobrecalentamiento adicional de
la estructura en unos 10 ºC. Es
decir, la misma razón por la que
las casas suelen ser blancas en las
regiones cálidas. Los aviones
supersónicos pintados de negro
por razones militares (como el SR-71 Blackbird) lo hacen a cambio de pagar una penalización
térmica.
Estos regímenes térmicos obligan a una refrigeración adicional del avión y sus sistemas.
El Concorde lo hacía utilizando el combustible almacenado en los depósitos y el Tu-144
mediante un sistema específico. Además, fuerzan a proteger las áreas interiores frontales –como
la cabina de mandos– contra el calor. Como consecuencia de todo esto, las aeronaves
supersónicas exigen diseños más afilados y estrechos, motores más potentes, sistemas
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adicionales de refrigeración y otras peculiaridades de diseño, lo que en su conjunto eleva el peso
en vacío por asiento, antes incluso de considerar la carga de combustible. Es decir: hay que
mover más avión para desplazar a un pasajero. En el Concorde, el peso en vacío por asiento era
de 655 kg y en el Tu-144, de 607 kg (lo que daba al avión soviético una mejor capacidad de
carga). Pero en aviones subsónicos, esta masa por asiento es muy inferior: 341 kg para el
Boeing 747-400, 296 para el Airbus A380 y apenas 220 para el Airbus A321-200. Esto es: para
transportar a un pasajero en Concorde hay que mover casi el triple de avión que para hacerlo en
un Airbus A321. Eso, de manera prácticamente automática, significa que el coste va a ser como
mínimo tres veces más caro.
[3] Para más detalles, se puede consultar, por ejemplo:
http://store.pasco.com/pascostore/showdetl.cfm?&DID=9&Product_ID=55467&Detail=1
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