Un método para predecir el número de potenciales de acción

Un método para predecir el número de
potenciales de acción producidos por el modelo
clásico de Hodgkin Huxley cuando la corriente
aplicada es constante
Ricarda Huerta Garcı́a
2004
Capı́tulo 1
Antecedentes
La gran mayorı́a de las células nerviosas generan una serie de breves pulsos
de voltaje como respuesta a un estı́mulo. Estos pulsos se llaman potenciales
de acción o espigas, son originados cerca del cuerpo de la célula y se propagan
a lo largo del axón a una velocidad y amplitud constante.
En una neurona como la de la figura 1.1 se pueden distinguir los siguientes
subsistemas funcionales: axones y dendritas.
Dendritas: transmiten los potenciales de acción desde las neuronas adyacentes hacia el cuerpo celular.
Axón: transitan los impulsos nerviosos o potenciales de acción desde el
cuerpo celular hacia la siguiente célula.
El soma es simplemente el cuerpo celular de las neuronas.
Hay diferentes formas de potenciales de acción, lo que tienen en común
todos, es el efecto todo o nada en la depolarización de su membrana. Es decir,
si el voltaje no excede un valor particular llamado umbral, no se iniciará alguna espiga y el potencial regresará a su nivel de reposo. Si umbral de voltaje
es excedido, la membrana realizará una trayectoria del voltaje que refleja las
propiedades de la membrana pero no las del impulso.
Sólo una pequeña fracción de neuronas son incapaces —bajo condiciones
fisiológicas— de generar potenciales de acción.
Los mecanismos iónicos que subrayan la iniciación y propagación de potenciales de acción en el tejido nervioso fueron elucidados en el axón gigante
de calamar por un gran número de investigadores, el trabajo más notable se
atribuye a Hodgkin y Huxley [4] en Cambridge, Inglaterra (1952). El modelo
1
Figura 1.1: Gráfica que muestra a grandes rasgos, la estructura fı́sica de una
neurona.
cuantitativo de Hodgkin y Huxley (H-H) representa uno de los más grandes
de la biofı́sica celular y, ha sido muy influyente en habilitar una gran clase
de fenómenos de membrana para que sean analizados y modelados en términos de variables simples. Hoy en dı́a, un gran número de artı́culos y libros
describen a detalle varios aspectos del modelo de H-H. En este capı́tulo, se
mostrarán algunos detalles del modelo de Hodgkin y Huxley.
1.1.
El modelo de Hodgkin y Huxley
Hodgkin y Huxley relizaron sus análisis en el axón gigante de calamar
pues éste tiene un diámetro de medio milı́metro, el cual se puede considerar
gigante comparado con otros axónes (un axón tı́pico tiene un diámetro 1000
veces menor).
La membrana celular tiene asociada una capacitancia eléctrica, se sabe
que la membrana celular separa soluciones de diferentes concentraciones
iónicas, por tanto, hay una diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula. Una mayor concentración de K en el interior que en el
exterior, y lo opuesto para el Na. Hasta 1940 no habı́a forma de medir el
potencial directamente.
Además de la naturaleza de los cambios de la membrana que ocurrı́an
durante un potencial de acción, se requirieron dos importantes técnicas experimentales.
Space Clamp: Consiste en mantener una distribución espacial uniforme
2
del voltaje de membrana, sobre la región de la célula donde se intenta
medir la corriente de la membrana. Para lograr esto introdujeron un
alambre delgado de plata a lo largo del axón, para simular lo ocurrido
con un parche de membrana.
Voltage Clamp: Consiste en permitir al potencial de membrana mantenerse en un nivel de voltaje deseado.
Además, se tenı́a que encontrar un medio para identificar las contribuciones individuales de las diferentes especies de iones. Demostraron que el Na
y K hacen importantes contribuciones a las corrientes iónicas. Ellos predijeron y probaron que la amplitud del potencial de acción depende de la
concentración externa de sodio.
H-H manipularon las concentraciones iónicas en el axón y en su medio
ambiente. Eliminaron el sodio, entonces la corriente de sodio, IN a llegó a
ser despreciable y ası́ la corriente de potasio, IK pudo ser medida directamente. IN a pudo ser medida sosteniendo IK de su respuesta normal. Con
esto H-H fueron capaces de probar que hay dos componentes iónicas mayores
IN a e IK . Este bloqueo de corrientes se puede hacer con el uso de agentes
farmacológicos.
1.2.
