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Tema 0
Cálculos de potencia
Temario
Potencia y Energía
p  t =v  t  .i  t  Watios 
Potencia Instantánea
p0= potencia absorbida
p0= potencia entregada
t2
Energía Potencia media (activa)
W =∫ p  t  dt  Julios 
t1
1
P media =
T
t 0T
∫ p  t  dt
t0
P=
W
T
Ejemplo: En la figura siguiente se muestran las formas de la tensión aplicada y la corriente que circula por un determinado componente pasivo. Determinar la potencia instantánea, la energía absorbida y la potencia media.
Potencia y Energía
Solución:
La potencia instantánea sería
como en la figura.
La energía absorbida la calcularemos:
T
6 ms
10 ms
20 ms
0
0
6 ms
10 ms
W =∫ p  t  dt= ∫ 400 dt ∫ −300 dt ∫ 0 dt=1,2 J
La potencia media sería P=
W 1,2 J
=
=60 W
T 20 ms
Bobinas y Condensadores
Energía almacenada en una bobina
1
2
w  t = . L.i  t 
2
Potencia media absorbida por una bobina P L =0
La potencia instantánea no es 0
1
V L=
T
La tensión media también es 0 Energía almacenada en un condensador t 0T
∫ v L  t  dt=0
t0
1
2
w  t = .C . v  t 
2
Potencia media absorbida por un condensador La potencia instantánea no es 0
La intensidad media es 0 1
I C=
T
t 0T
∫ iC  t =0
t0
P C =0
Bobinas y Condensadores
Ejemplo: La corriente que circula por la bobina del circuito es la onda triangular representada. Determinar la tensión, potencia instantánea y la potencia media.
Bobinas y Condensadores
Solución:
Tensión
v L =L
di
dt
Potencia instantánea p  t =v  t  .i  t 
Potencia media = 0
Recuperación de la Energía
Circuito para alimentar una bobina:
El Transistor se encargará de conectar y desconectar la alimentación a la carga
Recuperación de la Energía
Corriente que circula por la bobina y por el transistor:
Recuperación de la Energía
Intervalo 0 a t1:
V L =V CC
t
t
V CC . t
1
1
i L  t = ∫ v L  ƛ  d ƛi L  0 = ∫ V CC d ƛ0=
L 0
L 0
L
Intervalo t1 a T:
i L  t 1 =
V CC t 1
L
 
iL=
V CC t 1
L
donde =
− t−t 1 
.e

L
R
Potencia media entregada por la fuente de corriente continua:
[
] [  
]
2
t
T
T
V CC t
 V CC t 1 
1
1
1
P=V CC . ∫ i  t  dt =V CC . ∫
dt ∫ 0 dt =
T 0
T 0
L
T t
2. L.T
1
1
Recuperación de la Energía
Otro método, con dos transistores:
Las dos bases no están conectadas
directamente.
Están activados desde 0
hasta t1
Recuperación de la Energía
Intervalo de 0 hasta t1. La tensión en la bobina es la misma que la de la fuente.
V L =V CC
t
t
V CC . t
1
1
i L  t = ∫ v L  ƛ  d ƛi L  0 = ∫ V CC d ƛ0=
L 0
L 0
L
Intervalo desde t1 hasta T
v L =−V CC
 [
t
t
V CC . t 1 V CC
1
1
i L  t = ∫ v L    d i L  t 1 = ∫ −V CC  d 
=
Lt
Lt
L
L
1
 
i L  t =
V CC
L
1
t 1−t t 1
2 t 1−t 
La corriente media es 0 por lo que la Potencia media es 0 también.
]
Recuperación de la Energía
Problema. El circuito de la transparencia 8 tiene las siguientes características:
* Vcc = 100V, L=100mH, R=10, t1=10ms, T=100ms
Calcular:
•
•
•
•
•
Corriente de pico.
Energía acumulada en la bobina.
Potencia media absorbida por la resistencia.
Potencia media y de pico suministrada por la fuente.
Comparar los resultados aplicándolo al circuito de la transparencia 11
Valor Eficaz
También conocido como valor cuadrático medio.
Se basa en la potencia media entregada a una resistencia:
[
1
1 v t 
1 1
P= ∫ v  t  i  t  dt= ∫
dt=
∫ v 2  t  dt
T 0
T 0 R
R T 0
T
T
2
2
P=
P=
V CC
T
R
V ef2
R
Obteniéndose la siguiente expresión:

T
1 2
V ef =V rms = ∫ v  t  dt
T0
]
Valor Eficaz
Determine el valor eficaz de una señal de pulso como la de la figura:

DT
T

1
1 2
V rms =
V 2m dt∫ 02=
∫
 V DT =V m  D
T 0
T m
DT
Valor Eficaz
Determinar los valores eficaces de una forma de onda:
a) senoidal y
b) rectificación de onda completa

T
Vm
1
2
2
V rms = ∫ V m sen   t  dt=
T 0
2
c) rectificación de media onda.

1
V rms =
2.
∫
  
1
V rms =
2
Vm
V rms =
2

0
2. 
V sen   t  ∫ 0 d   t 
2
m
2
2
2

1
∫ V 2 sen 2  t  d  t 
2 0 m

Valor Eficaz
Corriente por el conductor neutro en un sistema trifásico.
Unas oficinas se alimentan con una red trifásica. La carga no es lineal debido a las fuentes de alimentación de los ordenadores. Las corrientes se muestran en la figura. La corriente del neutro es la suma de las corrientes de fase. Valor Eficaz
Solución: En el caso de que las tres corrientes sean iguales (en módulo), podríamos calcular la corriente por el neutro de la siguiente forma.

