REOIM vol. 41 Problemas propuestos 201"205 Problema 201

REOIM vol. 41
Problemas propuestos 201-205
Problema 201 (propuesto por Roberto Bosch Cabrera, C. de la
Habana, Cuba)
Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia c0 de centro O
interior al cuadrilátero. Se consideran las circunferencias c1 (A; AO) (de centro
A y radio AO); c2 (B; BO) ; c3 (C; CO) y c4 (D; DO) :
Sean c1 \c2 = fP; Og ; c2 \c3 = fQ; Og ; c3 \c4 = fR; Og ; y c4 \c1 = fS; Og :
Demostrar que PQRS es un paralelogramo.
Problema 202 (propuesto por José Luis Díaz Barrero, Univ. Politécnica de Cataluña, Barcelona, España)
Sean a; b; c las longitudes de los lados de un triángulo de perímetro 2. Demostrar
que
r
p
p
p
4
4
4
8 3
a2 b2 sin C + b2 c2 sin A + c2 a2 sin B 2
:
4
Problema 203 (propuesto por Vicente Vicario García, Huelva, España)
Es bien conocido que existen números irracionales ; tales que
es
p
racional. Para la demostración clásica
se
parte
del
hecho
de
que
2
es
irp p2
racional, y se considera el número 2 : Si este número es racional, ya tenemos identi…cados los irracionales ; que
cumplen la condición del teorema.
p
p p2 2
2
, que es racional y se concluye la
Si no es racional, consideramos
demostración.
Se pide dar una demostración constructiva alternativa y construir in…nitas
parejas de números irracionales y tales que
es un número racional.
Problema 204 (propuesto por Pedro H.O. Pantoja, Univ. de Lisboa, Portugal)
Demostrar que las ecuaciones 3x 1 = y 4 ; 3x + 1 = y 4 no tienen socuciones
enteras positivas.
Problema 205 (propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila,
España)
Sea ABC un triángulo rectángulo en A, con lados a > b c. Sean r el radio
del círculo inscrito, R el del círculo circunscrito, y wa la bisectriz interior del
ángulo A. Demostrar que
c
2+
p
2 r
2bc
b+c
R+r
c
b () p
2
1
1+
p
2 r
wa
R+r
p
2
b
p :
2