El Modelo Matemático
La hipótesis que Hodgkin y Huxley se propusieron probar era la siguiente:
la membrana tiene canales que permiten el paso de iones en la dirección que
determine su potencial electroquı́mico. Este movimiento iónico produce corrientes eléctricas y produce el cambio conocido como potencial de acción, que
se debe a un aumento en la conductancia al ión sodio (GN a ) que le permite
entrar a la célula haciendo positivo el interior, lo que a su vez aumenta la
GN a aún más. Esa conductancia también cambia como función del tiempo
y empieza a disminuir aproximadamente hacia el máximo del potencial de
acción, por lo que GN a depende del voltaje, es decir, GN a = F (t, V ). Simultáneamente, la conductancia a los iones potasio también está cambiando
como función del voltaje y del tiempo y, por lo tanto, GK = F (t, V ). Ası́,
el problema a resolver era: cuál es la función del voltaje y del tiempo que
describe las conductancias GN a y GK ?.
El modelo de Hodgkin y Huxley se basa en la idea de que las propiedades
eléctricas de un segmento de membrana nerviosa puede ser modelado con un
3
Figura 1.2: Circuito eléctrico equivalente propuesto por Hodgkin y Huxley
para un pequeño segmento de axón gigante de calamar.
circuito equivalente de la forma mostrada en la figura 1.2. En el circuito
equivalente, las corrientes que fluyen a través de la membrana tiene dos
componentes mayores, una asociada con la carga de la capacitancia de la
membrana y una asociada con el movimiento de tipos especı́ficos de iones
atravesándo la membrana. La corriente iónica, además es subdividida en tres
distintas componentes, una corriente de sodio IN a , una corriente de potasio
IK , y una pequeña corriente de escape IL compuesta principalmente por iones
de cloro.
Usando las Leyes de Kirchoff, el comportamiento del circuito eléctrico
equivalente puede ser descrito por la ecuación diferencial
Iext = Iion + Cm
dV (t)
dt
(1.1)
donde Iext es la corriente externa aplicada (la corriente total de la membrana);
Cm es la capacitancia de la membrana; Vm es el potencial de membrana (potencial intracelular); Iion es la corriente iónica neta a través de la membrana.
La corriente externa Iext tiende a depolarizar la célula (se hace a Vm más
positiva), mientras que la corriente Iion tiende a hiperpolarizar la célula (se
4
hace a Vm más negativa). La corriente Iion es la suma de la corriente de sodio
IN a , una corriente de potasio IK y la corriente de escape IL .
Iion = IN a + IK + IL
(1.2)
Cada corriente iónica individual Ii se relaciona con la conducción del potencial por la ley de Ohm
Ii = Gi (Vm − Vi )
(1.3)
Cada corriente iónica Ii tiene asociado un valor de la conductancia Gi
(conductancia es el reciproco de la resistencia, Gi = R1i ), la conductancia se
relaciona con la permeabilidad de la membrana para cada ión; y un potencial
de equilı́brio Vi (es el potencial para el cual la corriente iónica neta que fluye
a través de la membrana es cero). Este potencial Vi esta dado por la ecuación
de Nerts. Entonces
Iion = GN a (Vm − VN a ) + GK (Vm − VK ) + GL (Vm − VL )
(1.4)
Para explicar sus datos experimentales H-H postularon que GN a y GK
cambiaban dinámicamente como una función del voltaje de membrana. Actualmente, nosostros sabemos que las bases para esta dependencia del voltaje
pueden ser trazo de las propiedades biofı́sicas de los canales de membrana que
controlan el flujo de iones a través de la membrana. Es importante recordar
que en la época de H-H no se sabı́a mucho acerca de estos canales.
En el modelo original H-H proponı́an que cada canal individual puede
ser pensado conteniendo pequeñas compuertas fı́sicas que regulan el flujo de
iones a través del canal. Una compuerta individual puede tener uno de los
dos estados permisivo o no permisivo. Cuando todas las compuertas de un
canal particular están en estado permisivo, los iones pueden pasar a través
del canal, entonces el canal está abierto. Si alguna de las compuertas está en
estado no permisivo, los iones no pueden fluir y el canal está cerrado.
La dependencia del voltaje de las conductancias iónicas se introduce en
el modelo de H-H suponiendo que la probabilidad de que una compuerta
individual esté en estado permisivo o no permisivo depende del valor del
voltaje de membrana. Si consideramos compuertas de un tipo particular,
podemos definir pi como la probabilidad de que una compuerta individual
esté en el estado permisivo. Si consideramos un gran número de canales
en lugar de un sólo canal, se puede interpretar a pi como la fracción de
compuertas de una gran población que están en estado permisivo y (1 − pi )
como la fracción en el estado no permisivo.
5
La transición entre los estados permisivo y no permisivo en el modelo de
H-H obedece la ecuación diferencial
dpi
= αi (V )(1 − pi ) − βi (V )pi
dt
(1.5)
donde αi (V ) y βi (V ) son constantes de proporción dependientes del voltaje, las cuales describen las razones de transición de los estados ”no permisivo
a permisivo ” y ”permisivo a no permisivo ” respectivamente. Dicho de otra
forma, la ecuación 1.5 corresponde al siguiente esquema:
α
pi ←i 1 − pi
y
βi
p i → 1 − pi
(1.6)
αi especifı́ca cuánta transición ocurre entre el estado cerrado y el estado
abierto; βi expresa el número de transiciones del estado abierto al estado
cerrado.
