3. Conducción en régimen transitorio

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Principio
C A P Í T U L O
3. Conducción en régimen
transitorio
3.1 Introducción
Una condición fundamental de la conducción del calor en régimen estacionario es la existencia
de un equilibrio termodinámico que conserve las temperaturas estables en cada punto del cerramiento. El comportamiento térmico de los cerramiento en situaciones reales se caracteriza por las
variación de las condiciones del entorno, siendo frecuente la modificación de las características
del ambiente interior al variar la carga térmica interna o la puesta en funcionamiento de sistemas
de climatización. Aún mas frecuente es la variación de las condiciones ambientales exteriores,
con ciclos diarios de modificación de las temperaturas exteriores y el soleamiento, o con alteraciones rápidas y aleatorias de las condiciones de viento y de nubosidad.
La consecuencia de la variación de las condiciones del ambiente provoca que el cerramiento casi
nunca esté en equilibrio, sino que esté sometido a procesos variables de aumento o disminución de
temperatura, con acumulación o disipación de calor en su seno debido a la propiedad física de su
masa denominada calor específico γ . El resultado es que, al proceso de transmisión de calor a
través del cerramiento se añade un proceso de acumulación, ambos variables en el tiempo, que se
denomina conducción en régimen transitorio y una de sus consecuencias es el fenómeno de la
inercia térmica.
36
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
3.1.1 Ecuación general de la conducción
El problema general de la conducción de calor en un cerramiento consiste en determinar su
temperatura para cada punto y cada instante, partiendo de una temperatura inicial y de las
condiciones del entorno conocidas, basándonos en sus características geométricas y sus propiedades físicas.
La ecuación de la conducción es una expresión matemática de la conservación de la energía en
una sustancia sólida, y se obtiene realizando un balance de la energía en un elemento de volumen
de material que intercambia calor por conducción por la superficies en contacto con el medio
adyacente y acumula calor en su masa. No se ha considerado en este trabajo la posibilidad que se
pueda generar energía dentro del material por otras causas.
La transmisión de calor por conducción Qc, por unidad de tiempo y superficie, está relacionada
con la distribución de temperaturas mediante la ley de Fourier:
Qc = −λ
Ec. 3.1
dT
dx
[W/m2]
La acumulación de calor qa por unidad de masa M está en relación directa con el incremento de
temperatura del material y la propiedad física denominada calor específico γ [J/Kg ºK], definida
como la cantidad de energía necesaria para incrementar 1ºK una masa de 1Kg, según la siguiente
relación:
q a = γ ⋅ M ⋅ ∆T
Ec. 3.2
[J]
T
∆x
Tt+∆t
Tt
Qa
Qx
Qx+∆x
x
x+∆x
Fig. 3.1 Conducción y acumulación de calor en una rodaja finita de espesor ∆x
Es conveniente derivar esta ecuación para compatibilizarla con la Ley de Fourier, considerando
que la masa depende de la densidad D [Kg/m3], que el volumen se puede expresar como el área A
del cerramiento por el espesor ∆x de la capa considerada, determinando el flujo de acumulación
Qa en función de la velocidad de la variación de la temperatura:
37
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Qa =
Ec. 3.3
qa
dT
= γ ⋅ D ⋅ ∆x
A⋅t
dt
[W/m2 ºK]
Si consideramos una capa de espesor ∆x, se verificará que el flujo de calor que penetra por la
cara (x) es igual al calor que sale por la cara (x+∆x) mas el calor acumulado en la masa de
espesor ∆x, de forma que se conserve la cantidad de energía:
Ec. 3.4
−λ
∂Tx
∂T
∂T
= − λ x + ∆x + γ ⋅ D ⋅ ∆x
∂x
∂x
∂t
Ordenando la ecuación y dividiendo por γ D∆
∆ x se obtiene:
Ec. 3.5
∂Tx + ∆x ∂Tx
−
λ
∂x
∂x = ∂T
γ ⋅D
∂t
∆x
Cuando se toma el límite ∆x→0, se obtiene por definición la segunda derivada de la temperatura
respecto a x, con la siguiente expresión:
λ ∂ 2 T ∂T
=
γ ⋅ D ∂x 2
∂t
Ec. 3.6
El primer termino es una constante que depende de las propiedades físicas del material, y se
denomina difusividad térmica α y cuya magnitud es de [m2/s], con lo que la anterior ecuación se
suele presentar como:
Difusividad: α =
Ec. 3.7
Ec. 3.8
α
y por consiguiente:
λ
γ ⋅D
∂ 2T
∂x
2
=
∂T
∂t
Esta ecuación no es general dado que se deducido de una transmisión de calor unidireccional. Si
se considera un volumen cualquiera dV= dx•dy•dz, y se parte de la hipótesis que los flujos de
calor puedan tener cualquier dirección, siguiendo un procedimiento similar, obtendríamos la
ecuación general de la conducción del calor:
Ec. 3.9
 ∂ 2T
T = f(x, y, z) → α 
 ∂x 2
+
∂ 2T
∂y 2
+
∂ 2 T  ∂T
 =
∂z 2  ∂t
Si la temperatura del material no es función del tiempo, es decir, está en régimen estacionario, se
anula el segundo término de la ecuación, y obtendremos una expresión adecuada para el análisis
de las temperaturas de cualquier sólido tridimensional, y que se denomina ecuación de Laplace:
Ec. 3.10
∂T
= 0→
∂t
 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 
 2 + 2 + 2  = ∇ 2 T = 0
∂y
∂z 
 ∂x
38
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Si simplificamos más las condiciones y el flujo solo es posible en la dirección x, es decir, en
régimen estacionario unidireccinal, obtendremos una expresión diferencial cuya solución con
las condiciones de contorno es idéntica a las de estimación de la temperatura interior en régimen
estacionario:
Ec. 3.11
T = f(x) →
∂ 2T
∂x 2
=0
3.2 Métodos analíticos de calculo
Para determinar la distribución de temperaturas en régimen transitorio y, finalmente, la transferencia de calor por unidad de tiempo, necesitamos resolver la ecuación general de la conducción, en la cual se considera la transmisión y la acumulación del calor. La resolución de la
anterior ecuación diferencial en derivadas parciales de 2º orden y averiguar una solución general
exige unas técnicas matemáticas muy avanzadas, y ello siempre que se pueda acotar las condiciones espaciales y temporales.
Se disponen de numerosas referencias que aportan soluciones específicas a la ecuación general de
la conductividad, basándose en condiciones muy concretas. En otras ocasiones se proponen
hipótesis simplificadoras, algunas de las cuales pueden provocar errores que se acotan. Por
ultimo, existen fórmulas basadas en series de ecuaciones, que se pueden resolver por cálculo
iterativo, o con soluciones tabluladas.
En general, algunas de estas ecuaciones pueden ser de aplicación para la solución de casos muy
específicos en la transmisión de calor en sólidos, aunque no son lo suficientemente generales para
resolver los casos reales de la mayoría de los cerramientos de edificios. Por consiguiente, los
casos siguientes se presentan para dar una visión amplia y analítica de determinados problemas
físicos que tienen una solución teórica exacta.
3.2.1 Conducción transitoria sin resistencia interna
Un procedimiento para simplificar la solución es considerar que el sólido pueda variar su temperatura, pero que todo su interior se encuentre a la misma temperatura, debido a que su resistencia
interna sea nula o despreciable, por ser substancias muy conductoras, como los metales, o el caso
de recipientes conteniendo líquidos con convección que homogenice su temperatura. Se supone
que el flujo de calor transmitido por su superficie es aportado por el calor acumulado, y que
dicho flujo está limitado por una resistencia superficial 1/h, generalmente proporcionada por la
convección de un fluido que lo rodea a temperatura constante T∞ .
Para comprobar que la resistencia interior es despreciable se recurre a un coeficiente adimensional denominado número de Biot Bi, que relaciona la resistencia superficial con la resistencia
interna, y cuyo valor debe ser muy inferior a la unidad. En este caso se conoce que si Bi<0.1 el
error será inferior del 5%, aunque es deseable que Bi sea lo menor posible.
Ec. 3.12
Bi =
h⋅L
λ
39
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
El término L representa la longitud característica del cuerpo, que depende de su geometría y
suele estar tabulado, y en el caso de sólidos de forma irregular se considera L como la razón entre
su volumen V y su área superficial As:
L=
Ec. 3.13
V
As
[m]
Aire, T(∞)
Superficie, As, h
Q(t)
Sólido, T(t)
V, λ, γ, D
Fig. 3.2 Esquema de sólido con resistencia interna despreciable.
El flujo total de calor W que cede el cuerpo en un instante (t) será función de su velocidad de
enfriamiento e igual al calor cedido a través de su superficie debido la diferencia ∆ T(t) entre la
temperatura T(t) del sólido en dicho instante y el fluido T∞ , de manera que:
W = −γ ⋅ D⋅ V
Ec. 3.14
dT( t )
= h ⋅ As ⋅ ∆T( t )
dt
[W]
Integrando dicha ecuación, según la referncia [Kreith p.136], con la condición de la diferencia de
temperatura inicial ∆ T(0)=T∞ - T(0) obtendremos el salto térmico ∆T(t)=T∞ - T(t) para instante t:
∆T( t )
Ec. 3.15
∆T(0)
=e
−
h⋅ As⋅ t
γ ⋅ D⋅ V
Esta ecuación se escribe en forma adimensional, de manera que el exponente del 2º término
también lo será, y coincide con el productos de dos números adimensionales, el número de Biot y
el Número de Fourier Fo, que tiene la siguiente expresión:
Ec. 3.16
Ec. 3.17
Bi =
h⋅L
λ
y Fo =
α⋅t
2
L
→
Por consiguiente:
h ⋅ As ⋅ t  h ⋅ L   α ⋅ t 
=

