Potencias y radicales

2
Potencias y radicales
Objetivos
En esta quincena aprenderás a:
•
Calcular y operar con
potencias de exponente
entero.
•
Reconocer las partes de un
radical y su significado.
•
Obtener radicales equivalentes
a uno dado.
•
Expresar un radical como
potencia de exponente
fraccionario y viceversa.
•
Operar con radicales.
•
Racionalizar expresiones con
radicales en el denominador.
•
Utilizar la calculadora para
operar con potencias y
radicales.
1. Radicales ……………………………………… pág. 22
Potencias de exponente fraccionario
Radicales equivalentes
Introducir y extraer factores
Cálculo de raíces
Reducir a índice común
Radicales semejantes
2. Propiedades ………………………………… pág. 25
Raíz de un producto
Raíz de un cociente
Raíz de una potencia
Raíz de una raíz
3. Simplificación ……………………………… pág. 26
Racionalizar
Simplificar un radical
4. Operaciones con radicales …………… pág. 28
Suma y resta
Multiplicación de radicales
División de radicales
RESUMEN
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor
MATEMÁTICAS B „
19
20
„ MATEMÁTICAS B
Potencias y radicales
Antes de empezar
Propiedades de
las potencias
de exponente entero
Conviene que recuerdes las propiedades de las
potencias que has estudiado en cursos anteriores
9 El producto de potencias de la misma base es otra
x2·x7 = x2 +7 = x9
potencia de la misma base y de exponente la
suma de los exponentes.
an·am = an+m
9 El cociente de potencias de la misma base es otra
8
2
= 28 −5 = 23
25
potencia de la misma base y de exponente la resta
de los exponentes.
an
= an−m
m
a
9 La potencia de otra potencia es una potencia de la
(x )
7
3
= x7·3 = x21
misma base y de exponente el producto de los
exponentes.
(a )
n
70 = 1
m
= an·m
9 Una potencia de exponente cero es igual a ls
unidad.
a0 = 1
9 El producto de potencias del mismo exponente es
25·35 = (2·3) = 65
5
otra potencia del mismo exponente y de base el
producto de las bases.
an·bn = ( a·b )
n
6
86 ⎛ 8 ⎞
= ⎜ ⎟ = 26
46 ⎝ 4 ⎠
9 El cociente de potencias del mismo exponente es
otra potencia del mismo exponente y de base el
cociente de las bases.
n
an ⎛ a ⎞
=⎜ ⎟
bn ⎝ b ⎠
MATEMÁTICAS B „
21
Potencias y radicales
1. Radicales
Definición
Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al
número b que elevado a n nos da a.
n
3
8 = 2 por ser 23 = 8
1
a = b ⇔ bn = a
3
5 = 53
5
x2 = x 5
Un radical es equivalente a una potencia de
exponente fraccionario en la que el denominador
de la fracción es el índice del radical y el numerador
de la fracción es el exponente el radicando.
n
2
p
ap = an
Radicales equivalentes
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las
fracciones de los exponentes de las potencias
asociadas son equivalentes.
Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales
semejantes,
multiplicando
o
dividiendo
el
exponente del radicando y el índice de la raíz por un
mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y
si se divide se llama simplificar el radical.
Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia
asociada es irreducible.
Introducción y Extracción de factores
Para introducir un factor dentro de un radical se
eleva el factor a la potencia que indica el índice y se
escribe dentro.
3
6
x2 = x 4
son equivalentes por ser:
Amplificar:
3
x2 =
3·2
x 2·2 = x 4
Simplificar:
6
x4 =
6:2
x 4:2 = x 2
3
6
3
x2
Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1
Introducir
3
3
x3 x = x 3 ·x = x 4
3
Si algún factor del radicando tiene por exponente un
número mayor que el índice, se puede extraer fuera
del radical dividiendo el exponente del radicando
entre el índice. El cociente es el exponente del factor
que sale fuera y el resto es el exponente del factor
que queda dentro.