La clave del modelo de H-H fue la descripción cuantitativa de la dependencia del voltaje de las constantes de proporción. En lugar de usar las
constantes de proporción αi y βi , se usarán pi∞ y τi en la ecuación 1.5.
Si el voltaje de membrana Vm es mantenido fijo para algún valor V ,
entonces la fracción de compuertas en estado permisivo, eventualmente ali
canzará un valor estacionario (es decir dp
= 0) cuando t → ∞, dado por
dt
pi∞ (V ) =
αi (V )
αi (V ) + βi (V )
(1.7)
El trancurso de tiempo para alcanzar este valor de equilibrio, está descrito
por una constante dada por
τi (V ) =
1
αi (V ) + βi (V )
(1.8)
Podemos escribir la ecuación 1.5 en términos de pi∞ y τi .
pi − pi
dpi
= ∞
dt
τi
(1.9)
Cuando un canal individual está abierto contribuye un poco a la conductancia total. La conductancia es proporcional al número de canales en estado
abierto, los cuales a su vez, son proporcionales a la probabilidad de que las
compuertas asociadas estén en estado permisivo. Ası́, la conductancia total
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Gj debido a los canales de tipo j, con compuertas de tipo i, es proporcional
al producto de las probabilidades de compuertas individuales pi :
pi
(1.10)
Gj = Gj
i
donde Gj es una constante de normalización que determina máxima conductancia posible cuando todos los canales están abiertos.
Las ecuaciones 1.5 - 1.10 están en notación generalizada. En la sección
siguiente, siguiendo la notación estándar del modelo de H-H, se cambiará a
una notación conveniente, donde el nombre de la variable es el mismo que el
del tipo de compuerta.
1.3.
Caracterizando la conductancia al potasio
Una de las propiedades más sorprendentes de la membrana de calamar
es la estrecha relación entre la conductancia y el potencial de membrana,
ésta relación es reflejada en la dependencia del voltaje sobre las constantes
de proporción.
Cómo llegaron a determinar H-H ésta dependencia? Cómo determinaron
la conductancia al sodio y al potasio? Para responder a éstas preguntas, necesitamos conocer los experimentos Voltage Clamp realizados por H-H. Para
estudiar la conductancia al potasio solamemte, H-H reemplazaron el sodio
de la solución externa por un ión impermeable, casi eliminando la mayor
contribución de Na a la medición de las corrientes. Para diferentes valores
del voltaje se obtuvieron gráficas de la conductancia al potasio. La tendencia
obvia en los datos es que al incrementar el voltaje se incrementa la conductancia, vea la figura 1.3. Una segunda tendencia mas sutı́l, es que la elevación
de la conductancia es más rápida cuando se incrementa la depolarización.
Hodgkin y Huxley postularon la existencia de una partı́cula de activación
del potasio n, que obedece la ecuación 1.5, es decir
dn
= αn (V )(1 − n) − βn (V )n
dt
(1.11)
En estos experimentos el potencial de membrana empieza en el estado de
reposo (Vm = 0), entonces tan rápido como es posible Vm es elevado a un
nuevo potencial fijo Vc .
7
Figura 1.3: Gráficas de la conductancia al Potasio GK , para diferentes valores de fijación de voltaje (Voltage Clamp) con canales de Sodio bloqueados.
Respuestas a los valores de voltaje fijo de: 20, 40, 60, 100, 120 mV.
Renombrando la ecuación 1.7 cuando Vm = 0, la variable n tiene un valor
en reposo
αn (0)
(1.12)
n∞ (0) =
αn (0) + βn (0)
Cuando Vm es fijado a Vc , la variable n alcanzará un estado estacionario
dado por
αn (Vc )
n∞ (Vc ) =
(1.13)
αn (Vc ) + βn (Vc )
La evolución de la conductancia al potasio, dictada por la ecuación 1.9, con
n = pi , es
−t
n(t) = n∞ (Vc ) − [n∞ (Vc ) − n∞ (0)] exp τn (Vc )
(1.14)
donde
τn (Vc ) =
1
αn (Vc ) + βn (Vc )
(1.15)
La ecuación 1.14 describe el transcurso de n como respuesta a un cambio
en el voltaje. Puesto que n toma valores entre 0 y 1, n debe ser multiplicada
por una constante de normalización GK . Hodgkin y Huxley hicieron que un
transcurso sigmoidal (con forma de s) fuera generado si consideraban que
8
Figura 1.4: Gráficas de la conductancia al Sodio GN a , para diferentes valores
de fijación de voltaje (Voltage Clamp) con canales de Potasio bloqueados.