 = Bi ⋅ Fo
γ ⋅ D ⋅ V  λ   L2 
∆T( t )
∆T(0)
= e − Bi ⋅ Fo
Esta ecuación representa la historia de la temperatura del sólido en el instante (t) en función de
su temperatura inicial y la del fluido que lo rodea, de manera que cuando el intervalo tiende al
infinito el sólido se equilibra con el entorno. El flujo total de calor W cedido en un instante es
40
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
fácil de hallar conociendo la diferencia de temperatura instantánea, y el calor total q cedido en un
intervalo (0→t) se determina por el enfriamiento del sólido en dicho periodo.
Ec. 3.18
W( t ) = As ⋅ h ⋅ ∆T( t )
[ W]
q( 0 → t ) = γ ⋅ D ⋅ V( T0 − Tt )
y
[ J]
También se puede definir la propiedad física de los materiales de acumular calor por unidad de
volumen, denominada capacidad térmica C = γ • D [J/m3 ºK], de manera que si tiene un valor
elevado le permite al cuerpo acumular mas calor y su enfriamiento será mas lento.
3.2.2 Conducción transitoria en un sólido semiinfinito
Un sólido semiinfinito es un cuerpo de una gran extensión con una superficie plana. Si el sólido
tiene una temperatura inicial uniforme T0 y se modifica bruscamente la temperatura de su
superficie Ts, el calor se conduce por el interior y la temperatura en cada punto es una función de
la profundidad x y del intervalo t, es decir, T(x,t). Debido a su espesor prácticamente infinito, la
temperatura a gran profundidad permanece sin variación. La ecuación de conducción y la
condiciones de contorno para los instantes 0 y t, a diferentes profundidades será:
α
Ec. 3.19
Ec. 3.20
∂ 2T
∂x
2
T(0,0) = T0
T(0,t) = Ts
=
∂T
∂t
T(x,0) = T0
T(∞
∞ ,t) = T0
T
Superficie
Sólido semiinfinito
Ts
T(x,t)
Q(t)
T∞
T0
x
X
Fig. 3.3 Distribución de temperaturas en el interior de un sólido semiinfinito
La solución a la ecuación diferencial para las condiciones de contorno ha sido dada por en
numerosas referencias y es dependiente de la Función de error de Gauss erf, que se puede hallar
por métodos iterativos y además está tabulada:
Ec. 3.21
 x 
T( x, t ) − Ts
2
= erf 
=
T0 − Ts
 2 α⋅t
π
∫
x / 2 α ⋅t
0
e − z dz
2
41
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Fig. 3.4 Función de error de Gauss, aplicable a la distribución de temperatura de un sólido
semiinfinito sometido a un cambio brusco de la temperatura de su superficie
El flujo de calor conducido por el interior del sólido se puede determinar a partir de la ley de
Fourier calculada en la superficie:
Ec. 3.22
Q( t ) =
λ ( Ts − T0 )
[W/m2]
π⋅α⋅t
La cantidad de calor conducido en el interior del sólido durante el intervalo de tiempo 0→t [s]
desde el cambio brusco de las condiciones es:
Ec. 3.23
q( 0 → t ) = 2λ ( Ts + T0 )
t
π⋅α
[J/m2]
Estas ecuaciones son de gran interés en el estudios de sólidos con una superficie plana y de gran
profundidad. El terreno es un caso ejemplar, que con frecuencia está en contacto con las
edificaciones, y también es aplicables a cerramientos de gran espesor sometidos a cambios
bruscos en su superficie. La referencia [Kreith, p.144] establece que una placa de gran superficie
y espesor L puede considerarse semiinfinita con un error despreciable si:
Ec. 3.24
Fo =
α⋅t
L2
< 1.0
En la mismo referencia se desarrolla la ecuación de transmisión de calor para un sólido
semiinfinito con su superficie en contacto con un fluido de conductancia superficial h, que cede
calor por convección al fluido cuando este cambia bruscamente de temperatura.
3.2.3 Conducción periódica sinusoidal en sólidos
semiinfinitos
Un caso muy interesante es la conducción transitoria de calor en el interior de un sólido
semiinfinito o cerramiento de gran espesor cuya superficie está sometida a una oscilación
periódica y sinusoidal de temperaturas, y siendo la temperatura media igual a la del sólido a
42
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
gran profundidad. En la referencia [Chapman, p.142] se desarrolla la ecuación general de la
conductividad para dichas condiciones de contorno con los siguientes resultados:
Sea un sólido semiinfinito con una temperatura T∞ uniforme y constante a gran profundidad. La
temperatura de su superficie T (0,t) es una función sinusoidal de amplitud T0 y frecuencia η [s-1].
La temperatura en cada punto es una función de la profundidad x y del intervalo t, es decir,
T(x,t). Simplificando la ecuación con el uso de diferencias de temperaturas y desarrollándola
obtendremos:
∆ T0 = T(0,t) - T(∞
∞ ,t) = T0• sen(2π
π • η • t)
Ec. 3.25
Ec. 3.26
∆T = T(x, t) - T( ∞, t ) = ∆T0 ⋅ e − x
π⋅η /α
[ºK]
(
⋅ sen 2πηt − x πη / α
)
[ºK]
Comparando la solución a la ecuación diferencial con la función de las condiciones de contorno
se observa que la variación de la temperatura en cualquier punto del sólido es periódica y de igual
frecuencia, pero con un desfase o retardo, y que la amplitud máxima es proporcional a la de la
superficie aunque afectada por un factor de amortiguación, que podemos definir:
amortiguacion µ =
Ec. 3.27
∆Tmax
= e −x
∆T0,max
retardo ϕ = t( ∆Tmax ) − t( ∆T0,max ) =
Ec. 3.28
[
π⋅η /α
1
x
2 α⋅π⋅η
]
∆T = ∆T0 ⋅ µ ⋅ sen 2π ⋅ η ⋅ ( t − ϕ )
Ec. 3.29
T
[s]
[ºK]
∆T0,max
T0
∆Txmax
T∞
ϕ
t=1/η
Tx
Fig. 3.5 Graficos de las temperaturas en la superficie y a una profundidad x.
Esta ecuación refleja con transparencia el fenómeno de la Inercia térmica. En los casos reales de
cerramientos de gran espesor, característicos de la arquitectura popular o que aprovechen la
capacidad térmica del terreno, con una frecuencia η típica de ciclos diarios de temperaturas, y
con una difusividad α constante en el material, es sencillo determinar los parámetros del retardo
43
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
y la amortiguación para cada profundidad x. En particular, el retardo es directamente
proporcional a la profundidad, y con materiales tradicionales de difusividad α típica del orden de
6×10-7[m2/s], se pueden conseguir desfases de medio día con espesores de 0.35 a 0.50 metros.
Ejemplo de calculo del retardo térmico y la amortiguación con α = 6×10-7[m2/s], espesor
x=0.40[m] y frecuencia diaria η=1/ 86400 [s-1].
Ec. 3.30 retardo
Ec. 3.31
ϕ=
x
1
0.4
86400
=
= 42819 [seg ] = 11.89 [ horas]
2 α⋅π⋅η
2 6 × 10 −7 ⋅ π
amortiguacion µ = e
− x π⋅η / α
=e
−0 .4
π
86400⋅6×10 −7
⋅
= 0.044 < 5%
La amortiguación en este ejemplo nos indica el grado de influencia de las condiciones exteriores a
dicha profundidad, y es un índice del error cometido al considerar dicho cerramiento como un
sólido semiinfinito.
También tiene interés determinar el flujo instantáneo de calor Q0 que atraviesa la superficie en
un momento t determinado, considerando como instante inicial aquel en que la superficie tiene la
temperatura media e inicia su ascenso:
Q 0 = λ ⋅ ∆T0
Ec. 3.32
2πη