22
„ MATEMÁTICAS B
2 4
=
3 6
23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24
Extraer:
5
5
x13 = x 2 x 3
13
5
3
2
Potencias y radicales
Cálculo de raíces
1728 2
864 2
432 2
216 2
108 2
3
1728 = 3 26 ·33 =
= 22·3 = 12
54 2
27 3
9
3
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se
factoriza y se escribe el número como producto de
potencias, luego se extraen todos los factores.
Si todos los exponentes del radicando son múltiplos
del índice, la raíz es exacta.
3
3
1
Reducir a índice común
6
10
2 ;
3
m.c.m(6,10)=30
6
2 =
10
3 =
30
25 =
30
33 =
30
32
30
27
Los siguientes radicales son
semejantes:
2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4
Reducción a índice común
Reducir a índice común dos o más radicales es
encontrar radicales equivalentes a los dados que
tengan el mismo índice.
El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de
los índices.
El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.
Radicales semejantes
Radicales semejantes son aquellos que tienen el
mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir
únicamente en el coeficiente que los multiplica.
Los siguientes radicales no son
semejantes:
23 4 ; 25 4 El índice es distinto
MATEMÁTICAS B „
23
Potencias y radicales
EJERCICIOS resueltos
1.
Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario:
1
2.
a)
5
3
5
3 = 35
b)
5
X3
5
X3
Escribe las siguientes potencias como radicales:
1
1
a) 72
72 = 7
2
2
53 = 3 52 = 3 25
b) 53
3.
4.
5.
Escribe un radical equivalente, amplificando el dado:
3
5
3
5 =
b)
5
x4
5
x4 =
a)
6
b)
35
49
x 28
7
b)
6
6
49 = 72 =
35
35:7
x 28 =
6:2
72:2 = 3 7
x 28:7 =
5
x4
2·4 3 = 4 2 4·3 = 4 16·3 =
7
x 2 x3 = 7 (x 2 )7 ·x 3 =
7
4
48
x14·x 3 =
7
x17
128
4
128 = 4 27 = 2 4 23 = 2 4 8
7
x30
7
x30 =
7
x28 +2 =
7
x28 ·x2 = x 4 7 x2
Calcular las siguientes raíces:
a)
5
1024
5
1024 = 5 210 = 22 = 4
b)
7
x84
7
x84 =
7
x12·7 = 7 (x12 )7 = x7
Reduce a índice común
b)
24
x12
4
2 = 6 23 = 6 8 ;
3; 3 5
a)
9.
15
x 4·3 =
Extrae los factores del radical:
a)
8.
5·3
Introduce los factores dentro del radical:
b) x 2 x3
7.
6
51·2 = 52 = 6 25
Escribe un radical equivalente, simplificando el dado.
a) 2·4 3
6.
3·2
a)
4
x3 ; 6 x5
4
x3 =
12
x9 ;
6
x5 =
3
5 = 6 52 = 6 25
12
x10
Indica que radicales son semejantes
a)
4
3;54 3
4
3 y 54 3 Son semajentes
b)
4
x; 3 x
4
x
„ MATEMÁTICAS B
y
3
x No son semajentes,tienen distinto indice
Potencias y radicales
2. Propiedades
Raíz de un producto
3
La raíz n-ésima de un producto es igual al producto
de las raíces n-ésimas de los factores.
2·5 = 3 2·3 5
n
7
2
4
7
2 7
a ·b = a · b
4
a·b =
n
a·n b
1
Demostración:
n
1
1
a·b = (a·b)n = an ·bn = n a·n b
Raíz de un cociente
5
2
=
3
5
2
5
3
a4
5
=
b3
5
5
La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de
las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor.
a4
n
b3
a
=
b
n
a
n
b
1
1
a ⎛ a ⎞ n an
Demostración: n
=
= 1 =
b ⎜⎝ b ⎟⎠
bn
n
a
n
b
Raíz de una potencia
5
3
5
8= 2 =
3
x7 =
( 2)
5
3
Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz
de la base y luego se eleva el resultado a la potencia
dada.