Respuestas a los valores de voltaje fijo de: 20, 40, 60, 100, 120 mV.
la conductancia es proporcional a una potencia p de n, además, de 1.10,
GK = GK np . De esta manera, se ajustaron los datos de la conductancia a
una curva de ajuste. Luego, H-H determinaron que un ajuste razonable de
los datos de la conductancia al potasio deberı́a ser obtenido usando p = 4.
Ası́, se obtuvo que una descripción de la conductancia al potasio está dada
por
GK = GK n4
(1.16)
1.4.
Caracterizando la conductancia al sodio
Hay una diferencia cualitativa entre los cambios de las conductancias al
Na y K observados en el axón de calamar bajo condiciones de voltaje fijo.
La conductancia al potasio es sostenida mientras es mantenido el voltaje.
El cambio en la conductancia al sodio es transitoria y sólo dura unos pocos
milisegundos.
Como se puede notar en la figura 1.4, la dinámica de la conductancia
al sodio es más compleja. Para ajustar el comportamiento cinético de la
corriente de sodio, H-H tuvieron que postular la existencia de una partı́cula
de activación del sodio m, ası́ como, una partı́cula de inactivación h. Las
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partı́culas m y h son números adimensionales entre 0 y 1. Formalmente, el
cambio temporal de éstas partı́culas está descrito por
dm
= αm (V )(1 − m) − βm (V )m
dt
(1.17)
y
dh
(1.18)
= αh (V )(1 − h) − βm (V )h
dt
Usando la misma estrategia que para la conductancia al potasio, H-H
llegaron a una descripción para la conductancia al sodio dada por
GN a = GN a m3 h
1.5.
(1.19)
Parametrizando las constantes de proporción
De lo visto en la secciones anteriores, Hodgkin y Huxley fueron capaces de
determinar los valores estacionarios de la conductancia n∞ (Vc ) y la constante
de tiempo τn (Vc ) como función del voltaje. Los valores αn (Vc ) y βn (Vc ) pueden
ser encontrados con
n∞ (V )
τn (V )
(1.20)
1 − n∞ (V )
τn (V )
(1.21)
αn (V ) =
y
βn (V ) =
Hodgkin y Huxley aproximaron la dependencia del voltaje de las constantes de proporción por
αn (V ) =
10 − V
100[exp10−V −1]
(1.22)
y
βn (V ) =
0,125
(1.23)
V
exp 80
donde V es el potencial de membrana relativo al potencial en reposo del
axón.
10
Figura 1.5: Constantes de tiempo como función del potencial de membrana
V para la activación de potasio n, la activación e inactivación del sodio m y
h, respectivamente.
Análogamente, se determinaron las constantes de proporción que gobiernan las variables de activación e inactivación del sodio dadas por
αm (V ) =
25 − V
10[exp
βm (V ) =
αh (V ) =
25−V
10
4
V
exp 18
0,07
V
exp 20
−1]
(1.24)
(1.25)
(1.26)
y
1
(1.27)
exp
+1
Las constantes de tiempo y las variables estacionarias asociadas son graficadas como función del voltaje. Vea las figuras 1.6 y 1.5.
Las variables de activación del potasio n y activación e inactivación del
sodio m y h son graficadas como función del tiempo. Vea la figura1.7.
βh (V ) =
30−V
10
11
Figura 1.6: Estados estacionarios como función del potencial de membrana
V para la activación de potasio n, la activación e inactivación del sodio m y
h, respectivamente.
Figura 1.7: Dinámica de las variables de compuerta como función del tiempo.
12
1.6.
Modelo completo
En la mayorı́a de la membranas biológicas, la membrana axonal contiene
una conductancia de escape GL , la cual no depende del voltaje aplicado y
permanece constante todo el tiempo.
Ahora, podemos escribir una ecuación para todas las corrientes que fluyen
a través de la membrana axonal en el modelo de Hodgkin-Huxley con notación estándar
Cm
dV
= Iext − GN a m3 h(V − VN a ) + GK n4 (V − VK ) + GL (V − VL ) (1.28)
dt
donde
dn
= αn (V )(1 − n) − βn (V )n
dt
(1.29)
dm
= αm (V )(1 − m) − βm (V )m
dt
(1.30)
dh
(1.31)
= αh (V )(1 − h) − βh (V )h
dt
Iext es la corriente inyectada vı́a un electrodo intracelular. Las ecuaciones
1.28 - 1.31 constituyen el modelo clásico de Hodgkin-Huxley.
Por este trabajo, H-H obtuvieron el premio Nobel de Fisiologı́a en 1963
y abrieron un gran horizonte de investigación en el que todavı́a se trabaja
intensamente.