⋅ sen 2πt +

α
π

4
[W/m2]
Se observa que el flujo instantáneo de calor es una función periódica de igual frecuencia y
retrasada 1/8 del periodo debido a que las capas próximas a la superficie no han tenido tiempo
de equilibrarse y neutralizan el gradiente térmico en la superficie.
Por último se expresa la ecuación de la cantidad total de calor que atraviesa la superficie en un
intervalo de tiempo. Esta expresión se deduce por integración de la anterior y, aunque la
referencia lo omite por error de transcripción, necesita resolverse para el instante inicial y final
del periodo considerado. Si el intervalo considerado coincide con el semiperiodo de calentamiento
o enfriamiento, obtendremos la cantidad total de calor que es capaz de acumular el cerramiento:
Ec. 3.33
[
]
1
t2
q ( t → t ) = − λ ⋅ ∆T0
⋅ cos( 2πηt + π / 4)
1
2
t1
2πηα
[J/m2]
Conducción transitoria con un periódo cualquiera en sólidos semiinfinitos
En el caso que la temperatura de la superficie de un sólido semiinfinito no sea una función
sinusoidal, aunque si periódica, se podrá expresar exacta o aproximadamente en el intervalo
[periodo ≥ t ≥ 0] mediante una serie de Fourier, si ∆T = f(t) cumple las condiciones suficientes
de Dirichlet, es decir, se puede expresar como una suma de armónicos. La solución al problema
se fundamenta en el principio de superposición de acciones:
Ec. 3.34
∆T =
a0
+
2
∞
∑ (a
n= 0
n
⋅ cos( 2nπηt ) + b n ⋅ sen( 2nπηt )
)
[ºK]
44
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Siendo n=1,2... la serie de armónicos y los coeficientes a y b los que definen la forma de la onda.
Este sistema de resolución es habitual en problemas de electrónica con corrientes alternas, y en la
practica se obtiene buenas aproximaciones con un número de armónicos n finito. Aunque este
desarrollo excede al ámbito del presente estudio, se quiere indicar que puede ser de aplicación en
el análisis de situaciones reales periódicas no sinusoidales, tales como la incidencia de la
radiación solar sobre el terreno o sobre cerramientos de suficiente espesor.
3.2.4 Soluciones tabuladas de conducción con régimen
transitorio
En el caso de geometrias simples han podido obtenerse soluciones analíticas de la expresión
general de la ecuación en régimen transitorio, y que figuran en las referencias. Estas soluciones
consideran un cambio brusco de la temperatura del fluido que rodea el sólido, es cual transfiere
calor por convección. Las formas geométricas que tiene mas interés, por su uso en
intercambiadores de calor, son:
• Placa de superficie infinita de espesor 2L
• Cilindro macizo de longitud infinita y radio r.
• Esfera maciza de radio r.
También se han tabulado soluciones para problemas de transmisión de calor de sólidos con
geometrias bi y tridimensionales, mediante coeficientes que los asimilan a casos antes
solucionados:
• Cilindro semiinfinito y finito
• Placa infinita con borde y esquina.
• Barra prismática infinitas, semiinfinita, y prisma finito.
• Sólido infinito con esquina con 2 y 3 caras, etc.
3.3 Métodos experimentales de calculo
3.3.1 Fundamentos y limitaciones
Los métodos primitivos de calculo de flujos de calor en cerramientos se han basado
principalmente en métodos de régimen estacionario y, posteriormente , en régimen transitorio
periódico. Sin embargo, la necesidad de una mayor precisión en la estimación de las cargas
térmicas para el dimensionado de los equipos de climatización y la estimación del consumo de
energía ha propiciado el desarrollo de métodos que considerase la transmisión del calor en
régimen no-estacionario y transitorio no-periódico, con fluctuaciones aleatorias de las condiciones
del entorno, al tiempo que precisara la carga térmica instantánea en ciclos diarios y anuales.
Los métodos experimentales o semiempíricos que se exponen a continuación están basado en el
análisis riguroso de cerramientos estandarizados, determinando su conducta a condiciones
ambientales típicas, para aplicarlas por analogía a cerramientos específicos. Estos métodos son
relativamente sencillos de aplicar pero adolecen de una cierta imprecisión, por necesitar una
adaptación o corrección para ajustarlos al modelo estándar, y además, son poco flexibles por
estar limitados a una condiciones ambientales tipificadas.
45
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
En resumen, los métodos experimentales o semiempíricos nos aportan una información mas
ajustada a la realidad de las condiciones ambientales variables que los métodos analíticos,
aportan un mayor detalle de los estados instantáneos, pero precisan de un proceso de calculo
laborioso, aunque sencillo, que requiere habitualmente el uso de ordenadores. Los tipos de
cerramientos analizables son limitados y no se puede evitar cierta falta de precisión por la
necesidad de adaptación y corrección de los cerramientos considerados al modelo de referencia.
Por último, son métodos poco flexibles al tener que ajustarse a determinadas condiciones
ambientales, con frecuencia muy simplificadas o ignorando factores relevantes en los procesos de
transferencia de calor.
3.3.2 Factor de respuesta del cerramiento
Este método permite conocer los flujos de calor en la superficie exterior e interior de un
cerramiento en función de la historia de las temperaturas ambientales exteriores e interiores en
periodos anteriores, siendo suficiente las 48 horas previas.
En la referencia [Ashrae Fund.75, p.355] se desarrolla este método para cerramientos de
múltiples capas sometidos a régimen transitorio con una variación aleatoria de las temperaturas
del ambiente interior y exterior (o temperaturas de las superficies si no se considera la
convección). Este método no considera ni la radiación (soleamiento) ni la variación del coeficiente
de convección (viento). Los flujos de calor de las superficies se puede calcular mediante:
∞ ( 48 )
Q e ,t =
Ec. 3.35
∞ ( 48 )
∑T
e ,t − j
⋅ Xj −
j= 0
Q i, t =
i ,t − j
⋅ Yj
i, t − j
⋅ Zj
j= 0
∞ ( 48 )
Ec. 3.36
∑T
∞ ( 48 )
∑T
e,t − j
⋅ Yj −
j= 0
∑T
j= 0
Siendo:
t
j
e
i
Q
T
XYZ
Hora actual
Horas anteriores
Sufijo exterior
Sufijo interior
Flujo de calor
Temperatura del entorno
Coeficientes de las n horas anteriores
Se verifica que en caso de régimen estacionario, que las temperaturas Te y Ti permanecen
constantes, el flujo de calor sería:
Ec. 3.37
Q e,t = Q i ,t = K ( Te − Ti )
Y por consiguiente los valores de las series de coeficientes será:
∞
Ec. 3.38
∑
J =0
∞
Xj =
∑
J=0
∞
Yj =
∑Z
j
=K
J=0
Los coeficientes X, Y y Z son característicos para cada tipo de cerramiento, dependiendo del
número de capas y de la conductividad, difusividad, el espesor de cada una, además de la posible
46
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
existencia de cámaras de aire. Su calculo es muy complejo y requiere de programas de
computador como los desarrollados por el national Reseach Council of Canada y el National
Bureau of Standards of USA,
El sumatorio de las series de coeficientes Xj, Yj y Zj se suelen truncar para j = 48 horas, dado
que sus valores decrecen rápidamente. Para calcular el flujo de calor en una hora determinada es
preciso conocer, además de dichos coeficientes, las temperatura de contorno en las 48 horas
anteriores, con un total de 5×48=240 parámetros. Este procedimiento es lento y tedioso, y está
muy limitado por necesitar una tipificación exacta del cerramiento de referencia, por lo que ha
sido desplazado por el método de la Función de transferencia, que es un caso particular de éste.
3.3.3 Función de transferencia
El método de la función de transferencia, a semejanza del método del factor de respuesta,
permite conocer el flujo de calor en la superficie interior de un cerramiento en función de su
historia en periodos anteriores, considerando además de las temperaturas los flujos de calor de
periodos anteriores, lo que permite reducir el número de coeficientes e intervalos.
En la referencia [Ashrae Fund.75, p.425] se desarrolla este método para cerramientos de
múltiples capas sometidos a régimen transitorio con una variación aleatoria de las temperaturas
del ambiente exterior, una temperatura interior constante, y unas propiedades físicas del
cerramiento y de la convección también estables. Este método, según se expone en la referencia,
considera la radiación solar indirectamente al usar la temperatura Sol-aire para el ambiente
exterior. El flujo de calor en la superficie interior se puede calcular mediante la siguiente
expresión:
q i ,t =
Ec. 3.39
∑b
n= 0
n
⋅ Te , t − n⋅∆ − Ti ⋅
∑c −∑d
n
n= 0
n
⋅ q i , t − n⋅∆
n= 0
Siendo:
qi
t
t-n∆
n
Te
Ti
b, c, d
Flujo de calor en superficie interior
Instante actual
Instante anterior, n intervalos de duración ∆
Índice del sumatorio, tantos como valores no despreciables
Temperatura exterior, se puede expresar como temperatura Sol-aire.
Temperatura interior constante
Coeficientes de la función de transferencia
Los valores de los coeficientes bn y dn, así como el coeficiente Σ cn, están tabulados para
diferentes tipos de cerramientos, siendo necesario solo los primeros 5 o 6 valores. Los valores de
la historia de qi se estiman inicialmente como nulos, y se ejecutan dos o tres ciclos diarios hasta
que se estabilizan. Se puede aplicar este método a cerramientos semejantes a los tabulados,
multiplicando los coeficiente c y d por la razón de las conductancias, de la forma c’=c× (k’/k).
En la referencia [Zornoza, José] se desarrolla el proceso matemático, fundamentado en la
transformada de Laplace de la ecuación de Fourier, aplicando la transformada “z”, según el
método propuesto por la referencia [Mitalas-Stephenson], mediante el desarrollo de un programa
informático para el calculo de los coeficientes bn, cn y dn, aplicándolos a una clasificación
sistemática de cerramientos de uso habitual en España.
Este método tiene la ventaja sobre el anterior que solo necesita una docena de coeficientes para
definir el comportamiento de un cerramiento, lo que facilita su tabulación. Su mayor
inconveniente es que requiere un mayor esfuerzo de calculo ya que se necesita conocer la historia
47
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
de la conducción de calor de los periodos previos, valores que son desconocidos a priori, lo cual
obliga a realizar varios ciclos diarios previos hasta estabilizar el proceso de transmisión del calor.
Además, este método sigue siendo poco flexible ya que depende de cerramientos previamente
tabulados y no contempla todos las variables ambientales posibles.
3.3.4 Métodos de temperaturas de proyecto
Los arquitectos e ingenieros demandan métodos rápidos y simplificados para el cálculo manual de
las cargas térmicas de edificios, que se puedan aplicar con facilidad a los múltiples cerramientos,
con variadas orientaciones, que suelen presentar los edificios en sus fachadas y cubiertas.
En condiciones de invierno, que las cargas térmicas son permanentemente negativas, se puede
asumir que los cerramientos de un edificio se comportan en régimen estacionario por la
considerable diferencia de temperatura interior-exterior a todas horas. La influencia de la
radiación solar se suele despreciar porque la potencia de los equipos de calefacción se calcula
para las peores condiciones de proyecto, es decir, para aquellos días con menores temperaturas
exteriores y sin soleamiento.
En condiciones de verano los edificios están sometidos a una gran variación de la carga térmica
con importantes ganancias de calor, que dependen mas del soleamiento que de la diferencia de
temperatura. Las máxima carga térmica exterior se producirá después del mediodía, cuando se
suman los efectos del sol y la alta temperatura exterior, mientras que al final de la noche la carga
térmica será mínima, incluso negativa, por la ausencia de soleamiento y el descenso de las
temperaturas exteriores.
La variación diaria de las condiciones de proyecto de verano obliga a considerar el flujo de calor
de los cerramientos en régimen transitorio, y tener en consideración la influencia del
soleamiento como principal factor de la carga térmica máxima. A continuación se exponen varios
métodos simplificados para determinar la transmisión de calor en cerramientos en condiciones de
verano.
Método de la temperatura Sol-aire
La temperatura Sol-aire sería aquella temperatura del aire exterior que, en ausencia de
intercambios de calor por radiación, podría generar el mismo flujo de calor a través del
cerramiento que el que existiría con la actual combinación de radiación solar incidente,
intercambio de irradiación con el entorno y flujo de calor por convección con el aire exterior. Es
decir, el valor de la temperatura Sol-aire (Tsol-aire) condensa las condiciones exteriores de proyecto
para un instante determinado, para estimar el intercambio de calor entre el ambiente y la
superficie exterior. Dicho flujo de calor se puede expresar como:
q = h ⋅ (Ta − Ts ) + α ⋅ I + ε ⋅ ∆R = h ⋅ ( TSol − aire − Ts )
Ec. 3.40
Donde:
q
h
Ta
Ts
Tsol-aire
α
I
ε
∆R
Flujo entre el ambiente y la superficie exterior
Conductancia superficial exterior
Temperatura aire exterior
Temperatura superficie exterior
Temperatura Sol-aire
Absortancia radiación solar
Radiación solar incidente
Emitancia radiación infrarroja
Radiación infrarroja neta superficie-entorno
[W/m2]
[W/m2 ºK]
[ºK]
[ºK]
[ºK]
[W/m2]
[W/m2]
48
Ec. 3.41
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Despejando:
TSol − aire = Ta +
α ⋅ I ε ⋅ ∆R
+
h
h
Es decir, que la temperatura Sol-aire se determina a partir de la temperatura del aire exterior, mas
un incremento proporcional a la resistencia superficial Rs=1/h, al coeficiente de absorción solar
de la superficie y a la intensidad del soleamiento. El término de la radiación infrarroja se deberá
considerar en cubiertas y cerramientos muy expuestos al cielo, en cuya caso su valor sería
negativo debido a la transparencia de la atmósfera.
Fig. 3.6 Ejemplo de gráfico de temperatura Sol-aire.
En la referencia [Ashrae Fund, p.410] se describe con detalle este método y se ofrecen tablas y
ejemplos de cálculo. En concreto, las tablas están tipificadas para la fecha del 21 de julio, latitud
40º Norte, y para un determinado ciclo de temperaturas diarias; se consideran cerramientos con
dos absortancias y 8 orientaciones típicas mas la cubierta, considerando en esta última la
irradiación al firmamento. También se documenta de las posibles correcciones de los valores
Tsol-aire para adaptarlos a condiciones ambientales diferentes a las tabuladas.