( x)
3
n
7
Demostración:
n
ap =
( a)
n
p
p
⎛ 1⎞
a = a = ⎜⎜ an ⎟⎟ =
⎝ ⎠
p
p
n
( a)
n
p
Raíz de una raíz
5 3
2 = 15 2
La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número
es igual a la raíz nm-ésima de dicho número.
n m
a =
n·m
a
1
Demostración:
nm
1
⎛ 1 ⎞n
a = ⎜⎜ am ⎟⎟ = an·m =
⎝ ⎠
n·m
a
MATEMÁTICAS B „
25
Potencias y radicales
3. Simplificación
Racionalización
Racionalizar una expresión con un radical en el
denominador, consiste en encontrar una expresión
equivalente que no tenga raíces en el denominador.
Para ello se multiplica numerador y denominador por
la expresión adecuada para que, al operar, la raíz
desaparezca.
Si el denominador es un binomio se multiplica el
numerador y el denominador por el conjugado* del
denominador.
Cuando el denominador
es un radical
1
3
5
1
7
x4
=
1·3 52
3
=
3
2
5· 5
=
1·7 x3
7
x 4 ·7 x3
3
52
3
3
7
=
26
•
No se pueda
radicando.
•
El radicando no tenga ninguna fracción.
„ MATEMÁTICAS B
extraer
ningún
factor
del
x7
)(
5+ 3
=
5−3
Simplificar un radical
El índice y el exponente sean primos entre sí.
7
x3
3
25
5
7
=
x3
x
Cuando el denominador
es un binomio
1
5+ 3
=
=
5− 3
5− 3
5+ 3
∗ El conjugado de a + b es a − b
•
5
=
(
Simplificar un radical es escribirlo en la forma más
sencilla, de forma que:
=
6
8 = 6 23 = 2
7
a30 = a4 7 a2
)
5+ 3
2
Potencias y radicales
EJERCICIOS resueltos
10.
11.
12.
Escribe con una sóla raíz:
a)
5
b)
7
7
X4 x =
7
x8·x = 14 x9
4
3·4 27
4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b)
5
x·5 x2
5
x·5 x2 =
5
x3
Escribe con una sóla raíz:
3
16
3
5
5
2
3
16
3
x4
5
x3
5
=
3
16 3
= 8 =2
2
=
5
x4
=
x3
2
x4
x3
5
x
Racionaliza.
a)
b)
1
5
1
5
9
9
2
2
3
3
5· 4
1
=
5· 4
5
=
=
2
3
1·5 32
5
2
2 5
3
3 · 3
=
5·3 22
=
5
32
5
5
=
3
2·3 2
=
5·3 22 ·3 2
5
9
3
2·3 2
5·3 23
=
2·3 2 3 2
=
5·2
5
Racionaliza:
a)
b)
15.
3 = 10 3
a)
b)
14.
X4 x
5
Escribe con una sóla raíz:
a)
13.
3
1
7
1
x4
7
x4
=
1
1
x2 7 x3
x2 7 x3
1·7 x3
7
=
x4 ·7 x3
=
7
x3
7
x7
1·7 x 4
x2 7 x3 ·7 x 4
=
7
7
=
x3
x
x4
=
x2 7 x7
7
7 4
x4
x
=
x2·x
x3
Racionaliza:
a)
b)
c)
1
3− 2
1
3− 2
2
2
5 +2
5 +2
1
1
3− x
3− x
=
=
=
(
1· 3 + 2
(
)(
)
3− 2· 3+ 2
(
2· 5 − 2
)
)
=
(3 − x )(· 3 + x )
=
(
)(
5 +2 · 5 −2
(
1· 3 + x
)
)
=
(
3+ 2
3−2
)=
(
3+ 2
)
10 − 2 2
= 10 − 2 2
5−4
3+ x
9−x
MATEMÁTICAS B „
27
Potencias y radicales
4. Operaciones con radicales
Suma y Resta de Radicales
Para sumar o restar radicales se necesita que sean
semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo
radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los
coeficientes de fuera y se deja el radical.