1.7.
Generación de potenciales de acción
Como hemos visto, la forma del modelo de Hodgkin-Huxley y los valores de los parámetros del modelo, fueron empı́ricamente determinados de
datos obtenidos de experimentos de fijación de corriente (Voltage Clamp).
No hubo una garantı́a a priori de que el modelo serı́a exitoso al predecir el
comportamiento del axón de calamar bajo otras condiciones experimentales.
Debió ser muy satisfactorio para H-H, ver que su modelo produjo potenciales
de acción realı́sticos cuando ellos simularon numéricamente la respuesta a
inyección de corriente.
13
Explicaremos brevemente como éste modelo reproduce los eventos de la
membrana que causan la iniciación y propagación de potenciales de acción
todo o nada.
Uno de los aspectos más notables de la membrana axonal, es su respuesta de dos maneras a breves pulsos de corriente. Si la amplitud del pulso
está abajo de un umbral dado, la membrana se depolarizará ligeramente
pero regresará al potencial en reposo de la membrana, en cambio, para una
mayor amplitud de corriente, se inducirá un potencial de acción.
La corriente inyectada carga la capacitancia de la membrana depolarizándola, es decir, haciendo más positiva la membrana. La depolarización
tiene el efecto de incrementar ligeramente m y n, es decir, incrementar la
activación del sodio y el potasio, pero de decrecer h, esto es, decrecer la inactivación del sodio, ası́, la conductancia al sodio GN a se incrementará un
poco. Como la membrana está depolarizada, la conducción del potencial para
la corriente de potasio V − VK es también incrementada. El incremento de
IK excede el incremento de IN a debido al decrecimiento de GN a y toda la
corriente es externa. Ası́, el potencial de membrana se disparará ligeramente
y regresará al potencial en reposo Vm .
Si la amplitud del pulso de corriente es incrementado ligeramente, la depolarización alcanzará un punto donde la cantidad de IN a generada, excederá la
cantidad de IK . En éste punto, el voltaje de membrana sufre una reacción
fuera de serie: la corriente adicional IN a depolariza la membrana, además se
incrementa m, lo cual incrementa IN a causando también la depolarización de
la membrana. Dada la dinámica casi instantánea de la activación del sodio,
la corriente IN a mueve el potencial de membrana en una fracción de milisegundos de 0 mV a otro valor. En la ausencia de la inactivación del sodio y la
activación del potasio, éste proceso autorregenerativo continuará hasta que
la membrana llegue al reposo en VN a . La inactivación del sodio actúa directamente en decrecer la cantidad de conductancia al sodio disponible, mientras
la conductancia al potasio tiende a tratar de conducir el potencial de la membrana del axón hacia VK incrementando IK . Ası́, ambos procesos causan al
potencial de membrana inclinar su pico hacia abajo. Ya que la corriente de
sodio regresa rapidamente a cero pero IK permanece un poco más, el potencial de membrana decrece a su nivel de reposo, es decir se hiperpolariza la
membrana del axón. Ası́, la activación de potasio se extingue, regresando el
sistema a su configuración inicial cuando V alcanza el potencial en reposo.
Ahora, que sucede si se aumenta la amplitud de la corriente inyectada
y se mantiene constante por algun tiempo? Si la corriente es de suficiente
14
amplitud, la membrana generará un simple potencial. La mı́nima cantidad
de corriente sostenida necesaria para generar un potencial de acción es llamado rheobase. Si se aumenta un poco más, se observarán dos espigas, hasta
algun valor de la corriente I+ donde las ecuaciones de Hodgkin y Huxley
empezará a generar un tren indefinido de espigas, esto es, la membrana disparará repetitivamente. Entonces el sistema viaja en un ciclo lı́mite estable.
15
Capı́tulo 2
Desarrollo
Comprender la forma en que una neurona responde a una corriente aplicada, no es posible sin un cuidadoso análisis matemático. Los modelos matemáticos
de estos procesos involucran sistemas de ecuaciones cuyo análisis es no trivial.
Un esfuerzo importante para comprender estos procesos ha sido la búsqueda
de modelos sencillos que puedan simular este tipo de fenómeno de una manera realista, pero que al mismo tiempo sea susceptible de un tratamiento y
análisis convincente. En los últimos años se ha incrementado el número de
neurobiólogos que construyen o usan modelos computacionales como parte
de sus esfuerzos por entender diferentes funciones de sistemas neuronales.
En este trabajo,usaremos un software para simular los potenciales de
acción, llamado GENESIS (GEneral NEural SImulation System) [2]. Cabe
aclarar que GENESIS fue diseñado basándose en el modelo clásico de Hodgkin
y Huxley.