La mayor limitación del método Tsol-aire deriva de su concepto, que solo pretende estimar el
intercambio de calor entre el ambiente y la superficie exterior, pero que no tiene en consideración
las propiedades físicas del interior del cerramiento ni las condiciones ambientales interiores. En
conclusión, no permite la estimación directa del flujo de calor transmitido al ambiente interior
cuando hay que considerar la inercia térmica del cerramiento.
En cerramientos con poca masa o inercia térmica despreciable podría aplicarse este método
directamente, pero se quiere hacer notar que el flujo de intercambio de calor entre la superficie
exterior con el entorno es muy dependiente de la temperatura real de éste, porque influye en la
convección y la irradiación exterior, y dicha temperatura depende a su vez de la conductividad del
cerramiento y de la temperatura interior, lo que puede producir errores de cierta magnitud.
49
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Método de diferencia de temperatura equivalente
Para la estimación aproximada de los flujos de color en cerramientos con inercia térmica se ha
desarrollado el método de la diferencia de temperatura equivalente, que considera la transmisión
del calor a través del cerramiento como función exclusiva de la conductancia y un salto térmico
de proyecto, el cual sintetiza las condiciones del ambiente exterior, con un ciclo diario de
temperatura y soleamiento máximo según orientación, y su repercusión en el interior según cierto
retardo y amortiguación térmica dependiendo de la capacidad térmica del cerramiento.
Este método está limitado a cerramientos muy tipificados según su masa y composición, y
sometidos a condiciones ambientales muy determinadas, para poder tabular las diferencias de
temperatura equivalente con un adecuado grado de correlación con la realidad. El flujo de calor
transferido por el cerramiento al ambiente interior se determina por la siguiente ecuación:
q = K • ∆ Teq
Ec. 3.42
[W/m2]
En la referencia [Carrier, p. I.53], se expone el procedimiento típico para aplicar este método.
Las tablas se han calculado analíticamente por el método de Schmidt (método gráfico
aproximado) basándose en las siguientes hipótesis:
•
•
•
•
•
•
Mes de julio.
Latitud 40º norte
Temperatura exterior máxima = 35ºC, con una variación diaria de 11ºC
Temperatura interior constante de 27ºC
Superficie exterior oscura, α = 0.9
Calor específico γ = 0.20 [Kcal/Kg•ºK] = 0.84 [KJ/Kg•ºK]
El proceso de aplicación de las tablas 19 y 20 es el siguiente: Orientación → Peso del
cerramiento → Hora solar → ∆TEc. Se considera que la existencia de capas aislantes no
modifica el resultado, que el cerramiento tendrá una masa de al menos 100 Kg/m2 aunque sea
mas ligero, y que si el cerramiento está en la sombra se considerará con orientación norte.
Cuando las condiciones del proyecto sean diferentes a las tipificadas se admiten las siguientes
correcciones empíricas:
∆Teq = ∆Teq s + a + b
Ec. 3.43
Rs
( ∆Teq m − ∆Teqs )
Rm
[ºK]
Donde:
a
b
∆Teqs
∆Teqm
Rs
Rm
Corrección en tabla 20-A para (Text - Tint) ≠ 8º y ∆Tdiaria ≠ 11º
Corrección segón color de la superficie exterior: oscuro = 1.00; medio = 0.78; claro = 0.55
Diferencia equivalente de temperatura para dicha hora a la sombra
Diferencia equivalente de temperatura para dicha hora y orientación
Radiación solar máxima para la latitud y fecha considerada, en dicha orientación
Radiación solar máxima para latitud 40ºN y mes de julio, en dicha orientación
En la referencia [Ashrae Fund, p.411] se describe otra versión del mismo método con la
particularidad que, además de considerar un caso particular de cubiertas inundadas, aporta los
valores de la amortiguación y el retardo térmico característicos de los cerramientos tabulados.
3.3.5 Modelos analógicos
Uno de los métodos utilizados en la investigación de los procesos de transmisión del calor es el
uso de modelos analógicos. En este método de investigación se sustituye el fenómeno térmico por
50
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
el estudio de un fenómeno similar, que suele ser mas simple y flexible que es estudio directo
térmico.
El fundamento del estudio de fenómenos análogos reside en que las leyes que los rigen están
descritos matemáticamente por ecuaciones diferenciales y condiciones de unicidad similares,
aunque las magnitudes físicas sean diferentes. El procedimiento habitual consiste en describir los
procesos en función de parámetros adimensionales, que son convertibles en cada fenómeno
análogo en sus propias magnitudes físicas.
Analogía electrotérmica
Los fenómenos de conducción del calor y la electricidad obedecen a ecuaciones análogas. en la
referencia [Isachenko, p.155] se describe los principios matemáticos y físicos que relacionan
ambos fenómenos, que se resumen en las siguientes equivalencias:
•
•
•
•
•
Cantidad de calor
Flujo de calor
Diferencia de temperatura
Resistencia térmica
Capacidad térmica
→
→
→
→
→
Trabajo eléctrico
Intensidad eléctrica
Potencial eléctrico
Resistencia eléctrica
Capacidad eléctrica
Cada capa del cerramiento se puede simular por una resistencia eléctrica, en serie o paralelo, y
con una capacidad eléctrica equivalente a su capacidad de acumulación. Las condiciones del
ambientes se simulan con corrientes alternas, cuya frecuencia y forma de onda sean equivalentes
a la oscilación de las temperaturas exteriores. El modelo eléctrico se controla generalmente
mediante calculadoras analógicas, que generan las señales periódicas y miden los resultados.
Estos modelos, por ser de fácil ejecución en laboratorio, permiten el estudio de la transmisión de
calor en régimen estacionario y transitorio, permiten su aplicación a modelos unidimensionales y
bidimensionales, y son adecuados para el análisis de procesos de transmisión paralelos,
pudiendo incluir fuentes de energía en cualquier punto del circuito.
En la referencia [Burberry, p.23] se describe un experimento en el que simuló el comportamiento
térmico en invierno de un local completo con diversos cerramientos y huecos, considerando las
perdidas por renovación, y regulando las condiciones ambientales interiores por un sistema de
calefacción intermitente.
Fig. 3.7 Grafico de resultados de ensayos con un circuito electrioco analógico.
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
51
Fig. 3.8 Circuito electrico de analogía del comportamiento térmico de un local calefactado
Analogía hidrotérmica
Los modelos de analogía hidráulica comparten los mismos principios que los modelos eléctricos,
precisando para su ejecución del equipamiento típico de un laboratorio de mecánica de fluidos. El
interés de este tipo de experimento reside en que los resultados son niveles y caudales de líquidos,
fáciles de visualizar y analizar, aunque bastante laboriosos de ejecutar y manipular, por lo que
pueden ser adecuados para fines didácticos. Las equivalencias físicas serían:
•
•
•
•
•
Cantidad de calor
Flujo de calor
Diferencia de temperatura
Resistencia térmica
Capacidad térmica
→
→
→
→
→
Volumen de agua
Caudal de agua
Diferencia de nivel hidráulico
Resistencia capilar o llave reguladora
Volumen de vaso en serie
Fig. 3.9 Analogía hidráulica de pared plana con varias capas [Isachenko]
52
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
3.4 Métodos numéricos de cálculo
Estos métodos se basan en transformar las ecuaciones diferenciales de transmisión de calor en
expresiones con incrementos finitos; así la ecuación general de la conducción del calor, en vez de
plantearse en función de dx y dt, se utiliza ∆x y∆t, los cuales toman valores lo suficientemente
pequeños para garantizar su exactitud, a pesar de la discretización.
Las condiciones mas importantes que deben cumplir los algoritmos del calculo por métodos
numéricos son:
a) Estabilidad: Los errores cometidos por la discretización del cerramiento y los procesos
temporales se deben amortiguar o diluir en la siguientes iteraciones, ya que si los errores se
amplifican los resultados resultarían erráticos y con una enorme desviación.
b) Convergencia: Es la coincidencia de la solución numérica con la solución exacta para las
mismas condiciones de contorno, cuando los intervalos ∆x y ∆t tienden a cero.
c) Consistencia: Es la ausencia de los errores de discretización que se puede cometer por la
truncación de la serie de Taylor en comparación con la derivada parcial en el punto e instante
considerado, y depende fundamentalmente de la truncación de las condiciones iniciales y de
contorno.
Temp
Solución inestable
Solución estable con
errores de truncación
tiempo
Solución exacta
Fig. 3.10 Tipos de errores que se pueden cometer con los métodos numéricos.
En el presente estudio se analizarán diversos métodos numéricos de calculo de la transmisión de
calor unidireccional, en cerramientos planos discretizados en secciones el espesor ∆x y
considerando intervalos finitos ∆t, por lo que se denominan métodos por diferencias finitas, y
que son un caso particular de los denominados métodos de elementos finitos de análisis
multidimensional.
Como hipótesis iniciales se considera que los cerramientos se encuentran divididos en capas o
secciones de espesor ∆x = e, que en el centro de cada sección disponemos de un nodo,
53
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
representativo de la sección, donde se localizan sus propiedades físicas (temperatura,
conductividad, densidad, calor específico, etc.). Se supone que al final de cada intervalo de
tiempo ∆t = I todas las secciones se equilibran con las contiguas, y las secciones extremas se
equilibran con las condiciones de contorno, que deben estar definidas.
T
∆x
∆x
∆x
λ
γ
D
T’ x
T x-∆ x
T (t+∆ t)
Tx
T (t)
T x+∆ x
x-∆ x
x+∆x
x
X
Fig. 3.11 Esquema de cerramiento unidimensional dividido en secciones finitas ∆x.
3.4.1 Método explícito en cerramientos homogéneos
Este método pretende calcular las temperaturas futuras en las diferentes capas de un cerramiento
a partir de las temperaturas interiores y condiciones de contorno en el momento actual,
suponiendo que dichas condiciones permanecen constantes durante el intervalo.
Caso elemental: sección intermedia
Se considera el caso de un cerramiento homogéneo unidimensional de área unidad, dividido en
secciones iguales de espesor ∆x, y que en el instante (t) cada sección está equilibrada con las
contiguas.
Si suponemos que el sistema está sometido a un calentamiento progresivo en la superficie
izquierda, el flujo de calor que penetra por la cara izquierda de la sección (x) es mayor que el que
sale por la cara derecha, y la diferencia de flujo durante el intervalo ∆t se acumula en dicha
rodaja, resultando incrementada su temperatura en el instante (t+1), verificándose:
[W/m2]
Ec. 3.1
Q(izquierda) - Q(derecha) = Q(acumulado)
Ec. 3.2
λ
λ
∆x ⋅ γ ⋅ d t + ∆t
Txt − ∆x − Txt −
Txt − Txt + ∆x =
Tx
− Txt
∆x
∆x
∆t
Ec. 3.3
(
)
Txt + ∆t = Txt +
(
)
(T
⋅γ ⋅D
∆t ⋅ λ
∆x
2
t
x − ∆x
(
− 2Txt + Txt + ∆x
)
)
[W/m2]
[ºK]
54
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Para simplificar la nomenclatura utilizaremos las siguientes convenciones: La temperatura en el
instante t+∆t se designará como T’, las temperaturas en la sección anterior y posterior serán Tx-1
y Tx+1, el espesor ∆x=e y el intervalo ∆t=I, y los valores de la fracción corresponden a:
Difusividad α =
Ec. 3.4
Ec. 3.5
I⋅λ
e ⋅γ ⋅D
2
=
I⋅α
e2
λ
γ⋅D
[m2/s]
= Fo Número de Fourier
[adimensional]
Por consiguiente la temperatura T’ después del intervalo se puede expresar como:
Ec. 3.6
(
Tx' = Tx + Fo Tx − 1 − 2Tx + Tx + 1
)
[ºK]
Este procedimiento estima la temperatura futura T’ de la rodaja (x) en función de las
temperaturas del instante inicial en la sección considerada y las adyacentes, por lo que también es
denominado método de diferencias hacia adelante. Para que este método sea consistente deberá
cumplir ciertas condiciones, siendo fundamental el criterio de estabilidad, que deberá cumplir:
I⋅λ
Ec. 3.7
2
e ⋅γ ⋅D
= Fo ≤
1
2
Esta expresión es proporcional al intervalo de tiempo I e inversamente proporcional al cuadrado
del espesor e de la sección, y está multiplicada por la difusividad α, que una constante de las
propiedades físicas del material. En consecuencia, el intervalo de tiempo debe ser relativamente
pequeño en comparación con el cuadrado del espesor de la sección. Como verificación, se puede
analizar el caso en que la condición de estabilidad se incremente hasta el límite máximo:
Ec. 3.8
Fo =
1
2
(
1
→ T'x = Tx − 1 + Tx + 1
2
)
[ºK]
Lo anterior se interpreta que en el instante (t+∆t) la sección (x) alcanzaría, en el límite, una
temperatura igual a la media de las temperaturas de las secciones adyacentes en el instante
anterior. Si se supera el límite de estabilidad se daría la paradoja que la sección considerada se
calentaría mas que las adyacente, lo cual es evidentemente imposible al no existir generación de
calor interna, y el proceso iterativo se volvería inestable.
Una aplicación práctica de la anterior ecuación, considerando la condición de estabilidad Fo=1/2,
es el calculo gráfico de temperaturas denominado método de Binder-Schmidt, de muy sencilla
elaboración y que se puede encontrar en numerosos tratados tal como [Kreith p.172].
Para el calculo de las temperaturas por hay que considerar, en cualquier caso, las condiciones de
contorno, por lo que las temperaturas en las superficies deben ser conocidas de antemano, así
como las condiciones iniciales de temperaturas en el interior del cerramiento.
55
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Fig. 3.12 Ejemplo de gráfico de temperaturas obtenido por el método de Binder-Schmidt.
Caso de sección superficial con convección
En el supuesto que las condiciones de contorno conocidas sean las del aire, y que la convección
intervenga en el proceso, habría que considerar que las secciones superficiales deben tener un
espesor e/2 de manera que de su nodo coincida con la superficie y así poder determinar la
temperatura en dichos puntos. Sea T1 la temperatura de la superficie de la superficie izquierda y
T0 la temperatura del aire, con un coeficiente de conductividad superficial h, de manera que el
flujo de calor en la superficie se pueda expresar por la siguiente ecuación:
Ec. 3.9
Ec. 3.10
Ec. 3.11
Ec. 3.12
h(T0 − T1 ) −
λ
e γ ⋅D
T1 − T2 ) =
(
( T'1 − T1 )
e
2 I
[W/m2]
2⋅I⋅ h
2⋅ I⋅ λ
T0 − T1 ) + 2
(
( T2 − T1 )
e⋅γ ⋅D
e ⋅γ ⋅D
[ºK]
I⋅λ e⋅ h

