clave-112-2-V-2-00-2012 - Departamento de Matemática

clave-112-2-V-2-00-2012
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO: MATEMÁTICA INTERMEDIA 2
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
AUXILIAR: JORGE GALICIA
23 DE OCTUBRE DE 2012
SEGUNDO SEMESTRE
HORARIO DE EXAMEN: 14:00 – 14:50
REVISADO POR: DR. ENRIQUE PAZOS
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA INTERMEDIA II “M”
ING. FRANCISCO GARCÍA
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 03-octubre-2012
TEMA No. 1 (15 puntos)
La temperatura en el punto (x,y) de una placa metálica es
a. Halle la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3,4)
b. Halle la razón de mayor incremento de calor en el punto (3,4)
TEMA No. 2 (15 puntos)
Dibuje la superficie
en que el plano tangente es horizontal.
. Después halle el punto de la superficie
TEMA No. 3 (20 puntos)
Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de producción de
es:
y el costo de producción de
unidades en el lugar 1
unidades en el lugar 2 es:
. Las velas se venden a $15 por unidad. Hallar la cantidad que
debe producirse en cada lugar para aumentar al máximo el beneficio dado por:
TEMA No. 4 (15 puntos)
a. Dibuje la región R cuya área está dada por la integral iterada:
b. Cambie el orden de integración y evalúe la integral. Debe dibujar y definir R.
TEMA No. 5 (20 puntos)
Utilice una integral doble para determinar el volumen de la región sólida Q en el primer octante
acotada superiormente por el cilindro
y comprendida entre los planos verticales
y
. Debe dibujar la región sólida Q, definir y dibujar R.
TEMA No. 6 (15 puntos)
UtilicE coordenadas polares para plantear (sin evaluar) la integral doble que calcula el área de
. Debe dibujar y definir la región R.
Solución
TEMA No. 1
Derivando parcialmente la función:
Vector Gradiente:
Para encontrar la dirección del mayor incremento de calor en el punto (3,4):
a.
La razón de mayor incremento de calor:
b.
TEMA No. 2 (15 puntos)
Completando el cuadrado:
Si
Gráfica
Derivando parcialmente la función:
Encontrando puntos donde el plano tangente es horizontal (derivadas parciales en x & y = 0)
Encontrando z con esos valores de x & y.
El punto donde el plano tangente es horizontal es (0,3,12).
TEMA No. 3 (20 puntos)
Sustituyendo cada costo:
)
Derivando parcialmente:
Criterio de la segunda derivada para comprobar que el punto es un máximo.
Deben producirse 275 unidades en el lugar 1 y 110 unidades en el lugar 2 para aumentar al
máximo el beneficio.
TEMA No. 4 (15 puntos)
a. Dibuje la región R cuya área está dada por la integral iterada:
Primera Integral
Segunda Integral
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
b. Cambie el orden de integración y evalúe la integral. Debe dibujar y definir R.
5
4
3
2
1
0
Evaluando la integral:
1
2
3
4
TEMA No. 5 (20 puntos)
Región R:
En primer octante:
Trazas:
Plano YZ:
Plano XY:
3.0
1.0
2.5
0.8
2.0
0.6
1.5
0.4
1.0
0.2
1.0
0.5
0.0
dy
0.5
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Volumen de la región:
TEMA No. 6 (15 puntos)
R:
1.0
0.5
1.5
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
1.0
1.5