El programa GENESIS fue desarrollado como una herramienta de investigación que provee un medio estándar y flexible para construir modelos
estructuralmente realistas de sistemas neuronales. Además, intenta proveer
de un marco para cuantificar la descripción fı́sica del sistema nervioso en
una forma que promueve un entendimiento común. Al mismo tiempo, esta
descripción fı́sica da una base para intentar simulaciones, para entender relaciones fundamentales entre la estructura del cerebro y su comportamiento
medible.
GENESIS fue diseñado desde el comienzo para permitir el desarrollo de
simulaciones en cualquier nivel de complejidad, de componentes subcelulares
y reacciones bioquı́micas para células enteras y redes de células. Utilizaremos,
uno de los tutoriales llamado Squid, en cual se usa en modo Current Clamp
16
(fijación de corriente), donde uno de los parámetros es la corriente aplicada
I. Al variar este parámetro se obtienen diferentes gráficas, entre ellas, la que
muestra los potenciales de acción generados por el programa GENESIS al
aplicar dicha corriente. Por supuesto, se generan otras gráficas que también
nos serán de gran ayuda.
2.1.
Analisis numérico de datos sobre el número
de disparos de potenciales de acción en
función de la intensidad de la corriente
aplicada
Usando el programa GENESIS tomaremos a la corriente aplicada I como
parámetro y se generarán un número finito de espigas, hasta producir una
sucesión infinita de ellas.
La mı́nima intensidad de corriente necesaria para producir una espiga o
potencial de acción es de 0.01763599 uA, es decir la rheobase es de 0.01763599
uA. Para generar dos espigas, se necesita mı́nimo 0.04698392 uA, para producir tres espigas, se necesita al menos 0.04855614 uA, etc. En las figuras 2.1
y 2.2 se muestran la gráficas de uno y dos potenciales de acción.
Trabajando con el programa, se obtendrá una tabla que muestre los resultados experimentales. La primera columna del Cuadro 2.1, muestra la
intensidad de la corriente para obtener hasta 30 potenciales de acción. No se
obtuvieron mas datos experimentales pues el programa no permitió ver que
corriente es necesaria para obtener 31 espigas o más, ya que el experimento
exigı́a más de 9 cifras significativas. Además, al aumentar un ”poco” la intensidad de la corriente, se obtienen tantas espigas que no es posible contarlas.
Vea la figura 2.3.
A partir de los datos de la primera columna del Cuadro 2.1, cuyos valores
fueron obtenidos experimentalmente, usaremos el programa ORIGIN 6.0 para
obtener una gráfica, que describa el crecimiento en la cantidad de espigas
mientras aumenta la amplitud de la corriente. Veáse la Figura 2.4.
17
Figura 2.1: Gráfica de un potencial de acción
Figura 2.2: Gráfica de dos potenciales de acción
18
Figura 2.3: Gráfica de un tren de potenciales de acción
Figura 2.4: Gráfica que describe el aumento de potenciales de acción cuando
se aumenta la intensidad de la corriente.
19
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
In
0
0.01763599
0.0469839
0.04855614
0.04891708
0.0490637
0.04913837
0.04918164
0.04920893
0.04922725
0.04924014
0.04924954
0.04925793
0.04926208
0.04926636
0.0492698
0.0492726
0.0492749
0.04927683
0.04927844
0.04927983
0.04928099
0.04928202
0.04928290
0.04928369
0.04928424
0.04928497
0.04928551
0.04928599
0.04928643
0.04928681
Jn
0.01764
0.02935
0.00157
3.6094E-4
1.4662E-4
7.467E-5
4.327E-5
2.729E-5
1.8321E-5
1.2889E-5
9.4E-6
8.39E-6
4.15E-6
4.28E-6
3.44E-6
2.8E-6
2.3E-6
1.93E-6
1.61E-6
1.39E-6
1.16E-6
1.03E-6
8.87E-7
7.86E-7
5.55E-7
7.3E-7
5.41E-7
4.76E-7
4.36E-7
3.8E-7
Qn
1.66409
0.05357
0.22957
0.40622
0.50928
0.57948
0.63069
0.67134
0.70351
0.72931
0.89255
0.49464
1.03133
0.80374
0.81395
0.82143
0.83913
0.83421
0.86335
0.83453
0.88793
0.86116
0.88613
0.70611
1.31531
0.74109
0.87985
0.80592
0.87156
Cuadro 2.1: Esta tabla contiene todos los datos numéricos
20
2.2.
Justificación
Los resultados numéricos obtenidos en este trabajo han sido sugeridos a
partir de los resultados también obtenidos de Troy [3]. En este artı́culo, Troy
considera la versión Current Clamp de la ecuaciones de Hodgkin y Huxley
para la conducción nerviosa.