T'1 = T1 + 2 2
 λ ( T0 − T1 ) + T2 − T1 

e ⋅γ ⋅D
[ºK]
T'1 = T1 +
Y como el Número de Biot Bi =
e⋅ h
λ
[adimensional]
56
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
[
T'1 = T1 + 2Fo Bi( T0 − T1 ) + T2 − T1
Ec. 3.13
]
[ºK]
La condición de estabilidad para el caso de la sección superficial está descrita con detalle en la
referencia [Kreith, p.167], y debe cumplir:
I⋅ λ 
e ⋅ h 1
Fo(1 + Bi ) = 2
1 +
≤
λ  2
e ⋅γ ⋅D
Ec. 3.14
∆ x/2
T
∆x
T0
T’ 1
T1
λ
γ
D
h
aire
x
T2
T (t+∆ t)
T (t)
x+∆x
X
Fig. 3.13 Proceso de transmisión de calor en una superficie con convección.
El método gráfico de Schmidt permite realizar el cálculo de temperaturas en el caso de superficie
con convección, considerando la capa límite como una sección mas de espesor ficticio e* = λ/h,
que representa el efecto del paso del calor por convección.
Fig. 3.14 Método gráfico de Schmidt con convección en la superficie.
57
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
3.4.2 Método explícito en cerramientos heterogéneos
El caso anterior está limitado a cerramientos con propiedades físicas homogéneas y dividido en
secciones de igual espesor. Los cerramientos de construcción habitual están constituidos por
secciones de diferentes espesores y propiedades físicas, y para su análisis procederemos a
considerar sus características físicas de cada capa con la siguiente nomenclatura:
Ec. 3.15
Rx = ex/λ
λx
Ec. 3.16
Cx = ex• Dx• γ x
Donde:
x
R
e
λ
C
D
γ
Índice del Nº de la capa
Resistencia térmica de la capa
Espesor de la capa
Conductividad
Capacidad térmica de capa
Densidad
Calor específico
T
[1 a n]
[m2 ºK/W]
[m]
[W/m2 ºK]
[J/m2 ºK]
[Kg/m3]
[J/Kg ºK]
ex
e x+1
Rx
Cx
R x+1
C x+1
e x-1
T’ x
T x-1
T (t+I)
Tx
T x+1
R x + R x+1
2
T (t)
X
Fig. 3.15 Terminología empleada en la definición de un cerramiento heterogéneo.
Caso general: sección intermedia
Considerando que la diferencia entre el flujo de entra por la izquierda y el que sale por la derecha
es igual al flujo acumulado en el intervalo I, y que el calor que fluye de un nodo a otro atraviesa
dos semirresistencias, obtendremos.
Ec. 3.17
Ec. 3.18
Tx − 1 − Tx
T − Tx + 1
C
− x
= x ( T'x − Tx )
Rx −1 Rx
Rx Rx +1
I
+
+
2
2
2
2
T'x = Tx +
2I  Tx − 1 − Tx
T − Tx + 1 
− x


Cx  R x − 1 + R x R x + R x + 1 
[W/m2]
[ºK]
58
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
La condición de estabilidad se establece eligiendo un intervalo I lo bastante pequeño para que en
dicho periodo no se desborde la capacidad de acumulación de la capa considerada. En el límite, el
intervalo máximo Imax sería aquel que incremente la temperatura de la capa una temperatura T’x
de tal magnitud que el flujo entrante sea igual al saliente, lo que equivale a un régimen
estacionario, y al ser nula la acumulación, a partir de la primera ecuación obtendríamos:
Tx − 1 − T'x
T' − T
− x x +1 = 0
Rx − 1 + R x R x + Rx + 1
Ec. 3.19
Restando esta ecuación de la primitiva se obtiene:
Ec. 3.20
T'x − Tx
T'x − Tx
C
+
= x ( T'x − Tx )
Rx −1 + R x R x + R x +1 2 ⋅ I
Dividiendo la igualdad por (T’x-Tx) y ordenando la ecuación en forma adimensional:
 1
I max 
1
1
+

=
Cx  R x − 1 + R x R x + R x + 1  2
Ec. 3.21
Caso de una sección sin capacidad térmica (capa aislante)
En el caso de existir una sección con un material con tan poca masa que la capacidad térmica C
sea despreciable, como ocurre con las cámaras de aire y los materiales aislantes (D≈30Kg/m3),
nos encontraríamos que el intervalo Imax tiende a cero, lo que nos obliga a realizar un excesivo
número de cálculos reiterativos para completar un ciclo.
En realidad, al no existir acumulación, nos encontramos ante un caso de régimen estacionario, y
dado que el cálculo de las temperaturas futuras solo dependen de las actuales y que el orden del
proceso puede ser aleatorio, la temperatura de una sección aislante se puede calcular una vez
halladas las temperaturas futuras de las capas adyacentes, de manera que cuando Cx=0 en el
instante t+∆t se verifica que el flujo entrante es igual al saliente,:
T'x − 1 − T'x T'x − T'x + 1
=
Rx − 1 + R x R x + R x + 1
Ec. 3.22
Despejando T’x se obtiene:
Ec. 3.23
T ( R + R x + 1 ) + T'x +1 ( R x −1 + R x )
T'x = x − 1 x
R x −1 + 2R x + R x + 1
[ºK]
En conclusión, la existencia de una capa con capacidad térmica mínima nos obliga a cambiar el
orden del proceso del cálculo pero sin resultar una dificultad insalvable. Se hace notar que la
temperatura de la capa aislante se considera en su punto medio, que correspondería a la
temperatura media del aire en las cámaras huecas, y que la temperatura de las paredes interiores
se deben calcular como se ha expuesto para el caso de régimen estacionario.
59
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Caso de sección superficial con convección
Si se considera el caso de una capa superficial con una temperatura t1 en su cara izquierda, que
está en contacto con el aire a una temperatura T0, con un coeficiente de resistencia superficial
Rs=1/h, se verifica que el flujo que penetra desde el aire menos el que se transmite a la capa
adyacente será igual al acumulado en dicha capa. Esta capa, por ser asimétrica al tener el nodo en
la superficie, tiene toda su resistencia y capacidad a la derecha del nodo y se recomienda que
tenga un espesor mitad del resto de las capas:
Ec. 3.24
( T0 − T1 ) − ( T1 − T2 ) = C1
Ec. 3.25
T'1 = T1 +
(T'1 − T1 )
[W/m2]
T − T2 
2I  T0 − T1
− 1


C1  2Rs
2R 1 + R 2 
[ºK]
R
R1 + 2
2
Rs
I
T
e1
T0
T’ 1
e2
R2
C2
T1
aire
h
Rs
R1
C1
T2
R 1 + R 2 /2
T (t+∆ t)
T (t)
X
Fig. 3.16 Proceso de transmisión de calor en una superficie con convección.
La condición de estabilidad para el caso de la sección superficial se determina de manera
semejante que para el caso de una sección intermedia, hallándose el intervalo Imax que agote la
capacidad térmica de la capa superficial sin sobrepasar la temperatura que alcanzaría en régimen
transitorio, resultando la siguiente expresión:
Ec. 3.26
 1
I max  1
1
+

=
C1  2Rs 2R 1 + R 2  2
La resistencia superficial es un valor variable, por lo que hay que considerar su menor valor
posible, y dada la baja capacidad de la capa superficial suele resultar valores de Imax
relativamente reducidos.
60
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Caso de sección superficial con convección y soleamiento
Si en el caso anterior se considera además la existencia de un flujo de calor externo S [W/m2],
como el que pueda proceder de la absorción de la radiación solar, se verifica que dicho flujo se
suma al procedente de la convección, resultando las siguientes ecuaciones:
S+
Ec. 3.27
( T0 − T1 ) − (T1 − T2 ) = C1
Rs
T'1 = T1 +
Ec. 3.28
R
R1 + 2
2
I
( T'1 − T1 )
[W/m2]
I
T − T2 
2I  T0 − T1
S+
− 1


C1
C1  2Rs
2 R1 + R 2 
[ºK]
T
e1
e2
T’ 1
R2
C2
S
sol
T1
T0
aire
h
Rs
R1
C1
T2
R 1 + R 2 /2
T (t+∆ t)
T (t)
X
Fig. 3.17 Proceso de transmisión de calor en una superficie con convección y radiación.
Es decir, que la temperatura futura T’ manifestará un incremento adicional de S•I/C1, y
considerando la gran intensidad del flujo solar es previsible un considerable incremento de la
temperatura superficial, generalmente superior a la temperatura del aire, lo que provocará una
disipación de energía solar por la convección además de la conducción. Este planteamiento
también es aplicables a cualquier capa intermedia, donde se pueda localizar una generación de
energía procedente de exterior, como pavimentos calefactados o cámaras de aire ventiladas.
La condición de estabilidad para el caso fuentes de energías externas no se modifica, tal como se
ha comprobado realizando el procedimiento de los casos anteriores, debido a que la magnitud del
flujo de calor externo es totalmente independiente de las temperaturas del ambiente y el
cerramiento, resultando la misma expresión que el caso anterior:
Ec. 3.29
 1
I max  1
1
+