T
1 2
I N ,rms = ∫ i N  t  dt= 3 I R , rms
T 0
Observe que la corriente eficaz por el neutro es mayor que por cualquiera de las fases, lo cual es muy diferente a lo que ocurriría si la carga fuera lineal.
El valor eficaz de dos tensiones periódicas podríamos determinarlo a partir de...
T
V
2
rms
1
2
1
= ∫  v 1v 2  dt=
T 0
T
∫
T
0
T
T
v dt∫ 2 v1 v 2 dt∫ v 2 dt
2
1
2
0
0

El producto de v1 con v2 es 0 si son ortogonales, quedándosenos...

2
2
V rms = V 1,rms V 2,rms
Si generalizamos, tendremos...
∑
N
V rms =
n=1
V 2N ,rms
Valor Eficaz
Supongamos ahora dos señales senoidales sumadas:
v  t =48 sen  1 t10 º 5 sen  2 t50 º 
Calculemos el valor eficaz cuando:
1.− 2 =2 1
2.− 2=1
1.­ Cuando las senoides tienen frecuencias diferentes, los términos son ortogonales:

  
2
2
8
5
V rms = 4 

=7,8V
2
2
2
2.­ Cuando las frecuencias son iguales, debemos combinar las ecuaciones mediante suma de fasores: 8∢10º5∢50º=12,3∢25,2ºV
Con lo que el valor eficaz sería...

 
2
12,3
V rms = 4 
=9,57V
2
2
Valor Eficaz
Señales triangulares. Supongamos unas señales como las de la figura.
Calcular la corriente eficaz de la forma de onda a
[
Sol:
i  t =
I
2
rms
2 Im
t1
t−I m
−2 I m
T −t 1
1
=
T
t
0tt 1
I m  T t 1 
T −t 1
t 1tT
[  
t1
∫
0
2 Im
t1
2
T
−I m dt∫
t1
I rms =
]
−2 I m
T −t 1

I m  T t 1 
T −t 1
Im
]
2
dt
3
Calcular la corriente eficaz de la forma de onda b

I rms = I
2
1, rms
I
2
2, rms
=


2
2
32=3,22 A
3
Potencia aparente y factor de potencia
Potencia aparente S es la magnitud de la potencia compleja .
S=V rms I rms
Factor de potencia: Es el coeficiente de la potencia media y la potencia aparente.
P
P
fp= =
S V rms I rms
En el caso particular en que se usen señales senoidales, lo anterior daría lugar a:
fp=cos 
Donde ϕ es el ángulo de fase entre las señales senoidales de tensión y de corriente.
Cálculos de potencia en alterna.
Cálculo de potencia con señales senoidales:
v  t =V m cos   t 
i  t =I m cos   t 
p  t =[ V m cos  t  ][ I m cos   t  ]
 [
Vm Im
p  t =
2
cos  2 t cos  −  ]
La potencia media es:
 
T
Vm Im
1
P= ∫ pt dt=
T 0
2T
 
T
∫ [ cos  2  t cos  −  ] dt=
0
La potencia reactiva sería:
Q=V rms I rms sen  − 
Y la potencia compleja: S=P j Q
Que, en módulo, sería: ∣S∣= P 2Q2
Vm Im
2
cos  − =V rms I rms cos  − 
Cálculos de potencia en alterna.
Cálculo de potencia en señales no senoidales. Las series de Fourier pueden ayudar. La serie de Fourier de cualquier función periódica puede expresarse:
∞
[
f t =a0 ∑ a n cos  n 0 t bn sen  n 0 t 
n=1
1
a 0=
T
2
a n=
T
b n=
2
T
T
2
∫ f t  dt
−T
2
T
2
∫ f t cos  n 0 t  dt
−T
2
T
2
∫ f t  sen  n 0 t  dt
−T
2
también
∞


f t =a0 ∑ anbn sen n 0 tarc tan
n=1
Y el valor eficaz sería:
]
2
F rms =
2


 a b
a ∑
2
2
0
∞
n=1
2
n
2
n

2
 
an
bn
Cálculos de potencia en alterna.
Potencia media. Es la suma de las potencias para las frecuencias contenidas en las series de Fourier.
∞
∞
n=0
n=0
P=∑ P n=V 0 ¿ I 0∑ V n , rms I n , rms cos  n−n 
∞
P=V 0 I 0 ∑
n=0

ó
V n , máx I n , máx
2

cos  n−n 
Cálculos de potencia en alterna.
Factor de distorsión. Es el cociente entre el valor eficaz a la frecuencia fundamental y el valor eficaz total. FD= I 1, rms
I rms
Representa la reducción del factor de potencia debido a la propiedad no senoidal de la corriente, con lo que el factor de potencia sería:
[
]
fp= cos  1−1  FD
Distorsión Armónica. Es la relación entre el valor eficaz de todos los términos correspondientes a las frecuencias distintas de la fundamental y el valor eficaz del término correspondiente a la frecuencia fundamental:
DAT =
Otras relaciones:
FD=

1
1  DAT 
n≠1
2
I 1,rms
=
2
2
2
2
I rms −I 1, rms
S= P Q D donde D=
2
2
 
∑ I 2n ,rms
2
I 1,rms
V1
2

∞
∑ I 2n ;
n≠1
factor de forma=
I rms
I med
; factor de pico=
I pico
I rms