En el trabajo de Troy se demuestra que si se considera el modelo clásico
de Hodgkin y Huxley bajo la acción de una corriente aplicada de magnitud
constante I, entonces existen valores I− e I+ tales que si se consideran condiciones iniciales de reposo, se observa que para I < I− , no se observan disparos
de potencial de acción, si I− < I < I+ se observan un número finito de disparos y el valor I+ es un valor de bifurcación, en el sentido de que cuando
I es próximo a I+ y I > I+ entonces se tiene un ciclo lı́mite como solución
del sistema de H-H, que corresponde a un tren de disparos de potenciales
de acción. Este ciclo lı́mite se obtiene como resultado de una bifurcación de
Hopf.
No queda claro en este trabajo, cómo determina el valor del punto de
bifurcación I+ ni tampoco la cantidad finita de disparos que pueden generarse para un valor de I entre I− e I+ . En este trabajo, numéricamente demostramos:
1. Que cualquiera que sea el valor entero de n ≥ 1, se puede encontrar un
intervalo de corriente [In , In+1 ) ⊂ [I− , I+ ), tal que para In < I < In+1
correspondiente al sistema H-H se producen exactamente n potenciales
de acción.
2. Se determina de manera aproximada los intervalos [In , In+1) para todo
n.
3. A partir de las expresiones aproximadas en 2) se determina el valor del
punto de bifurcación I+ , ya que
I+ =
∞
longitud [In , In+1 )
(2.1)
n=0
4. Se determina el orden de crecimiento de la gráfica de la función
D : [In , In+1) → R+
Tal que D(I) = n, si I ∈ [In , In+1 ).
21
(2.2)
Lo cual nos da una medida cuantitativa de cómo en el modelo de H-H se
pasa de actividad fásica a tónica.
2.3.
Análisis asintótico sobre las longitudes
de los intervalos [In, In+1).
De los resultados de Troy se concluye que debe haber un punto de bifurcación I+ cerca de 0.05 uA. En efecto, utilizando el programa GENESIS
observamos numéricamente que cuando la corriente alcanza el valor de I+ , se
genera tren un infinito de espigas, además, digamos que I− = I1 , entonces en
el intervalo [I− , I+ ) se observarán un numero finito de potenciales de acción.
En este trabajo, se estimará el valor de I+ , ası́ como una expresión algebraica
que describa el crecimiento de la gráfica de la Figura 2.4.
Para ver que tan rápido crece la gráfica de disparos, tomemos dos valores
consecutivos de la corriente, digamos In , In+1 y definamos
J(n) = In+1 − In
con n = 1, . . . , 29
(2.3)
como la longitud del intervalo [In , In+1 ). Abusando de la notación escribiremos J(n) = Jn .
Por ejemplo, del Cuadro 2.1 tomemos I1 = 0,01763599 uA y I2 = 0,04698392 uA,
entonces el intervalo [I1 , I2 ) tiene una longitud J1 = 0,02934793; si ahora
I3 = 0,04855614 uA entonces J2 = 0,00157222, etc. Los datos obtenidos se
muestran el la segunda columna del Cuadro ?? y graficando estos datos se
obtiene la Figura 2.5.
Supongamos que la gráfica de la Figura 2.5 es de la forma
Jn = c · q n
(2.4)
Es decir, que la razón de decrecimiento de esta gráfica es de tipo geométrico. Se desea conocer el valor de las constantes c y q.
Tomemos dos longitudes Jn y Jn+1 , y definamos
Qn =
Jn+1
Jn
donde n = 1, . . . 28
(2.5)
Por ejemplo, sean J1 = 0,02934793 y J2 = 0,00157222, entonces Q1 =
0,05357106; si ahora J3 = 0,00036094 entonces Q2 = 0,22957346, etc. Ası́, se
ha obtenido la tercera columna del Cuadro 2.1.
22
Figura 2.5: Gráfica de las diferencias definidas por Jn = In+1 − In
Al graficar estos datos se observa que crece y después de cierto valor de
n la curva se mantiene constante. Se usará el programa ORIGIN 6.0 para
ajustar la gráfica. Si consideramos que la gráfica tiene ”ruido” y ajustamos
a una función exponencial asintótica, obteniéndose la figura 2.6.
Los datos experimentales se han ajustado a una curva cuya ecuación es
y = 0,8854 − (0,7954)x
(2.6)
La gráfica de los datos Qn tiene como ası́ntota horizontal q = 0,8854, es
decir,
para todo n > 20
(2.7)
Qn = q
Como consecuencia de 2.7, 2.5 se ha determinado que q = 0,8854 en 2.4.
Resta determinar el valor de la constante c.
De 2.7 se tiene que para n > 20, q = Qn y de 2.5 Qn = JJn+1
, entonces
n
J21
q = J20 , lo cual implica J21 = q · J20 .