=
C1  2Rs 2R 1 + R 2  2
61
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Proceso de cálculo y conclusiones del método explícito
El procedimiento para el calculo de un ciclo de flujos de calor por el método explícito se inicia
determinando la propiedades físicas de cada una de las secciones y las resistencias superficiales,
para a continuación analizar el Imax para cada una de las secciones. El intervalo de cálculo debe
ser inferior al límite, siendo aconsejables valor inferiores Imax/2 para minimizar los errores de
truncación.
Antes de iniciar el cálculo propiamente dicho se deben conocer las temperaturas de contorno de
todo el ciclo, normalmente de un día de duración. También se deben conocer las temperaturas
iniciales en el interior del cerramiento, y en caso de ser desconocidas se puede iniciar un ciclo
previo con las temperaturas iniciales interiores calculadas en el supuesto de régimen estacionario
y repetir el ciclo hasta que no existan diferencia apreciables en las condiciones del instante inicial.
El proceso se inicia para cada una de las capas, excepto aquellas con masa despreciable que se
estiman al final de cada intervalo del ciclo.
Una vez conocida la historia de las temperaturas en el interior del cerramiento se pueden calcular
los flujos de calor por conducción y acumulación en cada intervalo, y calcular los totales del ciclo
completo. En particular es interesante conocer los flujos superficiales Qs y la acumulación qx en
cada capa según las siguientes ecuaciones:
Ec. 3.30
Ec. 3.31
En cada instante (t) Qst =
t
Taire
− Tst
Rs
(
En cada intervalo (I) q tx = C x Txt + 1 − Txt
[W/m2]
)
[J/m2]
Como conclusión, este método se presta para el calculo por ordenador por su fácil programación,
aunque requiere la estimación previa de los intervalos de estabilidad y la modificación del proceso
cuando existen capas aislantes. Su mayor inconveniente es tener que cumplir con una condición
de estabilidad con el peligro que el proceso sea inestable en extremo..
Un inconveniente insalvable es la dificultad para controlar los errores de truncación, debido a
que las temperaturas futuras se estiman exclusivamente a partir de las condiciones actuales,
¡suponiendo que permanecen constantes!, sin considerar que durante el intervalo las condiciones
de contorno puedan variar aleatoriamente. Ello obliga a considerar un intervalo I tan pequeño que
permita representar la historia de las condiciones de contorno con precisión. Gran parte de estos
inconvenientes se pueden resolver con los métodos que se exponen a continuación
3.4.3 Método implícito en cerramientos homogéneos
Este método pretende calcular las temperaturas futuras en las diferentes capas de un cerramiento
a partir de las temperaturas interiores y condiciones de contorno en el momento futuro,
suponiendo que dichas condiciones han permanecido constantes durante el intervalo.
Caso elemental: sección intermedia
Se considera el caso de un cerramiento homogéneo unidimensional de área unidad, dividido en
secciones iguales de espesor e, y que en el instante futuro (t+I) cada sección está equilibrada con
las contiguas. La nomenclatura utilizada será la misma que en los apartados anteriores, siendo las
62
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
propiedades físicas de las rodajas uniformes: Resistencia térmica R=e/λ y capacidad térmica
C=e•γ •D
Si suponemos que el sistema ha estado sometido a un calentamiento progresivo en la superficie
izquierda, el flujo de calor que ha penetrado por la cara izquierda de la sección (x) es mayor que
el que ha salido por la cara derecha, y la diferencia de flujo durante el intervalo I se ha
acumulado en dicha rodaja, resultando incrementada su temperatura T’, verificándose:
Ec. 3.32
[W/m2]
Q(izquierda) - Q(derecha) = Q(acumulado)
T'x − 1 − T'x
T' − T'x + 1 Cx
− x
=
( T'x − Tx )
R x −1 R x R x R x + 1
I
+
+
2
2
2
2
Ec. 3.33
[W/m2]
Por consiguiente, considerando que todas las resistencias y capacidades son iguales, la
temperatura T’ después del intervalo se puede expresar como:
(
I
Tx' = Tx +
T' − 2Tx' + Tx' + 1
C ⋅ R x −1
Ec. 3.34
T
e
[ºK]
e
e
T ’ x-∆ x
)
R
C
T’ x
T ’ x+∆ x
T (t+∆ t)
Tx
x-∆ x
x
T (t)
x+∆x
X
Fig. 3.18 Transmisión de calor en un cerramiento homogéneo según el método implícito.
Observamos que el coeficiente del paréntesis es el número de Fourier, luego despejando T’x:
I
I⋅λ
=
= Fo
C ⋅ R e2 ⋅ γ ⋅ D
Ec. 3.35
Ec. 3.36
Tx'
=
(
Tx + Fo Tx' − 1 + Tx' + 1
1 + 2Fo
[adimensional]
)
[ºK]
Este procedimiento estima la temperatura futura T’ de la sección (x) en función de las
temperatura inicial en la sección considerada y las temperaturas futuras de las secciones
adyacentes, por lo que también es denominado método de diferencias hacia atrás.
63
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Para ejecutar este método es preciso plantear las ecuaciones lineales de las n secciones y,
conociendo las temperatura iniciales interiores y temperaturas futuras del contorno, se puede
resolver el sistema simultáneo de n ecuaciones con n incógnitas.
La gran ventaja de este método es que es estable para cualquier valor de Fo, es decir, El intervalo
I es independiente de espesor e y las propiedades físicas del cerramiento. No obstante, se deben
utilizar valores adecuados de espesores e intervalos para minimizar los posibles errores de
discretización y truncación.
Caso de sección superficial con convección
En el supuesto que las condiciones de contorno conocidas sean las del aire, y que la convección
intervenga en el proceso, hay que considerar que las secciones superficiales deben tener un
espesor e/2 y que su capacidad térmica será C/2, de manera que de su nodo coincida con la
superficie y así poder determinar la temperatura en dichos puntos. Sea T1 la temperatura de la
superficie de la superficie izquierda y T0 la temperatura del aire, con un coeficiente de resistencia
superficial Rs=1/h, de manera que el flujo de calor en la superficie se pueda expresar por la
siguiente ecuación:
T'0 − T'1 T'1 − T'2 C
−
= (T'1 − T1 )
Rs
R
2I
Ec. 3.37
T'1 = T1 +
Ec. 3.38
T'1 = T1 + 2
Ec. 3.39
T
T ’0
[W/m2]
2 ⋅ I  T'0 − T'1 T'1 − T'2 
−


C  Rs
R 
[ºK]
I  R
(T'0 − T'1 ) − T'1 + T'2 

C ⋅ R  Rs
e/2
T’ 1
[ºK]
e
R
C
T1
T ’2
aire
T (t+∆ t)
R /2
C /2
Rs
x
T (t)
x+e
X
Fig. 3.19 Transmisión de calor en una superficie con convección.
En esta ecuación aparecen las expresiones del Número de Fourier y el Número de Biot, siendo el
proceso estable para cualquier valor de Fo y Bi.
64
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
R e⋅h
=
= Bi
Rs
λ
Ec. 3.40
T1'
Ec. 3.41
=
[adimensional]
(
T1 + 2Fo Bi ⋅ T0' + T2'
1 + 2Fo(Bi + 1)
)
[ºK]
3.4.4 Método implícito en cerramientos heterogéneos
Los casos que se estudian a continuación son característicos de cerramientos de construcción
habitual, están constituidos por secciones de diferentes espesores y propiedades físicas, y para su
análisis se consideran las diferentes características físicas de cada capa con la anterior
nomenclatura.
Caso general: sección intermedia
Considerando que la diferencia entre el flujo de entra por la izquierda y el que sale por la derecha
es igual al flujo acumulado en el intervalo I, y que el calor que fluye de un nodo a otro atraviesa
dos semirresistencias, obtendremos.
T'x − 1 − T'x
T' − T'x + 1 Cx
− x
=
( T'x − Tx )
R x −1 R x R x R x + 1
I
+
+
2
2
2
2
Ec. 3.42
T'x = Tx +
Ec. 3.43
T
[W/m2]
2I  T'x − 1 − T'x T'x − T'x + 1 
−


Cx  R x − 1 + R x R x + R x + 1 
ex
e x+1
Rx
Cx
R x+1
C x+1
e x-1
T ’ x-1
[ºK]
T’ x
T ’ x+1
T (t+I)
Tx
T (t)
R x + R x+1
2
X
Fig. 3.20 Transmisión de calor en un cerramiento heterogéneo según el método implícito.
Para poder despejar cómodamente T’x utilizaremos los coeficientes Ax y Bx, que corresponden a
los Números de Fourier a la izquierda y a la derecha del nodo (x):
65
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Ec. 3.44
Ax =
2⋅ I
Cx ( R x − 1 + R x )
2⋅I
y Bx =
Cx ( R x + R x + 1 )
[adimens.]
Sustituyendo en la ecuación anterior y despejando T’x se obtiene:
T + A x ⋅ Tx' − 1 + B x ⋅ Tx' + 1
Tx' = x
1 + Ax + B x
Ec. 3.45
[ºK]
Caso de una sección sin capacidad térmica (capa aislante)
En el caso de existir una sección con un material con tan poca masa que la capacidad térmica C
sea despreciable, como ocurre con las cámaras de aire y los materiales aislantes (D≈30Kg/m3),
nos encontraríamos que los coeficientes Ax y Bx tienden a infinito, lo cual nos imposibilita su
cálculo con la ecuación genérica.
En realidad, al no existir acumulación, nos encontramos ante un caso de régimen estacionario y,
dado que todo el cálculo se realiza en función de las temperaturas, se verifica que cuando Cx=0 el
flujo entrante es igual al saliente,:
T'x − 1 − T'x T'x − T'x + 1
=
Rx − 1 + R x R x + R x + 1
Ec. 3.46
Despejando T’x se obtiene:
Ec. 3.47
T'x =
T'x − 1 ( R x + R x + 1 ) + T'x + 1 ( R x − 1 + R x )
R x −1 + 2R x + R x + 1
[ºK]
En conclusión, la existencia de una capa con capacidad térmica mínima nos obliga a cambiar el
criterio de los coeficientes, pero sin resultar una dificultad insalvable. Se hace notar que la
temperatura de la capa aislante se considera en su punto medio, que correspondería a la
temperatura media del aire en las cámaras huecas, y que la temperatura de las paredes interiores
se deben calcular como se ha expuesto para el caso de régimen estacionario.
Caso de sección superficial con convección
Si se considera el caso de una capa superficial con una temperatura t1 en su cara izquierda, que
está en contacto con el aire a una temperatura T0, con un coeficiente de resistencia superficial
Rs=1/h, se verifica que el flujo que penetra desde el aire menos el que se transmite a la capa
adyacente será igual al acumulado en dicha capa. Esta capa, por ser asimétrica al tener el nodo en
la superficie, tiene toda su resistencia y capacidad a la derecha del nodo y se recomienda que
tenga un espesor mitad del resto de las capas:
Ec. 3.48
( T'0 − T'1 ) − ( T'1 − T'2 ) = C1
Ec. 3.49
T'1 = T1 +
Rs
R
R1 + 2
2
I
(T'1 − T1 )
2I  T'0 − T'1 T'1 − T'2 
−