8 + 2 = 23 + 2 =
=2 2+ 2 =3 2
x + 6 x3 =
x+ x =2 x
Producto de Radicales
Para multiplicar radicales se necesita que tengan el
mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un
radical del mismo índice y de radicando el producto de
los radicandos.
Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice
común.
3
3· 2 = 6 32 ·6 23 = 6 9·8 = 6 72
5
x· x = 10 x2 ·10 x5 = 10 x7
Cociente de Radicales
Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo
índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical
del mismo índice y de radicando el cociente de los
radicandos.
Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice
común.
28
„ MATEMÁTICAS B
2
3
2
4
x
8
x
=
=
6
23
6
22
8
x2
8
x
= 62
=
8
x
Potencias y radicales
EJERCICIOS resueltos
16.
Calcular la suma:
a)
40 + 90
b) 2 32 − 8
c)
3
4 + 6 16
1
+5 8
2
d) 2
17.
18.
4·10 + 9·10 = 2 10 + 3 10 = 5 10
2 32 − 8 = 2 25 − 23 = 2·22 2 − 2 2 = 8 2 − 2 2 = 6 2
3
4 + 6 42 =
3
4 + 6 16 =
1
+5 8 =
2
2
3
4 + 3 4 = 23 4
4·1
+ 5 23 = 2 + 10 2 = 12 2
2
Calcular y simplificar:
a)
4
3·5 27
4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b)
3
x·9 x2
5
x·5 x2 =
c)
5
x3 x· x
5
x3 x· x =
d)
3
2· 2·4 8
3
2· 2·4 8 = 3 2· 2·4 23 = 12 24 ·12 26 ·12 29 = 12 219 = 212 27
3
16
5
x3
5
x·x3 · x = 10 x 4 · x = 10 x4 ·10 x5 = 10 x9
Calcular y simplificar:
a)
b)
a)
b)
19.
40 + 90 =
3
16
5
5
2
7
x4
7
x4
14
x3
14
x3
2
6
84
6
84
8
3
4
8
3
3
X4 x
4
3
=
3
24
5
14
x8
14
x3
=
8
x4 x
x
15
=
2
6
4
4
x
=
15
2
4
3
=
3
2
6
212
8
6
x·x8
=
= 15 217 = 215 22 = 215 4
3
= 14 x5
(2 )
(2 )
3
220
4
=
2
=
x
24
(2 )
(2 )
12
6
x9
4
x
=
12
12
=
3
6
24
4
x18
x
24
248
24
18
2
=
24
230 = 4 25 = 2 4 2
= 12 x15 = x12 x3
3
Calcular y simplificar
2·3 4
a)
4
2·3 4
8
4
5
b)
5
2 2·3 4
8
=
2 2·3 4
8
2·3 22
4
23
5
=
12
26 ·12 28
12
2·22 ·3 22
23
8
=
=
1
30
216
=
29
=
30
30
=
10
12
224
12
23 ·3 22
23
214
216 ·30 214
= 12 215 = 4 25 = 2 4 2
29
=
=
30
30
214
30
230
29 ·30 220
30
=
245
30
=
214
=
2
30
229
30
245
=
15
27
2
MATEMÁTICAS B „
29
Potencias y radicales
Para practicar
1. Escribe
como potencia de exponente
fraccionario:
a)
5
b)
3
c)
a3
d)
5
x2
8. Multiplica los siguientes radicales
a)
c)
a3
e)
3
3· 6
b) 5· 2·3· 5
12·3 9
d)
2ab·4 8a3
f) 4 2x2y3 ·6 5x2
x·3 2x2
2. Escribe como un radical:
a) 3
c) x
1
2
9. Multiplica los siguientes radicales
3
2
b) 5
1
5
d) x
a)
5
3
a)
c)
14
25
x6
b)
8
d)
30
2
8
16·x8
10. Divide los siguientes radicales
los siguientes radicales
b)
18
9a3
c)
3
16
98a3b5c7
d)
factores posibles que se encuentren
fuera de él.