Análogamente, q = JJ22
, es decir, J22 = q · J21 entonces J22 = q 2 · J20 . Ası́,
21
sucesivamente se tiene que
Jn = J20 · q n−20
Para todo n ≥ 21
23
(2.8)
Figura 2.6: Gráfica de los cocientes Qn =
6.0
Jn+1
Jn
y el ajuste hecho con ORIGIN
Es decir, se ha encontrado que c = J20 en 2.4. Resumiendo, para n ≥ 21,
Jn = J20 · (0,8854)n−20 .
2.4.
Análisis de datos para estimar el punto
de bifurcación I+.
El siguiente paso es estimar el valor del punto de bifurcación I+ . De 2.3,
Jn = In+1 − In es la longitud del intervalo de corriente [In , In+1 ) para n =
1,...29. Entonces de 2.1, el punto de bifurcación se obtiene de
I+ =
∞
Jn
(2.9)
n=1
Podemos descomponer la sumatoria 2.9 en dos sumatorias,
∞
n=1
Jn =
20
Jn +
n=1
24
∞
n=21
Jn
(2.10)
Primero determinaremos la segunda sumatoria de 2.10. De 2.8 se obtuvo
que para n ≥ 21, Jn = J20 · q n−20 entonces
∞
Jn = J20 ·
n=21
∞
q n−20
con n > 20
(2.11)
n=21
Si hacemos el cambio de ı́ndices s = k − 20, con s = 1, 2, . . . en 2.11 se
tiene que
∞
Jn = J20 ·
n=21
∞
qs
n=1
∞
= J20 · (
qs − q0)
(2.12)
n=0
Como |q| < 1, la serie
∞
n=0
q s converge a
∞
qs =
n=0
1
,
1−q
es decir
1
1−q
(2.13)
Entonces, de 2.11, 2.12 y 2.13 se tiene que
∞
n=21
1
−1
1−q
q = J20 ·
1−q
Jn = J20 ·
(2.14)
Ahora, resta obtener la primera sumatoria de 2.10. De 2.10 se tiene que
20
Jn = J1 + J2 + · · · + J20
(2.15)
n=1
Pero en 2.3 definimos Jn = In+1 − In , entonces reduciendo términos se
obtiene
20
Jn = I21
(2.16)
n=1
25
Resumiendo de 2.9, 2.10, 2.14 y 2.16 se ha obtenido
q I+ = I21 + J20 ·
1−q
(2.17)
Dado que en la sección anterior se obtuvo que q = 0,8854, entonces una
estimación del punto de bifurcación es I+ = 0,049297.
2.5.
Comportamiento asintótico de la curva
de distribución de disparos.
En lo siguiente se obtendrá una expresión algebráica que describa el aumento en el número de espigas conforme se aumenta la corriente.
Se usará el programa ORIGIN 6.0 para ajustar los datos experimentales
mostrados en la primera columna del Cuadro 2.1 a una curva, vea la Figura
2.7 . La curva de ajuste tiene por ecuación
1
x 2,5
y = 0,8 − ln 1 −
(2.18)
I+
Donde I+ = 0,049297 es el valor de la corriente aplicada donde se observa
un punto de bifurcación.
26
Figura 2.7: Ajuste de la gráfica de disparos
27
Capı́tulo 3
Conclusiones
En el presente trabajo se ha usado un simulador de potenciales de acción,
basado en el modelo clásico de Hodgkin y Huxley. Se ha obtenido experimentalmente el valor de un punto de bifurcación para este sistema con los
parámetros estándares para este modelo, ası́ como, una expresión matemática
que describe el crecimiento del: número de espigas vs. corriente.
En el trabajo de Troy [3], demuestra que existe otro punto de bifurcación,
en este proyecto no hemos abarcado esa interrogante, pero podrı́a resultar
interesante para próximos estudios.
En cuanto al software que hemos utilizado, no se limita a simular potenciales de acción para el modelo clásico de Hodgkin y Huxley, más aún, se
puede obtener mucha información con los tutoriales restantes, que serı́a de
gran ayuda para estudios posteriores.
Como se mencionó antes, alrededor del modelo clásico de Hodgkin y Huxley se han elaborado gran cantidad de investigaciones, dada la importancia
que ha tenido este modelo a lo largo de la historia de la neurofisiologı́a.
28
Bibliografı́a
[1] Koch. C. Biophysics of Computation. Oxford University Press (1999)
[2] Bower J.M. Beeman D. The book of Genesis Second Edition. Springer
(1997)
[3] Troy W.C. The Bifurcation of Periodic Solutions in the Hodgkin-Huxley
Equations. Quaterly of Applied Mathematics. April 1978, 73-83 (1978)
[4] Hodgkin A.L., Huxley A.F. A Cuantitative Description of Membrane
Current and its Application to Conduction and Excitation in Nerve. J
Physil. 117, 500-544 (1952)
29