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Momentos
El momento k-ésimo para una variable
aleatoria discreta respecto del origen, es
n
E(x) = ∑ xki .p ( x i )
i =1
El primer momento centrado en el origen (k=1) es la
esperanza matemática de X
También se definen momentos alrededor de cualquier
punto fijo, en particular, alrededor de E(X)
µ2 = E ( x − E ( x ) )
2
El momento de 2do orden centrado en la esperanza, es
la varianza de X.
Momento de 3er orden centrado en
E(x)
µ3 = E ( x − µ )
3
Para determinar la asimetría de la distribución :
µ3
As = 3
σ
Si As > 0 , Hay asimetría derecha.
Si As < 0 , Hay asimetría a izquierda
Si As = 0. Hay simetría.
Para determinar el grado de agudeza o curtosis:
µ4
K=
σ4
Si K= 3 , mesocúrtica.
Si K>3 , leptocúrtica.
Si K< 3 , platicúrtica.
Observaciones
Los momentos de mayor orden son sólo de interés
teórico.
En la mecánica elemental, los momentos están asociados con
las propiedades físicas de cuerpos de masa.
El 1er momento con respecto al origen está relacionado con el
centro de gravedad y el 2do momento con respecto al centro de
gravedad es el momento de inercia.
Otras características numéricas:
Modo: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su
valor máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo).
Ejemplo: Calcular el modo de f(x)=6x.(1-x)
Mediana
Es el valor de X para el cual
m
e
1
1
1
P ( X < me ) = ⇒ P ( −∞ < X < me ) = ∫ f(x)dx = ó P ( X ≥ me ) =
2
2
2
−∞
Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que
 x 2 si o < x ≤ 1

2
f (x ) = 
si 1 < x ≤ 2
3
 0 s i x > 2
Algunas distribuciones estadísticas
teóricas
• En este capítulo presentamos modelos
especiales de probabilidades.
• Reconocer dichos modelos nos ayudan a
predecir la conducta de futuras
repeticiones de un experimento y además
al tener fórmulas matemáticas precisas
para varias situaciones, los cálculos de
probabilidades que intervienen pueden
reducirse a operaciones corrientes.
Distribución de Bernoulli
Experimento de Bernoulli: sólo son posibles dos
resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una
variable aleatoria discreta X tal que:
xi
P(xi)
Se verifican las propiedades:
P ( xi ) ≥ 0
1 (éxito)
p
0 (fracaso) q=1-p
1
∑ P ( X = x ) = P ( X = 1) + P ( X = 0) = p + 1 − p = 1
x =0
Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable de Bernoulli
El modelo Binomial
• Una variable binomial puede considerarse como la
suma de n variables de Bernoulli independientes.
• Cada prueba es una variable de Bernoulli; es
decir, puede resultar un éxito o un fracaso, con
probabilidades p y 1-p respectivamente en cada
prueba.
Definición : Se dice que X es una variable
aleatoria binomial con parámetros n y p si su
distribución de probabilidades está dada por:
X ∼ b (n ,p )
n
P (x= k )= 
k
 k
n−k
p
.
1
−
p
(
)