C1  2 Rs
2 R1 + R 2 
[W/m2]
[ºK]
66
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Para poder despejar cómodamente T’x utilizaremos los coeficientes A1 y B1, que corresponden a
una combinación de los números de Biot y de Fourier a la izquierda y a la derecha del nodo (x):
A1 =
Ec. 3.50
I
C1 ⋅ R s
y B1 =
2⋅I
C1 ( 2R 1 + R 2 )
[adimens.]
Sustituyendo en la ecuación anterior y despejando T’x se obtiene:
T + A1 ⋅ T0' + B1 ⋅ T2'
T1' = 1
1 + A1 + B 1
Ec. 3.51
T
T ’0
[ºK]
e2
e1
R2
C2
T’ 1
T1
T ’2
aire
h
T (t+∆ t)
R1
C1
Rs
T (t)
R 1 + R 2 /2
X
Fig. 3.21 Proceso de transmisión de calor en una superficie con convección.
Caso de sección superficial con convección y soleamiento
Si en el caso anterior se considera además la existencia de un flujo de calor externo S’ [W/m2] en
el instante futuro, como el que pueda proceder de la absorción de la radiación solar, se verifica
que dicho flujo se suma al procedente de la convección, resultando las siguientes ecuaciones:
Ec. 3.52
Ec. 3.53
S'+
( T'0 − T'1 ) − ( T'1 − T'2 ) = C1
Rs
T'1 = T1 +
R
R1 + 2
2
I
( T'1 − T1 )
[W/m2]
I
2I  T'0 − T'1 T'1 − T'2 
S'+
−


C1
C1  2Rs
2R 1 + R 2 
[ºK]
Sustituyendo los coeficientes A1 y B1 usados en el caso anterior y despejando T’x se obtiene:
Ec. 3.54
T1' =
T1 +
I
S'+ A1 ⋅ T0' + B1 ⋅ T2'
C1
1 + A 1 + B1
[ºK]
67
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Es decir, que la temperatura futura T’ también manifestará un incremento adicional de S•I/C1, y
este planteamiento también es aplicables a cualquier capa intermedia, donde se pueda localizar
una generación de energía procedente de exterior.
T
e1
e2
T’ 1
R2
C2
S’
sol
T ’0
T1
T ’2
aire
h
Rs
R1
C1
R 1 + R 2 /2
T (t+I)
T (t)
X
Fig. 3.22 Proceso de transmisión de calor en una superficie con convección y radiación.
Proceso de cálculo y conclusiones del método implícito
El procedimiento para el calculo de un ciclo de flujos de calor por el método explícito se inicia
determinando la propiedades físicas de cada una de las secciones y las resistencias superficiales,
para a continuación determinar un intervalo I que debe ser un submúltiplo del ciclo, es cual suele
ser diario. Para minimizar los errores de truncación es convenientes utilizar intervalos similares a
los que se usarían en el método explícito. También se pueden determinar a priori los coeficientes
Ax y Bx, salvo los correspondientes a las resistencias superficiales en el caso que se considere Rs
como función de la diferencia de temperatura superficial.
Antes de iniciar el cálculo propiamente dicho se deben conocer las temperaturas de contorno de
todo el ciclo, normalmente de un día de duración. También se deben conocer las temperaturas
iniciales en el interior del cerramiento, y en caso de ser desconocidas se puede iniciar un ciclo
previo con las temperaturas iniciales interiores calculadas en el supuesto de régimen estacionario
y repetir el ciclo hasta que no existan diferencia apreciables en las condiciones del instante inicial.
El proceso, en cada intervalo, plantea un sistema simultáneo de ecuaciones lineales, que se puede
resolver por métodos matriciales, por métodos aproximados iterativos, o simplemente por el
método de sustitución ya que, como las temperaturas de contorno son conocidas, al iniciar el
calculo por la izquierda resulta que la ecuación de cada nodo depende exclusivamente de la
temperatura del nodo derecho, y así hasta la temperatura de contorno derecha.
Una vez conocida la historia de las temperaturas en el interior del cerramiento se pueden calcular
los flujos de calor por conducción y acumulación en cada intervalo, y calcular los totales del ciclo
completo. En particular es interesante conocer los flujos superficiales Qs y la acumulación qx en
cada capa según las siguientes ecuaciones:
68
Ec. 3.55
Ec. 3.56
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
En cada instante (t) Qst =
t
Taire
− Tst
Rs
(
En cada intervalo (I) q tx = C x Txt + 1 − Txt
[W/m2]
)
[J/m2]
Como conclusión, este método también se presta para el calculo por ordenador por su fácil
programación y porque se puede elegir cualquier intervalo I sin peligro de inestabilidad. Un
inconveniente menor es tener que resolver un sistema de ecuaciones en cada intervalo.
Comparte con el método explícito la dificultad para controlar los errores de truncación, debido a
que las temperaturas futuras se estiman exclusivamente a partir de las condiciones futuras,
¡suponiendo que han permanecido constantes en el intervalo anterior!, sin considerar las
condiciones de contorno en el instante previo.
Una ventaja considerable del método implícito es la propiedad que los cambios de las condiciones
de contorno afecta instantáneamente a todas las secciones interiores, mientras que en el método
implícito los cambios de temperatura en la superficie solo afecta a la primera capa en el primer
intervalo, a la segunda capa en el segundo intervalo y así sucesivamente, de manera que una
perturbación en una superficie necesita tantos intervalos como capas tenga el cerramiento para
que se manifieste en la superficie opuesta.
3.4.5 Métodos de direcciones alternas
Diversos autores han propuesto métodos combinados que permitan un calculo sencillo como el
método explícito y que sean estables y permitan la rápida transmisión de las perturbaciones como
en el método implícito. Ha continuación se describirá el método explícito de direcciones alternas
desarrollado por Saul’ev (1955), que además permite un elegante cálculo gráfico.
Considerando un cerramiento homogéneo con capas de igual espesor, excepto las superficiales
que tienen espesor mitad, se van ha determinar en cada nodo los flujos de calor a la izquierda en
función de las temperaturas futuras y los flujos de calor a la derecha en función de las
temperaturas actuales, mediante la siguientes ecuaciones
Caso elemental: sección intermedia
Se supone que el sistema está sometido a un calentamiento progresivo en la superficie izquierda,
y que el flujo de calor que penetra por la cara izquierda de la sección (x) en el instante futuro
menos el que sale por la cara derecha en el instante actual ,se ha acumulado en dicha rodaja
durante el intervalo I, resultando incrementada su temperatura T’, verificándose:
Ec. 3.57
q
Q'izq − Qder = acum
I
[W/m2]
Ec. 3.58
T'x − 1 − T'x Tx − Tx + 1 C
−
= ( T'x − Tx )
R
R
I
[W/m2]
Por consiguiente, la temperatura T’ después del intervalo se puede expresar como:
69
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Ec. 3.59
(
I
Tx' = Tx +
T' − Tx' − Tx + Tx + 1
C ⋅ R x −1
)
[ºK]
Observamos que el coeficiente del paréntesis es el número de Fourier, luego despejando T’x:
Ec. 3.60
Tx'
(
Tx + Fo Tx' − 1 − Tx + Tx + 1
=
1 + Fo
)
[ºK]
Este procedimiento se inicia por la izquierda, dado que se conoce la temperatura futura de
contorno, y se progresa en las siguientes secciones hasta la superficie derecha, por lo que las
perturbaciones superficiales se transmiten inmediatamente. El siguiente intervalo T’’ se procesa
de derecha a izquierda, con una ecuación simétrica, por la cual este método se denomina de
direcciones alternas:
Ec. 3.61
Tx''
=
(
Tx' + Fo Tx'
− Tx' + Tx'' 1
1 + Fo
)
[ºK]
Para ejecutar este método no es preciso plantear las ecuaciones lineales simultáneas, ya que cada
proceso se inicia con todas los parámetros conocidos, aunque se debe ejecutar en direcciones
alternas.
La gran ventaja de este método es que es estable para cualquier valor de Fo, es decir, el intervalo
I es independiente de espesor e y las propiedades físicas del cerramiento. No obstante, se insiste
en que se deben utilizar valores adecuados de espesores e intervalos para minimizar los posibles
errores de discretización y truncación.
Una propiedad sumamente interesante es que si fijamos el valor de Fo = 1 se obtiene una
ecuación muy simplificada que se presta para el cálculo gráfico:
Ec. 3.62
Tx' − 1 + Tx + 1
I
'
= Fo = 1 → Tx =
2
C⋅ R
[ºK]
Mediante esta ecuación, y su simétrica para intervalos alternos, se ha desarrollado la solución
gráfica de Saul’ev, de la que se muestra un ejemplo tomado de la referencia [Welty, p.151]:
70
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Fig. 3.23 Solución gráfica de Saul’ev para conducción transitoria en cerramientos homogéneos por el
métodos de direcciones alternas.
3.5 Método implícito-explícito de Crank-Nicolson
Crank y Nicolson han sugerido un método implícito modificado que refleje con precisión la
transición de las temperaturas superficiales e interiores durante el intervalo estimado,
considerando en cada nodo el promedio de la temperatura actual y la temperatura futura.
3.5.1 Sección intermedia de cerramiento homogéneo
Se considera unas condiciones semejantes al método implícito, con la circunstancia que se
considera el promedio de las temperaturas durante el intervalo I:
Ec. 3.63
Tx' = Tx +
I  Tx' − 1 − 2Tx' + Tx' + 1 Tx − 1 − 2Tx + Tx + 1 
+

C ⋅ R 
2
2

[ºK]
Observamos que la fracción de la izquierda corresponde al método implícito mientras que la otra
corresponde al método explícito, y que además el coeficiente del paréntesis es el número de
Fourier, luego despejando T’x:
71
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
T
+ Tx' − 1 Tx + 1 + Tx' + 1 
Tx (1 − Fo) + Fo x − 1
+


2
2


Tx' =
1 + Fo
Ec. 3.64
[ºK]
La ventaja de este método es que, para los mismos valores de espesor e intervalo, el resultado del
cálculo involucra menos errores de truncación que los métodos implícito y explícito estudiados
anteriormente, y al igual que el método implícito, la solución es siempre estable para cualquier
valor de Fo.
T
e
e
e
R
C
T ’ x-1
T’ x
T ’ x+1
T x-1
Tx
T x+1
R
R
T (t+I)
T (t+I/2)
T (t)
X
Fig. 3.24 Transmisión en cerramientos homogéneos por el método de Crank-Nicolson
Para ejecutar este método es preciso plantear las ecuaciones lineales de las n secciones y,
conociendo las temperatura iniciales interiores y temperaturas futuras del contorno, se puede
resolver el sistema simultáneo de n ecuaciones con n incógnitas. El inconveniente del aumento de
número de parámetros y proceso de cálculo está hoy en día minimizado por la potencia de los
ordenadores disponibles.
Los casos de sección superficial con convección y sección sin capacidad térmica en
cerramientos homogéneos se resuelven de manera análoga a como se han planteado con el método
explícito.
3.5.2 Sección intermedia en cerramientos heterogéneos
Los casos que se estudian a continuación son característicos de cerramientos de construcción
habitual, están constituidos por secciones de diferentes espesores y propiedades físicas, y para su
análisis se consideran las diferentes características físicas de cada capa con la anterior
nomenclatura.
Caso general
Considerando que la diferencia entre el flujo medio que entra por la izquierda y el equivalente que
sale por la derecha es igual al flujo acumulado en el intervalo I, y que el calor que fluye de un
nodo a otro atraviesa dos semirresistencias, obtendremos.
72
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
Ec. 3.65
T'x − 1 − T'x Tx − 1 − Tx T'x − T'x + 1 Tx − Tx + 1
+
+
C
2
2
2
2
−
= x ( T'x − Tx )
R x −1 Rx
R x R x +1
I
+
+
2
2
2
2
Ec. 3.66
T'x = Tx +
[W/m2]
I  T'x − 1 − T'x + Tx −1 − Tx T'x − T'x + 1 + Tx − Tx + 1 
−