a) 3· 5
b) 2· a
c) 3a· 2a2
d) ab2 3 a2b
al mínimo común índice los
siguientes radicales.
c)
4
b)
8
3; 7; 2
3
d)
4; 4 3; 2
6
3
30
a)
45 − 125 − 20
b)
75 − 147 + 675 − 12
175 + 63 − 2 28
d)
20 +
1
45 + 2 125
3
„ MATEMÁTICAS B
9x
3x
3
9
9
3
d)
f)
5 3xy
3
8a3b
4
4a2
6
x5
8
x3
a)
5
24 2
b)
5
x2 4 x3
c)
4
x3 3 x2 x
d)
6
23 2 2
12. Racionaliza.
a)
3; 32 ; 5
7. Suma los siguientes radicales indicados.
c)
e)
3x
3
75x2y3
b)
11. Calcula:
6. Reduce
5; 4 3
6x
a)
c)
5. Introducir dentro del radical todos los
a)
c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2
d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )
4. Extraer todos los factores posibles de
a)
)
2− 3· 2
b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3
3. Simplifica los siguientes radicales:
4
(
c)
2
b)
7
2a
2ax
d)
1
3
1
5
x3
13. Racionaliza.
a)
c)
2
3 −1
5
4-
11
b)
d)
3+ 5
3− 5
2
2 +1
Potencias y radicales
Para saber más
Aproximación de una
mediante fracciones
1
n = a1 +
a2 +
1
a3 +
1
a4 +
1
...
raíz
cuadrada
Cualquier número irracional se puede aproximar
mediante una fracción, que se obtiene a partir de su
desarrollo en fracción continua.
Mediante las fracciones continuas se puede aproximar
cualquier raíz a una fracción.
Desarrollo de:
1+
1+
1
=
2
3
2
1
2+
1
Algoritmo
= 1'5
7
=
5
La primera cifra a1 es la parte entera de la raíz
x1 = 2
= 1' 4
a1 = ⎡⎣x1 ⎤⎦ = ⎡ 2 ⎤ = 1
⎣ ⎦
2
1
1+
2 = 1' 4142
2+
2+
17
=
1
12
1
2
=
1
2+
2+
2
=
99
70
= 1' 4142
1
2+
2+
x2 = 1 +
1
2 −1
= 2 +1
1
x3
2 +1 = 2 +
1
2
1
1
⇒ 2 −1 =
⇒ x3 =
x3
x3
1
2 −1
= 2 +1
a3 = ⎡⎣x3 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2
⎣
⎦
Otros desarrollos
3 = ⎡⎣1,12⎤⎦
7 = ⎡⎣2,1114⎤⎦
5 = ⎡⎣2, 4⎤⎦
8 = ⎡⎣2,14⎤⎦
6 = ⎡⎣2,24⎤⎦
1
1
⇒ 2 −1 =
⇒ x2 =
x2
x2
La tercera cifra a3 es la parte entera de x3
1
2+
2 =1+
1
x2
a2 = ⎡⎣x2 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2
⎣
⎦
1
2+
29
= 1' 4167
1
1
1+
41
1
2+
La segunda cifra a2 es la parte entera de x2
x1 = 1 +
1
1+
= 1' 4166
10 = ⎡⎣3,6 ⎤⎦
No es necesario hacer más cálculos por repetirse
periódicamente los cocientes.
2 = ⎡⎣1,2⎤⎦ = 1 +
1
1
2+
2+
1
2 + ...
MATEMÁTICAS B „
31
Potencias y radicales
Recuerda
lo más importante
Potencia de exponente
fraccionario
Radicales
Llamamos raíz n-ésima de un
número dado al número que
elevado a n nos da al primero.
Un radical es equivalente a una
potencia
de
exponente
fraccionario donde el numerador
de la fracción es el exponente del
radicando y el denominador es el
índice de la raíz.