Demostrar que la variable aleatoria
binomial es una legítima distribución
de probabilidad.
n k
n −k
n
P(x=k) = ∑  .p . (1 − p ) =  p + (1-p )  = 1
∑
k =0
k =0  k 
n
n
Para identificar el modelo binomial:
Por binomio de
Newton
• Hay n repeticiones independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A
o su contrario.
•La probabilidad de A es p, constante en cada prueba.
Ejemplos de variable binomial
Ejemplos
Variable X
Lanzar una moneda 10 veces.
Hallar la probabilidad de que se obtengan 3 caras.
Nro de
caras
obtenidas
Se analizan 18 muestras de aire y se sabe que la
probabilidad de que cada muestra de aire contenga una
molécula rara es 0,1
Hallar la probabilidad de que a lo sumo 2 muestras de aire
contengan una molécula rara.
Nro de
muestras
de aire con
esa
molécula
rara.
Se administra a 30 pacientes que padecen una
enfermedad, un medicamento con el cual tienen una
probabilidad de 0,35 de experimentar una mejoría.
Nro de
pacientes
mejorados
Un examen de opción múltiple contiene 20 preguntas, cada
Nro de
una con cuatro opciones, y se pide a un alumno que
respuestas
resuelva el examen sin haber estudiado.
correctas
Hallar la probabilidad de contestar bien 4 o 5 preguntas.
Características numéricas de la
variable binomial X
Demostrar que si x es binomial,
E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p)
Del ejemplo anterior, calcular el número
de pacientes esperado que experimentan
mejoría y su varianza.
Variable aleatoria
Hipergeométrica
Ejemplo:
La producción diaria de 850 partes contiene 50
que no cumplen con los requerimientos del
cliente. Se toman 4 partes al azar, sin
sustitución, de la producción del día y se
define la siguiente variable aleatoria
X: “ número de partes que no cumplen con los
requerimientos del cliente.”
Ejercicio:
Calcular la probabilidad de que 2 partes no
cumplan con los requerimientos.
Contamos con: N = tamaño de la población.
k elementos poseen cierta
característica (no cumplir
con los requerimientos)
X es el nro de elementos del
tipo de k en n extracciones sin
reposición
N-k elementos no poseen cierta
característica
n-x es el número de
elementos del tipo
de N-k
Variable aleatoria
Hipergeométrica
Una variable hipergeométrica es generada según las condiciones
siguientes:
• n pruebas no independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario.
•La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada
prueba.
Definición: Se dice que X es una variable aleatoria
hipergeométrica con parámetros N, n y k, si su distribución de
probabilidades está dada por:
 N −

n −
P (X = x ) = 



k
x
N
n
 k 


x





Esperanza y varianza de una variable
hipergeométrica.
k
E( X ) = n  
N 
k  N − n 
 k 
V ( x ) = n   1 −  

 N  N  N −1 
Conviene hallarlas a partir de la distribución en la tabla
Variable aleatoria de Poisson
Ejemplo:
Las fallas superficiales de un alambre
delgado de cobre se presentan de manera
aleatoria.
X es el número de fallas superficiales de un
alambre de cobre de longitud L mm.
El número promedio de fallas en una
longitud L mm es
λ
Características de la distribución
de Poisson
• La longitud se puede dividir en n subintervalos.
• Si el subintervalo es lo bastante pequeño, entonces
la probabilidad de que en él se tenga más de una
falla es insignificante.
• Las fallas se presentan de manera aleatoria,
entonces cualquier subintervalo tiene la misma
probabilidad de contener una falla.
• La probabilidad de que un subintervalo contenga una
falla es independiente de la de otros subintervalos
Variable aleatoria de
Poisson
Definición: Se dice que X es una variable aleatoria de
Poisson con parámetro λ > 0
Si su distribución de probabilidades está dada
por
X ∼ po(λ )
Donde
λ
e−λ λ k
P( x = k ) =
k!
Es el promedio de ocurrencias en el intervalo y :
1. La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero.
2. La probabilidad de una ocurrencia en el subintervalo es la misma para
todos los subintervalos y es proporcional a la longitud de éstos.
3. El número de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de
los demás subintervalos.
Verificar que la distribución de Poisson es
una legítima distribución de probabilidades
∞
∞
−λ k
∞
k
e λ
λ
−λ
−λ λ
P(x = k) = ∑
= e .∑ = e .e =1
∑
k=0
k=0 k!
k=0 k!
E(X) = V(x) =
λ
Ejercicio1 : Para el caso del alambre de cobre, λ =2,3
es el promedio de fallas por mm, hallar P(X=2)
Ejercicio 2: Si X es Poisson, y P(x=2) =2/3 P(x=2),
hallar P(x=0)
La distribución de Poisson como
aproximación de la binomial
Demostrar que
p → 0 λ = np
e −λ λ k
lim
P(x = k) =
k!
n →∞
si n → ∞
y
Observaciones:
1) Para n tendiendo a infinito y p a cero, el suceso es
raro y es una buena aproximación de la binomial a
la de Poisson.
2) En la práctica esto es para n mayor o igual que 50,
si np es menor o igual que 5.