Cx 
R x −1 + R x
R x + R x +1

T
e x-1
T ’ x-1
ex
e x+1
Rx
Cx
R x+1
C x+1
[ºK]
T’ x
T ’ x+1
T x-1
Tx
T x+1
R x + R x+1
2
T (t+I)
T (t+I/2)
T (t)
X
Fig. 3.25 Transmisión en cerramientos heterogéneos por el método de Crank-Nicolson
Para poder despejar cómodamente T’x utilizaremos los siguientes coeficientes Ax y Bx, que
corresponden a los Números de Fourier a la izquierda y a la derecha del nodo (x), y que son
específicos del método Crank-Nicolson:
Ax =
Ec. 3.67
I
Cx ( R x − 1 + R x )
I
y Bx =
Cx ( R x + R x + 1 )
[adimens.]
Sustituyendo en la ecuación anterior y despejando T’x se obtiene:
Ec. 3.68
Tx'
1 − A x − Bx )Tx + A x ⋅ Tx − 1 + B x ⋅ Tx + 1 + A x ⋅ Tx' − 1 + B x ⋅ Tx' + 1
(
=
1 + Ax + Bx
[ºK]
Esta ecuación, aunque parezca compleja, es sencilla de resolver porque se conocen todas las
temperaturas T en el instante actual y los coeficientes A y B, y por sustitución de los parámetros
conocidos por coeficientes específicos del intervalo se obtiene una ecuación de la forma:
Ec. 3.69
Tx' = a x ⋅ Tx' − 1 + b x ⋅ Tx' + 1 + c x
73
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Caso de una sección sin capacidad térmica (capa aislante)
En el caso de existir una sección con un material con tan poca masa que la capacidad térmica C
sea despreciable, como ocurre con las cámaras de aire y los materiales aislantes, nos encontramos
ante un caso similar al régimen estacionario ya considerado en el método implícito, con la
siguiente ecuación:
T'x =
Ec. 3.70
T'x − 1 ( R x + R x + 1 ) + T'x + 1 ( R x − 1 + R x )
R x −1 + 2R x + R x + 1
[ºK]
Esta ecuación, al igual que en el caso de una sección genérica, se puede plantear en función de
unos coeficientes específicos:
Tx' = a x ⋅ Tx' − 1 + bx ⋅ Tx' + 1
Ec. 3.71
3.5.3 Sección superficial con convección y radiación
Caso de sección superficial con sólo convección
Si se considera el caso de una capa superficial con una temperatura t1 en su cara izquierda, que
está en contacto con el aire a una temperatura T0, con un coeficiente de resistencia superficial
Rs=1/h, se verifica que el flujo medio que penetra desde el aire menos el flujo medio que se
transmite a la capa adyacente será igual al acumulado en dicha capa:
Ec. 3.72
T'0 − T'1 T0 − T1 T'1 − T'2 T1 − T2
+
+
C
2
2
2
2
= 1 ( T'1 − T1 )
−
R2
Rs
I
R1 +
2
Ec. 3.73
T'1 = T1 +
I  T'0 − T'1 + T0 − T1 T'1 − T'2 + T1 − T2 
−


C1 
2Rs
2R 1 + R 2

[W/m2]
[ºK]
Para poder despejar cómodamente T’x utilizaremos los coeficientes A1 y B1, que corresponden a
una combinación de los números de Biot y de Fourier a la izquierda y a la derecha del nodo (x):
A1 =
Ec. 3.74
I
C1 ⋅ 2 ⋅ R s
y B1 =
I
C1 ( 2R 1 + R 2 )
[adimens.]
Sustituyendo en la ecuación anterior y despejando T’x se obtiene:
Ec. 3.75
T1'
1 − A1 − B1 )T1 + A1 ⋅ T0 + B1 ⋅ T2 + A1 ⋅ T0' + B1 ⋅ T2'
(
=
1 + A1 + B 1
[ºK]
En esta ecuación se conocen todas las temperaturas T en el instante actual, la temperatura futura
de contorno T’0 y los coeficientes A y B, siendo T’2 la única variable, y por sustitución de los
parámetros conocidos por coeficientes específicos del intervalo se obtiene una ecuación de la
forma:
74
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
T1' = b1 ⋅ T2' + c1
Ec. 3.76
T
T ’0
e2
e1
T0
R2
C2
T’ 1
T1
aire
h
Rs
[ºK]
T ’2
T (t+∆ t)
R1
C1
T2
T (t)
R 1 + R 2 /2
X
Fig. 3.26 Proceso de transmisión de calor en una superficie con convección.
Caso de sección superficial con convección y soleamiento
Si en el caso anterior se considera además la existencia de un flujo de calor externo S [W/m2],
conocidos en el instante actual y futuro, como el que pueda proceder de la absorción de la
radiación solar, se verifica que dicho flujo se suma al procedente de la convección, resultando las
siguientes ecuaciones:
Ec. 3.77
Ec. 3.78
T'0 − T'1 T0 − T1 T'1 − T'2 T1 − T2
+
+
S + S'
C
2
2
2
2
= 1 ( T'1 − T1 )
−
+
R2
2
Rs
I
R1 +
2
T'1 = T1 +
[W/m2]
I (S + S')
I  T'0 − T'1 + T0 − T1 T'1 − T'2 + T1 − T2 
⋅
+
−


2
2 Rs
2 R1 + R 2
C1
C1 

[ºK]
Sustituyendo los coeficientes A1 y B1 usados en el caso anterior y despejando T’x se obtiene:
Ec. 3.79
I S + S'
⋅
+ (1 − A1 − B1 )T1 + A1 ⋅ T0 + B1 ⋅ T2 + A1 ⋅ T0' + B1 ⋅ T2'
C
2
T1' = 1
1 + A1 + B 1
[ºK]
También en esta ecuación se conocen todas las temperaturas T en el instante actual, la
temperatura futura de contorno T’0 y los coeficientes A y B, además de los flujo S y S’, siendo
T’2 la única variable, y por sustitución de los parámetros conocidos por coeficientes específicos
del intervalo se obtiene una ecuación de la forma:
Ec. 3.80
T1' = b1 ⋅ T2' + c1
[ºK]
75
Capítulo 3: Conducción en régimen transitorio
Es importante considerar que mientras que las temperaturas del ambiente y del cerramiento
varían lentamente, no ocurre lo mismo con el flujo externo S, especialmente cuando procede de la
radiación solar directa en cielos con nubes, pudiendo sufrir grandes oscilaciones aleatorias
durante el intervalo I, por lo que conviene sustituir la media de los valores actual y futuro (S y
S’) por la integración de sus valores instantáneos St durante el intervalo I:
I
S + S'
I
→
2
Ec. 3.81
∫ St ⋅ dt
[J/ m2]
0
T
e1
T’ 1
sol
S’
e2
R2
C2
T ’0
S
T1
T ’2
T0
T (t+I)
aire
h
Rs
R1
C1
T ’2
T (t)
R 1 + R 2 /2
X
Fig. 3.27 Proceso de transmisión de calor en una superficie con convección y radiación.
3.5.4 Proceso de cálculo y conclusiones del método CrankNicolson
El procedimiento para el calculo de un ciclo de flujos de calor por el método de Crank-Nicolson
es totalmente similar al del método implícito, debiéndose determinar las características físicas,
geométricas y temporales del proceso, y conocerse de antemano las condiciones de contorno de
todo el ciclo, así como las temperaturas iniciales del cerramiento.
Las propiedades físicas Ax y Bx se pueden determinar a priori, y conociendo en cada intervalo las
temperaturas actuales y condiciones de contorno, se pueden agrupar los parámetros en
coeficientes ax, bx y cx de manera que el sistema de n ecuaciones simultáneas para un cerramiento
de n capas sería:
Ec. 3.82
Sección inicial: T1' = b1 ⋅ T2' + c1 = f1 ( T2' )
Ec. 3.83
Sección intermedia: Tx' = a x ⋅ Tx' − 1 + b x ⋅ Tx' + 1 + c x
Considerando la sección x=2, se observa que la temperatura T’1 es función de T’2, y sustituyendo
en dicha sección y las sucesivas y despejando T’x se obtiene:
76
Ec. 3.84
Comportamiento térmico de cerramientos soleados
( )
Sección x: Tx' = a x ⋅ f x − 1 Tx' + bx ⋅ Tx' + 1 + c x
( )
→ Tx' = f x Tx' + 1
La sección final no depende de ninguna variable a la derecha, y por sustitución se obtiene el
resultado del sistema de ecuaciones para dicha sección:
( )
Ec. 3.85 Sección final: Tn' = a n ⋅ Tn' − 1 + c n = a n ⋅ f n − 1 Tn' + c n
→ Tn' = f n (Cte .)
Las temperaturas de las secciones anteriores se hallan inmediatamente utilizado las funciones ya
definidas:
Ec. 3.86
Secciones n-1 → 1:
( )
Tx' = fx Tx' + 1
En resumen, el proceso propuesto plantea en cada intervalo un sistema simultáneo de ecuaciones
lineales, que resuelve por el método de sustitución ya que, como las temperaturas actuales y todas
las condiciones de contorno son conocidas, al iniciar el calculo por la izquierda resulta que la
ecuación de cada nodo depende exclusivamente de la temperatura del nodo derecho, y así hasta la
temperatura de contorno derecha.
Una vez conocida la historia de las temperaturas en el interior del cerramiento se pueden calcular
los flujos de calor por conducción y acumulación en cada intervalo, y calcular los totales del ciclo
completo. En particular, es interesante conocer en cada instante (t) los flujos superficiales Q0 y
Qn, y la acumulación qx durante el intervalo I en cada capa según las siguientes ecuaciones:
Ec. 3.87
Tt − T1t
Superficie izquierda: Q t0 = S t0 + 0
Ec. 3.88
En cada sección:
[W/m2]
Rs 0
(
q tx = C x Txt + 1 − Txt
)
[J/m2]
Como es lógico, la diferencia de flujos medios superficiales en un intervalo debe coincidir con la
acumulación total de calor en el cerramiento:
Ec. 3.89
n
 Q + Q' Q + Q' 
0
n
n
 0

−
Cx Tx' − Tx
⋅I =


2
2


x =1
∑ (
)
[J/m2]
Como conclusión, este método también se presta para el calculo por ordenador por su fácil
programación y porque se puede elegir cualquier intervalo I sin peligro de inestabilidad. Un
inconveniente menor es tener que resolver un sistema de ecuaciones en cada intervalo, pero ya se
ha mostrado que el algoritmo no plantea dificultades informáticas.
La ventaja fundamental con respecto al método implícito es la bondad para controlar los errores
de truncación, debido a que las temperaturas futuras se estiman considerando una ponderación
de las condiciones actuales y las futuras, compensando su variación en el intervalo. Esta
propiedad, conjuntamente con las ventajas comentadas de estabilidad y rapidez de transmisión
de perturbaciones, hacen que el autor considere este método como el mas adecuado para el
cálculo numérico de la transmisión transitoria de calor en cerramientos planos heterogéneos.