La expresión es n a un radical
de índice n y radicando a.
n
a = b ⇔ a = bn
n
m
am = a n
Propiedad fundamental
El valor de un radical no varía si
se multiplican ó se dividen por el
mismo número
el índice y el
exponente del radicando.
n
am =
n·p
am·p
Reducir a índice común
Operaciones con radicales
Reducir a índice común dos radicales dados
es encontrar dos radicales equivalentes a
los dados que tengan el mismo índice.
Para multiplicar(o dividir) radicales del
mismo índice se deja el índice
y se
multiplican(o dividen) los radicandos. Si
tienen índice distinto, primero se reduce a
índice común.
Radicales semejantes
Para hallar la raíz de un radical se deja el
radicando y se multiplican los índices.
Son aquellos que tienen el mismo índice y
el mismo radicando, pudiendo diferir en el
coeficiente que los multiplica.
Para
sumar
(o
restar)
radicales
semejantes se suman (o restan) los
coeficientes y se deja el radical
Racionalizar
Racionalizar una fracción con radicales en el denominador, es encontrar una fracción equivalente
que no tenga raíces en el denominador.
32
„ MATEMÁTICAS B
Potencias y radicales
Autoevaluación
1. Calcula la siguiente raíz:
7
78125
2. Escribe en forma de exponente fraccionario:
3. Calcular:
10
x3
18 − 98
4. Introduce el factor en el radical: 6 4 5
5. Calcula, simplifica y escribe con un solo radical:
6. Extrae los factores del radical:
7. Racionaliza:
4
7
73 3
243
45
3
25
8. Calcular y simplificar:
9. Calcular y simplificar:
4
2·5 4
7
125
3
5
10. Cuánto mide la arista de un cubo si su volumen es
1331m3
MATEMÁTICAS B „
33
Potencias y radicales
Soluciones de los ejercicios para practicar
1
2
1. a) 52
b) x 3
3
2
3
5
c) a
2. a)
c)
3
5
3. a)
c)
7
e)
3
5
x
d)
3
5
b)
4
x3
d)
15
4. a) 3 2
c)
d) a
b)
x5
8
6. a)
4
d)
4
32a5b f)
6
12
4x7
200x10y9
c) 8 6 + 4 10 − 20
d) 2
4x2
b) 2 3 2
10. a)
45
b)
18a4
d)
2abc
4a
3
25; 4 3
b)
12
256;12 27;12 4
c)
18
9; 8 7; 8 216
d)
6
27; 6 32; 6 25
7. a) −4 5 b) 11 3
c) 4 7
108
b) 14 5 + 30
c) 3a a d) 7ab c
c)
b) 15 10
9. a) 2 − 6
2 33
5. a)
18
3
8. a)
d) 15 5
a5b7
2
b) y x
6
c)
6
81x
d)
e)
6
243
f)
11. a)
4
2
b)
20
d)
3
c)
12. a)
c)
13. a)
24
x23
2 7
7
b)
24
8a3b2
x11
x11
x2
3
3
5
x2
x
2ax
x
d)
3 +1
b) −7 − 3 5
c) 4 +
11 d) 2 -
2
Soluciones
AUTOEVALUACIÓN
1. 5
3
2. x10
3. −4 2
6480
4.
4
5.
21
1029
6. 3 4 3
7. 93 5
8.
20
8192
9.
21
25
No olvides enviar las actividades al tutor
f
10. 11 cm
MATEMÁTICAS B „
34
Centro para la Innovación y Desarrollo
de la Educación a Distancia
ACTIVIDADES DE ESO
4º
2
Matemáticas B
1. Escribe las potencias como radicales y los radicales como potencias:
5
2 =
a)
c)
5
2=
b)
3
5
2
=
d)
1
53
=
2. Calcula: 4 2 − 9 18 + 15 50
3. Calcula expresando el resultado como una potencia de exponente fraccionario lo más
simplificado posible:
3
9 ⋅ 4 12
6
=
4. Racionaliza y simplifica:
a)
2
2
=
[email protected]
http://cidead.cnice.mec.es
b)
4
5 −1